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2013高考数学三部曲(复习、诊断、练习)备考冲刺之易错题回归复习 平面解析几何(教师版)


平面解析几何
一、高考预测 解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系,该部分内容是 整个解析几何的基础,在解析几何的知识体系中占有重要位置,但由于在高中阶段平面解 析几何的主要内容是圆锥曲线与方程,故在该部分高考考查的分值不多,在高考试卷中一 般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题,偏向于考查直线与 圆的综合,试题难度不大,对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行.根 据近年来各地高考的情况,解析几何初步的考查是稳定的,预计 2012 年该部分的考查仍 然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法, 而在解析几何解答题中考查该 部分知识的应用. 圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一,在高考中一般有 1~2 个选择题或者填 空题, 一个解答题. 选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、 双曲线、 抛物线的定义、 标准方程和简单几何性质及其应用,试题考查主要针对圆锥曲线本身,综合性较小,试题 的难度一般不大;解答题中主要是以椭圆为基本依托,考查椭圆方程的求解、考查直线与 曲线的位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想 等数学思想方法,这道解答题往往是试卷的压轴题之一.由于圆锥曲线与方程是传统的高 中数学主干知识,在高考命题上已经比较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为 稳定,预计 2012 年仍然是这种考查方式,不会发生大的变化. 解析几何的知识主线很清晰,就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何 性质,复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上,要在解题方法、解题思想上 深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何 性质,代数方程是解题的桥梁,要掌握一些解方程(组)的方法,掌握一元二次方程的知识 在解析几何中的应用,掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;数学思想方法在解析 几何问题中起着重要作用,数形结合思想占首位,其次分类讨论思想、函数与方程思想、 化归与转化思想,如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数,通过函数的最 值研究几何中的最值.复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用. 二、知识导学 (一)直线的方程 1.点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ;2. 截距式: y ? kx ? b ;

y ? y1 x ? x1 x y ? ? ?1 y ? y x ? x 1 2 1 ;4. 截距式: a b 3.两点式: 2 ; 5.一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0.
(二)两条直线的位置关系 两条直线 l1 ,l 2 有三种位置关系: 平行 (没有公共点) ; 相交 (有且只有一个公共点) ; 重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交. 设直线 l1 : y = k1 x + b1 ,直线 l 2 : y = k 2 x + b2 ,则

l1 ∥ l 2 的充要条件是 k1 = k 2 ,且 b1 = b2 ; l1 ⊥ l 2 的充要条件是 k1 k 2 =-1.
(三)圆的有关问题 1.圆的标准方程

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r>0),称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b),半径为
r.
2 2 2 特别地,当圆心在原点(0,0),半径为 r 时,圆的方程为 x ? y ? r . 2.圆的一般方程

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0)称为圆的一般方程,
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D E 1 ? r? D 2 ? E 2 ? 4F 2 其圆心坐标为( 2 , 2 ),半径为 . D E ? ? 2 2 当 D ? E ? 4 F =0 时,方程表示一个点( 2 , 2 ); ?
当 D ? E ? 4 F <0 时,方程不表示任何图形. 3.圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系:
2 2

x2 ? y2 ? r 2
2

? x ? r cos ? ? ? ? y ? r sin ?
2 2

(θ 为参数)

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
(四) 椭圆及其标准方程

?

? x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? r sin ?

(θ 为参数)

F2 的距离的和大于| F1 F2 | 1. 椭圆的定义: 椭圆的定义中, 平面内动点与两定点 F1 、
这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| F1 F2 |,则这样的点不存在;若距离之和等于 | F1 F2 |,则动点的轨迹是线段 F1 F2 .

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ?1 2 2 b2 b 2.椭圆的标准方程: a ( a > b >0), a ( a > b >0). 2 3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 x 项的分
母大于 y 项的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待 定系数法求解. (五)椭圆的简单几何性质
2

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 1. 椭圆的几何性质:设椭圆方程为 a ( a > b >0). ⑴ 范围: -a≤x≤a, -b≤x≤b, 所以椭圆位于直线 x= ? a 和 y= ? b 所围成的矩形里.
⑵ 对称性:分别关于 x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点:有四个 A1 (-a,0)、 A2 (a,0) B1 (0,-b)、 B2 (0,b). 线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的 顶点.

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⑷ 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 平程度.0<e<1.e 越接近于 1 时, 椭圆越扁; 反之, e 越接近于 0 时, 椭圆就越接近于圆.

e?

c a 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁

椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 a = b + c 、 标准方程只需两个独立条件. (六)椭圆的参数方程

2

2

2

e?

c a 两个关系,因此确定椭圆的

? x ? a cos ? x2 y2 ? ? ? 1 2 b2 椭圆 a ( a > b >0)的参数方程为 ? y ? b sin ? (θ 为参数).
说明 ⑴ 这里参数θ 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角θ 与直线 OP 的倾斜 角α 不同:

tan ? ?

b tan ? a ;

x2 y2 ? 2 ?1 2 2 2 b ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 a 与三角恒等式 cos ? ? sin ? ? 1 相比较
而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程 1. 双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小 于| F1 F2 |)的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这 一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| F1 F2 |,则动点的轨迹 是两条射线;若 2a>| F1 F2 |,则无轨迹.

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1 < 2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 1 > 2 若 时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对 值”.

MF

MF

MF

MF

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ?1 2 2 2 2 a2 b2 b 2. 双曲线的标准方程: 和a (a>0, b>0) .这里 b ? c ? a , 其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 1 的常数 (离心率) 的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 a , 它的焦点坐标是 (-c, 2 2 a a x?? x? c 和 c .在双曲线中,a、b、c、 0)和(c,0),与它们对应的准线方程分别是 c e? a 与 c 2 ? a 2 ? b 2 的关系, e 四个元素间有 与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个
独立的条件. (九)抛物线的标准方程和几何性质 1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹 叫抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点,这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是,点 F 不在直线 l 上,否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线,而不是抛 物线。 2.抛物线的方程有四种类型: y ? 2 px 、 y ? ?2 px 、 x ? 2 py 、 x ? ?2 py . 对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该 项即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向;一次项前面 是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程 y2=2px 为例 (1)范围:x≥0;
2 2 2 2

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(2)对称轴:对称轴为 y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0,0),注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心); (4)离心率:e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的; (5)准线方程 (6)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1),F 为抛物线的焦点,对于四种抛物 线的

x??

p 2;

的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形或轨迹). 注意事项 1. ⑴ 直线的斜率是一个非常重要的概念, 斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜 程度.当斜率 k 存在时,直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方 程为 x=a(a∈R).因此,利用直线的点斜式或斜截式方程解题时,斜率 k 存在与否,要 分别考虑. ⑵ 直线的截距式是两点式的特例,a、b 分别是直线在 x 轴、y 轴上的截距,因为 a ≠0,b≠0,所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它 的方程,而应选择其它形式求解. ⑶求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式. ⑷当直线 l1 或 l 2 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 ⑸在处理有关圆的问题,除了合理选择圆的方程,还要注意圆的对称性等几何性质的 运用,这样可以简化计算. 2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上,还是两 种都存在. ⑵注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 a、b、c、e 间的互求,并能根据 所给的方程画出椭圆.⑶求双曲线的标准方程 应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.⑷双曲线 a 的渐近线方程为 2 2 x y b m ? 2 ?0 y?? x y?? x 2 a 或表示为 a n ,即 b .若已知双曲线的渐近线方程是
mx ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: m 2 x 2 ? n 2 y 2 ? k ,其中 k 是一个不为
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x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ?1 2 2 b2 b 零的常数.⑸双曲线的标准方程有两个 a 和a (a>0,b>0).这里 2 2 2 b ? c ? a ,其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异
同.⑹求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再求抛物线的 标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 p 的值.同时, 应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方 程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可以求出其他两个. 解题的策略有:1、注意直线倾斜角范围 、设直线方程时注意斜率是否存在,可以设 成 ,包含斜率不存在情况,但不包含斜率为 0 情况。注意截距为 0 的情况;注意点关于 直线对称问题(光线的反射问题);注意证明曲线过定点方法(两种方法:特殊化、分离 变量)2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、相交弦定理、垂 径定理等平面中圆的有关定理解题;注意将圆上动点到定点、定直线的距离的最值转化为 圆心到它们的距离;注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某点 的线段为弦的面积最小的圆是以线段为直径,而面积最大时,是以该点为线段中点。3、 注意圆与椭圆、三角、向量(注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化) 结合;4、注意构建平面上的三点模型求最值,一般涉及“和”的问题有最小值,“差” 的问题有最大值,只有当三点共线时才取得最值;5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、 抛物线方程的方法:待定系数法或定义法,注意焦点位置的讨论,注意双曲线的渐近线方 程:焦点在轴上时为 ,焦点在 轴上时为 ;注意化抛物线方程为标准形式(即 2p、p、 的关系);注意利用比例思想,减少变量,不知道焦点位置时,可设椭圆方程为 。6、熟 练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题;熟练掌握求离心率的题型与方法,特别提醒在求 圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法,减少变量。7、注意圆锥曲线中 的最值等范围问题:产生不等式的条件一般有:①“ 法”;②离心率 的范围;③自变量 的范围;④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围;注意寻找两个变量的关系式,用一个 变量表示另一个变量,化为单个变量,建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域当题 目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法, 注意点是要考虑 曲线上点坐标(x,y)的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。8、求轨迹方程的常 见方法:①直接法;★②几何法;★③定义法;★④相关点法; 9、注意利用向量方法, 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出;注意将有关向量的表达式合理变形;特别 注意遇到角的问题, 可以考虑利用向量数量积解决; 10、 注意存在性、 探索性问题的研究, 注意从特殊到一般的方法。 三、易错点点睛 命题角度 1 对椭圆相关知识的考查 1.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△FlPF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )
A. 2 2 B. 2 ?1 2 C.2 ? 2 D. 2 ? 1

[考场错解]

A
| PF1 | | 没有很好地理解椭圆的定义,错误地把 PF2 |

[专家把脉] [对症下药] |PF1|= 2 k,则 e=

当作离心率.

x

2 2

D 设椭圆的方程为 a
2c ? 2a k 2k ? k
x2 y 2 ? 25 9

?

y

2

b2

=l (a,b >0) 由题意可设|PF2|=|F1F2|=k,

? 2 ?1

2.设双曲线以椭圆 线的渐近线的斜率为 (

=1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲 )
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A.±2

B.±

4 3

1 C.± 2

3 D.± 4
x2 y 2 ? 25 9

[考场错解]

D 由题意得 a=5,b=3,则 c=4 而双曲线以椭圆
? b ?? 3

=1 长轴的两个

4 端点为焦点,则 a=c =4,b=3 ∴k= a [专家把脉] 没有很好理解 a、b、c 的实际意义.

x2

[对症下药] b =5,而 a=2
2

C 设双曲线方程为 a b=
5

2

?

y2 b
2

=1,则由题意知 c=5,
b a

a2 c

=4

则 a2=20

5

∴双曲线渐近线斜率为±

=

?

1 2

x2
2

3.从集合{1,2,3?,11}中任选两个元素作为椭圆方程 m n =1 中的 m 和 n,则能组 成落在矩形区域 B={(x,y)‖x|<11,且|y|<9}内的椭圆个数为 ( ) A.43 B.72 C.86 D.90 [考场错解] D 由题意得,m、n 都有 10 种可能,但 m≠n 故椭圆的个数 10? 10-10=90. [专家把脉] 没有注意,x、y 的取值不同. [对症下药] B 由题意得 m 有 10 种可能,n 只能从集合 11,2,3,4,5,6,7,81 中选取,且 m≠n,故椭圆的个数: 10?8-8=72. 4.设直线 l 与椭圆 =1 相交于 A、B 两点,l 又与双曲线 2 2 x -y =1 相交于 C、D 两点,C、D 三等分线段 AB,求直线 l 的方 程 ( ) [考场错解] 设直线 l 的方程为 y=kx+b 如图所示,l 与椭圆,双曲线的交点为 A(x1,y1)、B (x2,y2)、 C(x3,y3)、D(x4,y4),依题意有 AC ? DB, AB =3 CD
? y ? kx ? b ? 2 得(16 ? 25k 2 ) x 2 ? 50bkx ? (25b 2 ? 400) ? 0 (1) ?x y2 ?1 ? ? 由 ? 25 16 所以
x2 y 2 ? 25 16

?

y2
2

50bk

x1+x2=- 16 ? 25k

2

.



得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 (2) 若 k=±1,则 l 与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故 k≠±1
2bk
2 所以 x3+x4= 1 ? k

? ? y ? kx ? b ? 2 2 ? ?x ? y ? 1

、由 AC ? BD ? x3-x1=x2-x4
? 2bk 1? k2 ?

50bk
? x1+x2=x3+x4 ? - 16 ? 25k
2

bk=0 或 b =0
5 16 ? b 2
2 由(2)得 x3、4=± b ? 1 由

①当 k=0 时,由(1)得 x1、2=± 4
AB ? 3CD ? x2 ? x1
10

=3(x4-x1)即 4

16 ? b 2 ? 6 b 2 ? 1 ? b ? ?

16 13 故

16

l 的方程为 y=± 13

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20

②当 b=0 时,由(1)得 x1、2=± 16 ? 25k ,由(2)得 x3、4=
40
AB ? 3CD ? x2 ? x1 =3(x
4

2

?

1 1? k2

由 综上所述:直

-x3)即

16 ? 25k 2

?

6 1? k2

16 16 ? k ? ? , 故l的方程为y ? ? x. 25 25

线l

16 16 ? ,y ? x 13 25 的方程为:y=

[专家把脉] 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在,致使造成思维片面, 漏解. [对症下药] 解法一:首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的,情况. 设直线 l 的方程为 y=kx+b,如图所示,l 与椭圆、双曲线的交点为:A(x1,y1)、B(x2,
? y ? kx ? b, ? 2 ?x y2 ? 1. ? ? y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),依题意有 AC ? BD, AB ? 3CD .由 ? 25 16 得

50bk

(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0.(1) 所以 x1+x2=- 16 ? 25k (1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0.

. 2

? ? y ? kx ? b, ? 2 2 ? 由 ? x ? y ? 1. 得

2bk

若 k=±1,则 l 与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故 k≠±1.所以 x3+x4= 1 ? k 由 AC ? BD ? x3 ? x1 ? x2 ? x4 ? x ①当 k=0 时,由(1)得
AB ? 3CD ? x2 ? x1 ? 3 (x
4 1

2

+x2=x2+x4

??

50bk 16 ? 25k 2

?

2bk 1? k2

? bk ? 0 ? k ? 0

或 b=0.

x1, 2

5 ?? 16 ? b 2 . 4 由(2)得

2 x3、4=± ? b ? 1 由

-x3). l 的方程为
20 16 ? 25k 2 40
2 (x4-x3).即 16 ? 25k

10 16 16 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b ? ? . 4 13 故 即

16 y=± 13

?

②当 b=0 时,由(1)得 x1、2=
? 1 1? k2
?

,由AB ? 3CD ? x2 ? x1 ? 3

?

6 1? k2

?k??

自(2)得 x3、4=

16 . 25

故 l 的方程为 y=

16 x 25 .再讨论

l 与 x 轴垂直时的情况.
? 4 25 ? c 2 . 5

设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得 yl、2=
2 y3、4= ? c ? 1.由 | AB |? 3 | CD |?| y2 ? y1 |? 3 | y4 ? y3 | . 即

8 25 25 ? c 2 ? 6 c 2 ? 1 ? c ? ? , 故l的方程为x ? 5 241

25 241

. ? 25 241

综上所述,直线 l 的方程是:y=

?

16 25

16 x、y=± 13

和 x=

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2 x3、4= ? b ? 1. ∵x2-x1=3(x4-x3)

l 的方程为 ②当 y0=0,x0≠0,由(2)得 x4=x3≠0,这时 l 平行 y 轴.设 l 的方程为 x=c,分别代入椭
? 4 25 ? c 2 , 2 5 y3、4= ? c ? 1. ∵

?

10 4

16 ? b 2 ? 6 b 2 ? 1 ? b ? ?

16 13 .故

16 y=± 13

圆、双曲线方程得:yl、2=
?

y2-y1=3(y4-y3)

8 25 25 ? c 2 ? 6 c 2 ? 1 ? c ? ? 5 241 x?? 25

241 故 l 的方程为: ③当 x0=0,y0=0 时,这时 l 通过坐标原点且不与 x 轴垂直.设 l 的方程为 y=kx,分别代

?

20 16 ? 25k
2

, x3, 4 ? ?

1 1? k2
?

入椭圆、双曲线方程得:x1、2=
y??

. ? x ? x ? 3( x ? x ) ? k ? ? 16 . 2 1 4 3 25 故
? 25 .

l的

方程为 y= l 的方程是:y= 和 x= 241 2 2 5.设 A、B 是椭圆 3x +y =λ 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂直 平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (1)确定 A 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ) 试判断是否存在这样的 A,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.(此题不要 求在答题卡上画图) [考场错解] (1)设
2 2 ? ?3 x1 ? y1 ? ? ? ? 2 2 ?3 x2 ? y2 ? ? A(x1, y1)B(x2, y2)则有: ? (x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0

16 x. 25 综上所述,直线

16 16 x ? 25 、y= 13

依题意, x1≠x2 ∴kAB ∵N(1, 3)是 AB 的中点, ∴x1+x2=2,yl+y2=6 从而 kAB=-9 2 2 又由 N(1,3)在椭圆内,∴λ <3?1 +3 =12 ∴λ 的取值范围是(-∞,12)直线 AB 的方程 为 y-3=-9(x-1)即 9x+y-12=0
?

3( y1 ? y2 ) - x1 ? x2

[专家把脉] ①用“差比法”求斜率时 kAB= 椭圆内,λ >3?12+32=12 应用结论时也易混淆.

3( x1 ? x2 ) y1 ? y 2

这地方很容易出错.②N(1,3)在

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[对症下药] (1)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y=A(x-1)+3,代入 3x2+y2= λ ,整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ =0.① 设 A(x1,y1)、B(x2、y2),则 x1,x2 是方 程①的两个不同的根,
2k (k ? 3)
2 ∴△=4[λ (k +3)-3(k-3) ]>0,② 且 x1+x2= k ? 3 ,由 N(1,3)是线段 AB 的中点,
2 2

得 k=-1,代入②得,λ >12,即λ 的取值范围是(12,+ ∞).于是,直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1),即 x+y-4=0. 解法 2:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则有
2 2 ? ?3 x1 ? y1 ? ? ? ? 2 2 ? ?3 x2 ? y2 ? ? (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0

x1 ? x2 ?1 2 ,∴A(k-3)=k2+3.解得

依题意,x1≠x2,∴kAB ∵N(1,3)是 AB 的中点,∴x1+x2=2,yl+y2=6,从 2 2 而 kAB=-1.又由 N(1,3)在椭圆内,∴λ >3?1 +3 =12, ∴λ 的取值范围是(12,∞).直 线 AB 的方程为 y-3=-(x-1),即 x+y-4=0. (Ⅱ)解法 1:∵CD 垂直平分 AB,∴直线 CD 的方程为 y-3 =x-1,即 x-y+2=0,代入椭圆 方程,整理得 4x2+4x+4 又设 C(x3, y3), D(x4, y4), CD 的中点为 M(x0, y0), 则 x3, x4 是方程③的两根, ∴x3+x4=-1, 且
1 1 3 2 2 x0= (x3+x4)=- ,y0=x0+2= 2 ,即 1 3 2 M(- , 2 ).于是由弦长公式可得

3( x1 ? x2 ) =- y1 ? y2

|CD|=

1 1 ? (? ) 2 ? | x3 ? x4 |? 2(? ? 3) . k ④将直线
2

AB 的方程 x+y-4=0,代入椭圆方程得 4x2-8x+

16-λ =0 ⑤同理可得|AB|= 1 ? k . | x1 ? x2 |? 2(? ? 12) . ⑥ ∵当λ >12 时, 2(? ? 3) > 2(? ? 12) , ∴|AB|<|CD| 假设存在λ >12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心.点 M
| x0 ? y0 ? 4 | ? |? 1 3 ? ?4| 3 2 2 2 ? . 2 ⑦ 2

2 到直线 AB 的距离为 d= 于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

|MA| =|MB| =d +

2

2

2

|

AB 2 9 ? ? 12 ? ? 3 CD 2 | ? ? ? ?| | . 2 2 2 2 2
| CD | 2 为半径的圆上.

故当λ >12 时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:) A、B、C、D 共圆 ? △ACD 为直角三 角形,A 为直角 ? |AN| =|CN|?|DN|,即
? ? 12
2
2

(

AB 2 | CD | | CD | ) ?( ? d )( ? d) 2 2 2 .



由⑥式知,⑧式左边= =
(

,由④和⑦知,⑧式右边

2(? ? 3) 3 2 2(? ? 3) 3 2 ? ? 3 9 ? ? 12 ? )( ? ? ? )? , 2 2 2 2 2 2 2

∴⑧式成立,即 A、B、C、D 四点共圆解法 2:由(Ⅰ)解法 1 及λ >12, ∵CD 垂直平分 AB, ∴直线 CD 方程为 y-3=x-1, 代入椭圆方程, 整理得 4x2+4x+4-λ =0. ③ 2 将直线 AB 的方程 x+y-4=0,代入椭圆方程,整理得 4x -8x+16-λ =0.⑤ 解③和⑤式可得 xl,2= 不妨设
2 ? ? ? 12 ?1? ? ? 3 , x3, 4 ? . 2 2

1 1 ?1? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ?1? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? 12 ,3 ? ? ? 12 , C ( , ), D( , ) 2 2 2 2 2 2 A(1+

第 10 页 共 44 页

? CA ? ( CA ? (

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

3 ? ? ? 12 ? ? ? 3 3 ? ? ? 3 ? ? ? 12 , ) 2 2

计算可得 CA ? CA ? 0 ,∴A 在以 CD 为直径的圆上.又 B 为 A 关于 CD 的对称点,∴A、B、 C、D 四点共圆. (注:也可用勾股定理证明 AC⊥AD) 专家会诊 1.重点掌握椭圆的定义和性质,加强直线与椭圆位置关系问题的研究.2. 注重思维的全面性,例如求椭圆方程时只考虑到焦点在,轴上的情形;研究直线与椭圆位 置关系时忽略了斜率不存在的情形 3.注重思想方法的训练,在分析直线与椭圆位置关系 时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决; 关于参数范围问题常用 思路有:判别式法,自身范围法等.求椭圆的方程常用方法有:定义法,直接法,待定系 数法,相关点法,参数法等. 命题角度 2 对双曲线相关知识的考查 1.已知双曲线 x - =1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF2 ? 0 ,则点 M 到 x 轴的距离为 ( )
2

y2 2

A.

4 3

B.

5 3

C.

2 3 3

D. 3

[考场错解] B [专家把脉] 没有理解 M 到 x 轴的距离的意义. [对症下药] C 由题意得 a=1,b= 2 ,c= 3 可设 M (x0,y0)|MF1|=|ex0+a|=| 3 x0+1|,
3

|MF2|= |ex0-a|=|

x0-1| 由|MF1| +|MF2| =|F1F2| 得 x0
2 3. 3

2

2

2

2

5 4 2 3 则y0 2 ? , | y0 |? . 3 3 3 =

即点 M 到 x 轴的距离为
x2

2.已知双曲线 a
a 2
2

2

?

y2 b2

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A,△OAF

的面积为 (O 为原点),则两条渐近线的夹角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° [考场错解] B [专家把脉] 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角. [对症下药] D 由题意得 A( 为了 y=x 与 y=-x 则求两条渐近线的夹角为 90°.
a 2 ab , c c

1 ab 1 a2 ? ab ? ?a?b 2 )s△OAF= 2 ?c? c 2 ,则两条渐近线

第 11 页 共 44 页

解不等式,得 专家会诊 1.注意双曲线两个定义的理解及应用,在第二定义中,要强调 e>1,必须 明确焦点与准线的对应性 2.由给定条件求出双曲线的方程,常用待定系数法,当焦点位 置不确定时,方程可能有两种形式,应防止遗漏. 3.掌握参数 a、b、c、e 的关系,渐 近线及其几何意义,并注意灵活运用. 命题角度 3 对抛物线相关知识的考查。 1.过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和 等于 5,则这样的直线 ( ) A.有且仅只有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 [考场错解] D 由题意得|AB|=5 p=4,通径长为 2?4=8 5<8,故不存在这样的 直线. [专家把脉] 没有理解抛物线焦点的弦长及 p 的意义. [对症下药] B 解法一:由题意得 P=2,通径长为 4,而|AB|=x1+x2+p=7,由 7>4,则 这样的直线有且仅有两条,解法二:用待定系数法设直线方程为 y=k(x-1)采用设而不 求的方法求出 k 有两个值,即直线有且仅有两条. 2.设 A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线 y=2x2 上,l 是 AB 的垂直平分线. (1)当且 仅当 x1+x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (Ⅱ)当直线 l 的斜率 为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围. [考场错解] (Ⅱ),设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y=2x+b,过点 A、B 的直线方程可写为 y= 中点 N 的坐标为(x0,y0)
? 1 x ? m, 2 与

5 5 ? e 2 ? 5.由于e ? 1 ? 0, 所以e的取值范围是 ? e ? 5. 4 2

y=2x 联立得 2x

2

2

1 + 2 x-m=0.得

x1+

1 x2=- 4 ;设

AB 的

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1 1 2 x0= (x1+x2)=- 8

1 1 2 16 ,y0=- x0+m=

+m.由 ].

1 16 N∈l,得

1 +m=- 4 +b,于是

5 5 ?m? 16 16 b=



得l在

5 ,?? 16 y 轴上截距的取值范围为[

[专家把脉] 没有借助“△>0”来求出 m> b 的范围,只好胡 乱地把 m 当作大于或等于 0. [对症下药] (1)F∈l ? |FA|=|FB| ? A、B 两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛 物线的准线是 x 轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意 y1、y2 不同时为 0, ∴上述条件等价 于 yl=y2 ? x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0; ∵x1≠x2,∴上述条件等价于 x1+x2=0. 即当且仅当 x1+x2=0 时,l 经过抛物线的 焦点 F。 (Ⅱ)设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y=2x+b 过点 A、B 的直线方程 可写为
1 y=- 2 x+m,所以

?

1 32 ,无法进一步求出

x1、x2 满足方程 2x

2

1 + 2 x-m=0,得

1 x1+x2=- 4 ;

A、B 为抛物线上不

1 ?? 4 同的两点等价于上述方程的判别式

+8m>0, 即

1 ? 32 m> 设

AB 的中点 N 的坐标为(x0, y0),



1 1 2 x0= (x1+x2)=- 8

1 1 2 16 ,y0=- x0+m=

+m
5 16 b= 5 1 9 ? ? 16 32 32 +m>


9 32 围为(

1 16 N∈l,得

1 +m=- 4 +b,于是

即得 l 在 y 轴上截距的取值范

,+∞). 3. 如图, 过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 p(x0, y0)(y0>0), 作两条直线分别交抛物线于 A (x1,y1),B(x2,y2).(1)求 该抛物线上纵坐标为
P 2

的点到其焦点 F 的距离; (Ⅱ)当 PA
y1 ? y2 y0

与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 直线 AB 的斜率是非零常数. [考场错解] (1)当 y=
p 2

的值,并证明

时, x=

p 8

又抛物线的准线方程
p 9 ? (? p ) ? p. 8 8

为 x=-P,由抛物线定义得,所求距离为 (Ⅱ)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB 由 y21=2px1,y20=2px0 相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故 kPA=
2P y1 ? y0 2P y1 ? y0

(x1≠x0).
y1 ? y2 1 ?? . y0 2 4p =- y0

同理可得 kpB= (x2≠x0)由 kPA=-kPB 得 y0=-2 (yl+y2)故 设直线 AB 的斜率为 kAB。由 y22=2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1) 故 kAB= kAB 故 kAB 是非零常数. [专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程,②计算不够准确.
p p p 8 p 2 5p . )= 8 p

y2 ? y1 2p ? ( x1 ? x2 ). x2 ? x1 ( y1 ? y2 ) 将

1 y1+y2=- 2 y0(y0>0)代入得

[对症下药]

2 (1)当 y= 2 时,x= 8 ,又抛物线 y = 2px 的准线方程为 x= 2 ,

由抛物线定义得,所求距离为 -((Ⅱ)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB
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由 y12=2px1,y20=2px0 相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0), 故 kPA=
y1 ? y0 2p ? x1 ? x0 y1 ? y0

(x1≠x0).同理可得 kPB=
2p y1 ? y0

2p y1 ? y0

(x2≠x0). ,所以 yl+y2=-2y0,

由 PA、PB 倾斜角互补知 kPA=-kPB,即

=-

2p y2 ? y0

故 =-2. 设直线 AB 的斜率为 kAB 由 y22=2px2,y21=2pxl 相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1), 所以 将 yl+y2=-2y0(y0>0)代入得
k AB ? 2p p ?? , y1 ? y2 y0 所以 k AB ? y2 ? y1 2p ? ( x1 ? x2 ). x2 ? x1 y1 ? y2

y1 ? y2 y0

kAB 是非零常数. 4.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AO⊥BO(如图所示). (1)求△AOB 的重心 C(即三角形三条中线的交点)的轨 迹方程; (Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值?若存在, 请求出最 小值;若不存在,请说明理由. [考场错解](Ⅰ)设△AOB 的重心为 G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则
x ?x ? x? 1 2 ? ? 3 (1) ? y 1 ? y ? ? y2 ? 3 ? ∵OA ? OB ? OA ? OB ? 0 x1x2+yly2=0(2)

又点 A、B 在抛物线上,有 y1=x1 ,y2=x2 代入(2)化简得 xlx2=0 或-1 ∴y=
y1 ? y2 1 2 1 2 ? ( x1 ? x2 )? 3 3 3 2 2

2

2

[(x1+x2)2-2x1x2]=3x2+ 3 或 3x2,故重心为 G 的轨迹方程为

y=3x2 或 y=3x2+ 3 . [专家把脉]没有考虑到 x1x2=0 时,△AOB 不存在
x ?x ? x? 1 2 ? ? 3 (1) ? ? y ? y1 ? y2 3 ? G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则 ?

[对症下药] (Ⅰ)设△AOB 的重心为 化简得 xlx2=-1 ∴y=
y1 ? y2 1 2 1 2 ? ( x1 ? x2 )? 3 3 3

? OA ? OB ? kOA ? kOB ? ?1,即x1x2 ? y1 y2 ? 0(2)

又点 A、 B 在抛物线上, 有 y1=x12, y2=x22 代入(2)
2 + 3 所以重心为 G

1 2 ? (3 x) 2 ? 3 3 [(x1+x2) -2x1x2]=
2

=3x

2

的轨迹方

程为 y=3x2+

2 3

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 | OA || OB |? ( x1 ? y1 )( x2 ? y2 )? x1 x2 ? x1 y2 ? x2 y2 ? y1 y2 2 2 2 (Ⅱ)S△AOB=

由(1)得 当且仅当 x16=x26 即 x1=-x2=-1 时,等号成立。所以△AOB 的面积存在最小值,最小值为 1。
第 14 页 共 44 页

1 6 1 1 1 6 6 6 x1 ? x2 ?2 ? 2 x1 ? x2 ?2 ? 2 (?1)6 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 2 2 2 S△AOB=

专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程, 注意分类讨论思想。 凡涉及抛物线的弦长, 弦的中点,弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦 点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。

5 ∴(x1,yl-1)= 12

(x2,y2-1)由此得

5 x1= 12

x2,由于 x1, x2 都是方程①的根,且 1-a2≠
? 2a 2
2

17 2a 2 5 2 2a 2 x2 ? ? , x2 ? 1 ? a 2 12 1? a2 0,所以 12

[专家把脉]

消去 x2 得 1 ? a 2 (1)没有考虑到 1-a ≠0(Ⅱ)没有注意到题目本身的条件 a>0.
? x2 ? y 2 ? 1, ? ?a2 ? ?x ? y ? 1

?

289 17 ?a ? ? . 60 13

[对症下药] (1)由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组 有两个不同的实数解,消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0 所以
2 ? ?1 ? a ? 0 ? 4 2 2 ? ?4a ? 8a (1 ? a ) ? 0

解得 0<a< 2 且 a≠1.双曲线的率心率 e=
6 2

1? a2 ? a

1 a2

? 1?0 ? a ? 2



a≠1,∴e>

6 2

且 e≠ 2 ,即离心率 e 的取值范围为(
PA ?

)∪( 2 ). (x2,y2-1)由此得
5 2 2a 2 x2 ? ? 12 1 ? a2

(Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).∵
5 12 x1=

5 5 PB 12 12 ∴(x1,y1-1)=

x2,由于 x1,x2 都是方程①的根,且
2a
2 2

17 2 1-a ≠0,所以 12

2a 2

x2=- 1 ? a

2

,

,消

x2,得- 1 ? a ,由 2.给定抛物线 C:y2=4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点 (1) 设 l 的斜率为 1,求 OA 与 OB 夹角的大小; (Ⅱ)设 FB ? ? AF ,若λ ∈[4,9],求 l 在 y 轴 上截距的变化范围.

?

289 60

17 a>0,所以 a= 13

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[考场错解]

(1)设 OA 与 OB 夹角为α ; 由题意 l 的方程为了 y=x-1, 将 y=x-1 代入 y =4x
2

得 x2-6x+1=0 设 A(x1,y1)B(x2,y2)则有 x1+x2=6,x1x2=1.易得 OA ? OB =x1x2+y1y2=-3,
OA ? OB

| OA || OB |?

2 x1

?

2 y1

?

2 x2

?

2 y2

? 41

??

cosα = | OA || OB |

3 41 41

∴α =-arccos

(Ⅱ)由题意知 FB ? ? AF ? FB ? ? AF ,过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 A'、B'. ∴|FB|=|BB'|,|AF|=|AA'| ∴|BB’|=λ |AA'|,λ ∈[4, 9] 设 l 的方程为 ∴x= |BB'|=
?

? ? y ? k ( x ? 1) ? 2 ? y=k(x-1)由 ? y ? 4 x 得 k2

k2x2-(2k2 +4)x+k2=0
2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1

k2 ? 2 ? 2 k2 ?1 k2

k2 ? 2 ? 2 k2 ?1

∴|AA'|=
k2 ?

+l =

k2

k2 ? 2 ? 2 k2 ?1

2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 k2

| BB' | 2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 ? ?? | AA' | 2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 2(k 2 ? 1) ? 2 k 2 ? 1 ? 9(k ? 0) ? k ? [? 4 3 ,? ] 3 4

?4 ?

[专家把脉] (Ⅰ)没有理解反余弦的意义.(Ⅱ)思路不清晰. [对症下药] (1)C 的焦点为 F(1,0),直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为了 y=x-1. 将 y=x-1 代入方程 y2=4x,并整理得 x2-6x+1=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 xl+x2=6,x1x2=1.
OA ? OB =(x1,y1)?(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1

+x2)+1=-3. (Ⅱ)由题设 FB ? ? AF 得 (x2-1,y2)=λ

所以 与 夹角的大小为π -arc (1-x1,-y1),
OA OB

3 41 cos 41

即 由②得 y22=λ 2y21.∵y21=4x1,y22=4x2,∴x2=λ 2x1 ③ 联立①、③解得 x2=λ ,依题意有λ >0,∴B(λ ,2 )或 B (λ ,-2 ),又 9(1,0), 得直线

? x 2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ), ? ? y 2 ? ??y1

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? ? 1 ? e2 ? .
[ (e 2 ? 3)c e2 ? 1
e ?1
2

2 3

? c] 2 [

(e 2 ? 3)c e2 ? 1
? c]2

? c] 2

(2)当|PF1|=|F1F2|时,同理可得 (3)当|PF2|=|F1F2|时,同理可得
2 3 或-2 或 0
[

解得 e2=3 于是λ =1-3=-2.

(e 2 ? 3)c

? c]2 [

? (e 2 ? 3)c e2 ? 1

=4c2 解得 e2=1 于是λ =1-1=0

综上所述,当λ = 时△PF1F2,F2 为等腰三角形. [专家把脉] (1)没有注意到因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△ PF1F2 为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围. [对症下药] (1)证法一:因为 A、B 分别是直线 l:y= ex+a 与 x 轴、y 轴的交点,
? y ? ex ? a, x ? ?c, ? 2 2 2 得 b 2 这里c ? a ? b . y2 ?x y ? , ? ? 1 , ? 2 c b2 由 ?a
a b2 , e a

所以 A、B 的坐标分别是(- e )(0,a). 所以点
b2 M 的坐标是(-c, a

a

,0

),由 AM ? ? AB 得(-c+

)=λ ( e ,a). 即

a

a ?a ? ?c?? e ?e ? 2 ? b ? ?a ? a ?

解得? ? 1 ? e 2

证法二:因为 A、B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标分别 是(a e

,0),(0,a),设 M 的坐标是(x0,y0),由 AM ? ? AB 得(
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x0 ?

a ,a e ),

所以

a ? ? x 0 ? (? ? 1) e ? ? y ? ?a. ? 0

2 x0

因为点 M 在椭圆上,所以 a

2

?

2 y0

b2

=1,

a [ (? ? 1)] 2 (?a ) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 e ? ? 1, 所以 ? ? 1. a2 b2 e2 1 ? e2 即 e4-2(1-λ

)e2+(1-λ )2=0,解得 e2=1-λ

即λ =1-e2. (Ⅱ)解法一:因为 PF1⊥l,所以 ∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰 三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即 2 |PF1|=c. 设点 F1 到 l 的距离为 d,由 2 |PF1|=d,
| e( ? c ) ? 0 ? a |
1 1

=

1 ? e2

?

| a ? ec | 1 ? e2

?c

,得
1
2 2

1? e

2

2

2

=e.所以 e = 3 ,于是λ =1-e = 3 .即当λ = 3 时,△PF1F2 为等腰三角形. 解法二:因为 PF1⊥l,所以,∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形, 必有|PF1|=|F1F2|,设点 P 的坐标是(x0,y0),
? e2 ? 3 ? y0 ? 0 1 , ?x0 ? ?? ? ? e2 ? 1 e ? x0 ? c ? ? 2(1 ? e 2 )a x0 ? c ? ? y0 ? 0 y0 ? . ? e ? a ? ? 2 e2 ? 1 则? 2 解得 ? 由|PF1|=|FlF2|得

1 ? e2

[

(e 2 ? 3)c e2 ? 1

? c] 2 ? [

2(1 ? e 2 )a e2 ? 1

]2

=4c ,
(e 2 ? 1) e1 ? 1
2

2

两边同时除以 4a , 化简得 =e . 从而 于是λ =l-e = 为等腰三角形. 2 4.抛物线 C 的方程为 y=ax (a<0),过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为 k1, k2 的两条直线分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P、A、B 三点互不相同),且满足 k2+λ k1=0(λ ≠0 且λ ≠-1).

2

1 e=3
2

2

2 3. 即当λ

2 = 3 时, △PF1F2

(Ⅰ)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)设直线 AB 上一点 M 满足 BM =λ MA , 证明线段 PM 的中点在 y 轴上 (Ⅲ)当 A=1 时,若点 P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角 时点 A 的纵坐标 y1 的取值范围. [考场错解]
a 4

(1)抛物线 C 的方程 y=ax (a<0)得,焦点坐标为(

2

a 4

,0)准线方程为

x=(Ⅲ)∵P(-1,1)在 y=ax2 上,故 a=-1∴y=-x2 2 2 由(Ⅱ)易得 y1=-(k1+1) ,y2=(k2+1) ,因此,直线 PA、PB 分别与抛物线 C 的交点 A、B 的 坐标为 A(-k1 -1,-k21-2k1-1),B(k1-1,-k21+2k1-1) 于是 AP = (k1+2,k21+2k1), AB =(2k1,4k1), AP, AB ? 2k1(k1+2)(2k1+1)因∠PAB 为钝角且
1

P、A、B 三点互不相同,故必有 AP ? AB <0 易得 k1 的取值范围是 k1<-2 或 2 <kl<0,又∵ yl=-(k1+1)2 故当 k1<-2 即 y1∈ . [专家把脉] 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念.
1 时,y<-1;当- 2 <k1<0 1 时-1<yl<- 4

第 18 页 共 44 页

[对症下药]
1 4a

(1)由抛物线 C 的方程 y=ax

2

1 4 (a<0)得,焦点坐标为(0, a

),准线方程

为 y=- . (Ⅱ)证明:设直线 PA 的方程为 y-y0=k1(x-x0),直线 PB 的方程为 y-y0=k2(x-x0). 点 P(x0,y0)和?点 A(x1,y1)的坐标是方程组
2

? ? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) (1) ? 2 ? ? y ? ax (2)
k1 x1+x0= a

的解.将②式代入①式得 ax -k1x+klx0-y0=0,于是 又点 P(x0,y0)和点 B(x2,y2)的坐标是方程组
2

,故

k1 x1= a

-x0③

? ? y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) (4) ? 2 ? (5) ? y ? ax
k2 a

的解.将⑤式代入④式得 ax -k2x+k2x0-y0=0.于是 x2+x0= k2=-λ kl,则 x2=
?

,故 x2=

k2 a

-x0, 由已知得,
x2 ? ?x1 1? ?

?
a

k1 ? x0

⑥设点 M 的坐标为(xM,yM),由 BM =λ MA ,则 xM=

.将③式

和⑥式代入上式得 PM 的中点在 y 轴上. 2 (Ⅲ)因为点 P(1,-1)在抛物线 y=ax 上,所以 a=-1,抛物线方程为 y=-x2.由③式知 2 2 2 x1=-k1-1,代入 y=-x 得 y1=-(k1+1) .将λ =1 代入⑥式得 x2=k1-1,代入 y=-x 得 y2=2 (k2+1) .因此,直线 PA、PB 分别与抛物线 C 的交点 A、B 的坐标为 A(-k1,-1, 2 2 -k 1-2k1-1),B(k1-1,-k1 +2k1-1). 于是 AP =(k1+2,k12+2k1), AB =(2K1,4K1), AP ? AB = 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1).因∠PAB 为钝角且 P、A、B 三点互不相同,故必
1

xM

? x ? ?x0 ? 0 ?? 1? ? x0,即 xM+x0=0.所以线段

有 AP ? AB <0.求得 k1 的取值范围是 k1<-2 或- 2 <k1<0.又点 A 的纵坐标 y1 满足
1
1

1

y1=-(k1+1)2,故当 k1<-2 时, y1<-1;当- 2 <k1<0 时,-1<y1<- 4 .即 y1∈(-∞,-1)U(-1, - 4 ). 专家会诊 1.判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组,判断方程组解的 组数,对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断,而直 线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定, 不可混淆. 2. 涉 及弦长的问题中,应熟练地利用韦达定理,设而不求计算弦长,不要蛮算,以免出现差 错.3.涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率,弦的中 点坐标联系起来,相互转化。 命题角度 5 对轨迹问题的考查 1.(典型例题)已知双曲线的中心在原点,离心率为若它的一条准线与抛物线 y2=4x 的准 2 线重合,则该双曲线与抛物线 y =4x 的交点到原点的距离是 ( ) A.2 3 ? 6 B. 21 C.18+12 2 [考场错解] C [专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻. D.21

第 19 页 共 44 页

x2

[对症下药]

B 设双曲线方程为 a
x2 y 2 ? 3 6

2

?

y2 b
2

=1,由题意得

c a2 ? 3 ,? ? ?1 a c 则

a= 3 b= 6 ,则

双曲线方程为

=1,由

? x2 y 2 ?1 ? ? 6 ?3 ? 2 ? y ? 4x

得 A(3,2 3 ),故交点到原点的距离为

32 ? (2 3 ) 2 ? 21.

2.(典型例题)已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足 PA ? PB =x2,则点 P 的轨 迹是

| kx ? y |
2

| kx ? b |
2

| k 2 x2 ? y 2 |
2

k ? 1 ? k ? 1 =d2 即 k ? 1 =d2 (Ⅱ)直线 l1:kx-y=0 直线 l2:kx+y=0 由题意得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴k x -y ±(k +1)d =0 故动点 P 的轨迹 C 的方程为 k x -y ±(k +1)d =0 (Ⅲ)略 [专家把脉] 没有很好地理解题意,第二问出现两解,致使第三问过于复杂难以 完成. [对症下药] 解:(I)W1={(x,y)|kx<y-kx,z< 0|,W2={(x,y)|kx<y<bc,x>0}, | kx ? y |
2

| kx ? b |
2

k 2 x2 ? y 2

2 2 2 (Ⅱ)直线 l1:kx-y=0 直线 l2:kx+y=0,由题意得 k ? 1 ? k ? 1 =d ,即 k ? 1 =d ,

k 2 x2 ? y 2

由 P(x,y)∈W,知 k x -y >0,所以 k ? 1 =d ,即 k x -y -(k +1)d =0, 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 k2x2-y2-(k2+1)d2=0; (Ⅲ)当直线 J 与,轴垂直时,可设直线 J 的方程为,x=a (a≠0).由于直线 l,曲线 C 关于 x 轴对称,且 l1 与 l2 关于 x 轴对称,于是 M1M2,M3M4 的中点坐标都为(a,0),所以△
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

OM1M2,△OM3M4 的重心坐标都为( 当直线 l1 与 x 轴不垂直时,设直线 J 的方程为 y=mx+n(n ≠0).

2 3 a,0),即它们的重心重合,

第 20 页 共 44 页

? ?k 2 x 2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0 ? ? 由 ? y ? mx ? n ,

得(k -m )x -2mnx-n -k d -d =0

2

2

2

2

2

2

2

在△QF1F2 中

OT ?

1 | F1Q |? a 2 故有

x2+b2= a2(x=±a)

(Ⅲ)C 上存在 M(x0,y0)使

2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 (1) ? ?1 2 ? ? 2c | y0 |? b (2) 2 s=b 的充要条件是: ? 2

又 MF1 =(-C-x0-y0), MF2 =(c-x0,y0)由 MF1 ? MF2 =x02-c2+y20=a2-c2=b2 cos∠F1MF2=b 又 tan ∠FlMF2=2 [专家把脉] (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面. [对症下药] (1)证法一:设点 P 的坐标为(x,y).由 P(x,y)在椭圆上,得
| F1P |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? b 2 ? b2 a
2



| MF1 || MF2 |

2

1 | MF1 || MF2 | s= 2 sin∠FlMF2 得

x 2 ? (a ?

c 2 x) . a 2

由|x|≤a,知 a+

c c x a ≥-c+a>0,所以 | F1P | =a+ a

x.

证法二:设点 P 的坐标为(x,y).记 | F1P |? r1, | F2 P |? r2 ,
2 2 2 2 则 r1= ( x ? c) ? y ,r2= ( x ? c) ? y .

c

由 r1+r2=2a,r21-r22=4cx,得 | F1P | =r1=a+ a . 证法三:设点 P 的坐标为(x,y).椭圆的左准线方程 a+
c x a =0.

x

第 21 页 共 44 页

| F1P | a2 | x? | c 由椭圆第二定义得

?

c a



| F1P |?

c a2 c | x? |?| a ? x | . a c a

由 x≥-a,知 a+

c c x x a ≥-c+a>0,所以 | F1P | =a+ a

(Ⅱ)解法一: 设点 T 的坐标为(x, y). 当 | PT | =0 时, 点(a, 0)和点(-a, 0)在轨迹上. 当
| PT |? 0 且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 | =0,得 | TP |? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T

为线段 F2Q 的中

点. 在△QF1F2 中,

| OT |?

1 | F1Q | 2 2 2 2 2 2 2 =a, 所以有 x +y =a 综上所述, 点 T 的轨迹 C 的方程是 x +y =a

解法二:设点 T 的坐标为(x,y).当| | PT | |=0 时,点(a,0)和点(-a,0)在轨迹上. 当 | PT |? 0 且 TF2 ? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 又| PQ |=| PF2 |,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
? ?x ? ? ? ?y ? ? 的坐标为(x',y'),则 ? x'? c 2 , ? x ' ? 2 x ? c, y' ? . 2 因此 ? y ' ? 2 y. ①由 | F1Q | =2a

设点 Q 得 2 2 2 (x'+c) +y' =4a .② 2 2 2 2 2 2 将①代入②,可得 x +y =a .综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x +y =a
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , (3) ? ?1 2 ? ? 2c | y0 | b .(4) 2 2 ? S=b 的充要条件是

(Ⅲ)解法一:C 上存在点 M(x0,y0)使
b2 由③得,|y0|≤a,由④得,|y0|≤ c

,所以,当
b2 a≥ c

b2 a≥ c

时,存在点 M,使 S=b2;



b2 a< c

时, 不存在满足条件的点 M. 当

时,MF1 =(-c-c0,-y0),MF2 =(c-c0,-y0),

由 MF1 ? MF2 =x02-c2+y20=a2-c2=b2,
MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos ?F1MF2 , S? 1 | MF1 | ? | MF2 | sin ?F1MF2 ? b 2 , 得 tan ?F1MF2 ? 2. 2
0 0 ? x2 ? y2 ? a 2 , (3) ? ?1 2 ? ? 2c | y0 |? b .(4) 2 2 ? S=b 的充要条件是

解法二:C 上存在点 M(x0,y0)使 由④得|y0|
? b2 c b b2 a≥ c

b4

,上式代入③得 x 0=a 2

2

2

b2 c =(a- c
2

)

b2 (a+ c

)≥0.

b

2

于是,当 a≥ c 时,存在点 M,使 s=b2;当 a< c 时,不存在满足条件的点 M. 当 时,记 k1=kF1M=
y0 y0 , k2 ? k F 2 M ? , x0 ? c x0 ? c
| k1 ? k 2 | 1 ? k1k2 =2.

由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°,所以 tan∠F1MF2= 专家会诊 (1)求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来,实质上是 一个翻译过程,故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键,往往和研 究曲线几何性质,讨论直线与曲线位置关系等联系在一起.(2)求轨迹要注意取值范围和 “杂点”的去除.

第 22 页 共 44 页

故舍去
9

综上所述:当 x= 2 时 d 取得最小值 15 [专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性,致使思路不清晰,计算繁琐. [对症下药] [解](1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4)
? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ? 2 P(x,y),则 AP =(x+6,y), FP =(x-4,y),由已知可得 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y ? 0
2

设点

则 2x +9x-18=0,x= (
3 5 3 , 2 2

3 2或

x=-6.由于 y>0,只能 x=

3 2 ,于是

5 3 . y= 2

点 P 的坐标是

)
3

(2)直线 AP 的方程是 x|m?6| 是 2 =

+6=0.设点 M(m,0),则 M 到直线 AP

|m?6| 的距离是 2 .于
2 2 2

|m-6|, 又-6≤m≤6, 解得 m=2. 椭圆上的点(x, y)到点 M 的距离 d 有, d =(x-2) +y x =
2

=x

2

5 9 -4x+4+20-

4 9 9 9 (x- 2 )2+15,由于-6≤m≤6,∴当 x= 2 时,d 取得最小值 15

2.如图,直线 严与抛物线 x2-4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与直线 y=-5 交于点 Q. (1)求点 Q 的坐 标 (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含点 A、B)的动点时, 求△OPQ 面积的最大值. [考场错解] (1)略(Ⅱ)由(1)得 Q(5, -5) 直线 OQ 的方程 为 x+y=0 设 P(x, d=
| x?
1 2 x 8 -4)∵点 P

1 y= 2 x

1 y= 8

到直线 OQ 的距离

1 2 x ?4| 1 1 5 2 5 8 ? | x 2 ? 8 x ? 32 |, | OQ |? 5 2 ? S?OPQ ? | OQ | d ? | x ? 8 x ? 32 |? | ( x ? 4) 2 ? 48 | 2 16 16 2 8 2
第 23 页 共 44 页

∵-4≤x≤8. |(-4+4)2-48|=15 [专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法.
1 ? y? x ? ? 2 ? ? x1 ? ?4 ? ? x2 ? 8 1 ,? 2 , ? y ? x2 ? 4 ? y1 ? ?2 ? y ?4 ? ? ? 8 ? (1)解方程组 ,得 即
k AB 1 ? 2

5 16 ∴S△OPQ 最大值=

[对症下药]

A(-4,-2),B(8,4),从而

AB 的中点为 M(2,1),由 得 x=5,∴Q(5,-5).

,得线段 AB 的垂直平分线方程 y-1=-2(x-2).令 y=-5,
1 x2

(2)直线 OQ 的方程为 x+y=0,设 P(x, 8
| x?

-4),∵点 P 到直线 OQ 的距离

d=

1 2 x ?4| 1 8 ? | x 2 ? 8 x ? 32 || OQ |? 5 2 . ? S ?OPQ ? 1 | OQ | d ? 5 | x 2 ? 8 x ? 32 | . 2 8 2 2 16 ∵P

为抛物线上

位于线段 AB 下方点,且 P 不在直线 OQ 上. ∴ -4≤x<4 3 -4 或 4 3 -4<x≤8.∴S△OPQ 最大 值=30 3.设椭圆方程为 x + P
2

y2 4

=1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B、O 是坐标原点,点
1 1 2 N 的坐标为( , 2 ),当 l

1 OP ? (OA ? OB) 2 满足 ,点

绕点 M 旋转时,求: (Ⅰ)动点户的

轨迹方程; (Ⅱ) | NP | 的最小值与最大值. [考场错解] (1)①若 l 的斜率存在,设为 k,则 l:y =kx+1 代入 4x2+y2=4 中得, 2 2 (k +4)x +2kx-3=0
?2k
2

∴x1+x2= k ? 4 i)A=0 时,x=0 y=1,∴P(0,1)
4 x ?4? ? y y ?

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ?

8 k ?4
2

? OP ? (

?k
2

k ?4 k ?4

,

4
2

)?k2 ?

4 x k ? 4, ? ? y y 4

ii)k≠0 时,k= ∴P 点的轨迹为:x +y -y=0(y≠O) ②若 l 不存在斜率,∴A、B 为上、下顶点.∴P(0,0)
1 1 , (2)解:∵N( 2 2

4 ?4 y 4

2

2

),i),∵k 不存在时 P(0,0), iii)k≠0 时 x
2

?| PN |?

2 , 2 ii)

k=0 时 P(0,

1).

?| PN |?

2 , 2

1 1 1 1 , 2 2 4 +(y- ) = 。又∵N( 2 2

) ?| NP | max=2r=1 ∴

| NP | min=0.

[专家把脉] 思路不清晰. [对症下药] (1)解法一:直线 l 过点 M(0,1),设其斜率为 A,则 J 的方程为 y=kx+1.
? y ? kx ? 1, (1) ? ? 2 y2 ? 1(2) ?x ? 4 的坐标(x1, y1)、 (x2,y2)是方程组 ?

记 A(x1, y1)、 B(x2, y2), 由题设可得 A、 B 的解.

2k ? , ? x1 ? x2 ? ? ? 4 ? k2 ? ?y ? y ? 8 2 ? 1 2 2 4 ? k2 将①代入②并化简得.(4+k )x +2kx-3=0.所以 ?

于是

第 24 页 共 44 页

P 去参数 k 得 4x +y -y=0. ③当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程 ③,所以点 P 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0 解法二:设点 P 的坐标为(x,y),因 A(x1,y1)、B(x2,y2)在椭圆上,所以
2 2

OP ?

1 x ? x y ? y2 ?k 4 (OA ? OB) ? ( 1 2 , 1 )?( , ). 2 2 2 4 ? k 2 4 ? k 2 设点

?k ? , ?x ? ? 4 ? k2 ? ?y ? 4 , 2 ? 的坐标为(x,y),则 ? 4 ? k 消

2 x1 ?

2 y1 y2 2 2 1 2 2 2 x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 )?0 ? 1, x2 ? 2 ?1 4 4 4 ④ ⑤④-⑤得 所以(x1-x2)

1

(x1+x2)+ 4 (y1-y2)(y1+y2)=0
? x1 ? x2 , ?x ? 2 ? y1 ? y2 ? , ?y ? 2 ? ? y ? 1 y1 ? y2 ? x ? x ?x 1 2 ?

当 x1≠x2 时,有 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0.⑧ 当 x1=x2 时,点 A、B 的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点 p 的坐标为(0,0)也满足⑧,
x2 ? 1 16 1 ( y ? )2 2 ? 1. 1 4
1 16 x≤
2

x1 ? x2 ?

1 y ? y2 ( y1 ? y2 ) ? 1 ?0 4 x1 ? x2 ⑥并且

所以点 P 的轨迹方程为

(Ⅱ)解法:由点 P 的轨迹方程知
2



1 1 4 即- ≤x≤ 4 所以

1 1 1 1 1 7 | NP | ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ( x ? ) 2 ? ? 4 x 2 ? ?3( x ? ) 2 ? 2 2 2 4 6 12 1 1 1 ? | NP | 4 4 故当 x= 时, 取得最小值,最小值为 ,当 x= 6

时, | NP | 取得最大值,最大值



21 . 6

第 25 页 共 44 页

1 2 ? ?y ? x | ST | | ST | | OT | | OT | |b| |b| 2 ? ? ? ? ? ? , y ? kx ?b | SP | | SQ | | P ' P | | Q' Q | | y1 | | y2 | 由 ? ? 消去

x 得 y2-2(k2+b)y+b2=0③

2 ? ? y1 ? y2 ? 2(k ? b) | ST | | ST | 1 1 1 1 ? ? ? ?| b | ( ? )? 2|b| ? 2|b| ?2 2 | SP | | SQ | | y1 | | y2 | | y1 y2 | b2 ? y1 y2 ? b 则?

?

| ST | | ST | ? | SP | | SQ | 的取值范围是[2,+∞].

[专家把脉] (1)没有注意“杂点”的去除;(Ⅱ)没有注意 利用重要不等式时等号成立的条件. [对症下药] 解法:(1)设 P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M (x0, y0),依题意 x1≠0,yl>0,y2>0.由 的切线的斜率 k 切=x1, ∵x1=0 不合题意, ∴x1≠0.
?

1 y= 2 x2,①得 y'=x.

∴过点 P

∴直线 l 的斜率 k1=

1 1 ?? k切 x

,直线 l 的方程为

1 1 ? 2 2 y- x 1= x

(x-x1).②

方法一: 联立①②消去 y, 得x+
1

2

2 x x1 -x2

1

-2=0. ∵M 为 PQ

x1 ? x2 1 ? ?? ? x0 ? 2 x ? 1 ?? ? y ? 1 x 2 ? 1 ( x ? x). ? 0 2 1 x1 0 的中点, ?

1

消去 x1,得 y0=x0 + 方法二:由 则 x0=

2

2 2 x0

+1(x0≠0),∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x + 2 x +1(x≠0), ,得
1 1 1 2 2 2 2 y1-y2= x 1- x 2= 2 (x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),
1
2

2

2

1 1 x1 ? x2 2 2 2 2 y1= x 1,y2= x 2,x0= 2

y1 ? y2 ? x1 ? x2 k

1

=-

1 x1

∴x1=1
2

1 x0

,将上式代入②并整理,得 y0=x 0+ 2 x0 +1(x0≠0), ∴PQ 中

2

点 M 的轨迹方程为 y=x + 2 x +1(x≠0). (Ⅱ)设直线 l:y=kx+b,依题意 k≠0,b≠0,则 T(0,b).分别过 P、Q 作 PP'⊥x 轴, QQ'⊥y 轴,垂足分别为 p'、
1 2 ? ?y ? x 2 ? ? y ? kx ? b ?

2

| ST | | ST | | OT | | OT | |b| |b| ? ? ? ? ? . | SP | | SQ | | P ' P | | Q ' Q | | y | | y2 | 1 Q',则
2 ? ? y1 ? y2 ? 2(k ? b), ? 2 ? ? y1 y2 ? b .



消去 x,得 y2-2(k2+b)y+b2=0.③则

第 26 页 共 44 页

y2 ? b

方法三:由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=kTP,即 b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).于是

x2

?

y1 ? b . x1 则

x1y2-bx1=x2y1-bx2,即

b=

1 1 | ? x1x2 | | ? x1x2 | 1 2 1 2 | ST | | ST | | b | | b | x x 2 x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? ? 2 ?| 2 | ? | 1 |? 2. 1 2 2 1 1 | SP | | SQ | y y x x 1 2 ? ? x1x2 . 1 2 1 2 x2 x2 x2 ? x1 2 2 2
?| x2 | x1 可取一切不等于 l | ST | | ST | ? 的正数, | SP | | SQ | 的取值范围是(2,+∞).

专家会诊①直线过定点的问题,常用直线系的思想处理. ②定值问题常常用函数 的思想处理,即把所求定值通过一些基本变量表示,最终化成常数.③最值问题往往用几 何方法,函数或不等式等方法处理. 四、典型习题导练

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 1、已知椭圆 a 右顶点与右焦点的距离为 3 ? 1 ,短轴长为 2 2.
(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、B 两点,若三角形 OAB

3 2 , 的面积为 4 求直线 AB 的方程。

?a ? c ? 3 ? 1 ? ? ? b? 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? 【解析】(Ⅰ)由题意, ? -----1 分解得 a ? 3, c ? 1 -----2 分

x2 y2 ? ? 1. 2 即:椭圆方程为 3 -----4 分
4 3 , 此时 S ?AOB ? 3 不符合题意故舍掉; (Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时, 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,代入消去 y 得: AB ?
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(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 ------5 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ?6k 2 x ? x ? ? ? 1 2 2 ? 3k 2 ? 2 ? x x ? 3k ? 6 1 2 ? 2 ? 3k 2 , ?
k 4 3(k 2 ? 1) d? AB ? 1? k 2 , 2 ? 3k 2 -----7 分原点到直线的 AB 距离 所以 1 1 k 4 3(k 2 ? 1) S ? AB d ? 2 2 1 ? k 2 2 ? 3k 2 .由 所以三角形的面积
S? 3 2 ? k2 ? 2 ? k ? ? 2 4 ,

所以直线

l AB : 2 x ? y ? 2 ? 0 或 l AB : 2 x ? y ? 2 ? 0 .--------12 分
x2 ?

y2 ? 1(0 ? b ? 1) b2 2、设椭圆 的左焦点为 F ,左、右顶点分别为 A、C ,上顶点为 B, 过 F 、B、C 三点做 P . (Ⅰ) 若 FC 是 P 的直径, 求椭圆的离心率; (Ⅱ) 若 P 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的方程。
【解析】 (Ⅰ) 由椭圆的方程知 a ? 1 ∴ B(0, b ), C (1, 0), 设 F ( ? c , 0) ?1 分∵ FC 是 的直径, ∴ FB ? BC ,∵
2

P

k BC ? ? b, k BF ?

b b , ? b ? ? ?1 c ∴ c ,?2 分∴

b ? c ? 1 ? c2 , c2 ? c ? 1 ? 0 ,
5 ?1 c 5 ?1 e? ? 2 a 2 解得: ?5 分∴椭圆的离心率 ?6 分 F , B , C (Ⅱ)解:∵ P 过点 三点,∴圆心 P 即在 FC 的垂直平分线,也在 BC 的 c?
垂直

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Q 两点. 端点恰为一个正方形的顶点. 过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P , (Ⅰ)
求椭圆的方程; (Ⅱ)在线段 OF 上是否存在点 M (m, 0) ,使得 | MP |?| MQ | ?若存在,求 出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解析】(Ⅰ)因为椭圆的短轴长: 2b ? 2 ? b ? 1 ,又因为两个焦点和短轴的两个
2 2 2 端点恰为一个正方形的顶点,所以: b ? c ? a ? b ? c ? 2 ;故椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 2 ??4 分 (Ⅱ)(1)若 l 与 x 轴重合时,显然 M 与原点重合, m ? 0 ; (2)若直线 l 的斜率 k ? 0 ,则可设 l : y ? k ( x ? 1) ,设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 则:

? y ? k ( x ? 1) ? x 2 ? 2k 2 ( x 2 ? 2 x ? 1) ? 2 ? 0 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 所以化简得:
(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ;
x1 ? x2 ?
中点为

4k 2 2k 2 ? PQ 的中点横坐标为: 1 ? 2k 2 ,代入 l : y ? k ( x ? 1) 可得: PQ 的 1 ? 2k 2

2k 2 ?k k2 ( , ) m? 2 N 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 , 由于 | MP |?| MQ | 得到 2k ? 1 所以: 2 k 1 1 m? ? ? (0, ) 2 1 1 ? 2k 2 ?2 2 k

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? 直线

A?B : y ? y 2 ?

y 2 ? y1 ( x ? x2 ), x2 ? x1 ?10 分
2 2

?

y?

x ? x1 y 2 ? y1 1 2 ( x ? x2 ) ? x2 ( x ? x2 ) ? y 2 ? 2 4( x2 ? x1 ) 4 x2 ? x1
2

x2 ? x1 x ? x1 x2 1 2 x2 ? x1 xx x ? x1 x? 2 ? x2 ? x? 1 2 ? 2 x?4 4 4 4 4 4 4 .12 分 ? 直线 A?B 恒过定点 (0,4) .??13 分 ?

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a 2 b2 5、 设椭圆 的离心率与双曲线 x ? y ? 1 的离心率互为倒数, 2 2 且内切于圆 x ? y ? 4 。(Ⅰ)求椭圆 M 的方程;(Ⅱ)若直线 y ? 2 x ? m 交椭圆于 A、B M:
两点,椭圆上一点 P (1, 2) ,求 ?PAB 面积的最大值。 【解析】(Ⅰ)双曲线的离心率为 2 ,则椭圆 M 的离心率为

e?

c 2 ? a 2 ,圆

? 2a ? 4 ? a?2 ? c 2 ? ? ? ? ?c ? 2 ? 2a 2 2 2 ?b ? 2 x 2 ? y 2 ? 4 的直径为 4 ,则 2a ? 4 ,由 ?b ? a ? c ? ? 所求椭圆 M 的方程


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? ( S ?ABP ) max ? 2 ?12 分 2 y2 E : x2 ? 2 ? 1 2 a b 6、已知椭圆 的右焦点恰好是抛物线 C : y ? 4 x 的焦点 F,点 A 是椭圆 E 的右顶点. 过点 A 的直线 l 交抛物线 C 于 M,N 两点,满足 OM ? ON ,其中 O 是坐标原 点. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;(Ⅱ)过椭圆 E 的左顶点 B 作 y 轴平行线 BQ,过点 N 作 x 轴平
行线 NQ,直线 BQ 与 NQ 相交于点 Q. 若 ?QMN 是以 MN 为一条腰的等腰三角形,求直线 MN 的方程. 【命题意图】本题考查椭圆、抛物线等基础知识,考查转化求解能力. 【解析】(Ⅰ)
2

F ?1, 0 ?

,∴

a 2 ? b 2 ? 1, A ? a, 0 ?

2 ,设直线 l : x ? a ? my 代入 y ? 4 x 中,

? y1 ? y2 ? 4m, ? M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? y y ? ?4a y ? 4 my ? 4 a ? 0 整理得 .设 ,则 ? 1 2 ,又∵ 2 2 y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 ,


x1 x2 ?

2 y12 y2 ? a2 OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? a 2 ? 4a ? 0 , 16 , 由 OM ? ON 得 解得 a ? 4

或 a ? 0 (舍),
2 x2 ? y ? 1 得 b ? 15 ,所以椭圆 E 的方程为 16 15 .
2

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(Ⅱ)椭圆 E 的左顶点

B ? ?4, 0 ?

,所以点

Q ? ?4, y2 ?

.易证 M,O,Q 三点共线.当 QM 为等

腰 ?QMN 的底边时, 由于 ON ? OM , ∴O 是线段 MQ 的中点, ∴ 即直线 MN 的方程为 x ? 4 ;

? y12 ? ? 4 ? 0, ?4 ? ? y1 ? y2 ? 0

所以 m ? 0 ,



2 y12 y2 ? 2 ? ?4 4 当 QN 为等腰 ?QMN 底边时, 4 ,又∵ y1 y2 ? ?16 ,解得 2 ? ? ? y1 ? 2 2 ? y1 ? ?2 2 ? y1 ? 8, ? ? ? ? 2 m?? 2 x ? 4? 2 y ? ? y2 ? 32, ? ? y2 ? ?4 2 或 ? ? y2 ? 4 2 ∴ 2 ,所以直线 MN 的方程为 2 , y ? ? 2 ? x ? 4? ?QMN x?4

.综上所述,当

为等腰三角形时,直线 MN 的方程为



y ? ? 2 ? x ? 4?

.

1 1 F (0, ) 4 的距离比它到 x 轴的距离大 4 , 7、在平面直角坐标系 xoy 中,动点 M 到定点 设动点 M 的轨迹是曲线 E .(Ⅰ)求曲线 E 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与曲线
E 相交于 A 、 B 两点,已知圆 C 经过原点 O 和 A、B 两点,求圆 C 的方程,并判断点 M (0,4) 关于直线 l 的对称点 M ? 是否在圆 C 上.

1 1 F (0, ) x?? 4 的距离等于它到定直线 4的 【解析】解: (1)由已知,即动点 M 到定点
距离,?2 分

1 F (0, ) 4 的抛物线和点 ∴动点 M 的轨迹曲线 E 是顶点在原点,焦点为 1 (0, ? ) 4 ????4 分
2 ∴曲线 E 的轨迹方程为 x ? y 和

y??

?x ? y ? 2 ? 0 1 ? 2 ( x ? 0) x ?y 4 .?6 分由 ? 解得

? x ? ?1 ? ?y ?1 或 ?x ? 2 ? ? y ? 4 ?8 分即 A(?1,1) , B(2,4) 设过原点与点 A 、 B 的圆 C 的方程为
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ?F ? 0 ? D ? ?2 ? ? ?1 ? 1 ? D ? E ? F ? 0 ? E ? ?4 ?4 ? 16 ? 2 D ? 4 E ? F ? 0 ?F ? 0 则? ,解得 ?


2 2 ∴圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ?10 分由上可知, 过点 M (0,4) 且与直线 l 垂直的直线 MM ? 方程为: y ? ?x ? 4

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? y ? ?x ? 4 ?x ? 1 ? ? x ? y ? 2 ? 0 ? 解方程组 ,得 ? y ? 3 即线段 MM ? 中点坐标为 H (1,3) ??12 分 从而易得点 M (0,4) 关于直线 l 的对称点 M ? 的坐标为 M ?(2,2) 把代入 M ?(2,2) 代入:
( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ∴点 M ?(2,2) 不在圆 C 上.??14 分 2 8、过抛物线 x ? 4 y 上不同两点 A 、 B 分别作抛物线的切线相交于点 P ( x0 , y 0 ),

PA ? PB ? 0 .(Ⅰ)求 y 0 ;(Ⅱ)求证:直线 AB 恒过定点;(Ⅲ)设(Ⅱ)中直线 AB
2 恒过定点为 F ,若 FA ? FB ? ? ( FP) ? 0 恒成立,求 ? 的值.

【解析】 (Ⅰ)设

A( x1 ,

x x12 x2 x k PA ? 1 ) B( x2 , 2 ) y' ? 2 ( x1 ? x 2 ) .由 x ? 4 y , 2 , 4 , 4 , 2, 得:

k PB ?

x2 2
y? x12 x1 ? ( x ? x1 ) 4 2 .

? PA ? PB ? 0 ,? PA ? PB , x1 x 2 ? ?4 .直线 PA 的方程是:


y?

x1 x x12 ? 2 4 . y?
2 xx x2 x x2 y 0 ? 1 2 ? ?1 ? 4 2 4 .②由①②得: ,( x1 , x 2 ? R ) .

同理, 直线 PB 的方程是: (Ⅱ)恒过点 (0,1) ?

8分

x ? x2 x12 x2 ,?1) ? 1) FB ? ( x 2 , 2 ? 1) P ? ( 1 2 4 4 (Ⅲ)由(Ⅰ)得: , , , 2 2 2 2 x ? x2 x x x ? x2 FP ? ( 1 ,?2) FA ? FB ? x1 x 2 ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? ?2 ? 1 2 4 4 4 , x1 x 2 ? ?4 . 2 ( x ? x2 ) 2 x 2 ? x2 ( FP) 2 ? 1 ?4? 1 ?2 2 4 4 .? FA ? FB ? ( FP) ? 0 .故 ? ? 1 . 3 9、已知点 A(?2,0), B (2,0) ,直线 PA 与直线 PB 斜率之积为 ? ,记点 P 的轨迹为曲线 4
FA ? ( x1 ,
C .(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ) 设 M , N 是曲线 C 上任意两点, 且 OM ? ON ? OM ? ON ,
是否存在以原点为圆心且与 MN 总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说 明理由. 【解析】(Ⅰ)设 P ( x, y ) 则由直线 PA 与直线 PB 斜率之积为 ?

( x ? ?2) .

3 y y 3 ? ?? , 得 4 x?2 x?2 4

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x1 ? x2 ?

4m 2 ? 12 .(*) 4k 2 ? 3 y1 y2 ? ?1 ,整理得 (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 .代入(*)式 由 OM ? ON 得 ? x1 x2

解得

7 m 2 ? 12(k 2 ? 1) 此时 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 中 ? ? 0 .此时原点 O 到直线 MN 的距离 |m| 12 12 d? ? .故原点 O 到直线 MN 的距离恒为 d ? .存在以原点为圆心且 2 7 7 k ?1 12 2 2 与 MN 总相切的圆,方程为 x ? y ? .--12 分 7 2 10、已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x ? 4 y 有一个相同的焦点 F1 ,
直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点.(1)求直线 l 的方程;(2)若椭圆 C1 经 过直线 l 上的点 P ,当椭圆 1 的的离心率取得最大值时,求椭圆 1 的方程及点 P 的坐标. (本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与 方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)

C

C

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m ? ?4 .? 3 分∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 .?? 4 分 F ? 0,1? y (2)法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 1 , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为
F1 ? 0,1? , F2 ? 0, ?1?
设点

F1 ? 0,1?

关于直线 l 的对称点为

F1' ? x0 , y0 ?



F1

P x F1
'

O ? y0 ? 1 F2 ? 2 ? ?1, P0 ? x0 ? ? ? x0 ? 4, ? y0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 4. ? F ' ? 4, ?1? y ? ?1. ? 2 则? 2 ?7 分 解得 ? 0 ∴点 1 ? 8 分 ∴直线 l 与直 ' 线 F1 F2 : y ? ?1

?3 ? P0 ? , ?1? ? 9 分由椭圆的定义及平面几何知识得:椭圆 C1 的长轴长 的交点为 ? 2

2a ? PF1 ? PF2
? PF1' ? PF2 ? F1' F2 ? 4
其中当点 P 与点 P0 重合时, 上面不等式取等号∴ a ? 2 . ∴

e?

1 1 ? a 2.
故当 a ? 2 时,

emax ?

y 2 x2 1 ? ?1 3 2 , 12 分此时椭圆 C1 的方程为 4 ,点 P 的坐标为

?3 ? ? , ?1? ?2 ? ? 14 分
法 2:∵抛物线

C2 的焦点为 F1 ? 0,1? , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为

F1 ? 0,1? , F2 ? 0, ?1?

.5 分

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? y ? 2 x ? 4, ? 2 ?y x2 y x ? ?1 ? 2 ? 1? a ? 1? ? 2 2 a2 ? 1 a ?1 设椭圆 C1 的方程为 a ,? 6 分由 ? a 消去 y , ? 5a 2 ? 4 ? x 2 ? 16 ? a 2 ? 1? x ? ? a 2 ? 1??16 ? a 2 ? ? 0
2 2



.(*) 7 分

若直线 MA 交直线 x ? 4 于点 P , 过 P 作直线 MB 的垂线交 x 轴于点 Q , 求 Q 的坐标; (Ⅲ) 求点 P 在直线 MB 上射影的轨迹方程.

x2 y 2 ? ?1 3 【解析】(Ⅰ)由题意知 c ? 1, a ? 2 ,故椭圆方程为 4 ......3 分 MN AN y x?2 6y ? ? z? M ( x , y ) P (4, z ) AD ,得 z 6 ,故 x?2. (Ⅱ)设 , 则由图知 PD 6y x ? 2 ? y ? ?1 6 y2 x0 ? 4 ? 2 x ?4. 设 Q( x0 , 0) ,由 PQ ? MB 得: 4 ? x0 x ? 2 , 4 1 1 x2 ? 4 ? y 2 x0 ? ? Q(? , 0) 3 ,化简得 2 ,即 2 又 M 在椭圆上,故 ....8 分 QH ? HB (Ⅲ)点 P 在直线 MB 上射影即 PQ 与 MB 的交点 H,由 得 ?HQB 为直角三角
形,设 E 为 QB 中点,则

HE

1 5 3 E ( , 0) QB =2 =4, 4 ,因此 H 点的轨迹方程为

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x2 ? ?2 x1 .
由点 令y?0 及x ?0得

M ( x1 ,

x12 x2 x ), N (?2 x1 , x12 ) y ? 1 ? ? 1 ( x ? x1 ) 4 4 4 知直线 MN 的方程为 .分别在其中 x12 ) 2 .5 分将 B, M , N 的坐标代入 OB ? ? OM ? ? ON 中得

A(2 x1 , 0), B(0,

?0 ? ? x1 ? ? (?2 x1 ) ? 2 ?? ? 2 ? ? x1 x12 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ? x ? ? ,? ? . ? 1 ? ? 4 ? ? 2 ? 2 4 3 3 8分 ,即 ? ,7 分所以

x12 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) M ( x , ) 1 2 b2 4 代入, (Ⅱ)设椭圆 C2 的方程为 a ,将 A(2 x1 , 0) , 4 x12 x12 x14 x14 2 2 2 ? 1, ? ? 1 a ? 4 x , b ? 2 1 2 a 2 16b 2 12 , 由 a 2 ? b 2 得 0 ? x1 ? 48 . 10 得 a ,9 分解得
分 椭圆 C2 的焦距

2c ? 2 a 2 ? b 2 ?

3 3 x12 ? (48 ? x12 ) x12 (48 ? x12 ) ? ? ?8 3 3 3 2

3 3 3 x12 (48 ? x12 ) ? ?( x12 ? 24) 2 ? 242 ? ? 24 ? 8 3 3 3 (或 3 ) ??? 12 分 2 2 2 (2c) max ? 8 3 , ? 13 分 当且仅当 x1 ? 48 ? x1 , x1 ? 24 ? 48 时,上式取等号, 故

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x2 y 2 ? ? 1. 此时椭圆 C2 的方程为 96 48 14 分
13、 已知点 P 是圆 F1: 点 F2 与点 F1 关于原点对称. 线 ( x ? 3 ) 2 ? y 2 ? 16 上任意一点, 段 PF2 的中垂线与 PF1 交于 M 点.(Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程;(Ⅱ)设轨迹 C 与 x 轴的两 个左右交点分别为 A,B,点 K 是轨迹 C 上异于 A,B 的任意一点,KH⊥x 轴,H 为垂足, 延长 HK 到点 Q 使得 HK=KQ,连结 AQ 延长交过 B 且垂直于 x 轴的直线 l 于点 D,N 为 DB 的 中点.试判断直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系. 【解析】(Ⅰ)由题意得, F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0

?

(1 分)

圆 F1 的半径为 4,且 | MF2 |?| MP | (2 分) 从而 | MF1 | ? | MF2 |?| MF1 | ? | MP |? 4 ?| F1 F2 |? 2 3 (3 分) ∴ 点 M 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点的椭圆,其中长轴
2a ? 4 ,焦距 2c ? 2 3 ,则短半轴 b ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 3 ? 1 (4 x2 分)椭圆方程为: ? y 2 ? 1 (5 分) 4 x0 2 ? y0 2 ? 1 K ? x0 , y0 ? (Ⅱ)设 ,则 4 .∵ HK ? KQ ,∴

Q ? x0 , 2 y0 ?

(6 分) Q ∴ 点在以 O 为圆心,2 为半径的的圆上.即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上.(7 分) 又
A ? ?2,0 ?

.∴

OQ ? x0 2 ? ? 2 y0 2 ? ? 2

,∴直线 AQ 的方程为

y?

? 8 y0 ? 2 y0 D ? 2, ? x ? 2? ? x0 ? 2 .(8 分)令 x ? 2 ,得 ? x0 ? 2 ?

(9

分)
? 4 y0 ? N ? 2, ? B 2,0 又 ? ? , N 为 DB 的中点,∴ ? x0 ? 2 ? (10 分)∴ OQ ? ? x0 , 2 y0 ? ,
? 2x y ? NQ ? ? x0 ? 2, 0 0 ? x0 ? 2 ? (11 分) ?



x0 ? 4 ? x0 2 ? 2 x0 y0 4 x0 y0 2 OQ ? NQ ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 2 y0 ? ? x0 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

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(Ⅱ) 由题意可知, 直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m (m≠0) , 2 2 2 2 A(x1,y1),B(x2,y2),由消去 y 并整理,得(1+k )x +2kmx+m -a =0, 则△=4k2m2-4(1+k2)(m2-a2)=4(k2a2+a2-m2)>0,且 x1+x2=,x1x2=. 2 2 ∴y1 y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m .∵直线 OA,AB,OB 的斜率依次成 2 2 2 等比数列,∴?==k ,即+m =0,又 m≠0,∴k =1,即 k=±1. 设点 O 到直线 l 的距离为 d,则 d=,∴S△OAB=|AB|d=|x1-x2 |? 2 2 2 2 =|x1-x2 ||m|=.由直线 OA,OB 的斜率存在,且△>0,得 0<m <2a 且 m ≠a , ∴0<<=a2.故△OAB 面积的取值范围为(0,a2).?(10 分) (Ⅲ)对椭圆Γ 而言,有如下类似的命题:“设不过原点 O 的直线 l 与椭圆Γ 交于 A, B 两点, 若直线 OA, AB, OB 的斜率依次成等比数列, 则△OAB 面积的取值范围为 (0, ab) . ” ?? (13 分)

x2 y 2 ? 2 ?1 2 (a ? b ? 0) 的左右焦点, M , N 分别为其左右 b 15、已知 F1 , F2 分别为椭圆 a
顶 点, 过 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点. 当直线 l 与 x 轴垂直时, 四边形 AMBN 的 面积等于 2, 且满足

MF2 ? 2 AB ? F2 N

.⑴求此椭圆的方程; ⑵当直线 l 绕着焦点 F2 旋

转但不与 x 轴重合时,求 AM ? AN ? BM ? BN 的取值范围. 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识. 1 2b 2 S AMBN ? ? 2a ? ?2 2 a 【解析】⑴当直线 l 与 x 轴垂直时,由 ,得 b ? 1 . 又
MF2 ? 2 AB ? F2 N

,所以

a?c ? 2?

2b 2 ?a?c 2 2 a ,即 ac ? 2 ,又 a ? c ? 1 ,

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x2 ? y2 ? 1 a ? 2 2 解得 . 因此该椭圆的方程为 . (4 分) ⑵设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,而 M (? 2, 0), N ( 2, 0) ,所以 AM ? (? 2 ? x1 , ? y1 ) ,
AN ? ( 2 ? x1 , ? y1 ) ,
BM ? (? 2 ? x2 , ? y2 ) , BN ? ( 2 ? x2 , ? y2 ) .从而有

AM ? AN ? BM ? BN ? (? 2 ? x1 )( 2 ? x1 ) ? y12 ? (? 2 ? x2 )( 2 ? x2 ) ? y2 2
2 2 ? x12 ? x2 ? y12 ? y2 ? 4 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 ? 4 . (6 分) 因为直线 l 过椭圆的焦点 (1, 0) ,所以可以设直线 l 的方程为 x ? ty ? 1 (t ? R ) ,则由

? x2 2 ? ? y ?1 ?2 ?2t ?1 y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ? 2 2 2 ? x ? ty ? 1 ? t ?2, t ?2 . 消去 x 并整理, 得 (t ? 2) y ? 2ty ? 1 ? 0 , 所以
(8 分)

2 ? 2t 2 4 x x ? ( ty ? 1)( ty ? 1) ? 1 2 1 2 t 2 ? 2 ,可得 t2 ? 2 , 进而 4 2 2 ? 2t 2 ?2t 2 ?1 8 6 ? 2 AM ? AN ? BM ? BN ? ( 2 ) ? 2( 2 )?( 2 ) ? 2( 2 )?4 ? 2 2 (t ? 2) t ? 2 . (10 分) t ?2 t ?2 t ?2 t ?2 8 6 1 3 9 AM ? AN ? BM ? BN ? 2 ? ? 8( ? ) 2 ? 2 m m m 8 8 ,而 令 t ? 2 ? m ,则 m ? 2 . 从而有
x1 ? x2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 2 ?

0?

1 1 ? m 2,

9 [? , 0) 所以可以求得 AM ? AN ? BM ? BN 的取值范围是 8 .(12 分)

x2 ? y2 ? 1 2 F2 分别是椭圆 C 1 :a 16、 已知 F1 、
的左、右焦点,

x2 y2 ? ?1 2 2 M、N 分别是双曲线 C 2 : a 的左、
右焦点, 过 N 作双曲线渐进线的垂线,垂足为 P, 若 PF 2 ⊥x 轴(1)椭圆 C 1 与双曲线 C 2 的方 程; (2) 分别过 F 2 和 N 作两条平行线 l1 、l 2 ,l1

1 ? ? 交椭圆于 A、B, l 2 交双曲线右支于 D、E,问:是否存在 ? ? R ,使得 | AB | | DE | 为定
值,若不存在,说明理由。 解:(1)可求出 a2=2

x2 x2 y2 ? y 2 ? 1, ? ?1 2 2 ∴两种曲线的方程分别为 2

第 40 页 共 44 页

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 (2)若 L1,L2 不垂直于 x 轴,设其斜率为 k,则 ? 2
可求出 AB ?

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 ?x ? y ? 2

2(1 ? k 2 ) 2 1 ? 2k 2 2 ? 2(1 ? k 2 ) 3 2 1 DE ? ?? ? ? 2 k ?1 2 , 定值为 8 当 L1,L2 与 x 轴垂直时

1 1 3 2 ? ? AB 2 DE 8
3 2 1 2 , 定值为 8 2 17、如图,过点 D(0, ?2) 作抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的切线 l ,切点 A 在第二象限.(1)
? 存在 ? ? ?

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 求切点 A 的纵坐标;(2)若离心率为 2 的椭圆 a 恰好经过切点 A, 设切线 l 交椭圆的另一点为 B,记切线 l 、OA、OB 的斜率分别为 k , k1 , k 2 , 若k1 ? 2k 2 ? 4k ,
求椭

(2)由(1)得 由

A(?2 p ,2) ,切线斜率

k??

2 p ,设 B( x1 , y1 ) ,切线方程为 y ? kx ? 2 ,

e?

3 2 ,

x2 y2 ? 2 ?1 2 2 2 A(?2 p ,2) , ?b2 ? p ? 4 . b 得 a ? 4b . ?7 分所以椭圆方程为 4b , 且过 ?
9分

第 41 页 共 44 页

16k ? x0 ? x1 ? ? ? 1 ? 4k 2 ? ? ? y ? kx ? 2 2 2 2 16 ? 4b 2 ? ? ( 1 ? 4 k ) x ? 16 kx ? 16 ? 4 b ? 0 ? 2 x x ? ? 0 1 1 ? 4k 2 x ? 4 y 2 ? 4b 2 由? , ? ,?11


x2 y2 ? ?1 144 36 ?15 分
18、已知曲线

C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0, x ? 0)和曲线C2:x 2 ? y 2 ? r 2 ( x ? 0) a 2 b2 都过点

3 A(0,-1),且曲线 C1 所在的圆锥曲线的离心率为 2 .(Ⅰ)求曲线 C1 和曲线 C2 的方
程; (Ⅱ)设点 B,C 分别在曲线 C1 , C 2 上, k1 , k 2 分别为直线 AB,AC 的斜率, 当 k2 ? 4k1 时,问直线 BC 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说 明理由.

第 42 页 共 44 页

y?

,即 19、在Δ ABC 中,顶点 A,B, C 所对三边分别是 a,b,c 已知 B(-1, 0), C(1, 0),且 b,a, c 成等差数列.(I )求顶点 A 的轨迹方程;(II) 设顶点 A 的轨迹与直线 y=kx+m 相交于不 同的两点 M、N,如果存在过点 P(0,- )的直线 l,使得点 M、N 关于 l 对称,求实数 m 的取 值范围.
? a ? 2, ? 【解析】(I)由题知 ?b ? c ? 2a, 得 b+c=4,即|AC|+|AB|=4(定值).由椭圆定义知,

4k12 ? 1 8k1 ? 1 ? ?? ?x? 2 ? 2 4k1 ? 1 4k1 ? 4k1 ? 1 ?

y??

1 x ?1 4k1 .?12 分故 BC 过定点 ? 0,1? .?13 分

顶点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆(除去左右顶点),且其长半轴长为 2,半焦距为 1, x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 3 于是短半轴长为 3 .∴ 顶点 A 的轨迹方程为 4 .?4 分

? y ? kx ? m, ? 2 2 (II)由 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0, 消去 y 整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0. 2 2 2 ∴Δ =(8km) -4(3+4k )?4(m -3)>0,整理得:4k2>m2-3.①令 M(x1,y1),N(x2,y2), 8km ? x1 ? x2 ? ? , ? 3 ? 4k 2 ? ? 2 ? x x ? 4(m ? 3) , ? 1 2 3 ? 4k 2 则?
设 MN 的中点 P(x0,y0),则
x0 ? 1 4km ( x1 ? x2 ) ? ? , 2 3 ? 4k 2

第 43 页 共 44 页

1 1 3m ( y1 ? y2 ) ? (kx1 ? m ? kx2 ? m) ? m ? kx0 ? 2 2 3 ? 4k 2 ,??7 分 0) ? (0, 3 ) .???8 分 i)当 k=0 时,由题知, m ? (? 3, y0 ?
ii)当 k≠0 时,直线 l 方程为 3m 1 4m ? ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ,得 2m=3+4k2.②
2

y?

1 1 ?? x 2 k ,由 P(x0,y0)在直线 l 上,得

把②式代入①中可得 2m-3>m -3,解得 0<m<2.又由②得 2m-3=4k >0,解得
3 ?m?2 2 .

2

m?

3 2 .∴

验证:当(-2,0)在 y=kx+m 上时,得 m=2k 代入②得 4k2-4k+3=0,k 无解.即 y=kx+m 3 ,2 不会过椭圆左顶点.同理可验证 y=kx+m 不过右顶点. ∴ m 的取值范围为( 2 ). ???? 11 分 综上,当 k=0 时,m 的取值范围为 (? 3, 0) ? (0, 3 ) ;当 k≠0 时,m 的取值范围为

3 ,2 (2 ).?12 分
20、已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O ,且恰好与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切. (Ⅰ) 求 圆的标准方程;(Ⅱ)设 点 A 为 圆 上 一 动 点 , AN ? x 轴 于 N , 若 动 点 Q 满 足

OQ ? mOA ? ( 1 ? m)ON ,(其中 m 为非零常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C2 ; (Ⅲ) 在 (Ⅱ)
的结论下,当

m?

3 2 时, 得到曲线 C ,与 l1 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B 、 D 两点,求

?OBD 面积的最大值.
【解析】(Ⅰ)设圆的半径为 r ,圆心到直线 1 距离为 d , 则
2 2 方程为 x ? y ? 4

l

d?

| ?2 2 | 12 ? 12

?2
2 分圆

C1 的

(Ⅱ)设动点 Q( x, y ) ,

A( x0, y0 ) AN ? x , 轴于 N , N ( x0 , 0)

? x ? x0 ? y ? my0 ( x , y ) ? m ( x , y ) ? (1 ? m )( x , 0) 0 0 0 由题意, ,所以 ?
? x0 ? x ? ? 1 x2 y2 1 y ? y ? ?1 A( x, y ) 2 2 ? 0 m m 代入 x ? y ? 4 ,得 4 4m 2 即: ? ,将

5分

7分

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