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5.3诱导公式与三角恒等式(一)


5.3 诱导公式与三角恒等式(一) 诱导公式与三角恒等式( 与三角恒等式
教学目标 1、掌握诱导公式及其应用 2、掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学重点与难点 教学重点与难点 重点: 重点:掌握利用诱导公式及三角公式进行化简,求值与证明等问题。 难点: 难点:通过审题分析已知条件和待求结论之间差异,灵活应用所学公式进行求值证明。 教学过程 一、知识梳理 1、诱导公式( k ∈ z ) 诱导公式( 角 函数

正弦

余弦

记忆口诀

2kπ + α π +α ?α π ?α 2π ? α

π

sin α - sin α - sin α sin α - sin α

cos α - cos α cos α - cos α cos α
sin α
- sin α - sin α 奇变偶不变 符号看象限

2



cos α cos α
- cos α - cos α

+α 2 3π ?α 2 3π +α 2

π

sin α

【注】诱导公式解决常见题型: 诱导公式解决常见题型: 求值:已知一个角的某个三角函数,求这个角其他三角函数; (A)求值:已知一个角的某个三角函数,求这个角其他三角函数; 化简:要求是能求值则求值,次数、种类尽量少,尽量化去根式,尽可能不含分母. (B)化简:要求是能求值则求值,次数、种类尽量少,尽量化去根式,尽可能不含分母. 具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角” 求值、化简. ”→“正角化锐角 具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值、化简. 2、两角和与差的三角函数公式

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; tan(α ± β ) =

tan α ± tan β 。 1 ? tan α tan β

二、典型例题 【考点 1:诱导公式的应用】 诱导公式的应用】 例 1、已知 tan θ = 2 ,则

sin(

π π
2 2

+ θ ) ? cos(π ? θ ) ? θ ) ? sin(π ? θ )

=(



sin(

【设计意图】——考察诱导公式及同角三角比的关系

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sin(
【解】

π π
2 2

+ θ ) ? cos(π ? θ ) ? θ ) ? sin(π ? θ )

=

sin(
【变题 1】

2 cos θ 2 = = ?2 cos θ ? sin θ 1 ? tan θ

若 cos(2π ? α ) = 【变题 2】

π 5 且 α ∈ (? ,0) ,则 sin(π ? α ) = _________。 2 3
sin(?α ?

3π 3π ) sin( ? α ) tan 2 α 2 2 2 已知 cos α 是方程 5 x ? 7 x ? 6 = 0 的根,求 的值。 π π 2 cos( ? α ) cos( + α ) cot (π ? α ) 2 2
由题意得 cos α =

【变题 1 解】

π 2 5 且 α ∈ (? ,0) ,所以 sin(π ? α ) = sin α = ? 。 2 3 3
3 3 ? cos α = ? , 5 5

【变题 2 解】 由 5x ? 7 x ? 6 = 0 得 x = 2 或 x = ?
2

3π 3π ) sin( ? α ) tan 2 α cos α (? cos α ) tan 2 α 1 16 2 2 ∴ = = tan 2 α = ?1 = 2 2 π π 9 sin α (? sin α ) cot α cos α cos( ? α ) cos( + α ) cot 2 (π ? α ) 2 2 sin(?α ? 4n ? 1 4n + 1 π ? α ) + cos( π ? α ) (n ∈ z ) 4 4 1 1 【解法 1】原式 = sin( nπ ? π ? α ) + cos( nπ + π ? α ) 4 4 1 1 0 1 当 n = 2k ( k ∈ Z ) 时,原式 = ? sin( π + α ) + cos( π ? α ) = 0 ; 4 4 1 1 0 2 当 n = 2k + 1(k ∈ Z ) 时,原式 = sin( π + α ) ? cos( π ? α ) = 0 4 4 4n ? 1 4n + 1 综上: sin( π ? α ) + cos( π ?α) = 0 4 4
【解法 2】∵ ?

例 2、化简: sin(

? 4n + 1 ? ? 4n ? 1 ? π π ?α ? ? ? π ?α ? = , ? 4 ? ? 4 ? 2 ? π ? 4n ? 1 ? 4n ? 1 ? ?? 原式 = sin ? π ? α ? + cos ? + ? π ? α ?? ? 4 ? ?? ?2 ? 4

? 4n ? 1 ? ? 4n ? 1 ? = sin ? π ? α ? ? sin? π ?α ? = 0 。 ? 4 ? ? 4 ?

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两角和与差的三角函数公式的应用】 函数公式的应用 【考点 2:两角和与差的三角函数公式的应用】 例 3、 若 α ∈ (

π
2

, π ) ,且 sin α =

4 π 2 ,则 sin(α ? ) ? cos α = 5 4 2



【设计意图】——考察两角公式与同角三角比的综合使用。 【解】由 α ∈ (

4 3 得 cos α = ? , 2 5 5 π 2 2 2 ∴ sin(α ? ) ? cos α = ( sin α ? cos α ) ? cos α 4 2 2 2 2 = sin α ? 2 cos α = 2 。 2 , π ) ,且 sin α =

π

1 3 ?π ? , sin β = , β ∈ ? , π ? ,求 tan (2α ? β ) 的值. 2 5 ?2 ? π? 1 π? 1 ? ? π 【变题 2】已知 tan ? α + β + ? = , tan ? β ? ? = ? ,则 tan ? α + ? = ? ? 6? 2 6? 3 3? ? ? ?
【变题 1】已知 tan(π ? α ) = 【变题 1 解】

1 4 2 3 3 3 ?π ? 由 sin β = , β ∈? , π ? ? tan β = ? , 5 4 ?2 ? tan 2α ? tan β 7 所以 tan (2α ? β ) = =? . 1 + tan 2α ? tan β 24
由题意得: tanα = ? ? tan 2α = ? , 【变题 2 解】

π? π? ? ? tan ? α + β + ? ? tan ? β ? ? π? π? ? π ?? ?? 6? 6? ? ? ? tan ? α + ? = tan ?? α + β + ? ? ? β ? ? ? = =1 π? ? π? 3? 6? ? 6 ?? ? ? ?? 1 + tan ? α + β + ? tan ? β ? ? 6? 6? ? ?
3 ? ?cos α + sin β = 5 ? ,求 sin(α + β) 的值。 例 4、已知 ? ?sin α + cos β = 4 ? 5 ?
【设计意图】——考察两角公式的逆向使用,变形使用。

3 ? ?cos α + sin β = 5 (1) ? 【解】∵ ? ?sin α + cos β = 4 (2) ? 5 ? 2 2 ∴ (1) + (2) 得: 2 + 2(sin β cos α + cos β sin α ) = 1 ,即 2 + 2 sin(α + β) = 1 , 1 ∴ sin(α + β) = ? 。 2

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江苏卷· 例 5、 2008 江苏卷·15 题) ( 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 α , β ,它们的终边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横

2 2 5 。 , 10 5 (1)求 tan(α + β ) 的值; (2) 求 α + 2 β 的值。
坐标分别为 【设计意图】——考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。 【解】由条件得 cos α =

2 2 5 , , cos β = 10 5 7 2 5 ∵α 为锐角,故 sin α > 0且 sin α = 。同理可得 sin β = , 10 5 1 因此 tan α = 7, tan β = 。 2 1 7+ tan α + tan β 2 =-3 。 (1) tan(α + β ) = = 1 ? tan α tan β 1 ? 7 × 1 2 1 ?3 + 2 =-1 , (2) tan(α + 2 β ) = tan[(α + β ) + β ] = 1 1 ? (?3) × 2 π π 3π 3π ,从而 α + 2 β = 。 ∵ 0 < α < , 0 < β < , ∴ 0 < α + 2β < 2 2 2 4
三、课时小结 1、数学知识: (1)诱导公式——奇变偶不变,符号看象限 (2)两角和与差的三角函数公式 2、数学思想方法:转化

四、作业布置 1、 【学习拓展】 2、 【复习点要】P69-71

五、课后反思 本堂课所复习的是如何处理“不同角”问题,包含两种类型: 本堂课所复习的是如何处理“不同角”问题,包含两种类型: 类型 1:角与角之间相差 :

π 的整数倍,可利用诱导公式转化为同角三角比问题; 的整数倍,可利用诱导公式转化为同角三角比问题; 2

加以解决。 类型 2:角与角之间可转化为两角问题,利用两角和与差的三角函数公式加以解决。 :角与角之间可转化为两角问题,利用两角和与差的三角函数公式加以解决 本节课的难点就是让学生体会如何处理好角与角的关系。 本节课的难点就是让学生体会如何处理好角与角的关系。
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