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江苏省启东中学2015~2016学年度第一学期第一次阶段测试


江苏省启东中学 2015~2016 学年度第一学期第一次阶段测试 高三数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合 A ? ?1, 2, 4? , B ? ?x | ( x ? 1)( x ? 3)≤0? ,则 A ? B ? 2.命题“ ?x ? [0, ??) , x 2 ? 3 ”的否定是 . . .

/>3.在 3 和 243 中间插入 3 个实数 a1 , a 2 , a3 ,使这 5 个数成等比数列,则 a2 ? 4.已知 sin ? ? cos ? ? ?

7 π , ? ? (? ,0) ,则 tan? ? 13 2

. .

5.函数 f ( x) ? ln x ? 2x ? 3 在区间 (1, 2) 上的零点个数为

6 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 3 的 值 域 为 [ 2 ,?? ), 则 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 . .

3] 上的最大值与最小值之和是 7.函数 f ( x) ? 8 ? 12 x ? x3 在区间 [?3,

8 . 等 差 数 列 ?an ? 的 前 m 项 的 和 为 30 , 前 2 m 项 的 和 为 100 , 求 它 的 前 3m 项 的 和 为 .

9.若 ? 、 ? 均为锐角,且 cos ? ?

1 47 , cos(? ? ? ) ? ? ,则 cos ? ? 17 51


x

10.函数 y ? f ?x ? 是 R 上的奇函数,满足 f ?3 ? x ? ? f ?3 ? x ? ,当 x ? (0,3) 时, f ?x ? ? 2 , 则
f (?5) ?



11.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成”函数,给出下列 函数: ⑴ f1 ( x) ? sin x ? cos x ; ⑵ f2 ( x) ? 2 sin x ? 2 ; ⑶ f3 ( x) ? 2(sin x ? cos x) ; ⑷ f 4 ( x) ? sin x ;

x x x ⑸ f5 ( x) ? 2cos (sin ? cos ) ,其中“互为生成”函数的有 2 2 2

. (请填写序号)

??? ? ???? ???? ???? ??? ?2 12.已知 ?ABC 是单位圆 O 的内接三角形, AD 是圆的直径,若满足 AB ? AD ? AC ? AD ? BC , ??? ? 则 | BC |?
. . .

1 13.已知直线 l 与曲线 y ? ? 和曲线 y ? ln x 均相切,则这样的直线 l 的条数为 x 2014 1 14.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ?1 ? an ? , n ? N* ,则 ? k (a2015 ? ak ) ? n ?1 k ?1
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? ?x || 2 x ? 1|? 3? , B ? x | x2 ? (a ? 2) x ? 2a≤0 . ⑴若 a ? 1 ,求 A ? B ; ⑵若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

?

?

16.(本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,满足 ⑴求角 A 的值; ⑵若 a , c , b 成等差数列,试判断 ?ABC 的形状.

b ? a sin B ? sin C . ? c sin B ? sin A

17.(本小题满分 14 分) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 已知向量 a ,b ,c 满足 a ? b ? c ? 0 , 且 a 与 b 的夹角等于 150? ,b 与 c 的夹角等于 120? , ? ? ? | c |? 2 ,求 | a | , | b | .

18.(本小题满分 16 分) 设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, S 3 , S9 , S6 成等差数列. ⑴设此等比数列的公比为 q ,求 q 3 的值; ⑵问:数列中是否存在不同的三项 am , a n , ap 成等差数列?若存在,求出 m , n , p 满 足的条件;若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分 16 分)
2 已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足: Sn?1 ? kan ? tan ? 1, n≥2, n ? N* (其

中 k , t 为常数). ⑴若 k ?

1 1 , t ? ,数列 ?an ? 是等差数列,求 a1 的值; 2 4

⑵若数列 ?an ? 是等比数列,求证: k ? t .

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x)=e x (其中 e 是自然对数的底数), g ( x) ? x2 ? ax ? 1 , a ? R . ⑴记函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 a ? 0 时,求 F ( x) 的单调区间; ⑵若对于任意的 x1 , x2 ? [0, 2] , x1 ? x2 ,均有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,求实 数 a 的取值范围.

江苏省启东中学 2015~2016 学年度第一学期第一次阶段测试 高三数学试题参考答案
一、填空题 1. ?1, 2? ; 5.1; 2. ?x ? [0, ??) , x 2 ≤3 ; 6. [?1, ??) ( (?1, ??) 也对) ; 10. ?2 ; 11.⑴⑵⑸; 3.27; 7.16; 12.2; 4. ?

12 ; 5

8.210; 13.1; 14.2029105/2.

1 9. ; 3
二、解答题

15.解:由题意知, A ? (?1, 2) ; ⑴当 a ? 1 时, B ? [1, 2] ,
? A ? B ? [1, 2) ;

…………………………………………………………

6分 ⑵? A ? B ? A , ? A ? B ; ①当 a ? 2 时,B ? ?2? , 不符合题意; 8分 ②当 a ? 2 时, B ? [a, 2] ,由 A ? B 得: a≤ ? 1 ; ……………………………………… 11 分 ③当 a ? 2 时, B ? [2, a] ,此时 A ? B ,不符合题意; 综上所述,实数 a 的取值范围为 (??, ?1] . 14 分 ………………………………………… …………………………………………………

16.解:⑴由正弦定理,得:

b?a b?c , ? c b?a
………………………………………………………

整理,得:a 2 ? b2 ? c2 ? bc , 4分

1 由余弦定理,得: cos A ? , 2

? A 是 ?ABC 的内角, ?A?
7分

π ; 3

………………………………………………………

⑵? a , c , b 成等差数列,? 2c ? a ? b ,

由⑴可知, a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,
?(2c ? b)2 ? b2 ? c2 ? bc ,整理,得: 3c 2 ? 3bc ? 0 ,…………………………………12

分 由 c ? 0 ,得 b ? c ,? a ? b ? c , ……………………………………………………………14 ? ?ABC 是等边三角形. 分 (注:本题第二小问可以用角的化简来处理)

? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? b ? ?c ? ?a 2 ? b 2 ? 2a ? b ? c 2 ? ? ? ? ? 17.解:由 a ? b ? c ? 0 得: ? ? ? ? ? ? 2 , ………………………5 ? ? ? ?2 ?2 ?b ? c ? ?a ? ?b ? c ? 2b ? c ? a ?


?2 ?2 ? ? ? ? ?| a | ? | b | ?2 | a || b | cos150 ? 4 ?? ? ? ?2 , 2 ? | b | ? 4 ? 2 ? 2 ? | b | cos120 ? | a | ? ?

? ? 解之,得:| a |? 2 3 ,| b |? 4 .

…………………………………………10

…………………………………………14



? ? (注:本题可先判断 a ? c ,或利用平行四边形法则或三角形法则来做)

18.解:⑴? S 3 , S9 , S6 成等差数列,? 2S9 ? S3 ? S6 ,? (S9 ? S6 ) ? (S9 ? S3 ) ? 0 , 即
(a7 ? a8 ? a9 ) ? (a7 ? a8 ? a9 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? 0 , …………………………………4 分

? 2q3 (a4 ? a5 ? a6 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? 0 ,

…………………………………………6 分

? a4 ? a5 ? a6 ? a4 (1 ? q ? q2 ) ? 0 , ? q3 ? ?

1 ; ……………………………………… 2

8分 ⑵存在不同的三项 a1 , a 7 , a 4 成等差数列. ……………………………………… 10 分

1 1 ? a7 ? a1q6 ? a1 , a4 ? a1q3 ? ? a1 ,? 2a7 ? a1 ? a4 ;…………………………… 4 2
12 分

一般地,当 n ? m ? 6 ,且 p ? m ? 3 时,有 am , a n , ap 成等差数列. ………… 16 分 (注:若利用等比数列求和公式,则必须讨论公比 q 是否等于 1,不讨论者扣 3 分)

1 1 2 19.解:⑴由题意知, Sn?1 ? an ? an ?1 2 4 1 1 2 ? Sn ? an?1 ? an ?1 ? 1 , 2 4

(*) ,

1 1 1 2 1 2 两式相减, 得:an ? an?1 ? an ? an an (n≥2) , ?1 ? 2 2 4 4
2分 整理,得: (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 2) ? 0 (n≥2) ,
? an ? 0 ,? an?1 ? an ? 2 (n≥2) ,

…………………………

…………………………………………

4分

? 数列 ?an ? 是等差数列,? a2 ? a1 ? 2 ,
6分

…………………………………………

1 1 2 由 (*) 得: a1 ? a2 ? a2 ? 1 ,? a1 ? 1 ? 5 , 2 4
? a1 ? 0 ,a1 ? 1 ? 5 ;

……………………………………………………

8分
2 2 ⑵由 Sn?1 ? kan ? tan ? 1 得 Sn ? kan?1 ? tan ?1 ? 1 ,

2 2 两式相减,得: an ? kan?1 ? kan ? tan ?1 ? tan (n≥2) ,

………………………………

10 分
2 2 设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,? an ? kqan ? kan ? tq2 an , ? tan

?t (q2 ? 1)an ? kq ? k ? 1(n≥2) ,由已知,可知 q ? 0 ,…………………………………

12 分

? q ? 1 , ?an ? 不是常数列,? t ? 0 ;
14 分

………………………………………

? Sn?1 ? kan ? ?1 ,而 an ? 0 且 Sn ?1 ? 0 ,? k ? 0 ,
?k ? t .

………………………………………………………………………………

16 分

20.解:⑴ F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ( x2 ? ax ? 1) ,? F ?( x) ? e x ( x ? 1)( x ? a+1) ? 0 , 得 x ? ?1 或 x ? ? a ? 1 , ……………………………………………………………2 分 列表如下: ( a ? 0 , ? ?1 ? a ? ? 1 )

x
F ?( x ) F ( x)

(??, ?1 ? a)

?1 ? a 0

(?1 ? a, ?1)
?
?

?1
0

(?1 ? a, ??)

?
?

?
?

极大值

极小值

… …………………………………………………………………………………4 分
? F ( x) 的单调增区间为:(??, ?1 ? a) ,(?1, ??) ,减区间为 (?1 ? a, ?1) ; ……………

6分 ⑵设 x1 ? x2 ,? f ( x) ? e x 是单调增函数,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ;………

8分 ①由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 得: f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) , 即函数 y ? f ( x) ? g ( x) ? ex ? x2 ? ax ? 1 在 [0, 2] 上单调递增,
? y? ? f ?( x) ? g ?( x) ? e x ? 2 x ? a≥0 在 [0, 2] 上恒成立,
? a≤e x ? 2 x 在 [0, 2] 上恒成立;

令 h( x) ? e x ? 2 x ,? h?( x) ? e x ? 2 ? 0 ? x ? ln 2 ,

? x ? [0,ln 2) 时, h?( x) ? 0 ; x ? (ln 2, 2] 时, h?( x) ? 0 ;
? h( x)min ? h(ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ,
? a≤2 ? 2 ln 2 ;

…………………………………………………………

12 分 ②由 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) 得: g ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) , 即函数 y ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? x2 ? ax ? 1 在 [0, 2] 上单调递增,
? y? ? f ?( x) ? g ?( x) ? e x ? 2 x ? a≥0 在 [0, 2] 上恒成立,
? a≥ ? e x ? 2 x 在 [0, 2] 上恒成立;

? 函数 y ? ?ex ? 2x 在 [0, 2] 上单调递减,? 当 x ? 0 时, ymax ? ?e0 ? 2 ? 0 ? ?1 ,
? a≥ -1 ,

综上所述,实数 a 的取值范围为 [?1, 2 ? 2ln 2] .………………………………………… 16 分


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