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2012高考数学广东(理科)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科 A 卷)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. 6 ? 5i

5 ? 6i ? i
C. ?6 ? 5i D. ?6 ? 5i

B. 6 ? 5i

3, 2.设集合 U ? {1, 2, 4,5,6} , M ? {1, 2, 4} 则 ? M ? U
A. U B. {1,3,5} C. {3,5,6} D. {2, 4, 6}

3.若向量 BA ? (2,3) , CA ? (4, 7) ,则 BC ? A. (?2, ?4) B. (3, 4) C. (6,10) D. (?6, ?10)

??? ?

??? ?

??? ?

4.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是 A. y ? ln( x ? 2) B y ? ? x ?1 C. y ? ( )

1 2

x

D. y ? x ?

1 x

?y ? 2 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3 D.-1

6.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 A. 12? B. 45? C. 57? D. 81?

7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为 0 的概率是 A.

4 9

B.

1 3

C.

2 9

D.

1 9
? ? ? ? ? ? ? ?? .若平面向量 a, b 满足 a ? b ? 0 , a 与 b 的夹 ? ??

8.对任意两个非零的平面向量 ? , ? ,定义 ? ? ? ?

角 ? ? ? 0,

? ?

??

? ? ?n ? ? ,且 ? ? ? 和 ? ? ? 都在集合 ? | n ? Z ? 中,则 a ? b ? 4? ?2 ?
B. 1 C.

A.

1 2

3 2

D.

5 2
第 1 页 共 4 页

二、填空题:本大题共 7 小题.考生 作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 | x ? 2 | ? | x |? 1 的解集为___________. 10. ( x 2 ? )6 的展开式中 x 的系数为__________. (用数字作答)
3

1 x

11.已知递增的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? ________.
2

12.曲线 y ? x ? x ? 3 在点 (1,3) 处的切线方程为__________.
3

13.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为_______.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中 xoy 中,曲线 C1 和曲线 C 2 的 参数方程分别为 ? 为 .

?x ? t ?y ? t

( t 为参数)和 ?

? x ? 2 cos? ? ? y ? 2 sin? ?

( ? 为参数) ,则曲线 C1 和曲线 C 2 的交点坐标

15. (几何证明选讲选做题)如图3,圆 O 的半径为1,A,B,C是圆上三点,且满足 ?ABC ? 30? ,过点A 做圆 O 的切线与OC的延长线交与点P,则PA= .

A

O
B

C

P

图3

第 2 页 共 4 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) (其中 ? ? 0, x ? R )的最小正周期为 10? . 6

(1) 求 ? 的值;
(2) 设 ? , ? ? ?0, ? ?, f (5? ? 5? ) ? ? 6 , f (5? ? 5? ) ? 16 ,求 cos( ? ? ) 的值. ? ? 2? 6 17 3 5 ? ?

17. (本小题满分 13 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是: [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的

数学期望.

18. (本小题满分 13 分) 如图 5 所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PA ? 平面 ABCD , E 在线段 PC 上,PC ? 点 平面 BDE . (1)证明: BD ? 平面 PAC ; (2)若 PA ? 1 , AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值.

第 3 页 共 4 页

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足 2Sn ? an ?1 ? 2 (1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有
n ?1

? 1 , n ? N * ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列.

1 1 1 3 ? ? ??? ? ? . a1 a2 an 2

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1) 求椭圆 C 的方程 (2) 在椭圆 C 上, 是否存在点 M (m, n) , 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点 A、 B,且 ?OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的 ?OAB 的面积;若不存在,请说明 理由.

2 x2 y 2 ,且椭圆 C 上的点到点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 3 a b



21. (本小题满分 14 分) 设 a ? 1 ,集合 A ? {x ? R x ? 0}, B ? {x ? R 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} , D ? A ? B . (1) 求集合 D(用区间表示) ; (2) 求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3(1 ? a) x 2 ? 6ax 在 D 内的极值点.

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