当前位置:首页 >> 高中教育 >> 选修2-1课件3.2.1立体几何中的向量方法(一)

选修2-1课件3.2.1立体几何中的向量方法(一)


前面,我们把

平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.

复习:

共线向量定理:
??? ? ? 对空间任意两个向量a、 b ? 0),// b的 ( b a ? ? 充要条件是存在实数?,使a=? b。

共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x,y,使 p=x a+yb。

思考1:
1、如何确定一个点在空间的位置?

2、在空间中给一个定点A和一个定方向(向量), 能确定一条直线在空间的位置吗?
3、给一个定点和两个定方向(向量),能确定一 个平面在空间的位置吗? 4、给一个定点和一个定方向(向量),能确定一 个平面在空间的位置吗?

一、点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中 uur u 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 uur u 向量OP称为点P的位置向量。
P

O

二、直线的向量参数方程
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.

l
P

P 对于直线l ??? 上的任一点 ? ??? ? t 存在实数 使得 AP ? t AB

,

a
B
A

此方程称为直线的向量参数方程。这 ? 样点A和向量 a 不仅可以确定直线 l的 位置,还可以具体写出l上的任意一点。

??? ??? ? ? ? OP ? OA ? ta , ??? ? ??? ??? ? ? OP ? xOA ? yOB (x ? y ? 1)

例1:已知两点( ,2, A 1 - 3),(2,- 3),求A,B连线与 B 1, 三坐标平面的交点。

分析: 设AB连线与yoz平面的交点为C 0,y1,z1), ( ??? ? ??? ??? ? ? 由OC ? 1 ? t) ? tOB得 ( OA

(0,y1,z1)( ? t) -2,3) ? t (2,1, -3) ? 1 (1, (0,y1,z1) (1 ? t,2 ? 3t,- 6t) ? 3
???? ? OC ? (0, 5, ? 9) 5 1 7 1 ( ,,),( , , 0) 0 3 3 4 4

练习:已知两点( , 3),(2,2),( ,2),点Q在 A 1 2, B 1, P 11, ??? ??? ? ? OP上运动,求当QA? 取得最小值时,点Q的坐标。 QB

???? ??? ? 设OQ ? ? OP ? (? , ? , 2? ),
??? ??? ? ? 2 ? QA? ? 6? ? 16? ? 10 QB ? ? 4 ??? ??? 2 ?当? ? 时, ? 取得最小值 ? 。 QA QB 3 3

4 4 8 此时Q ,,) ( 3 3 3

三、平面的法向量
空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相 交直线来确定. ? n 对于平面 ? 上的任一点 P , ? P b 存在有序实数对 ( x , y ) ,使得 ? ??? ? ? ? ? O a OP ? xa ? yb
置,还可以具体表示出 ? 内的任意一点。 除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向 量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.

?? 这样,点O与向量 a、 不仅可以确定平面?的位 b

? 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平? ? ? 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. ? 给定一点A和一个向量 n,那么 ? l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是 ? 完全确定的.
n
几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; ? 3.向量n 是平面的法向量,向 ?? 量m 是与平面平行或在平面 ? ?? 内,则有 n ? m ? 0

?

A

问题:如何求平面的法向量?
(1)设出平面的法向量为n ? ( x, y, z )
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的 向量的坐标a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

(3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 ?n ? a ? 0 方程组? ?n ? b ? 0
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量。

??? ? ???? 例2:已知 AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。
? 解:设平面的法向量为n ? x,y,z), (
? ??? ? ???? ? 则n ? AB, ? AC n ? x,y,z) 2,1) ? 0,(x,y,z) ( ?(2, ?(4,5,3) ? 0,

1 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? 即? , 取z ? 1,得 ? 2 ?4 x ? 5 y ? 3z ? 0 ? y ? ?1 ?
? 1 ? n ? ( , ?1,1), 2

1 2 2 ? 求平面ABC的单位法向量为 ? ( , ,) 3 3 3

? 3 | n |? 2

思考2:
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置,所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗? 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗?

四、平行关系: ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ?
? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; ? ? ? ? 线面平行 l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

? ? ? ? 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

? 设直线l的方向向量为a ? (a1 , b1 , c1 ), 平面?的 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 ? 法向量为u ??(a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内,面面平行包括面面重合. ? l // ? ? a ? u ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0;

五、垂直关系: ? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? 线线垂直 l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ; ? ? ? ? 线面垂直 l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; 面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.
? ? 若a ? (a1 , b1 , c1 ), u ? (a2 , b2 , c2 ),则 ? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ku ? a1 ? ka2 , b1 ? kb2 , c1 ? kc2 .

? ? a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 ? 0时,a // u ? ? ? a2 b2 c2

巩固性训练1
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行

巩固性训练2
1.设

u, v

分别是平面α,β的法向量,根据

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) (2)u ? (1,2,?2), v ? ( ?2,?4,4) (3)u ? ( 2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

垂直 平行

相交

巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= ;若 ? ? ? 则 k= 。 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= .

例3、用向量法证明:一条直线与一个平面内两条相 交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 已知:直线m,n是平面 ?内的任意两条相交直线, 且 l ? m, l ? n. 求证: ? ? . l ? ? ? 解:设直线l , m, n的方向向量分别为a, b, c.
? ? ? ? ? l ? m, l ? n,? a ? b, a ? b ? 0.

? ? ??内任一向量 p可以表示为如下形式: ? ? ? ? p ? xb ? yc, x, y ? R. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? p ? a ? ( xb ? yc) ? xa ? b ? ya ? c ? 0,

? m, n ? ? , 且m, n相交,

? ? 同理a ? c ? 0.

?l与?内的任一直线垂直.即l ? ? .

a?b 两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ? ? ; 2 a b ? ? a?u ? ? ? 直线l 与平面 所成的角为 (0 ≤ ? ≤ ), sin ? ? ? ? ; 2 a u ? ? u?v 二面角 ? ─l ─ ? 的大小为 ? ( 0 ≤? ≤ ? ), cos ? ? ? ? . u v

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ?
?

六、夹角:

以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.

l

m

? a ? b
? ? ? ? l // m ? a // b ? a ? ?b

? a

? u

l

?
? ? ? ? l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0

? u
?
?

? v

? ? ? ? ? // ? ? u // v ? u ? ?v

l

? a ? b

m

? ? ? ? l ? m ? a ? b ? a?b ? 0

l

? a
?

? u

? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ?u

? u
?

? v
?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u? v ? 0

l

l

? a

? ? b

m

? ? a b ?

m

? ? |a?b | l, m的夹角为 , ? ? ? ? ? cos | a || b |

? ? a u
?

l

? a
?

l

?

?

? ? ? |a?u| l , ?的夹角为 , ? cos( ? ? ) ? ? ? 2 | a || u |

? u

? u ? v
?

?

?

? ? | u?v | ? , ?的夹角为 , cos ? ? ? ? ? | u || v |

? u

?

? v

?

?

? ? | u?v | ? , ?的夹角为 , ? ? ? ? ? cos | u || v |


更多相关文档:

选修2-1 3.2立体几何中的向量方法(一)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...选修2-1 3.2立体几何中的向量方法(一)_数学_高中教育_教育专区。选修 2-1...

选修2-1 3.2立体几何中的向量方法(二)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...选修2-1 3.2 立体几何中的向量方法(二) 一、选择题 1、如图所示,在正方体...

选修2-1 3.2立体几何中的向量方法教案

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...选修2-1 3.2立体几何中的向量方法教案_高一数学_...这一节,我们将全面地探究向量在立体几何中的运用,...

选修2-1-第三章-立体几何中的向量方法(2)

选修2-1-第三章-立体几何中的向量方法(2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。3.2 1. 空间向量与空间角的关系 立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离...

选修2—1 第三章 §3.2立体几何中的向量方法(3)

选修21 第三章 §3.2立体几何中的向量方法(3)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二数学 选修 21 第三章 § 3.2 立体几何中的向量方法(3) 班级 ...

选修2-1-第三章-立体几何中的向量方法(1)

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...选修2-1-第三章-立体几何中的向量方法(1)_高二数学...(3)根据运算 结果的几何意义来解释相关问题. 1....

选修2—1 第三章 §3.2立体几何中的向量方法(2)

搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...选修2—1 第三章 §3.2立体几何中的向量方法(2)_高二数学_数学_高中教育_...

选修2-1-3.2立体几何中的向量方法(导学案)

地探究向量在立体几何中的运用,较系统地总结出立体几何的 向量方法.为此,首先简单回顾一下相关的基本知识和方法: 1.直线 l 的方向向量的含义: 2.向量的特殊关系...

高中数学人教版选修2-1教学设计:§3.2立体几何中的向量方法(2)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...高中数学人教版选修2-1教学设计:§3.2立体几何中的向量方法(2)_数学_高中...
更多相关标签:
空间向量与立体几何 | 立体几何中的向量方法 | 向量法解立体几何 | 立体几何向量法 | 空间向量解决立体几何 | 用空间向量解立体几何 | 立体几何的向量方法 | 立体几何向量 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com