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2.3.1 变量间的相互关系


2.3.1 变量间的相互关系(一)

一、变量之间的相关关系 变量与变量之间的关系常见的有两类: 一类是确定性的函数关系,像正方形的边 长a和面积S的关系,另一类是变量间确实 存在关系,但又不具备函数关系所要求的 确定性,它们的关系是带有随机性的。 例如,由人的身高并不能确定体重,但 一般说来“身高者,体也重”,我们说身 高与体重这两个变量具有相关关系.

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也就是说:自变量取值一定时,因变 量的取值带有一定随机性的两个变量之 间的关系叫相关关系。 怎样判断两个变量有没有相关关系, 我们看下面的例子. 设某地10户家庭的年收入和年饮食支出 的统计资料如下表: (单位:万元)
年收入 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 饮食支出 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3

由表中数据可以看出,y有随x增加而 增加的趋势,并且增加的趋势变缓。 为了更清楚地看出x与y是否有相关关 系,我们以年收入x的取值为横坐标,把

年饮食支出y的相应取值作为纵坐标,在
直角坐标系中描点。这样的图形叫做散点

图。

y

x

从图中可以看出家庭年收入和年饮食 支出之间具有相关关系。 并且当年收入的值由小变大时,年饮 食支出的值也在由小变大。这种相关称

作正相关;反之如果一个变量的值由小
变大时,另一个变量的值由大变小,这

种相关称作负相关。

相关关系与函数关系的异同点 (1)相同点:两者均是指两个变量的关系; (2)不同点:函数关系是一种确定的关系, 如匀速直线运动中时间t与路程s的关系; 相关关系是一种非确定的关系,如一块 农田的水稻产量与施肥量之间的关系,事 实上,函数关系是两个非随机变量的关系, 而相关关系是非随机变量与随机变量的关 系。

函数关系是一种因果关系,而相关关系 不一定是因果关系,也可能是伴随关系。

例如,有人发现,对于在校儿童,鞋的 大小与阅读能力有很强的相关关系,然而 学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第 三个因素——年龄,当儿童长大一些以后, 他的阅读能力会提高,而且由于人长大脚 也变大。

如何分析变量之间是否具有相关的关系
分析变量之间是否具有相关的关系,我 们可以借助日常生活和工作经验对一些常 规问题来进行定性分析,如儿童的身高随 着年龄的增长而增长,但它们之间又不存 在一种确定的函数关系,因此它们之间是 一种非确定性的随机关系,即相关关系。 但仅凭这种定性分析不够;

一来定性分析有时会给我们以误导; 二来 定性分析无法确定变量之间相互影响的程度 有多大。因些,我们还需要进行定量分析。
如何进行定量分析呢?由于变量间的相 关关系是一种随机关系,因此,我们只能借 助统计这一工具来解决问题,也就是通过收 集大量数据,在对数据进行统计分析的基础 上,发现其中的规律,并对它们之间的关系 作出推断。

两个变量之间的相关关系有哪些?
从散点图上可以看出,如果变量之间存 在着某种关系,这些点会有一个集中的大 致趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的 曲线来近似描述,这种近似的过程称为曲 线拟合。在两个变量x和y的散点图中,所 有点看上去都在一条直线附近波动,则称 变量间是线性相关的。此时,我们可以用 一条直线来拟合(如图),这条直线叫回 归直线。

例2. 5个学生的数学和物理成绩如下表:
学生
学科 数学 物理 80 70 75 66 70 68 65 64 60 62

A

B

C

D

E

画出散点图,并判断它们是否有相关 关系.

物理

数学

具有相关关系.

例3. 下表给出了某校12名高一学生的身高 (单位:cm)和体重(单位:kg):
身 高 体 重 151 40 152 41 153 41 154 41.5 156 42 157 42.5 158 43 160 44 160 45 162 45 163 46 164 45.5

画出散点图,并观察它们是否有相关 关系.

体重

身高

具有相关关系.

例4. 某农场经过观测得到水稻产量和施 化肥量的统计数据如下:
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45

水稻产量y

330 345 365 405 445 450 455

画出的散点图 ,判断它们是否有相关关系, 并考虑水稻的产量会不会随化肥使用量的 增加而一直增长。

散点图如下:具有相关关系. y

x

水稻的产量不会随化肥使用量的增加而 一直增长。


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