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2013届高考数学压轴题预测:3、解析几何


高考数学压轴题预测 专题 3
考点一 曲线(轨迹)方程的求法

解析几何

1. 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )是椭圆

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的两点, x2 b2

满足 (

x1 y1 x y 3 , ) ? ( 2 , 2 ) ? 0 ,椭圆的离心率 e ? , 短轴长为 2,0 为坐标原点. 2 b a b a

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距) , ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 解析:本例(1)通过 e ?

3 , 2b ? 2 ,及 a, b, c 之间的关系可得椭圆的方程; (2)从方程入手, 2

通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理; (3)要注意特殊与一般的关系,分直线的斜率 存在与不存在讨论。

c a 2 ? b2 3 ? ? a ? 2.e ? 3 答案: (1) 2b ? 2.b ? 1, e ? ? a a 2
y2 ? x2 ? 1 椭圆的方程为 4
(2)设 AB 的方程为 y ? kx ? 3

?y ? kx? 3 ? 2 3k ?1 ? ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3k x ? 1 ? 0 x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ? 2 由 ? y2 2 k ?4 k ?4 ? ? x ?1 ?4
由已知

0? ?

x1 x2 y1 y 2 1 k2 3k 3 ? 2 ? x1 x 2 ? (kx1 ? 3 )( kx2 ? 3 ) ? (1 ? ) x1 x2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 4 4 4 4 b a

k2 ? 4 1 3k ? 2 3k 3 (? 2 )? ? 2 ? , 解得k ? ? 2 4 4 k ?4 k ?4 4
(3)当 A 为顶点时,B 必为顶点.S△AOB=1 当 A,B 不为顶点时,设 AB 的方程为 y=kx+b

?y ? kx? b ? 2k b ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2k bx ? b 2 ? 4 ? 0得到x1 ? x 2 ? 2 ?y 2 k ?4 ? ? x ?1 ?4

x1 x 2 ?

b2 ? 4 k2 ? 4
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x1 x2 ?

y1 y 2 (kx ? b)( kx2 ? b) ? 0 ? x1 x2 ? 1 ? 0代入整理得 : 4 4
1 1 | b | 4k 2 ? 4b 2 ? 16 | b || x1 ? x 2 |? | b | ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 |? 2 2 k2 ? 4

2b 2 ? k 2 ? 4 S ? ?

4k 2 ? ?1 2|b|
所以三角形的面积为定值. 点评:本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质,二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方 法以及运用综合知识解决问题的能力。 2. 在直角坐标平面中,△ABC 的两个顶点为 A(0,-1) ,B(0, 1)平面内两点 G、M 同时满足①

??? ??? ???? ? ? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ? ? GA ? GB ? GC ? 0 , ② | MA | = | MB | = | MC | ③ GM ∥ AB
(1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程 (2)设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ,定点 F 的坐标为( 2 , 0) ,已知 PF ∥ FQ , RF ∥ FN 且 PF · RF = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

解析:本例(1)要熟悉用向量的方式表达点特征; (2)要把握好直线与椭圆的位置关系,弦长公式, 灵活的运算技巧是解决好本题的关键。 答案: (1)设 C ( x , y ), ? GA ? GB ? 2GO ,由①知 GC ? ?2GO , △ABC 的重心 ,

??? ??? ? ?

????

????

????

?G 为

?

G(

x y , ) 3 3

由②知 M 是△ABC 的外心,?M 在 x 轴上

由③知 M(

x ,0) , 3
????
得 ( ) ?1 ?
2

由 | MC | ? | MA |

???? ?

x 3

x ( x ? )2 ? y 2 3

化简整理得:

x2 ? y 2 ? 1 (x≠0) 。 3 x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 3
2 ,则直线 PQ 的方程为 y = k ( x - 2 ) 2

(2)F( 2 ,0 )恰为

设 PQ 的斜率为 k≠0 且 k≠±

由?

? y ? k ( x ? 2) ? ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6 2k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0 2 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
则 x1 + x2 =

设 P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 )

6 2k 2 , 3k 2 ? 1

x1·x2 =

6k 2 ? 3 3k 2 ? 1

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则| PQ | = 1 ? k =

2

·

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
6 2k 2 2 6k 2 ? 3 ) ? 4? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

1? k 2 · (

2 3(k 2 ? 1) = 3k 2 ? 1
2 3(k 2 ? 1) 1 ?RN⊥PQ,把 k 换成 ? 得 | RN | = 3? k2 k

1 ?S = | PQ | · | RN | 2
=

6(k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)(k 2 ? 3)
1 8 ) ? 10 ? 2 k 2?S

=2?

8 ) 1 2 3(k ? 2 ) ? 10 k

? 3(k 2 ? ?k2 ?

1 8 ≥2 , ? ≥16 2 k 2?S

3 ? ≤ S < 2 , (当 k = ±1 时取等号) 2
又当 k 不存在或 k = 0 时 S = 2 综上可得

3 ≤ S ≤ 2 2 3 2

?Smax = 2 , Smin =

点评:本题考查了向量的有关知识,椭圆与直线的基本关系,二次方程的根与系数的关系及不等式,转 化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 考点二 圆锥曲线的几何性质

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点 P 为双曲线 C 右支上一点,且位于 x 轴上 a 2 b2 y 方,M 为左准线上一点, O 为坐标原点 已知四边形 OFPM 为平行四边形,
3. 如图,F 为双曲线 C:

PF ? ? OF
(Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点,若

M

P

o

F

x

AB ? 12 ,求此时的双曲线方程
分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。 解:∵四边形 OFPM 是 ? ,∴ | OF |?| PM |? c ,作双曲线的右准线交 PM 于 H,则
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| PM |?| PH | ?2

a2 | PF | ? | OF | ?c ?c2 ?e2 ,又 e ? , e2 ? ? e ? 2 ? 0 ? ? ? 2 ? 2 a2 a 2 c ? 2a 2 e ? 2 c | PH | c?2 c?2 c c

(Ⅱ)当 ? ? 1 时, e ? 2 , c ? 2a , b 2 ? 3a 2 ,双曲线为

x2 y2 ? 2 ? 1四边形 OFPM 是菱形,所 4a 2 3a

以直线 OP 的斜率为 3 ,则直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? 2a) ,代入到双曲线方程得:

9 x2 ? 48ax ? 60a 2 ? 0 ,
又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得:12 ? 2 (

48a 2 60a 2 9 ) ?4 ,解得 a 2 ? ,则 9 9 4

x2 y2 27 ,所以 ? ? 1 为所求 b ? 9 27 4 4
2

点评:本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。 4. 设 A, B 分别为椭圆 右准线 (Ⅰ) 、求椭圆的方程; (Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点, 若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 A, B 的 点 M、N ,证明:点 B 在以 MN 为直径的圆内 分析:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理 运算的能力和解决问题的能力

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且 x ? 4 为它的 a 2 b2

a2 解: (Ⅰ)依题意得 a=2c, =4,解得 a=2,c=1,从而 b= 3 c
故椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3
A

y
M P

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0) 设 M(x0,y0) ∵M 点在椭圆上,∴y0=

o
N

B

(4,0)

x

3 2 (4-x0 ) 4

1 ○

又点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2,由 P、A、M 三点共线可以得

P(4,

6 y0 ) x0 ? 2
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从而 BM =(x0-2,y0) ,

???? ?

??? ? 6 y0 ) BP =(2, x0 ? 2
2 ???? ??? ? ? 6 y0 2 2 2 ∴ BM · BP =2x0-4+ = (x0 -4+3y0 ) x0 ? 2 x0 ? 2

2 ○

将○代入○,化简得 BM · BP = 1 2

???? ?

??? ?

5 (2-x0) 2

∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0) 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

???? ?

??? ?

则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为(

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) , 2 2

依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差
2

BQ -

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 2 2 2 -2) +( 1 ) - [(x1-x2) +(y1-y2) ] MN =( 1 2 2 4 4
=(x1-2) (x2-2)+y1y1 3 ○

又直线 AP 的方程为 y=

y1 y2 ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上,



6 y1 6 y2 (x 2 ? 2) y1 3 ? ,即 y2= x1 ? 2 x 2 ? 2 x1 ? 2
2 2

4 ○

x y 3 2 2 又点 M 在椭圆上,则 1 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 3 4
于是将○、○代入○,化简后可得 BQ - 4 5 3 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内
2

5 ○

1 5 2 MN = (2-x1 )( x2 ? 2) ? 0 4 4

点评:本题关键是联系直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,运用数学知识进行推理运算的能 力和解决问题的能力
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考点三

直线与圆锥曲线位置关系问题
2

5. 已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 上任意一点到焦点 F 的距离比到 y 轴的距离大 1。 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若过焦点 F 的直线交抛物线于 M、N 两点,M 在第一象限,且|MF|=2|NF|,求直线 MN 的方程; (3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把 它称为原来问题的一个“逆向”问题. 例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,求该正四棱锥的体积” .求出体积 16 后,
3

它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 4,体积为 16 ,求侧棱长” ;也可以是“若正四
3

棱锥的体积为 16 ,求所有侧面面积之和的最小值” .
3

现有正确命题:过点 A(?

p , 0) 的直线交抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 于 P、Q 两点,设点 P 关于 x 轴的 2

对称点为 R,则直线 RQ 必过焦点 F。 试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题。 解析: 答案:解: (1) y ? 4 x
2

(2)设 N (

t2 , ?t ) (t>0) M (t 2 , 2t ) ,F(1,0)。 ,则 4

因为 M、F、N 共线,则有 kFM ? k NF , 所以

?t 1 2 t ?1 4

?

2t ,解得 t ? 2 , t ?1
2

所以 k ?

2 2 ?2 2, 2 ?1

因而,直线 MN 的方程是 y ? 2 2( x ? 1) 。 (3) “逆向问题”一: ①已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,设点 P 关于
2

x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(? 证明:设过 F 的直线为 y=k(x ?

p , 0) 。 2

p ), P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 R( x1 , ? y1 ) 2

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p ? y2 ? 4x k ( x1 ? ) p2 ? y1 1 2 2 ? 2 2 2 2 , 由? , k RA ? ?? p 得 k x ? ( pk ? 4) x ? p k ? 0 ,所以 x1 x2 ? p p 4 4 ? y ? k(x ? ) x1 ? x1 ? ? 2 2 2 p p p k ( x2 ? ) k ( x1 x2 ? x1 ) k ( x1 ? ) 2 ? 2 2 =k , ? ?? RA p p p x2 ? x1 x2 ? x1 x1 ? 2 2 2
所以直线 RQ 必过焦点 A。 ②过点 A(? p , 0) 的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,FP 与抛物线交于另一点 R,则 RQ 垂直于 x 轴。
2

kQA

③已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) ,过点 B(m,0 )(m>0)的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,设点 P 关
2

于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(-m,0)。 “逆向问题”二:已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1的焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),过 F2 的直线交椭圆 C 于 P、Q a 2 b2

两点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(

a2 , 0) 。 c

2 2 “逆向问题”三:已知双曲线 C: x ? y ? 1 的焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),过 F2 的直线交双曲线 C 于 P、 2 2

a

b

Q 两点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A( 考点四 圆锥曲线的应用

a2 , 0) 。 c

(1) .圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 6. (2004 年全国高考天津理科 22 题)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(C,0) (C>0)的准线 L 与 X 轴相交于点 A, OF ? 2 FA ,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点。 (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP·O Q = 0,求直线 PQ 的方程; (3)设 A P = FQ 。 分析: (1)要求椭圆的方程及离心率,很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长 轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。解: (1)根据已知条件“椭 圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(C,0) (C>0)的准线 L 与 X 轴相交于点 A。 可 ” 设椭圆的方程为 ,过点 P 且平行与准线 L 的直线与椭圆相交于另一点 M,证明 FM = - ? ? AQ( ? >1)

x2 y2 ? ? 1 (a> 2 ) 从而有 a2 ? c2 ? , 2 2 a

? 2?

2

; 又 因 OF ? 2 FA , 可 以 有

c?( 2

a2 x2 y2 ? c) 联系以上这两个关于 a、 的方程组并解得 a= 6 , ? ? 1, , c c=2, 所以椭圆的方程为 c 6 2

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离心率 e=

6 。 2

(2)根据已知条件 “O P·O Q = 0” ,我们可设 P ?x1 , y1 ? ,Q ? x 2 , y 2 ? ,把两个向量的数量积的形 式转化为坐标表示的形式,再根据直线 PQ 经过 A(3,0) ,只须求出直线 PQ 的斜率 K 即可求出直线 PQ 的方程。而 P、Q 两点又在椭圆上,因此,我们容易想到通过直线 y=k(x-3)与椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,联系 6 2

方程组消去一个未知数 y(或 x)得 3k ? 1 x ? 18k x ? 27 k ? 6 ? 0 ,并利用一元二次方程的根与系
2 2 2 2

?

?

数关系结合 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 及 y1 y 2 ? k

2

?x1 ? 3??x2 ? 3? 不难求出 k= ?

5 ,这里应特别注意 K 的值要保 5

证 ? >0 成立,否则无法保证直线 PQ 与椭圆有两个交点。 (3)要证 F M =- ? F Q ,我们容易想到通过式中两个向量 FM、FQ 的坐标之间关系来谋求证题的方 法。 为此我们可根据题意 “过点 P 且平行为准线 L 的直线与椭圆相交于另一点 M”求得点 M 坐标为 ?x1 ,? y1 ? 。 , 又因 AP= ? AQ,易知 FM、FQ 的两个纵坐标已经满足 y1 ? ??y 2 ,所以现在要考虑的问题是如何证明 FM、 FQ 的两个横坐标应该满足 x1 ? 2 ? ?? ?x2 ? 2? ,事实上,

AP ? ?x1 ? 3, y1 ?, AQ ? ?x2 ? 3, y 2 ?
注意到 ? >1,解得 x 2 ?

5? ? 1 2?



因 F(2,0) ?x1 ,? y1 ? ,故 FM= ?x1 ? 2,? y1 ? = ?? ?x2 ? 3? ? 1,? y 2 ? 。 ,M =?

?1? ? ? ? ? ?1 ? ,? y1 ? = ? ? ? ,? y 2 ? ? 2 ? ? 2? ?

又 FQ= ? x 2 ? 2, y 2 ? ? ?

? ? ?1 ? , y 2 ? ,因此 FM=- ? FQ。 ? 2? ?

点评:本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念,直线方程、平面向量的坐标表示和向量 的数量积,多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法,以及 分析问题和综合解题能力。 把两个向量之间的关系,转化为两个向量坐标之间的关系,再通过代数运算的方法来解决有关向量的问题 是一种常用的解题手段。 7. (江苏卷)已知 F1 (?2,0), F2 (2,0), 点P 满足 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,记点 P 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P、Q 两点. (i)无论直线 l 绕点 F2 怎样转动,在 x 轴上总存在定点 M (m,0) ,使 MP ? MQ 恒成立,求实数

m 的值.
(ii)过 P、Q 作直线 x ?

1 的垂线 PA、OB,垂足分别为 A、B,记 ? ? | PA | ? | QB | ,求λ 的取值 2 | AB |
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范围.

解析: 答案:解: (1)由 | PF1 | ? | PF2 |? 2 ?| F1 F2 | 知,点 P 的轨迹 E 是以 F1、F2 为焦点的双曲线右支,由

c ? 2, 2a ? 2, ? b 2 ? 3 ,故轨迹 E 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1( x ? 1). 3

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2), P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,与双曲线方程联立消 y 得 (k ? 3) x ? 4k x ? 4k ? 3 ? 0 ,
2 2 2 2

?k 2 ? 3 ? 0 ? ?? ? 0 2 ? ? ? x ? x ? 4k ? 0 1 2 k2 ?3 ? ? 4k 2 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 2 ?0 k ?3 ?
解得 k >3 (i)? MP ? MQ ? ( x1 ? m)( x 2 ? m) ? y1 y 2
2

? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 4k 2 ( k 2 ? 1)(4k 2 ? 3) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? m 2 ? 4k 2 k2 ?3 k2 ?3 3 ? (4m ? 5) k 2 ? ? m2 . 2 k ?3 ?

? MP ? MQ,? MP ? MQ ? 0 ,
故得 3(1 ? m ) ? k (m ? 4m ? 5) ? 0 对任意的
2 2 2

k 2 ? 3 恒成立,

?1 ? m 2 ? 0 ? ?? 2 , 解得m ? ?1. ?m ? 4 m ? 5 ? 0 ?
∴当 m =-1 时,MP⊥MQ. 当直线 l 的斜率不存在时,由 P(2,3), Q(2,?3)及M (?1,0) 知结论也成立, 综上,当 m =-1 时,MP⊥MQ. (ii)? a ? 1, c ? 2,? 直线 x ? 由双曲线定义得: | PA |?

1 是双曲线的右准线, 2

1 1 1 | PF2 |? | PF2 |, | QB |? | QF2 | , e 2 2
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1 ? k 2 | x 2 ? x1 | | PQ | ? 方法一:? ? ? 2 | AB | 2 | y2 ? y1| ?
? k 2 ? 3,? 0 ?

1 ? k 2 | x 2 ? x1 | 1? k 2 1 1 ? ? 1? 2 . 2 | k ( x 2 ? x1 ) | 2|k | 2 k

1 1 1 3 , ? ,故 ? ? ? 2 3 2 3 k

注意到直线的斜率不存在时, | PQ |?| AB |, 此时? ? 综上, ? ? ? ,

1 , 2

?1

?2

3? ?. 3 ? ?

方法二:设直线 PQ 的倾斜角为θ ,由于直线 PQ 与双曲线右支有二个交点,

?

?
3

?? ?

2? ,过 Q 作 QC⊥PA,垂足为 C,则 3

?PQC ?|

?
2

? ? |,? ? ?

| PQ | | PQ | ? ? 2 | AB | 2 | CQ |

1 2 cos( ? ? ) 2

?

?

1 . 2 sin ?



?
3

?? ?
?1

2? 3 ,得 ? sin ? ? 1, 3 2
3? ?. 3 ? ?

故: ? ? ? ,

?2

(2) 。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 10. (2004 年全国高考福建理科 22 题)如图,P 是抛物线 C: y ? 物线 C 交于另一点 Q。 (Ⅰ)若直线 L 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 不过原点且与 X 轴交于 S,与 Y 轴交于点 T,试求 分析: (1)要求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程,我们常把 M 的坐标转化为线段 PQ 的两个端点坐标之间 的关系。而 P、Q 两点又是直线 L 与抛物线的交点,容易想到直线 L 的方程与抛物线 C 的方程相联立消去 y (或 x) ,转化为一元二次方程根与系数的关系问题。另外,求过抛物线 P 的切线的斜率问题,我们自然会 想到求出数 y ?

1 2 x 上一点,直线 L 过点 P 且与抛 2

1 2 x 的导数。 2
'

解: (1)事实上 y ? x ,这样过 P ?x1 , y1 ? 的斜率为 x1 ,由于直线 L 与过点 P 的切线垂直,因此直线 L 的斜率为 ?

1 1 1 1 ( x1 ≠0) ,所以可设直线 L 的方程为 y ? x12 ? ? ( x ? x1 ) ,结合 y ? x 2 ,消去 y 并 2 x1 x1 2

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化简得 x 2 ?

2 x ? x12 ? 2 ? 0 。 x1

若设 Q ? x 2 , y 2 ? ,M ? x 0 , y 0 ? ,因 M 为 PQ 的中点,故有

x0 ? ?
2 y 0 ? x0 ?

y ? y2 1 1 1 ? ?x1 ? x 2 ?, y 0 ? ? x12 ? 2 ? 1 x1 2 2 2

?

?

消 去

x1 得

M

的 轨 迹 方 程 为

1 ? 1( x0 ? 0) 。 2 2 x0

即 M 的轨迹方程为 y ? x 2 ?

1 ? 1?x ? 0? 。 2x 2

(2)根据式子

ST SP

?

ST SQ

的特点,我们很自然想到平面直角坐标系中的两点间的距离公式。于是可

先求 S、T 两点的坐标,易知:

1 ? ? S x1 ? x12 ,0 , T ? 0,1 ? x12 ? ,从而有 2 ? ?
? 1 ? ST ? ?1 ? x12 ? x12 ? 1, SP ? y1 x12 ? 1, SQ ? y 2 ? 2 ?


?

?

x12 ? 1

ST SP

?

? SQ ?

ST

= ?1 ?

1 2 ?? 1 1 ? ? x1 ?? ? 2 ?? y1 y2 ? ? ?
2

1 2 1 2 1 ?1 2 ? 2 又因 y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ? ? ? x1 ? 1? 2 2 4 ?2 ?


ST SP

?

ST SQ

≥ ?1 ?

? ?

1 2? x1 ? · 2 ?

1 ≥2 y1 y 2

∵ y1 、 y 2 可取一切不相等的正数。 ∴

ST SP

?

ST SQ

的取值范围是(2, ? ? ) 。

点评:这里的解法有别于 2004 年福建省高考数学评标准所给的答案。我们看到,其解法的优点在于 不用添加任何辅助线的方法就可直接给出作答,这更贴近考生的学习实际。

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