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D11


第四节

第十一章

第二型曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系
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一、有向曲面及曲面元素的投影
? 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧

r />
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)

曲面分左侧和 右侧

曲面分上侧和 下侧

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? 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦 侧的规定

cosα

cos β

cosγ

封闭曲面 外侧 内侧

> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧

? 设 Σ 为有向曲面, 其面元 ?S 在 xoy 面上的投影记为 ,

(?S)xy ,

的面积为

则规定 类似可规定

(?σ )xy, 当 γ > 0时 cos (?S)xy = ?(?σ )xy, 当 γ < 0时 cos

0,

当 γ ≡ 0时 cos
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(? )yz , (? )zx S S
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二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 ∑ 的流量Φ . 分析: 分析 若 ∑ 是面积为S 的平面, 法向量: 流速为常向量: 则流量

n

v

θ

S

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对一般的有向曲面∑ , 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 进行分析可得 Φ= lim∑ vi ? ni ? i S λ→ 0
n i= 1

ni vi

设ni = (cosαi , cos βi , cosγi ), 则
n

Σ

[ ( Φ= lim∑ P(ξi ,ηi ,ζi )cosαi +Q ξi ,ηi ,ζi )cos βi
λ→ i= 0 1
n

+ R(ξi ,ηi ,ζi )cosγi ] ? i S

= lim ∑
λ→ 0
i= 1

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2. 定义 设 ∑ 为光滑的有向曲面, 在 ∑ 上定义了一个 定义. 向量场 A= (P(x, y, z), Q x, y, z), R(x, y, z)), 若对Σ 的任 ( 意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在
i= 1

∑[
+Q ξi ,ηi ,ζi )(?Si )zx (

n

则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二型曲面积分. 记作

∫∫ΣPdydz +Qdzdx +Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 ∑ 叫做积分曲面 被积函数; 被积函数
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的曲面积分; 对 ∫∫ΣPd ydz称为P 在有向曲面∑上对 y, z 的曲面积分 称为Q 在有向曲面∑上对 z, x 的曲面积分 的曲面积分; 对 的曲面积分. 对 ∫∫ΣRdxd y 称为R 在有向曲面∑上对 x, y 的曲面积分 引例中, 流过有向曲面 ∑ 的流体的流量为

Φ= ∫∫ P ydz +Q zd x + R xdy d d d
Σ

若记 ∑ 正侧 正侧的单位法向量为 n = (cosα, cos β , cosγ ) 令 dS = ndS =(d ydz, dzdx, dxd y)

A= (P(x, y, z),Q x, y, z), R(x, y, z)) (
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
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∫∫ΣPd ydz +Qdzdx + Rdxd y = ∫∫ A? ndS = ∫∫ A? dS Σ Σ
Σ封 , 为∫∫ Pd ydz +Qd zdx+Rd xd y 闭 记
3. 性质 (1) 若
Σ

之间无公共内点, 则

∫∫Σ A?dS

∫∫∑i A?dS

(2) 用Σ?表示 Σ 的反向曲面, 则

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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 定理 设光滑曲面 是 ∑ 上的连续函数, 则 取上侧,

∫∫ΣR(x, y, z)dxd y = ∫∫D R(x, y, z(x, y))dxd y n 证: ∫∫ R(x, y, z)d xd y = lim ∑ Σ λ→ 0
xy

σ (? ∵Σ 取上侧, ∴ Si )xy = (? i )xy

i= 1

ζi = z(ξi ,ηi )
n

= lim ∑R(ξi ,ηi ,
λ→ i= 0 1
Dxy

σ ) (? i )xy

= ∫∫

R(x, y, z(x,y))d xd y
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说明: 说明 如果积分曲面 Σ 取下侧, 则

∫∫ΣR(x, y, z)dxd y = ?∫∫Dxy R(x, y, z(x, y))dxd y
(上正下负)

?若

则有

∫∫ΣP(x, y, z)d ydz = ±∫∫Dyz P(x(y, z) , y,z) d ydz
?若 则有

(前正后负)

∫∫ΣQ(x, y, z)dzdx= ±∫∫Dzx Q(x, y(z, x),z )dzdx
(右正左负)
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例1. 计算曲面积分 ∫∫ xyzd xd y, 其中 ∑ 为球面 x2 +


+ y2 + z2 =1 外侧在第一和第五卦限部分.
思考: 思考 下述解法是否正确: 根据对称性 ∫∫ xyzdxd y = 0


z
∑2

oD y x x

解: 把 ∑ 分为上下两部分

1y ∑ 1

∑ : z = ? 1? x2 ? y2 下 侧 1 ∑2 : z = 1? x2 ? y2 上 侧 ?x2 + y2 ≤1 (x, y)∈D y : ? x ?x ≥ 0, y ≥ 0
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∫∫∑xyzdxd y = ∫∫∑ xyzdxd y +∫∫∑ xyzdxd y = ?∫∫ xy (? 1? x2 ? y2 )d xd y D + ∫∫ xy 1? x2 ? y2d xd y D
1 2
xy xy

= 2∫∫ = 2∫∫
=∫
π
0

Dy x Dy x

xy 1? x2 ? y2 d xd y r sinθ cosθ 1?r rdrdθ
2 2

z
∑2

2sin2 dθ θ



1 3 r 0

1?r dr
2

oD y x x

1y ∑ 1

=2 15
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例2. 试计算曲面积分 I = ∫∫ xyd yd z, 其中 ∑ 为锥面


z = x2 + y2 , y ≥ 0与 ≤1部分的下侧. z
解: 把 ∑ 分为前后两部分

z
∑ 1

∑ : x = z ?y 前 侧 1 ∑2 : x = ? z2 ? y2 后 侧
2 2

∑2
o
y
Dy x

x

(x, y)∈D y : 0 ≤ y ≤ z, 0 ≤ z ≤1 x
I = ∫∫ +∫∫ = ∫∫
∑ 1 ∑2

= 2∫∫

D

?∫∫ (? z2 ? y2 )yd yd z D 1 z 1 2 2 2 2 z ? y yd yd z = 2∫ dz∫ z ? y yd y = . 0 0 6
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D

z2 ? y2 yd yd z

例3. 计算

∫∫ (x+ y)d ydz +(y+z)dzdx+(z +x)dxd y
Σ

其中 ∑ 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方 体的整个表面的外侧. 解: 利用轮换对称性 原式=3∫∫ (z + x)d xd y


z
y

x

∑ : z = a ( x ≤ a, y ≤ a ) 取上侧 ∑ 的顶部 1 2 2 2
∑ 的底部 ∑2 : z = ?a ( x ≤ a, y ≤ a )取下侧 2 2 2

+ ∫∫ (z + x)d xdy] ∑2 a ?∫∫ (? + x)dxdy ] Dy 2 x

=3a∫∫

Dy x

dxd y
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例4. 设S 是球面 2d yd z I = ∫∫ + 2 xcos x S 解: 利用对称性, 有 2d xd y = ∫∫ , zcos2 z S

?

的外侧 , 计算 dxd y

zcos2 z

dzdx d xd y ∫∫cos2 y = ∫∫cos2 z =0 S S
d xd y
2 2 2

∴I = ∫∫
S

dxd y zcos z
2
1

=2∫∫
x2 +y2≤1

1? x ? y cos
2

1? x ? y
2

2

= 2 ∫dθ
0




0

r dr 1?r cos
2

1?r

2

π = ?4 ∫

1

d 1?r2
2

0 cos

1?r
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2

= 4 tan1 π
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四、两类曲面积分的联系

∫∫∑Pdydz +Qdzdx + Rdxd y n = lim ∑ P(ξi ,ηi ,ζi )(?Si )yz +Q ξi ,ηi ,ζi )(? i )zx [ ( S λ→ 0
i= 1

+ R(ξi ,ηi ,ζi )(?Si )xy ]

曲面的方向用法向量的方向余弦刻画

= lim ∑
λ→ 0
i= 1

n

= ∫∫ ( P α+Q β + R γ ) dS cos cos cos

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∫∫∑Pdydz +Qdzdx + Rdxdy
= ∫∫ ( P α+Q β + R γ ) dS cos cos cos


令 A= (P Q R), n = (cosα, cos β , cosγ ) , ,

dS = ndS = (dydz, dzdx, dxdy)
向量形式

∫∫∑

A? dS = ∫∫ A ? ndS


An = A? n ( A 在 n 上的投影)
= ∫∫ An dS

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例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为

求E 通过球面 ∑ : r = R 外侧的电通量 Φ . 解: Φ= ∫∫ E? dS
Σ

r = ∫∫ E? ndS = ∫∫ 3 r ? dS Σr Σ r

q

z

= ∫∫

dS = 2 ∫∫ dS 2 Σr R Σ

q

q

q

r 。

r n= r
y

x

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例5. 设 夹成的锐角, 计算 解: I = ∫∫ z2 cosγ dS
Σ

是其外法线与 z 轴正向

z
1

n
1y

= ∫∫

Dy x

(1? x2 ? y2)dxd y
1 0

x

1

= ∫ dθ∫ (1?r2)r dr
0

2 π

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例6. 计算曲面积分∫∫∑ 旋转抛物面

(z2 + x)d yd z ? zdxd y, 其中∑
介于平面 z= 0

z
2

及 z = 2 之间部分的下侧. 解: 利用两类曲面积分的联系, 有
o x x
1+ x2 + y2 ?1

∫∫∑

(z2 + x)d yd z
2 ∑

?x
cosα =

y

= ∫∫ (z + x)cosαdS
2

cosα = ∫∫ (z + x) cosγ d d xd y S cosγ = Σ 1+ x2 + y2 cosγ

∴ 原式 =

[( z2 + x)(?x) ? z ]dxd y ∫∫∑
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∴ 原式 =

[( z2 + x)(?x) ? z ]dxd y ∫∫∑

z
2

1 (x2 + y2)代 , 得 将z = 2 入

1 2 = ?∫∫ { [ (x + y2)2+ x] (?x) 原式 Dy 4 x ? 1 (x2 + y2)}d xd y 奇对称 2

o x

Dy x

y
下侧

= ∫∫
= ∫∫

Dy x

[ 1 (x2 + y2)2 x] +[ x2 + 1 (x2 + y2)]dxdy 4 2
[x
2

2

Dy x

+ 1(x2 + y2)]dxdy 2
2

轮换对称性
2

= ∫∫ (x + y )d xdy = ∫
Dy x



0

dθ ∫0

π r3 dr =8
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内容小结
1. 两类曲面积分及其联系 定义: 定义 ? ?

lim ∫∫Σ f (x, y, z)dS = λ→0∑f (ξi ,ηi , ζi )?Si i= 1

n

d ∫∫ΣPd ydz +Qn zdx + Rdxd y [ = lim∑ P(ξi , ηi , ζi )(? i ) y z S λ→ 0
i= 1

+Q ξi ,ηi , ζi )(? i ) z x ( S + R(ξi , ηi , ζi )(? i ) x y ] S
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性质: 性质

∫∫Σ

?

Pd yd z +Qd zd x + Rd xd y
= ?∫∫ Pd ydz +Qd zdx + Rd xd y
Σ

联系: 联系

∫∫ΣPd ydz +Qdzdx+ Rdxdy = ∫∫ ( Pcosα +Qcos β + Rcosγ ) dS Σ

思考: 思考 两类曲线积分的定义一个与 Σ 的方向无关, 一个与 Σ 的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?

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2. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标)
转化

二重积分

(1) 统一积分变量

代入曲面方程 (方程不同时分片积分) 第一类: 面积投影 第二类: 有向投影 把曲面积分域投影到相关坐标面

(2) 积分元素投影 (4) 确定积分域

注:二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.

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时,

2 f (x, y, z)dS = ∫∫ f (x, y, z(x, y)) 1+ zx + z2 dxd y y ∫∫ ∑ Dy x

∫∫R(x, y, z)dxd y = ± ∫∫R(x, y, z(x, y)) dxd y
∑ Dy x

(上侧取“+”, 下侧取“?”)

类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .

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思考与练习
1. 假设有一函数 是平面 部分的上侧 , 计算 在第四卦限

z 1

y

n =(1?1 1 , , )

o

I = ∫∫

[ f (x, y, z) + x]dydz Σ

1

n

1

x

+[ f (x, y, z) + z]dxdy
1 3

提示: 提示 求出 Σ 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分

I=

∫∫Σ 1 0 1 = 3 ∫ dx∫ 0 x? 1
1 3

(x ? y + z)dS =
3d y = 1 2

∫∫Σ dS
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补充题 求 I = ∫∫Σ(
Σ: x
2

+ 2 + 2 =1 取外侧 . a2 b c d xd y 解: ∫∫ Σ z
2 2

y

2

z

2

d yd z d zd x d xd y ), 其中 + + x y z

x y D : 2 + 2 ≤1 xy a b x = ar cosθ , y =br sinθ , dxd y = abr d r d θ 1 1 1 dxdy? ?1 ∫∫Dx,y 2 2π y2 1 r c ∫∫Dx,y1 2 2 dxdy c x2 ? θ = 1?∫ d ∫ ab d r = 14 x bc y ? πa 2 2 ? 2? 2 0 2 20 c a b 1?r c a b
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注意±号

d xd y 1 ∫∫Σ z = c2 ? 4πabc 利用轮换对称性 d yd z 1 ∫∫Σ x = a2 ? 4πabc d zd x 1 ∫∫Σ y = b2 ? 4πabc 1 1 1 ∴ I = 4 abc ( 2 + 2 + 2 π a b c

)

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