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人教A版高中数学必修一1.3.2 函数的奇偶性 课件 (共19张PPT)


函数的奇偶性

授课人:王秀芹

1 的图象, x 看看它具有怎样的对称性?
观察函数f(x)=
y

观察函数g(x)=x2的图 象,看看它具有怎样的 对称性?
y
g(x)=x2

o

x

o

/>x

关于原点成中心对称

关于y轴成轴对称

1 观察函数f(x)= 1 的图象, 由f ( x) ? x ,求f (?1), f (1), f (?2), x 看看它具有怎样的对称性? f (2), f (?3), f (3)的值,并思考 f (? x)与f ( x)有怎样的关系?

y

f (?1) ? ?1
1 f (?2) ? ? 2

f (1) ? 1
1 f ( 2) ? 2

o

x

1 f ( ?3) ? ? 3

1 f (3) ? 3 ……

关于原点成中心对称

1 函数f ( x) ? 为奇函数 x

1 1 f (? x) ? ? ? ? ? f ( x) ?x x

观察函数g(x)=x2的 图象,看看它具有 怎样的对称性?
y
g(x)=x2

由g(x)=x2求g(-1)、 g(1)、 g(-2)、 g(2)、 g(-3)、 g(3)的值,并思考 g(-x) 与g(x)有怎样的关系? g(-1)= (-1)2=1 g(1) =12=1
g(-2)= (-2)2=4、 g(2)= 22=4、 g(-3)= (-3)2=9、 g(3) = 32 =9、

o

x

……

g(-x) =(-x)2=x2=g(x) 关于y轴成轴对称 函数 g(x)=x2 为偶函 数

定义:

如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x,
都有f(-x) = - f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数
注意:(1)当X∈A时, - X ∈A(定义域关于原点对称)

(2)f(-x) = - f(x)
如果对于函数f(x)定义域A中的任意一个x, 都有f(-x) =f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数。 注意:(1)当 X∈A时,-X ∈A (定义域关于原点对称)

(2)f(-x) = f(x)

1 的图象, x 看看它具有怎样的对称性?
观察函数f(x)=
y

观察函数g(x)=x2的图 象,看看它具有怎样的 对称性?
y
g(x)=x2

o

x

o

x

关于原点成中心对称

关于y轴成轴对称

结论:
函数是奇函数 函数图象关于坐标原点对称 ?

函数是偶函数

函数图象关于y轴对称 ?

例 、判断下列函数的奇偶性:

(1) f(x)=x+x3+x5; (2) f(x)=x2+1;
(3) f(x)=x+1 ; (4) f(x)=x2 ,x∈[-1,2]

(5) f(x)=0 解:(1)函数f(x)=x+x3+x5的定义域为R,
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5 = - x - x 3- x 5 = -(x+x3+x5 ) =- f(x)

所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数。

例 、判断下列函数的奇偶性:

(1) f(x)=x+x3+x5; (2) f(x)=x2+1;
(3) f(x)=x+1 ; (4) f(x)=x2 ,x∈[-1,2]

(5) f(x)=0 解:(2)函数f(x)= x2+1的定义域为R,
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(-x)= (-x)2+1 = x2+1 = f(x) 所以,函数f(x)= x2+1是偶函数

例 、判断下列函数的奇偶性:

(1) f(x)=x+x3+x5; (2) f(x)=x2+1;
(3) f(x)=x+1 ; (4) f(x)=x2 ,x∈[-1,2]

(5) f(x)=0 解:(3)函数f(x)=x+1的定义域为R,
当X∈R时, - X ∈R 又因为f(-x)=(-x)+1 = -(x-1) 而-f(x)= - x - 1

所以f(-x) ≠ -f(x)且f(-x) ≠ f(x)
因此 函数f(x)= x+1既不是奇函数也不是偶函数。

例 、判断下列函数的奇偶性:

(1) f(x)=x+x3+x5; (2) f(x)=x2+1;
(3) f(x)=x+1 ; (4) f(x)=x2 ,x∈[-1,2]

解4) 因为2∈[-1,2],而-2 ? [-1,2] 所以函数f(x)= x2 ,x∈[-1,2] 既不是奇函数也不是偶函数。 5)函数f(x)= 0的定义域为R, 当X∈R时, - X ∈R 又因为f(-x)= 0, f(-x)= 0 所以f(-x) = -f(x)且f(-x) = f(x) 因此 函数f(x)= 0既是奇函数也是偶函数。

(5) f(x)=0

想一想:判断函数奇偶性的大体步骤分哪几步?
可分三步:

1、写出函数的定义域;
2、判断定义域是否关于原点对称; 3、根据f(-x)与f(x)的关系判断 奇偶性。

练习:P60 1、3

1、口答下列各题: (1) 函数f(x)=x是奇函数吗? (2)函数g(x)=2是奇函数还是偶函数? (3)如果y=h(x)是偶函数,当h(-1)=2时, h(1)的值是多少? (1)、 f(x)=x是奇函数

(2)、 g(x)=2是偶函数

(3)、 h(1)= h(-1)= 2

3、已知f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,如图(1)、 (2)分别是他们 的局部图象,试求f(-2) ,g(1) ,并把这两个函数的图象补充完整。
y y 3 g (x) 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x

2
1 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 3

f(x)
4 x

(1) f(-2)=- f(2)=-2

(2) g(1)=g(-1)=1

y y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 2 f(x) 3 4 x -3 -2 g (x) 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x

(1)

(2)

y g (x) 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 0 1 2 3 x

(2)

课堂小结:

1、一般地,如果对于函数f(x)定义域中的任意一个x,都有 f(-x) =-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数; 如果对于函数定义域中的任意一个x,都有f(-x) =f(x) ,那 么函数f(x)就叫做偶函数。

2、 一个函数是奇函数的充要条件是,它的图象是以坐标 原点为对称中心的中心对称图形; 一个函数是偶函数的充要条件是,它的图象是以y轴为 对称轴的轴对称图形。

课堂小结: 3、对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:是奇函数但不是 偶函数;是偶函数但不是奇函数;既是奇函数又是偶函数;既不是奇 函数也不是偶函数。

4、根据定义判断函数奇偶性的方法和步骤:
第一步,先写出函数的定义域; 第二步,判断函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数 既不是奇函数也不是偶函数;若是对称,进行第三步; 第三步,判断 f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)= - f(x),则是奇函数,若 f(-x)=f(x),则是偶函数,若f(-x)= - f(x),且f(-x)=f(x),则既是奇函数又 是偶函数,若f(-x) ≠- f(x) ,且f(-x) ≠ f(x),则既不是奇函数也不是偶 函数。 作业:P60 2


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