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2016版高考数学 第二章 函数导数及其应用专题演练 理(含两年高考一年模拟)


第二章

函数导数及其应用
两年高考真题演练

考点 3 函数的性质及其应用

1.(2015·湖南)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数,且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1

)上是减函数 2.(2015·安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=cos x B.y=sin x
2

)

)

C.y=ln x D.y=x +1 3.(2015·广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A.y=x+e C.y=2 +
x x

)

1 B.y=x+

x

1 2 D.y= 1+x x 2 )

4.(2015·浙江)存在函数 f(x)满足:对任意 x∈R 都有( A.f(sin 2x)=sin x
2

B.f(sin 2x)=x +x
2

2

C.f(x +1)=|x+1| D.f(x +2x)=|x+1| 5.(2015·福建)下列函数为奇函数的是( A.y= x B.y=|sin x| D.y=e -e
x
-x

)

C.y=cos x

6.(2014·北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 B.y=(x-1) C.y=2
-x 2

)

D.y=log0.5(x+1) )

7.(2014·陕西)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( 1 3 A.f(x)=x B.f(x)=x 2

x ?1? D.f(x)=3x C.f(x)=? ? ?2?
8.(2014·新课标全国Ⅱ)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则 k 的取值范围是( )

A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞)
1

9.(2014·重庆)下列函数为偶函数的是( A.f(x)=x-1 B.f(x)=x +x C.f(x)=2 -2
x
-x 2

)

D.f(x)=2 +2

x

-x

10.(2014·新课标全国Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 11.(2014·广东)下列函数为奇函数的是( A.y=2 -
x

)

)

1 3 B.y=x sin x x 2 D.y=x +2
2

C.y=2cos x+1

x

12.(2014·湖南)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A.f(x)= 1
3

)

x2

B.f(x)=x +1 D.f(x)=2
-x

2

C.f(x)=x

13.(2014·江苏)已知函数 f(x)=x +mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是________. 14.(2014·新课标全国Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若 f(x -1)>0,则 x 的取值范围是________. 15. (2014·新课标全国Ⅱ)偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, f(3)=3, 则 f(- 1)=________. 考点 3 函数的性质及其应用 一年模拟试题精练 1.(2015·广东惠州模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的函数 为( ) 1 A.y=

2

x

B.y=lg x D.y=x
2

C.y=cos x

2.(2015·山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是( A.y=sin x C.y=e
x

)

B.y=ln( x +1-x)
2

2

D.y=ln x +1
x

3. (2015·山东日照模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=3 +m(m 为常数),则 f(-log3 5)的值为( )
2

A.4 B.-4 C.6 D.-6 4.(2015·广东揭阳模拟)已知函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)、f(x-1)都是奇函 数,则( ) B.f(x)是偶函数

A.f(x)是奇函数

C.f(x+5)是偶函数 D.f(x+7)是奇函数 5. (2015·辽宁沈阳模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x), 当-3≤x≤-1 时,f(x)=-(x+2) ,当-1<x<3 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+?+f(2 012)=( A.335 B.338 C.1 678 D.2 012
2

)

?e ,x≥0, ? 6.(2015·山东德州模拟)下列函数中,与函数 y=??1?x 的奇偶性相同,且在(- ?e? ,x<0 ? ?? ?
∞,0)上单调性也相同的是( 1 A.y=- )

x

x

B.y=x +2 1 D.y=log |x| e

2

C.y=x -3

3

lg x (x>0), ? ? 2 a 7.(2015·山东潍坊模拟)若函数 f(x)=?x+? 3t dt (x≤0),若 f(f(1))=1,则 ? ? ?0 a=________. 8.(2015·山东菏泽模拟)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件:①对于 任意 x∈R,都有 f(x+1)= 1

f(x)

;②函数 y=f(x+1)的图象关于 y 轴对称;③对于任意

?3? f(2), 的 x1, x2∈[0, 1], 且 x1<x2, 都有 f(x1)>f(x2). 则 f? ?, f(3)从小到大排列是________. ?2?
9.(2015·杭州七校模拟)已知函数 f(x)=x +(x-1)·|x-a|. (1)若 a=-1,解方程 f(x)=1; (2)若函数 f(x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若 a<1 且不等式 f(x)≥2x-3 对一切实数 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围.
2

考点 4 函数的图象及其应用 两年高考真题演练

3

? 1? 1.(2015·浙江)函数 f(x)=?x- ?cos x(-π ≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为( ?
x?

)

2.(2015·安徽)函

数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是( A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 3.(2015·北京)如图,

3

2

)

函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 4.(2015·安徽)

)

4

ax+b 函数 f(x)= 2的图象如图所示,则下列结论成立的是( (x+c)
A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0

)

5.(2015·新课标全国Ⅱ)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点

P 沿着边 BC, CD 与 DA 运动, 记∠BOP=x.将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),
则 y=f(x)的图象大致为( )

6.(2014·湖北)设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且 f(x)>0,对任意 a>0,b>0, 若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数

a+b f(x)的平均数, 记为 Mf(a, b). 例如, 当 f(x)=1(x>0)时, 可得 Mf(a, b)=c= , 即 Mf(a,
2

b)为 a,b 的算术平均数.
(1)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数. (2)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 考点 4 函数的图象及其应用 一年模拟试题精练 1. 2ab . a+b

5

(2015·贵州七校联盟 ) 已知函数 f(x) 的图象如右图所示,则 f(x) 的解析式可以是 ( ) ln|x| A.f(x)=

x

e B.f(x)=

x

x x
)

1 1 C.f(x)= 2-1 D.f(x)=x-

x

sin x 2.(2015·山东日照模拟)函数 f(x)= 2 的图象大致为( x +1

3. (2015·山东菏泽模拟)已知函数 f(x)=

1

x-ln x-1

, 则 y=f(x)的图象大致为(

)

? ?ab,a<0, 4 .(2015·福建福州模拟 ) 定义运算“*”为: a*b = ? a+b 若函数 f(x) = (x + ?2 ,a≥0. ?

1)*x,则该函数的图象大致是(

)

6

5.(2015·豫南豫北十校模拟)函数 f(x)=

x3-3
e
x

的大致图象是(

)

6.(2015·山东日照模拟)函数 f(x)=x -2 的大致图象为(

2

|x|

)

10ln|x+1| 7.(2015·辽宁沈阳模拟)下列四个图中,函数 y= 的图象可能是( x+1

)

8.(2015·安徽马鞍山模拟)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总 有 x1=x2,则称 f(x)为单函数,例如:函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数;②指数函数 f(x)=2 (x∈R)是单函数;
7
2

x

③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数; ⑤若 f(x)为单函数,则函数 f(x)在定义域上具有单调性. 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号).

8

考点 5 基本初等函数(幂函数、 指数函数、对数函数) 两年高考真题演练 1.(2015·四川)设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3 >3 >3”是“loga3<logb3”的 ( ) A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
|x-m|

a

b

2.(2015·天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2

-1(m 为实数)为偶函数,记 a= )

f(log0.53),b=(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为(
A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a

3.(2015·陕西)设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=f( ab),q=f?

?a+b?,r=1(f(a)+ ? 2 ? 2 ?

f(b)),则下列关系式中正确的是(
A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q

)

? ?3x-1,x<1, f(a) 4.(2015·山东)设函数 f(x)=? x 则满足 f(f(a))=2 的 a 取值范围是 ? ?2 ,x≥1,

(

)

?2 ? A.? ,1? ?3 ?

B.[0,1] D.[1, +∞)

?2 ? C.? ,+∞? ?3 ?
5.

(2014·山东)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图象如图,则 下列结论成立的是( A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 )

9

D.0<a<1,0<c<1 6.(2014·浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x>0),g(x)=logax 的图象可能 是( )
a

7. (2014·江西)已知函数 f(x)=5 , g(x)=ax -x(a∈R). 若 f[g(1)]=1, 则 a=( A.1 B.2 C.3 D.-1 1 1 11 8.(2014·辽宁)已知 a=2- ,b=log2 ,c=log ,则( 3 3 23 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 1 2 9.(2014·天津)函数 f(x)=log (x -4)的单调递增区间为( 2 A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 1 -2 10.(2014·天津)设 a=log2 π ,b=log π ,c=π ,则( 2 A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b
a

|x|

2

)

)

)

)

D.c>b>a
-a

11.(2015·浙江)若 a=log43,则 2 +2 =________. -1 5 ?1? 12.(2015·安徽)lg +2lg 2-? ? =________. 2 ?2? 13.(2015·福建)若函数 f(x)=2
|x-a|

(a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(x)在[m,+

∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于________. 14.(2015·四川)已知函数 f(x)=2 ,g(x)=x +ax(其中 a∈R).对于不相等的实数
x
2

10

f(x1)-f(x2) g(x1)-g(x2) x1,x2,设 m= ,n= , x1-x2 x1-x2
现有如下命题: ①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号).

11

考点 5 基本初等函数(幂函数、 指数函数、对数函数) 一年模拟试题精练 1.(2015·福建五校模拟)若 a=log2 3,b=log3 2,c=log4 6,则下列结论正确的是 ( ) A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a 2 .(2015·山东青岛模拟) 已知函数 f(x)= e ( )
|ln x|

,则函数 y= f(x+ 1)的大致图象为

x 1 ?1? 3.(2015·安徽淮南模拟)设函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在 3 ?2?
的区间是( )

?1 ? A.? ,1? ?2 ?

?1 1? B.? , ? ?3 2?

?1 1? C.? , ? ?4 3?

? 1? D.?0, ? ? 4?

2? ?1 4.(2015·广东湛江模拟)已知幂函数 f(x)的图象经过点? , ?,P(x1,y1),Q(x2, ?8 4 ?

y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:
①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x2)<x2f(x1);③ 其中正确结论的序号是( A.①② B.①③ C.②④ ) D.②③

f(x1) f(x2) f(x1) f(x2) > ;④ < x1 x2 x1 x2

?π π ? 5 . (2015·浙江协作体模拟 )? α ∈ ? , ? , x = (sin α )log π cos α , y = (cos ?4 2?
α )logπ sin α ,则 x 与 y 的大小关系为( A.x>y B.x<y C.x=y D.不确定 6.(2015·浙江绍兴模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞) 1 单调递增.若实数 a 满足 f(log2 a)+f(log a)≤2f(1),则 a 的最小值是( 2 ) )

12

A.

3 1 B.1 C. 2 2

D.2
x

2 -1 2 7.(2015·辽宁沈阳模拟)已知函数 f(x)= x ,则不等式 f(x-2)+f(x -4)<0 的解 2 +1 集为( ) B.(-6,1) C.(-2,3) D.(-3,2)

A.(-1,6)

8.(2015·安徽淮南模拟)对于函数 f(x),g(x)和区间 D,如果存在 x0∈D,使得|f(x0) -g(x0)|≤1,则称 x0 是函数 f(x)与 g(x)在区间 D 上的“相互接近点”.现给出四对函数: ①f(x)=x , g(x)=2x-2;②f(x)= x,g(x)=x+2; ③f(x)=ln x, g(x)=x; ④f(x) 1 -x =e +1,g(x)=- .
2

x

则在区间(0,+∞)上存在唯一“相互接近点”的是( A.①③ B.③④ C.①④ D.②④

)

??1?x ?? ? (x≤0), 9 . (2015· 安 徽 合 肥 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = ??2? 则 f(2 015) = ? ?f(x-4)(x>0),
________. 10.(2015·黑龙江模拟)如果对定义在 R 上的函数 f(x),对任意两个不相等的实数 x1,

x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函数 f(x)为“H 函数”.
? ?ln|x|,x≠0, x 2 给出下列函数①y=e +x;②y=x ;③y=3x-sin x;④f(x)=? ?0,x=0. ?

以上函数是“H 函数”的所有序号为________. 11.(2015·浙江湖州模拟)已知二次函数 f(x)=x +bx+c(b,c∈R). (1)若 f(-1)=f(2), 且不等式 x≤f(x)≤2|x-1|+1 对 x∈[0, 2]恒成立, 求函数 f(x) 的解析式; (2)若 c<0,且函数 f(x)在[-1,1]上有两个零点,求 2b+c 的取值范围.
2

13

考点 6 函数与方程及函数的应用 两年高考真题演练
?2-|x|,x≤2, ? 1.(2015·天津 ) 已知函数 f(x) =? 函数 g(x) = b- f(2 - x) ,其中 2 ?(x-2) ,x>2, ?

b∈R,若函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是(

)

?7 ? A.? ,+∞? ?4 ? ? 7? C.?0, ? ? 4?

7? ? B.?-∞, ? 4? ?

?7 ? D.? ,2? ?4 ?
2

2.(2015·陕西)对二次函数 f(x)=ax +bx+c(a 为非零整数),四位同学分别给出下 列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( A.-1 是 f(x)的零点 B.1 是 f(x)的极值点 C.3 是 f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线 y=f(x)上 3.(2015·四川)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关 系 y=e
kx+b

)

(e=2.718?为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 )

192 小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是( A.16 小时 C.24 小时 B.20 小时 D.28 小时

4.(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的 情况.

加油时间 2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日

加油量(升) 12 48

加油时的累计里程(千米) 35 000 35 600

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升 )

5.(2014·湖南)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增 长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( A. )

p+q
2

(p+1)(q+1)-1 B. 2 D. (p+1)(q+1)-1
3 2

C. pq

6.(2014·新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ax -3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且
14

x0>0,则 a 的取值范围是(
A.(2,+∞) C.(-∞,-2)

) B.(1,+∞) D.(-∞,-1)
x

7 .(2015·湖南 ) 若函数 f(x) = |2 - 2| - b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是 ________. 8. (2015·安徽)在平面直角坐标系 xOy 中, 若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象 只有一个交点,则 a 的值为________. 9. (2015·湖北)a 为实数, 函数 f(x)=|x -ax|在区间[0, 1]上的最大值记为 g(a). 当
2

a=________时,g(a)的值最小.
? ?2 -a,x<1, 10.(2015·北京)设函数 f(x)=? ? ?4(x-a)(x-2a),x≥1.
x

①若 a=1,则 f(x)的最小值为________; ②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是________.
?x ,x≤a, ? 11.(2015·湖南)已知函数 f(x)=? 2 若存在实数 ?x ,x>a, ?
3

b,使函数 g(x)=f(x)-b

有两个零点,则 a 的取值范围是________. 12.(2014·福建)要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的 底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 ________(单位:元).
3

15

考点 6 函数与方程及函数的应用 一年模拟试题精练 1 1 x 1.(2015·黑龙江大庆)已知函数 f(x)= x-a ,若 <a< ,则 f(x)零点所在区间为 16 2 ( )

?1 1? A.? , ? ?8 4? ?1 1? C.? , ? ?4 2?

B.?

? 1 ,1? ? ?16 4?

?1 ? D.? ,1? ?2 ?
x
)

2 2.(2015·青岛市模拟)函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( A.(0,1) C.(2,e) B.(1,2) D.(3,4)
3

3.(2015·辽宁沈阳模拟)函数 f(x)=ln x+x -9 的零点所在的区间为( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4)
2

)

4. (2015·湖北荆门模拟)对于函数 f(x)=x +mx+n, 若 f(a)>0, f(b)>0, 则函数 f(x) 在区间(a,b)内( A.一定有零点 C.可能有两个零点 ) B.一定没有零点 D.至多有一个零点
x

5.(2015·泰安模拟)设函数 f(x)的零点为 x1,g(x)=4 +2x-2 的零点为 x2,若|x1-

x2|≤0.25,则 f(x)可以是(
A.f(x)=x -1 C.f(x)=ln(x+1)
2

) B.f(x)=2 -4 D.f(x)=8x-2
x x

6.(2015·湖南衡阳模拟)设方程 2 +x+2=0 和方程 log2x+x+2=0 的根分别为 p 和

q,设函数 f(x)=(x+p)·(x+q)+2,则(
A.f(2)=f(0)<f(3) B.f(0)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(2)=f(0) D.f(0)<f(3)<f(2) 7.(2015·北京

)

16

海淀模拟)某堆雪在融化过程中,其体积 V(单位:m )与融化时间 t(单位:h)近似满足 1 ?3 ? 函数关系:V(t)=H?10- t? (H 为常数),其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束 10 ? ? 的平均融化速度为 v(m /h). 那么瞬时融化速度等于 v(m /h)的时刻是图中的( A.t1 B.t2 C.t3 D.t4
3 3

3

)

8.(2015·北京昌平区模拟)在 2014 年 APEC 会议期间,北京某旅行社为某旅行团包机 去旅游,其中旅行社的包机费为 12 000 元,旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结 算:若旅行团的人数在 30 人或 30 人以下,每张机票收费 800 元;若旅行团的人数多于 30 人,则给予优惠,每多 1 人,旅行团每张机票减少 20 元,但旅行团的人数最多不超过 45 人,当旅行社获得的机票利润最大时,旅行团的人数是( A.32 人 B.35 人 C.40 人 D.45 人 9.(2015·福建福州模拟)一种药在病人血液中的含量不低于 2 克时,它才能起到有效 治疗的作用.已知每服用 m(1≤m≤4 且 m∈R)个单位的药剂,药剂在血液中的含量 y(克)随 10 ? ?4+x,0≤x<6, 着时间 x(小时)变化的函数关系式近似为 y=m·f(x),其中 f(x)=? x ?4-2,6≤x≤8. ? (1)若病人一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗时间可达多少小时? (2)若病人第一次服用 2 个单位的药剂,6 个小时后再服用 m 个单位的药剂,要使接下 来的 2 小时中能够持续有效治疗,试求 m 的最小值. )

17

考点 7 导数的概念、几何意义及定积分 两年高考真题演练 1 x 1.(2015·陕西)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线

x

垂直,则 P 的坐标为________. 2.(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ax +x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过 点(2,7),则 a=________. 3.(2015·新课标全国Ⅱ)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax +(a +2)x+1 相切,则 a=________. 4.(2015·湖南)?2(x-1)dx=________.
2 3

?0

5.(2015·山东)曲线 y=x 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为________. 6.(2015·山东)执行下边的程序框图,输出的 T 的值为________.

2

7.(2014·广东)曲线 y=-5e +3 在点(0,-2)处的切线方程为______________. 8.(2014·广东)曲线 y=e
-5x

x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________.

9.(2014·安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (1)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切; (2)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).

①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x

3

②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1) ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x

2

10.(2014·新课标全国Ⅱ)已知函数 f(x)=x -3x +ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2.
18

3

2

(1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.

考点 7 导数的概念、几何意义及定积分 一年模拟试题精练 1.(2015·陕西西安模拟)曲线 f(x)=x +x-2 在 p0 处的切线平行于直线 y=4x-1, 则 p0 点的坐标为( A.(1,0) C.(1,0)和(-1,-4) ) B.(2,8) D.(2,8)和(-1,-4) e 在 x=0 处的切线方程为( x-1
x 3

2.(2015·四川雅安模拟)曲线 f(x)= A.x-y-1=0 C.2x-y-1=0

)

B.x+y+1=0 D.2x+y+1=0

1 2 ?π ? 3.(2015·山东潍坊模拟)已知 f(x)= x +sin? +x?,f′(x)为 f(x)的导函数,f′ 4 ?2 ?

(x)的图象是(

)

4.(2015·河南洛阳模拟)曲线 y= (x>0)在点 P(x0,y0)处的切线为 l.若直线 l 与 x,y 轴的交点分别为 A,B,则△OAB 的周长的最小值为( A.4+2 2 C.2 B.2 2 D.5+2 7
n+1

1 x

)

5.(2015·黑龙江绥化模拟)已知函数 f(x)=x

(x∈N )的图象与直线 x=1 交于点 P,

*

若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2 013x1+log2 013x2+?+log2 013x2 012
19

的值为( A.-1

) B.1-log2 0132 012 D.1
2

C.-log2 0132 012

6.(2015·山东日照模拟)定积分?4π (16-x )dx 等于(

?0

)

A.

128π 3

B.52π

64π C. 3

D.

8π 3

7.(2015·江西新余模拟)由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积为 ( ) A. 32 9 B.2-ln 3 D.4-ln 3

C.4+ln 3

1 8.(2015·广东模拟)设球的半径为时间 t 的函数 r(t),若球的体积以均匀速度 增长, 2 则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为________.

lg x (x>0), ? ? 2 9.(2015·山东潍坊模拟)若函数 f(x)=? ?a3t dt(x≤0) 若 f(f(1))=1,则 a , ? ?x+?0
=________. 1 1 10.(2015·山东日照模拟)由直线 x= ,x=2,曲线 y= 及 x 轴所围成的图形的面积 2 x 是________. 11.(2015·福建龙岩模拟)已知函数 f(x)=ax +x+ln x(a∈R). (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设 a=0,求证:当 x>0 时,f(x)≤2x-1; (3)若函数 y=f(x)恰有两个零点 x1,x2(x1<x2),求实数 a 的取值范围.
2

考点 8 导数的应用一(单调性与极值) 两年高考真题演练 1.(2015·福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1, 其导函数 f′(x)满足 f′(x) >k>1,则下列结论中一定错误的是( )

?1? 1 A.f? ?< ?k? k ? 1 ?< 1 ? ?k-1? k-1
C.f?

1 ?1? B.f? ?> ?k? k-1 D.f?

? 1 ?> k ? ?k-1? k-1
20

2.(2015·新课标全国Ⅱ)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0, 当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 3.(2014·湖南)若 0<x1<x2<1,则( ) )

A.ex2-ex1>ln x2-ln x1 B.ex2-ex1<ln x2-ln x1 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2 4.(2014·新课标全国Ⅱ)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则 k 的取值范围是( )

A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 5.(2014·新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ax -3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且
3 2

x0>0,则 a 的取值范围是(

)

A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 6.(2014·新课标全国Ⅱ)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则( )

A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 7.(2014·江西)已知函数 f(x)=(x +bx+b)· 1-2x(b∈R). (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值;
2

? 1? (2)若 f(x)在区间?0, ?上单调递增,求 b 的取值范围. ? 3?

21

22

考点 8 导数的应用一(单调性与极值) 一年模拟试题精练 1. (2015·江西新余模拟)如图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象, 则函数 g(x)=ln x +f′(x)的零点所在的区间是( )
2

?1 1? A.? , ? ?4 2? ?1 ? C.? ,1? ?2 ?

B.(1,2) D.(2,3)

2. (2015·河北恒台模拟)设 f0(x)=sin x, f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x), ?, fn(x) =fn-1′(x),n∈N,则 f2 015(x)=( A.sin x C.cos x )

B.-sin x D.-cos x

3.(2015·黑龙江绥化模拟)已知函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,且当

x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0 成立,若 a=20.2f(20.2),b=(ln 2)f(ln 2),c=?log ? 24

? ?

11?

?

f?log ?,则 a,b,c 的大小关系是( 24

? ?

11?

?

)

A.a>b>c C.c>a>b

B.b>a>c D.a>c>b

4. (2015·辽宁沈阳模拟)已知定义域为 R 的奇函数 y=f(x)的导函数为 y=f′(x), 当

f(x) 1 ?1? ? 1? ? 1? x≠0 时,f′(x)+ >0,若 a= f? ?,b=-2f(-2),c=?ln ?f?ln ?,则 a,b, x 2 ?2? ? 2? ? 2? c 的大小关系正确的是(
A.a<c<b C.a<b<c ) B.b<c<a D.c<a<b
3 2

5. (2015· 辽宁沈阳模拟)对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0), 定义: 设 f″(x) 是函数 y=f(x)的导数 y=f′(x)的导数, 若方程 f″(x)=0 有实数解 x0, 则称点(x0, f(x0)) 为函数 y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次 函数都有对称中心;且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现,函数 f(x)=x -3x +3x+1 对称中心为________. 6. (2015·四川乐山模拟)已知函数 f(x)=xe , 记 f0(x)=f′(x), f1(x)=f′(x0), ?,
23
x
3 2

fn(x)=fn-1′(x)且 x2>x1,对于下列命题:
①函数 f(x)存在平行于 x 轴的切线;② 014e ;④f(x1)+x2<f(x2)+x1. 其中正确的命题序号是________(写出所有满足题目条件的序号.)
x

f(x1)-f(x2) x >0;③f2 012′(x)=xe +2 x1-x2

x a 3 7.(2015·山东潍坊模拟)已知函数 f(x)= + -ln x- ,其中 a∈R. 4 x 2
1 (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x,求 a 的值. 2 (2)讨论函数 f(x)的单调区间.

考点 9 导数的应用二(函数的最值与实际应用) 两年高考真题演练 1+x 1.(2015·北京)已知函数 f(x)=ln . 1-x (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2?x+ ?; ? 3?

?

x3?

? x? (3)设实数 k 使得 f(x)>k?x+ ?对 x∈(0,1)恒成立,求 k 的最大值. ? 3?

3

24

2.(2015·江苏)某山

区外围有两条相互垂直的直线型公路, 为进一步改善山区的交通现状, 计划修建一条连 接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l1,l2,山区边界曲线为 C, 计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l1,l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1,l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l2,l1 所在的直线分别 为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y= 型. (1)求 a,b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t),并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

a (其中 a,b 为常数)模 x2+b

3.(2014·安徽)设函数 f(x)=1+(1+a)x-x -x ,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性. (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 值.

2

3

25

考点 9 导数的应用二(函数的最值 与实际应用) 一年模拟试题精练 1 3 2 1.(2015·青岛模拟)已知函数 f(x)= x +ax +2bx+c 有两个极值点 x1,x2,且- 3 1<x1<1<x2<2,则直线 bx-(a-1)y+3=0 的斜率的取值范围是( )

? 2 2? A.?- , ? ? 5 3? ? 2 1? C.?- , ? ? 5 2?

? 2 3? B.?- , ? ? 5 2?
2? ?2 ? ? D.?-∞,- ?∪? ,+∞? 5? ?3 ? ?

1 x 2.(2105·江西新余模拟)设点 P 在曲线 y= e 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ| 2 的最小值为( A.1-ln 2 C.1+ln 2 ) B. 2(1-ln 2) D. 2(1+ln 2)
2

3.(2015·山东日照模拟)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c 为常数)的导函数为

b2 f′(x),对任意 x∈R,不等式 f(x)≥f′(x)恒成立,则 2 2的最大值为________. a +c
4. (2015·河北石家庄模拟)已知函数 f(x)=e -ax-1(a∈R), 其中 e 为自然对数的底 数. (1)若 f′(x)=e -a 对任意 x≥0 恒成立,求 a 的取值范围; 1 e 3 n n n n n (2)求证:当 n≥2,n∈N 时,恒有 1 +4 +7 +?+(3n-2) < (3n) . e-1
x x

5.(2015·湖北荆州模拟)某公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为 3 元,并且 每件产品需向总公司交 a(3≤a≤5)元的管理费,预计每件产品的售价为 x(9≤x≤11)元时, 一年的销售量为(12-x) 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大并求出 L 的最大值 Q(a).
2

26

第二章 函数导数及其应用 考点 3 函数的性质及其应用 【两年高考真题演练】 1.A [易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故函数 2 ? 1+x ? =ln?-1- ,由复合函数单调性判断方法知,f(x)在 x-1? 1-x ? ?

f(x)为奇函数,又 f(x)=ln

(0,1)上是增函数,故选 A.] 2.A [由于 y=sin x 是奇函数;y=ln x 是非奇非偶函数;y=x +1 是偶函数但没有 零点;只有 y=cos x 是偶函数又有零点.] 3.A [令 f(x)=x+e ,则 f(1)=1+e,f(-1)=-1+e ,即 f(-1)≠f(1),f(- 1)≠-f(1),所以 y=x+e 既不是奇函数也不是偶函数,而 B、C、D 依次是奇函数、偶函 数、偶函数,故选 A.] 4.D π π [排除法,A 中,当 x1= ,x2=- 时,f(sin 2x1)=f(sin 2x2)=f(0),而 sin 2 2
x x
-1 2

2 x1≠sin x2,∴A 不对;B 同上;C 中,当 x1=-1,x2=1 时,f(x2 1+1)=f(x2+1)=f(2),

而|x1+1|≠|x2+1|,∴C 不对,故选 D.] 5.D [由奇函数定义易知 y=e -e 为奇函数,故选 D.] 6.A [显然 y= x+1是(0,+∞)上的增函数;y=(x-1) 在(0,1)上是减函数,在
2

x

-x

x ?1? -x (1,+∞)上是增函数;y=2 =? ? 在 x∈R 上是减函数;y=log0.5(x+1)在(-1,+∞) ?2?
上是减函数.故选 A.] 7.D [根据各选项知,选项 C、D 中的指数函数满足 f(x+y)=f(x)·f(y).又 f(x) =3 是增函数,所以 D 正确.] 1 8.D [因为 f(x)=kx-ln x,所以 f′(x)=k- .因为 f(x)在区间(1,+∞)上单调
x

x

1 1 递增,所以当 x>1 时,f′(x)=k- ≥0 恒成立,即 k≥ 在区间(1,+∞)上恒成立.因为

x

x

x>1,所以 0< <1,所以 k≥1.故选 D.] x
9.D [函数 f(x)=x-1 和 f(x)=x +x 既不是偶函数也不是奇函数,排除选项 A 和选 项 B;选项 C 中 f(x)=2 -2 ,则 f(-x)=2 -2 =-(2 -2 )=-f(x),所以 f(x)=2
-x 2

1

x

-x

-x

x

x

-x

x

-2 为奇函数, 排除选项 C; 选项 D 中 f(x)=2 +2 , 则 f(-x)=2 +2 =f(x), 所以 f(x) =2 +2 为偶函数,故选 D.] 10.C 11.A 2 12.A [由偶函数的定义知,A,B 为偶函数.A 选项,f′(x)=- 3在(-∞,0)恒大
x
-x

x

-x

-x

x

x

27

于 0;B 选项,f′(x)=2x 在(-∞,0)恒小于 0.故选 A.] 13. ?-
2

? ?

2 ? ,0? 2 ?

[ 由 题 可 得 f(x)<0 对 于 x∈[m , m + 1] 恒 成 立 , 即

? ?f(m)=2m -1<0, 2 ? 解得- <m<0.] 2 2 ?f(m+1)=2m +3m<0, ?

14.(-1,3) [由题可知,当-2<x<2 时,f(x)>0.f(x-1)的图象是由 f(x)的图象向 右平移 1 个单位长度得到的,若 f(x-1)>0,则-1<x<3.] 15. 3 [因为 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以 f(x)=f(4-x), f(-x)=f(4+x), 又 f(-x)=f(x),所以 f(x)=f(4+x),则 f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.] 【一年模拟试题精练】 1.C [首先 y=cos x 是偶函数,且在(0,π )上单减,而(0,1)? (0,π ),故 y=cos

x 满足条件.故选 C.]
2. D [y=sin x 与 y=ln( x +1-x)都是奇函数, y=e 为非奇非偶函数, y=ln x +1 为偶函数,故选 D.] 3.B [由 f(x)是定义在 R 上的奇函数得 f(0)=1+m=0? m=-1,f(-log3 5)=-
2

x

2

f(log3 5)=-(3log3 5-1)=-4,选 B.]
4.D 5.B [f(x)为周期为 6 的周期函数,且 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4) =f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5) +f(6)=1, 则 f(1)+f(2)+?+f(2 012)=f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=f(1)+f(2)+335 =338,故选 B.]

?e ,x≥0, ? 6.B [因为函数 y=??1?x 为偶函数,且在(-∞,0)上为减函数,故选 B.] ?e? ,x<0 ? ?? ?
7.1 [∵f(f(1))=f(0)=a =1,∴a=1.]
3

x

?3? 8. f(3)<f? ?<f(2) ?2?
的周期为 2.

[由①得 f(x+2)=f(x+1+1)=

1

f(x+1)

=f(x), 所以函数 f(x)

②中因为函数 y=f(x+1)的图象关于 y 轴对称,将函数 y=f(x+1)的图象向右平移一 个单位即可得 y=f(x)的图象,所以函数 y=f(x)的图象关于 x=1 对称. 根据③可知函数 f(x)在[0,1]上为减函数,又结合②知,函数 f(x)在[1,2]上为增函 数. 3 因为 f(3)=f(2+1)=f(1),在区间[1,2]上,1< <2, 2
28

3 ?3? 所以 f(1)<f( )<f(2),即 f(3)<f? ?<f(2).] 2 ?2?
?2x -1,x≥-1, ? 9.解 (1)当 a=-1 时,有 f(x)=? ? ?1,x<-1,
2

当 x≥-1 时,2x -1=1,解得:x=1 或 x=-1, 当 x<-1 时,f(x)=1 恒成立, ∴方程的解集为:{x|x≤-1 或 x=1}.
?2x -(a+1)x+a,x≥a, ? (2)f(x)=? ?(a+1)x-a,x<a, ?
2

2

a+1 ? ? ≤a, 1 若 f(x)在 R 上单调递增,则有? 4 解得:a≥ . 3 ? ?a+1>0,
(3)设 g(x)=f(x)-(2x-3),
?2x -(a+3)x+a+3,x≥a, ? 则 g(x)=? ?(a-1)x-a+3,x<a. ?
2

即不等式 g(x)≥0 对一切实数 x∈R 恒成立 ∵a<1, ∴当 x<a 时,g(x)单调递减,其值域为:(a -2a+3,+∞). ∵a -2a+3=(a-1) +2≥2,∴g(x)≥0 恒成立 当 x≥a 时,∵a<1,∴a< ∴g(x)min=g?
2 2 2

a+3
4


2

?a+3?=a+3-(a+3) ≥0,得-3≤a≤5, ? 8 ? 4 ?

∵a<1,∴-3≤a<1, 综上:a 的取值范围是-3≤a<1. 考点 4 函数的图象及其应用 【两年高考真题演练】 1.D

? 1? [∵f(x)=?x- ?cos x,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除 A,B;当 x→ ?
x?

π 时,f(x)<0,排除 C.故选 D.] 2. A [由已知 f(0)=d>0, 可排除 D; 其导函数 f′(x)=3ax +2bx+c 且 f′(0)=c>0, 可排除 B;又 f′(x)=0 有两不等实根,且 x1x2= >0,所以 a>0,故选 A.] 3.C [如图,
2

c a

29

由图知:f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.] 4.C 选 C.] π 5.B [当点 P 沿着边 BC 运动,即 0≤x≤ 时,在 Rt△POB 中,|PB|=|OB|tan∠POB 4 = tan x ,在 Rt △ PAB 中, |PA| = |AB| +|PB| = 4+tan x ,则 f(x) = |PA| + |PB| = 4+tan x+tan x,它不是关于 x 的一次函数,图象不是线段,故排除 A 和 C; π ?π ? 当点 P 与点 C 重合,即 x= 时,由上得 f? ?= 4 ?4? 4+tan
2 2 2 2 2

[由里面图可知-c>0,∴c<0,又当 x<-c 时,由图象形状可知,a<0 且 b>0,故

π π +tan = 5+1,又当 4 4

π 点 P 与边 CD 的中点重合, 即 x= 时, △PAO 与△PBO 是全等的腰长为 1 的等腰直角三角形, 2

?π ? 故 f? ? ?2? ?π ? ?π ? =|PA|+|PB|= 2+ 2=2 2,知 f? ?<f? ?,故又可排除 D.综上,选 B.] ?2? ?4?
6 . (1) x (2)x [ 过 点 (a , f(a)) , (b , - f(b)) 的 直 线 的 方 程 为 y - f(a) =

f(a)+f(b) af(b)+bf(a) (x-a),令 y=0 得 c= . a-b f(a)+f(b)
(1)令几何平均数 ab=

af(b)+bf(a) ? abf(a)+ abf(b)=bf(a)+af(b), 可取 f(a)+f(b)

f(x)= x(x>0);
(2)令调和平均数 2ab af(b)+bf(a) ab+ba af(b)+bf(a) = ? = , 可取 f(x)= a+b f(a)+f(b) a+b f(a)+f(b)

x(x>0).]
【一年模拟试题精练】 1.A [由图形可知 f(x)为奇函数,故排除 B,C;而 D 中的函数在(0,+∞)和(-∞, 0)上均为增函数,故选 A.] 2. A [首先由 f(x)为奇函数, 得图象关于原点对称, 排除 C、 D, 又当 0<x<π 时, f(x)>0

知,选 A.] 3.A [f(x)的定义域为 x>0 且 x≠1,当 x∈(0,1)时,f(x)>0 且为增函数,当 x∈(1, +∞)时,f(x)<0 且为减函数,故选 A.]

30

? ?x(x+1)(x<-1), 4.D [f(x)=(x+1)*x=? 2x+1 故选 D.] ? (x≥-1). ?2

5.C 故选 C.]

3 3 [由解析式可以得到当 x∈(-∞, 3)时,f(x)<0,x∈( 3,+∞)时,f(x)>0,

6.C [由函数 f(x)=x -2 为偶函数,排除答案 B 与 D;又由 f(0)=-1<0,知选 C.] 7. C 10ln|x+1| 10ln|x| 10ln|x| [y= 由函数 y= 向左平移一个单位, 而 y= 为奇函数, x+1 x x

2

|x|

10ln|x+1| 10ln(x+1) 所以 y= 关于(-1,0)对称,故排除 A,D,当 x>0 时,y= >0 恒成 x+1 x+1 立,故选 C.] 8.②③④ [根据题意可以得到函数为单调函数,或为常数函数,所以②③④正确.] 考点 5 基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数) 【两年高考真题演练】 1.B [若 3 >3 >3,则 a>b>1,从而有 loga3<logb3 成立;若 loga3<logb3,不一 1 定有 a>b>1,比如 a= ,b=3,选 B.] 3 2.C [因为函数 f(x)=2
|x| |x-m|

a

b

-1 为偶函数可知,m=0,

所以 f(x)=2 -1,当 x>0 时,f(x)为增函数,log0.53=-log23, ∴log25>|-log0.53|>0, ∴b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m),故选 C.] 3.C [∵0<a<b, ∴

a+b
2

> ab,

又∵f(x)=ln x 在(0,+∞)上为增函数,故 f? 即 q>p. 1 1 又 r= (f(a)+f(b))= (ln a+ln b) 2 2 1 1 1 = ln a+ ln b=ln(ab)2 2 2 =f( ab)=p. 故 p=r<q.选 C.]

?a+b?>f( ab), ? ? 2 ?

4.C [当 a=2 时,f(a)=f(2)=2 =4>1,f(f(a))=2

2

f(a)



2 2 ?2? ∴a=2 满足题意,排除 A,B 选项;当 a= 时,f(a)=f? ?=3× -1=1,f(f(a))= 3 3 3 ? ?

31

2

f(a)

2 ,∴a= 满足题意,排除 D 选项,故答案为 C.] 3 5.D [由对数函数的性质得 0<a<1,因为函数 y=loga(x+c)的图象在 c>0 时是由

函数 y=logax 的图象向左平移 c 个单位得到的,所以根据题中图象可知 0<c<1.] 6.D [当 a>1 时,函数 f(x)=x (x>0)单调递增,函数 g(x)=logax 单调递增,且过点 (1,0),由幂函数的图象性质可知 C 错;当 0<a<1 时,函数 f(x)=x (x>0)单调递增,函数
a a

g(x)=logax 单调递减,且过点(1,0),排除 A,因此选 D.]
7.A [因为 f[g(1)]=1,且 f(x)=5 ,所以 g(1)=0,即 a·1 -1=0,解得 a=1.]
|x| 2

1 1 1 8.C [a=2- ∈(0,1),b=log2 ∈(-∞,0),c=log1 =log23∈(1,+∞),所以 3 3 3 2

c>a>b.]
9.D [函数 y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数 y=f(x)是由 y= log1t 与 t=g(x)=x -4 复合而成,又 y=log1t 在(0,+∞)上单调递减,g(x)在(-∞, 2 2 -2)上单调递减,所以函数 y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增.选 D.] 10.C [利用中间量比较大小.因为 a=log2π ∈(1,2),b=log1π <0,c=π 2 1),所以 a>c>b.] 4 11. 3 3 [2 +2 =2log43+2-log43=2log 2 3+2log2 -1 5 5 ?1? 2 [lg +2lg 2-? ? =lg +lg 2 -2=lg 2 2 ?2?
a
-a -2 2

∈(0,

3 3 4 = 3+ = 3 3 3

3.]

12.-1

?5×4?-2=1-2=-1.] ?2 ? ? ?
|x-1|

13.1 [∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴 x=1,∴a=1,f(x)=2 ∴f(x)的增区间为[1,+∞),∵[m,+∞)? [1,+∞),∴m≥1. ∴m 的最小值为 1.]



14.①④ [设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x1,g(x1)),D(x2,g(x2)), 对于①从 y=2 的图象可看出,m=kAB>0 恒成立,故正确; 对于②直线 CD 的斜率可为负,即 n<0,故不正确; 对于③由 m=n 得 f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2), 即 f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2), 令 h(x)=f(x)-g(x)=2 -x -ax, 则 h′(x)=2 ·ln 2-2x-a,由 h′(x)=0,∴2 ·ln 2=2x+a,(*)结合图象知,当
x x x
2

x

a 很小时,方程(*)无解,∴函数 h(x)不一定有极值点,就不一定存在 x1,x2 使 f(x1)-g(x1)
=f(x2)-g(x2),不一定存在 x1,x2 使得 m=n; 对于④由 m=-n,得 f(x1)-f(x2)=g(x2)-g(x1),
32

即 f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),

令 F(x)=f(x)+g(x)=2 +x +ax,则 F′(x)=2 ln 2+2x+a, 由 F′(x)=0,得 2 ln 2=-2x-a, 结合如图所示图象可知,该方程有解, 即 F(x)必有极值点,∴存在 x1,x2 使 F(x1)=F(x2),使 m=-n. 故①④正确.] 【一年模拟试题精练】 1.D [b=log3 2∈(0,1),而 a>c>1,故选 D.] 2.D [f(x)=e
|ln x|

x

2

x

x

x(x≥1), ? ? |ln x| =?1 而函数 y=f(x+1)的图象由函数 f(x)=e 向左 (0<x<1), ? ?x

平移了一个单位,故选 D.] 3. B 1 x ?1? 从而转化为函数的零点的问题, ?1? ?1? [构造函数 f(x)=x3-? ? , 因为 f? ?· f? ?<0, ?2? ?2? ?3?

?1 1? 所以在? , ?存在零点,故选 B.] ?3 2?
4.D 5.C 6.C 7.D
2

2 -1 2 [因为函数 f(x)= x 为奇函数且增函数,所以不等式 f(x-2)+f(x -4)<0 可 2 +1
2

x

化为 f(x -4)<f(2-x),所以 x -4<2-x,则-3<x<2,故选 D.] 8.A 9.2 =2.] 10.②③ [∵对任意两个不相等的实数 x1, x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1) 恒成立,∴不等式等价为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 恒成立,即函数 f(x)是定义在 R 上的增 函数.①函数 y=e +x 在定义域上为增函数,满足条件. ②函数 y=x 在定义域上不单调,不满足条件. ③y=3x-sin x,y′=3-cos x>0,函数单调递增,满足条件.
? ?ln|x|,x≠0, ④f(x)=? 当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满足 ?x,x=0. ?
2

-1 ?1? [由题意知当 x>0 时,f(x)为周期函数且周期为 4, 故 f(2 015)=f(-1)=? ? ?2?

x

条件.综上满足“H 函数”的函数为②③,故答案为:②③.]
33

11.解 (1)因为 f(-1)=f(2),所以 b=-1, 因为当 x∈[0,2], 都有 x≤f(x)≤2|x-1|+1,所以有 f(1)=1, 即 c=1,所以 f(x)=x -x+1; (2)法一 因为 f(x)在[-1,1]上有两个零点,且 c<0,
2

f(-1)≥0, ?-b+c+1≥0, ? ? ? 所以有?f(1)≥0, ? ?b+c+1≥0, ? ? ?c<0, ?c<0,

通过线性规划可得-2<2b+c<2. 法二 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2, 所以 f(x)=(x-x1)(x-x2), 不妨设 x1∈[-1,0),x2∈(0,1]. 因为 f(2)=(2-x1)(2-x2),且 2-x1∈(2,3],2-x2∈[1,2), 所以 f(2)∈(2,6),所以-2<2b+c<2. 考点 6 函数与方程及函数的应用 【两年高考真题演练】 1.D [

记 h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出 f(x)与 h(x)的图象如图,直线 AB:y=x-4, 当直线 l∥AB 且与 f(x)的图象相切时,由? 9 9 7 解得 b′=- ,- -(-4)= , 4 4 4 7 所以曲线 h(x)向上平移 个单位后, 所得图象与 f(x)的图象有四个公共点, 平移 2 个单 4
?y=x+b′, ? ? ?y=(x-2) ,
2

34

7 位后, 两图象有无数个公共点, 因此, 当 <b<2 时, f(x)与 g(x)的图象有四个不同的交点, 4 即 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点.选 D.] 2.A [A 正确等价于 a-b+c=0,① B 正确等价于 b=-2a,② 4ac-b C 正确等价于 =3,③ 4a D 正确等价于 4a+2b+c=8.④ 下面分情况验证,
2

a=5, ? ? 若 A 错,由②、③、④组成的方程组的解为?b=-10,符合题意; ? ?c=8.
若 B 错,由①、③、④组成的方程组消元转化为关于 a 的方程后无实数解; 若 C 错,由①、②、④组成方程组,经验证 a 无整数解; 3 若 D 错,由①、②、③组成的方程组 a 的解为- 也不是整数. 4 综上,故选 A.] 3. C
? ?192=e , 48 1 1 22k 11k b [由题意知? ∴e = = , ∴e = , ∴x=33 时, y=e33k+b=(e11k)3· e 22k+b 192 4 2 ?48=e , ?
b

3 ?1? =? ? ×192=24.] ?2? 4.B [由表知:汽车行驶路程为 35 600-3 500=600 千米,耗油量为 48 升,∴每 100 千米耗油量 8 升.] 5.D [设年平均增长率为 x,原生产总值为 a,则 a(1+p)(1+q)=a(1+x) ,解得 x = (1+p)(1+q)-1,故选 D.] 6.C
2

7.(0,2) [令 y=|2 -2|,作出其图象如图: 由图形知,当 0<b<2 时,

x

f(x)=|2x-2|-b 有两个零点.]
1 8.- 2 [∵|x-a|≥0 恒成立,∴要使 y=2a 与 y=|x-a|-1 只有一个交点,必有 2a
35

1 =-1,解得 a=- .] 2 9.2 2-2 [①当 a≤0 时,f(x)=|x -ax|在[0,1]上是增函数,所以 g(a)=f(1)
2

=1-a,此时 g(a)min=1; ②当 0<a<2 时,作出函数 f(x)=|x -ax|的大致图象如图:
2

? ? ? ? 2 由图易知,f(x)=|x -ax|在?0, ?上是增函数,在? ,a?上是减函数,在[a,1]上是 ? 2? ?2 ?
a a
增函数,此时,只需比较 f? ?与 f(1)的大小即可. ?2?

?a?

? a?2 a2 a? ?a? 由 f? ?=f(1), 得?? = |1 - a | , 得 =|1-a|, 解得 a=2 2-2 或 a=-2 2 ? ? -a·2? 4 ?2? ??2? ?
-2(舍)或 a=2(舍去). (ⅰ)当 0<a≤2 2-2 时, f? ?≤f(1), 所以 g(a)=f(1)=1-a, 此时 g(a)min=3-2 2; ?2?

?a?

?a? ?a? a (ⅱ)当 2 2-2<a<2 时,f? ?>f(1),所以 g(a)=f? ?= ,此时 3-2 2<g(a)<1; ?2? ?2? 4
③当 a≥2 时, f(x)=|x -ax|在[0, 1]上是增函数, 所以 g(a)=f(1)=a-1, 此时 g(a)min =1. 综上,当 a=2 2-2 时,g(a)min=3-2 2.]
? ?2 -1,x<1, ?1 ? 10. ①-1 ②? ,1?∪[2, +∞) [①当 a=1 时, f(x)=? ?2 ? ?4(x-1)(x-2),x≥1. ?
x
2

2

当 x<1 时,2 -1>-1. 3 ?3? 当 x≥1 时,且当 x= 时,f(x)min=f? ?=-1, 2 ?2? ∴f(x)最小值为-1. ②1°当 a≤0 时,2 -a>0, 由 4(x-a)(x-2a)=0 得 x=a 或 x=2a.a?[1,+∞), 2a?[1,+∞), ∴此时 f(x)无零点.
? ?a<1, 1 2°当 0<a<1 时,若有 2 个零点,只须? ∴ ≤a<1. ?2a≥1, 2 ?
x

x

3°当 1≤a<2 时,x<1,2 =a,x=log2a∈[0,1),
36

x

x≥1 时,由 f(x)=0,得 x=a 或 2a,a∈[1,+∞).
2a∈[1,+∞),有 3 个零点,不合题意. 4°当 a≥2 时,x<1,则 2 -a<0,
x

x≥1 时,由 f(x)=0,得 x=a 或 2a,a,2a∈[1,+∞),
1 此时恰有 2 个零点,综上 ≤a<1 或 a≥2.] 2 11. (-∞, 0)∪(1, +∞) 若 a>1 或 a<0 时, 由图象知 y=f(x)-b 存在 b 使之有两个零点,故 a∈(-∞,0)∪(1,+∞).] 12.160 【一年模拟试题精练】
? ?x [若 0≤a≤1 时, 函数 f(x)=? 2 ?x ?
3

(x≤a), 在 R 上递增, (x>a)

?1? ?1? 1.C [根据零点存在性定理,f? ?·f? ?<0,故选 C.] ?4? ?2?
2.B [利用零点存在性定理得到 f(1)·f(2)=(ln 2-2)·(ln 3-1)<0,故选 B.] 3.C [利用零点存在性定理得到 f(3)·f(2)<0,故选 C.] 4.C [利用排除法,f(a)·f(b)<0 是函数 f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条 件,故选 C.] 5.D 1 ?1? ?1? ?1 1? x [因为 g(x)=4 +2x-2,而 g? ?= 2+ -2<0,g? ?=1>0,故 x2∈? , ?,而 2 ?4? ?2? ?4 2?

1 函数 f(x)=8x-2 的零点为 ,故选 D.] 4 6.A [∵方程 2 +x+2=0 和方程 log2 x+x+2=0 的根分别为函数 y=2 ,y=log2 x 与直线 y=-x-2 的交点横坐标,而函数 y=2 ,y=log2 x 互为反函数,其图象关于 y=x 对称, 又直线 y=-x-2 与直线 y=x 垂直, 且两直线的交点坐标为(-1, -1), ∴p+q=-2, 则 f(x)=x +(p+q)x+pq+2=x -2x+pq+2, ∵该二次函数的对称轴为 x=1, ∴f(2)=f(0)<f(3).故选 A.] 7.C [平均融化速度为 v=
2 2

x

x

x

V(100)-V(0)
100-0

,反映的是 V(t)图象与坐标交点连线的

斜率,观察可知 t3 处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致,故选 C.]

37

8.B [设旅行团的人数为 x 人,每张机票收费为 m 元,旅行社获得的机票利润为 y, 当 1≤x≤30 且 x∈N 时,m=800,ymax=800×30-12 000=12 000, 当 30<x≤45 且 x∈N 时,m=800-20(x-30)=1 400-20x, 则 y=(1 400-20x)x-12 000=-20x +1 400x-12 000,对应的抛物线开口向下, 1 400 因为 x∈N,所以当 x=- =35,函数取得最大值. 2×(-20) 所以当旅行团人数为 35 人时,旅行社可获得最大利润.故选 B.] 30 ? ?4+x,0≤x<6, (1)因为 m=3,所以 y=? 3x ? ?12- 2 ,6≤x≤8.
2

9.解 法一

30 当 0≤x<6 时,由 ≥2,解得 x≤11,此时 0≤x<6; 4+x 3x 20 20 当 6≤x≤8 时,由 12- ≥2,解得 x≤ ,此时 6≤x≤ . 2 3 3 20 综上所述,0≤x≤ . 3 20 故若用一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗的时间可达 小时. 3 1 10 10m (2)当 6≤x≤8 时,y=2×(4- x)+m[ ]=8-x+ , 2 4+(x-6) x-2 因为 8-x+ 即 m≥ 10m ≥2 对 6≤x≤8 恒成立, x-2 对 6≤x≤8 恒成立,

x2-8x+12
10
2

等价于 m≥? 令 g(x)=

?x -8x+12? ,(6≤x≤8). ? 10 ? ?max
10 (x-4) -4 ,则函数 g(x)= 在[6,8]上是单调递增函数, 10
2

x2-8x+12

当 x=8 时,函数 g(x)=

x2-8x+12
10

6 取得最大值为 . 5

38

6 6 所以 m≥ ,所以所求的 m 的最小值为 . 5 5 法二 (1)同法一; 10 10m ? 1 ? (2)当 6≤x≤8 时,y=2×?4- x?+m[ ]=8-x+ , 2 4+(x-6) x-2 ? ? 注意到 y1=8-x 及 y2= 则 y=8-x+ 10m (1≤m≤4 且 m∈R)均关于 x 在[6,8]上单调递减, x-2

10m 关于 x 在[6,8]上单调递减, x-2

10m 5m 5m 6 故 y≥8-8+ = ,由 ≥2,得 m≥ , 8-2 3 3 5 6 所以所求的 m 的最小值为 . 5 考点 7 导数的概念、几何意义及定积分 【两年高考真题演练】 1 ?1? x 0 1.(1,1) [∵(e )′|x=0=e =1,设 P(x0,y0),有? ?′|x=x0=- 2=-1,又∵x0

?x?

x0

>0,∴x0=1,故 P 的坐标为(1,1).] 2.1 [f′(x)=3ax +1,f′(1)=1+3a,f(1)=a+2. (1,f(1))处的切线方程为 y-(a+2)=(1+3a)(x-1). 将(2,7)代入切线方程,得 7-(a+2)=(1+3a),解得 a=1.] 1 3.8 [由 y=x+ln x,得 y′=1+ ,得曲线在点(1,1)的切线的斜率为 k=y′|x=1
2

x

=2,所以切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1,此切线与曲线 y=ax +(a+2)x+1 相 切,消去 y 得 ax +ax+2=0,得 a≠0 且 Δ =a -8a=0,解得 a=8.] 4.0 [?2(x-1)dx=?
2 2

2

?0

? ?

1 2 ??2 1 x -x?? 0= ×22-2=0.] 2 2 ??

5.

1 [ 6

曲线 y=x

2

?y=x , ? 与直线 y=x 所围成的封闭图形如图,由? 得 A(1,1), ?y=x, ?
2

2

面积 S=?1xdx-?1x dx

?0

?0

39

1 2?1 1 2?1 1 1 1 = x ?0- x ? 0= - = .] 2 ? 3 ? 2 3 6 6. 11 6 [当 n=1 时,T=1+?1x dx=1+
1

?0

1 2?1 1 3 x ? 0=1+ = ; 2 ? 2 2

3 3 2 当 n=2 时,T= +?1x dx= + 2 ? 2
0

1 3?1 3 1 11 x 0= + = ; 3 ? 2 3 6 ?

11 当 n=3 时,结束循环,输出 T= .] 6 7.5x+y+2=0 8.5x+y-3=0 9.①③④ 10.(1)解 f′(x)=3x -6x+a,f′(0)=a. 曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax+2. 2 由题设得- =-2,所以 a=1.
2

a

(2)证明 由(1)知,f(x)=x -3x +x+2. 设 g(x)=f(x)-kx+2=x -3x +(1-k)x+4. 由题设知 1-k>0. 当 x≤0 时,g′(x)=3x -6x+1-k>0,g(x)上单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)= 4,所以 g(x)=0 在(-∞,0]上有唯一实根. 当 x>0 时,令 h(x)=x -3x +4,则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).
3 2 2 3 2

3

2

h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所
以 g(x)>h(x)≥h(2)=0. 所以 g(x)=0 在(0,+∞)上没有实根. 综上,g(x)=0 在 R 上有唯一实根,即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 【一年模拟试题精练】 1.C [设 p0(x0,y0),则 3x0+1=4,所以 x0=1,所以 p0 点的坐标为(1,0)和(-1, -4).故选 C.] e (x-2) 2.D [因为 f′(x)= 2 ,所以 f′(0)=-2,故在 x=0 处的切线方程为 2x (x-1) +y+1=0,故选 D.] 1 2 1 ?π ? 1 2 3.A [因为 f(x)= x +sin? +x?= x +cos x,所以 f′(x)= x-sin x 为奇函数, 4 2 ?2 ? 4
x
2 2

?π ? 且 f′? ?<0,故选 A.] ?6?
40

4.A 5.A [f′(x)=(n+1)x ,f(1)=1,∴P(1,1),k=f′(1)=n+1, ∴切线方程为 y-1=(n+1)(x-1)与 x 轴相交,∴xn=
n

n

n+1



2 012? ?1 2 ∴log2 013x1+log2 013x2+?+log2 013x2 012=log2 013(x1x2?x2 012)=log2 013? × ×?× 2 013? ?2 3 ? 1 =log2 013 =-1.] 2 013 6.A [?4π (16-x )dx
2

?0

1 3? 4 64π 128π ? =π ?16x- x ?|0=64π - = ,故选 A.] 3 3 3 ? ? 7.D 4 3 8.1 [设球的体积以均匀速度 c 增长,由题意可知球的体积为 V(t)= π R (t),则 c 3 =4π R (t)R′(t),则
2 2

c =4π R(t),则球的表面积的增长速度为 V 表=S′(t) R(t)R′(t)
2c R(t)

=(4π R (t))′=8π R(t)R′(t)=

即球的表面积的增长速度与球的半径的乘积为 V 表·R(t)=2c=1.] lg x (x>0) ? ? ? ?lg x(x>0), 9.1 [由题意知 f(x)=?x+ a3t2dt (x≤0)=? 所以 f(1)=0, 3 ? ?x+a (x≤0), ? ? ? 0 ?

f(f(1))=f(0)=a3=1,所以 a=1.]
2 1 10.2ln 2 [由定积分的几何意义,得围成的面积∫ 1 dx= x 2

?2 1 ln x?1=ln 2-ln =ln 4=2ln 2.] ? 2 ?2
1 2 11.(1)解 当 a=1 时,f(x)=x +x+ln x,f′(x)=2x+1+ ,

x

∴f(1)=2,f′(1)=4, 函数 f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 y-2=4(x-1) 即 4x-y-2=0. 1 (2)证明 当 a=0 时,设 g(x)=f(x)-(2x-1)=ln x-x+1(x>0),则 g′(x)= -1

x

1-x = ,

x

41

当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. 因此,函数 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上是单调递减 得 g(x)≤gmax(x)=g(1)=0,即 f(x)≤2x-1. 1 2ax +x+1 2 (3)解 由 f(x)=ax +x+ln x(x>0)得 f′(x)=2ax+1+ = .
2

x

x

当 a≥0 时 f′(x)>0,则 f(x)在(0,+∞)上是单调递增, 因此函数 f(x)至多只有一个零点,不符合题意. -1- 1-8a 2 当 a<0 时,由 2ax +x+1=0 得 x3= >0, 4a 因此,f(x)在(0,x3)上是单调递增,在(x3,+∞)上是单调递减, 所以 fmax(x)=f(x3). 一方面,当 x 从右边趋近于 0 时,f(x)→-∞; 当 x→+∞时,f(x)=ax +x+ln x≤ax +x+x-1=ax +2x-1(a<0), 因此,f(x)→-∞, 另一方面,由 f′(x3)=0 得 2ax3+x3+1=0,即 ax3=- 因此,f(x3)=ax3+x3+ln x3=-
2 2 2 2 2 2

x3+1
2 2

, ,

x3+1
2

+x3+ln x3=

x3-1+2ln x3

很明显 f(x3)在(0,+∞)上是单调递增且 f(1)=0, 根据题意得 f(x3)>0=f(1), ∴x3>1 即方程 2ax +x+1=0 有且只有一个大于 1 的正实数根. 设 h(x)=2ax +x+1,由 a<0 且 h(0)=1>0,得 h(1)>0 解得 a>-1, 所以,实数 a 的取值范围是(-1,0). 8.导数的应用一(单调性与极值) 【两年高考真题演练】 1.C [∵导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1,∴f′(x)-k>0,k-1>0, 1 >0,可 k-1
2 2

构造函数 g(x)=f(x)-kx, 可得 g′(x)>0, 故 g(x)在 R 上为增函数, ∵f(0)=-1, ∴g(0) =-1,∴g? ∴f?

? 1 ?>g(0), ? ?k-1?

? 1 ?- k >-1,∴f? 1 ?> 1 ,∴选项 C 错误,故选 C.] ? ?k-1? k-1 ?k-1? k-1 ? ?
f(x) ?f(x)?′ , 则 g(x)为偶函数, 且 g(1)=g(-1)=0.则当 x>0 时, g′(x)=? ? x ? x ?

2.A [因为 f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,所以 f(1)=-f(-1)=0.当 x≠0 时, 令 g(x)=

42



xf′(x)-f(x) <0,故 g(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数.所 x2 f(x) >0?f(x)>0; x f(x) <0?f(x)>0.综上,得使得 x

以在(0,+∞)上,当 0<x<1 时,g(x)>g(1)=0?

在(-∞,0)上,当 x<-1 时,g(x)<g(-1)=0?

f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),选 A.]
3.C 4.D 5.C [由题意知 f′(x)=3ax -6x=3x(ax-2),当 a=0 时,不满足题意.当 a≠0 2 ?2 ? 时,令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= ,当 a>0 时,f(x)在(-∞,0),? ,+∞?上单调递
2

a

?a

?

? 2? 增,在 ?0, ? 上单调递减.又 f(0)=1,此时 f(x)在(-∞,0)上存在零点,不满足题意; a ? ?
2? ? ?2 ? 当 a<0 时,f(x)在?-∞, ?,(0,+∞)上单调递减,在? ,0?上单调递增,要使 f(x)存

?

a?

?a

?

3 2 ?2? ?2? ?2? 在唯一的零点 x0,且 x0>0,则需 f? ?>0,即 a×? ? -3×? ? +1>0,解得 a<-2,故 a a a

? ?

? ?

? ?

选 C.] 6.C [设 f(x)=x ,f′(0)=0,但是 f(x)是单调增函数,在 x=0 处不存在极值,故
3

若 p 则 q 是一个假命题,由极值的定义可得若 q 则 p 是一个真命题.故选 C.] -5x(x+2) 7.解 (1)当 b=4 时,f′(x)= , 1-2x 由 f′(x)=0 得 x=-2 或 x=0. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;

? 1? 当 x∈?0, ?时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故 f(x)在 x=-2 处取极小值 f(-2)=0, ? 2?
在 x=0 处取极大值 f(0)=4. (2)f′(x) = -x[5x+(3b-2)] 1-2x -x ? 1? , 因为 当 x∈ ?0, ? 时 , <0 , 依题 意 ,当 ? 3? 1-2x 5 3

x∈?0, ?时,有 5x+(3b-2)≤0,从而 +(3b-2)≤0. 3

? ?

1?

?

1? ? 所以 b 的取值范围为?-∞, ?. 9? ? 【一年模拟试题精练】 1.C [函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象得 0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1,而
2

43

g(x)=ln x+f′(x)在定义域内单调递增,g? ?=ln +1+a<0,g(1)=ln 1+2+a=2 2

?1? ? ?

1 2

?1 ? +a>0,∴函数 g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是? ,1?;故选 C.] ?2 ?
2.D [f0(x)=sin x

f1(x)=f0′(x)=cos x f2(x)=f1′(x)=-sin x f3(x)=f2′(x)=-cos x f4(x)=f3′(x)=sin x
? 由上面可以看出,以 4 为周期进行循环. 所以 f2 015(x)=f3(x)=-cos x,故选 D.] 3.B [∵函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,∴函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,是偶函数.令 g(x)=xf(x),g(x)为奇函数则当 x∈(-∞,0)时,g′(x)=f(x) +xf′(x)<0,∴函数 g(x)在 x∈(-∞,0)上为减函数.因此函数 g(x)在(0,+∞)上单 调递减. 11 0.2 ∵log =2>2 >1>ln 2>0. 24 ∴c<a<b.故选 B.] 4.A [设 h(x)=xf(x), ∴h′(x)=f(x)+x·f′(x), ∵y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, ∴h(x)是定义在实数集 R 上的偶函数, 当 x>0 时,h′(x)=f(x)+x·f′(x)>0, ∴此时函数 h(x)单调递增. 1 ?1? ?1? ? 1? ? 1? ? 1? ∵a= f? ?=h? ?,b=-2f(-2)=2f(2)=h(2),c=?ln ?f?ln ?=h?ln ?=h(- 2 ?2? ?2? ? 2? ? 2? ? 2? 1 ln 2)=h(ln 2),又 2>ln 2> ,∴b>c>a.故选 A.] 2 5.(1,2) [∵函数 f(x)=x -3x +3x+1,∴f′(x)=3x -6x+3,∴f″(x)=6x- 6.令 f″(x)=6x-6=0, 解得 x=1, 且 f(1)=2, 故函数 f(x)=x -3x +3x 对称中心为(1, 2),故答案为(1,2).] 6.①③ 1 a 1 7.解 (1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- , 4 x x
3 2 3 2 2

44

1 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x 知 2

f′(1)=- -a=-2,解得 a= . x2-4x-4a (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知 f′(x)= 2 4x
令 g(x)=x -4x-4a,由于 Δ =16+16a=16(a+1), 当 a=-1 时,Δ =0,g(x)≥0,f′(x)≥0 恒成立, 函数 f(x)在(0, +∞)上单调递增; 当 a<-1 时,Δ <0,g(x)>0,f′(x)>0 恒成立, 函数 f(x)在(0, +∞)上单调递增; 当 a>-1 时,Δ >0.设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点, 则 x1=2-2 a+1,x2=2+2 a+1. 若-1<a<0 时,x1=2-2 a+1>0,x2>0. 所以,x∈(0,x1)时,g(x)>0,f(x)>0,函数 f(x)单调递增,x∈(x1,x2)时,g(x) <0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减,x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x) 单调递增. 若 a≥0 时,x1=2-2 a+1≤0,x2>0. 所以,x∈(0,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减,
2

3 4

5 4

x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f(x)>0,函数 f(x)单调递增.
综上可得,当 a≤-1 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增;当-1<a<0 时,函数

f(x) 在 (0 , 2 - 2 a+1) 上单调递增,在 (2 - 2 a+1 , 2 + 2 a+1) 上单调递减,在 (2 +
2 a+1,+∞)上单调递增;当 a≥0 时,函数 f(x)在(0,2+2 a+1)上单调递减,在(2 +2 a+1,+∞)上单调递增.

45

考点 9 导数的应用二(函数的最值与实际应用) 【两年高考真题演练】 1.(1)解 因为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x), 1 1 所以 f′(x)= + ,f′(0)=2. 1+x 1-x 又因为 f(0)=0,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=2x. (2)证明 令 g(x)=f(x)-2?x+ ?, ? 3? 2x 2 则 g′(x)=f′(x)-2(1+x )= 2. 1-x 因为 g′(x)>0(0<x<1),所以 g(x)在区间(0,1)上单调递增. 所以 g(x)>g(0)=0,x∈(0,1), 即当 x∈(0,1)时,f(x)>2?x+ ?. ? 3?
4

?

x3?

?

x3?

? x? (3)解 由(2)知,当 k≤2 时,f(x)>k?x+ ?对 x∈(0,1)恒成立. ? 3? ? x? 当 k>2 时,令 h(x)=f(x)-k?x+ ?, ? 3?
则 h′(x)=f′(x)-k(1+x )=
2 3

3

kx4-(k-2) . 2 1-x

所以当 0<x<

4 k-2 ? 4 k-2? 时,h′(x)<0,因此 h(x)在区间?0, ?上单调递减.

k

?

k ?

4 k-2 x3? ? 当 0<x< 时,h(x)<h(0)=0,即 f(x)<k?x+ ?. k ? 3?

? x? 所以当 k>2 时,f(x)>k?x+ ?并非对 x∈(0,1)恒成立. ? 3?
综上可知,k 的最大值为 2. 2.解

3

(1)由题意知,点 M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).

46

将其分别代入 y=

a
2

x +b



a ? ?25+b=40, ? ?a=1 000, 得? 解得? ?b=0. a ? ?400+b=2.5, ?
1 000 (2)①由(1)知,y= 2 (5≤x≤20),

x

? 1 000? 则点 P 的坐标为?t, 2 ?, ?
t

?

2 000 设在点 P 处的切线 l 交 x,y 轴分别于 A,B 点,y′=- 3 ,

x

1 000 2 000 则 l 的方程为 y- 2 =- 3 (x-t),

t

t

?3t ? ? 3 000? 由此得 A? ,0?,B?0, 2 ?. t ? ?2 ? ?
故 f(t)= 2 2 ?3t? +?3 000 ? 3 ? 2 ? ? t2 ? =2 ? ? ? ?
6 2

t2+

4×10

6

t

4

,t∈[5,20].
6

4×10 16×10 ②设 g(t)=t + 4 ,则 g′(t)=2t- . 5

t

t

令 g′(t)=0,解得 t=10 2. 当 t∈(5,10 2)时,g′(t)<0,g(t)是减函数; 当 t∈(10 2,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数. 从而,当 t=10 2时,函数 g(t)有极小值,也是最小值, 所以 g(t)min=300,此时 f(t)min=15 3. 答:当 t=10 2时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 3千米. 3.解 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x . -1- 4+3a -1+ 4+3a 令 f′(x)=0,得 x1= ,x2= ,x1<x2. 3 3 所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0; 当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,2)内单调递增. (2)因为 a>0, 所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1.
2

47

由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增. 所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1. 由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减. -1+ 4+3a 所以 f(x)在 x=x2= 处取得最大值. 3 又 f(0)=1,f(1)=a,所以 当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 处和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 【一年模拟试题精练】 1.A [求导数可得:f′(x)=x +2ax+2b,∵f(x)有两个极值点 x1,x2,∴f′(x)有 两个零点, ∵-1<x1<1<x2<2,∴-1<-a<2,∴-2<a<1① 又 f′(-1)=-2a+2b+1>0,即 2a-2b-1<0,②
2

f′(1)=2a+2b+1<0,③ f′(2)=4a+2b+4>0,即 2a+b+2>0.④
在坐标系 aOb 中,满足①②③④的可行域如图所示

直线 bx-(a-1)y+3=0 的斜率 k= 连线的斜率,

b ,表示可行域中动点 M(a,b)与定点 D(1,0) a-1

? ? ?a=- , ?2a+2b+1=0, 2 此时与定点 D(1,0)连线的斜率为 1-0 =-2. 由? 可得? 3 5 ?2a+b+2=0 ? ?
3

?b=1,
1

- -1 2

? ? ?a=- ?2a-2b-1=0, 2,此时与定点 D(1,0)连线的斜率为-1-0=2. ? 由 可得? 1 3 ?2a+b+2=0 ? ? ?b=-1
- -1 2

? 2 2? ∴直线 bx-(a-1)y+3=0 的斜率的取值范围是?- , ?故选 A.] ? 5 3?
48

1 x 2.B [函数 y= e 和函数 y=ln(2x)互为反函数图象关于 y=x 对称.则只有直线 PQ 2

? 1 x? 与直线 y=x 垂直时|PQ|才能取得最小值.设 P?x, e ?,则点 P 到直线 y=x 的距离为 d= ? 2 ? ?1ex-x? ?2 ? ? ?
2 1 x 1 x 1 x ,令 g(x)= e -x,(x>0),则 g′(x)= e -1,令 g′(x)= e -1>0 得 x>ln 2; 2 2 2

1 x 令 g′(x)= e -1<0 得 0<x<ln 2,则 g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单 2 1 ln 2 1-ln 2 调递增.则 x=ln 2 时,g(x)min= e -ln 2=1-ln 2>0,所以 dmin= .则|PQ|=2dmin 2 2 = 2(1-ln 2).故 B 正确.] 3. 2 2-2 [由题意得 f′(x)=2ax+b, 由 f(x)≥f′(x)得: ax +(b-2a)x+c-b≥0 在 R 上恒成立,等价于 a>0 且 Δ ≤0,可解得 b ≤4ac-4a =4a(c-a),则:
2 2 2

? ? 4? -1? 2 4ac-4a ?a ? ≤ 2 = , a2+c2 a +c2 2 ?c? +1 ? ?
c b2

? a?

令 t= -1,(t>0), 4t y= 2 = t +2t+2 4 4 ≤ =2 2-2 2 2 2+2 t+ +2

c a

t



b2
2

a +c2

最大值为 2 2-2.]
x

4.(1)解 f′(x)=e -a. ①当 a≤1 时,f′(x)=e -a≥0 对? x≥0 恒成立,即 f(x)在(0,+∞)为单调递增函 数; 又 f(0)=0,即 f(x)≥f(0)=0 对? x≥0 恒成立. ②当 a>1 时,令 f′(x)=0,得 x=ln a>0. 当 x∈(0,ln a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 若 f(x)≥0 对任意 x≥0 恒成立,则只需
x

f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-1=a-aln a-1≥0.
又 g(a)=a-aln a-1(a>1),g′(a)=1-ln a-1=-ln a<0,即 g(a)在区间(1,+ ∞)上单调递减;又注意到 g(1)=0.故 g(a)<0 在区间(1,+∞)上恒成立.即 a>1 时,满足

a-aln a-1≥0 的 a 不存在.
49

综上:a≤1. (2)证明 当 a=1 时,f(x)=e -x-1,f′(x)=e -1,易得 f(x)min=f(0)=0, 即 e ≥x+1 对任意 x∈R 恒成立.
x x x

n 3i-1 3i-1 3i-1 ? 3i-1? ≤(e-3i-1)n 取 x=- (i=1, 2, ?, n), 有 1- ≤e- , 即? 1- 3n ? 3n 3n 3n 3n ? ?
3i-1 =e- . 3

n 2 ?n ? 5 ?n ? ? 3n-1? ≤e-2+e-5+?+e-3n-1. 相加即得:?1- ? +?1- ? +?+?1- ? 3n ? 3 3 3 ? 3n? ? 3n? ? n n n n 2 ?n ? 5 ?n ? ? 3n-1? =?3n-2? +?3n-5? +?+? 1 ? ≤e-2+ 即?1- ? +?1- ? +?+?1- ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 3 ? 3n? ? 3n? ? ? 3n ? ? 3n ? ?3n?
5 3n-1 e- +?+e- . 3 3 2 5 3n-1 2 n n n n 故 (3n - 2) + (3n - 5) + ? + 1 ≤ e - + e - + ? + e - (3n) = e - 3 3 3 3 1 e 3 n n (3n) < (3n) , e-1 1 e 3 n n n n n 即 n≥2,n∈N 时,恒有 1 +4 +7 +?+(3n-2) < (3n) . e-1 5.解 (1)L(x)=(x-3-a)(12-x) (9≤x≤11) (2)L(x)=(x-3-a)(x-12)
2 2

1-

1 n e 1 1- e

L′(x)=(x-12)2+2(x-3-a)(x-12)
=(x-12)[x-12+2x-6-2a] =(x-12)(3x-18-2a) 令 L′(x)=0,又 9≤x≤11, 18+2a 2 ∴x= =6+ a,而 3≤a≤5. 3 3 9 2 当 3≤a≤ 时,6+ a≤9. 2 3

L′(x)<0,∴L(x)在[9,11]上是减函数,
∴L(x)max=L(9)=54-9a, 9 2 当 <a≤5 时,9<6+ a<11, 2 3

50

2 ? 2 ? ? ? x∈?9,6+ a?时,L′(x)≥0,L(x)在?9,6+ a?上是增函数.

? ?

3 ?

?

3 ?

? ? ? ? x∈?6+ a,11?时,L′(x)≤0,L(x)在?6+ a,11?上是减函数.
2 3

?

?

2 3

?

3 ? 2 ? ? a? ∴L(x)max=L?6+ a?=4?3- ? , ? 3 ? ? 3? 9 54-9a,3<a≤ , ? 2 ? =? 3 ?3-a? ,9<a≤5. 4 ? ? ?? ? 3? 2

综上:Q(a)=L(x)max

51


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