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2011届高三数学一轮复习:1.2.1《常数函数与幂函数的导数》测试3(新人教B版选修2-2)


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常数函数与幂函数的导数
第 1 题. 2007 海南、宁夏文)设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4 答案:解: f ( x) 的定义域为 ? ? , ? ? . ?
2

? 3 1? ? ?

? 3 ? 2

? ?

2 4 x 2 ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) (Ⅰ) f ?( x) ? . ? 2x ? ? 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3
当?

3 1 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2
? 3 ? 2 ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1? ? 单调减少. 2?

从而, f ( x) 分别在区间 ? ? , 1? , ? ? , ? ? 单调增加,在区间 ? ?1 ? ? ? ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 2 4 4 4 又 f ??

? 3 1? ? ?

? 1? ? ?

1

3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? 3? ?1? ? ? f ? ? ? ln ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 9 ? ? 4? ?4?

? ln . 所以 f ( x) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? 2 ? 4 ? 16 ? 4 4?
第 2 题. (2002 海南、宁夏理)曲线 y ? e 2 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
2

? 3 1?

?1?

1

7

1

x



A.

9 2 e 2

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

答案:D 第 3 题. (2007 海南、宁夏理)设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x .
2

(I)若当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln 答案:解: (Ⅰ) f ?( x) ?

e . 2

1 ? 2x , x?a

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依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? 从而 f ?( x) ?

3 . 2

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) . ? 3 3 x? x? 2 2

3 ? 3 ? ? f ( x) 的定义域为 ? ? , ? ? .当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 2 ? 2 ?
当 ?1 ? x ? ? 当x??

1 时, f ?( x) ? 0 ; 2

1 时, f ?( x) ? 0 . 2
? 3 ? 2 ? ? 1 ? ? 2 ? ?

从而, f ( x) 分别在区间 ? ? , 1?,? , ? ? 单调增加,在区间 ? ?1 ? ? ? ? ,

? ?

1? ? 单调减少. 2?

(Ⅱ) f ( x) 的定义域为 (?a, ?) , f ?( x) ? ?

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 .
2 2

(ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 无极值.

(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 .

? 若 a ? 2 , x ? (? 2, ?) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1) 2 . x? 2

当x??

? ? 2? ? 2 2 ? , ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 无极值. ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? ? 2, ???? ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? ?

? 若 a ? ? 2 , x ? ( 2, ?) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1) 2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2
2

(ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ? 2 或 a ? ? 2 ,则 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实根

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 x1 ? , x2 ? . 2 2
当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x) 在 f ( x) 的定义域内没有零点, 故 f ( x) 无极值.

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当 a ? 2 时, x1 ? ? a , x2 ? ? a , f ?( x) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点, 由极值判别方法知 f ( x) 在 x ? x1,x ? x2 取得极值.

? 综上, f ( x) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2, ?) .

f ( x) 的极值之和为

1 e 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln . 2 2
第 4 题. (2007 湖南理)函数 f ( x) ? 12 x ? x 在区间 [?3, 上的最小值是 3]
3



答案: ?16 第 5 题. (2007 湖南文)已知函数 f ( x) ? (I)求 a ? 4b 的最大值;
2

1 3 1 2 , 3] x ? ax ? bx 在区间 [?11) , (1, 内各有一个极值点. 3 2

(II)当 a ? 4b ? 8 时,设函数 y ? f ( x) 在点 A(1 f (1)) 处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿过函数 y ? f ( x) ,
2

的图象(即动点在点 A 附近沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 A 时,从 l 的一侧进入另一侧) ,求函数 f ( x) 的 表达式. 答案:解 : I)因为函数 f ( x) ? (

1 3 1 2 , 3] x ? ax ? bx 在区间 [? 1 1) , (1, 内分别有一个极值点 ,所以 3 2

f ?( x) ? x 2 ? ax ? b ? 0 在 [?11) , (1, 内分别有一个实根, , 3]
设两实根为 x1,x2 ( x1 ? x2 ) ,则 x2 ? x1 ?

a 2 ? 4b ,且 0 ? x2 ? x1 ≤ 4 .于是

0 ? a 2 ? 4b ≤ 4 ,0 ? a2 ? 4b ≤16 ,且当 x1 ? ?1, 2 ? 3 ,即 a ? ?2 ,b ? ?3 时等号成立.故 a 2 ? 4b x
的最大值是 16. (II)解法一:由 f ?(1) ? 1 ? a ? b 知 f ( x) 在点 (1 f (1)) 处的切线 l 的方程是 ,

2 1 y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1) ,即 y ? (1 ? a ? b) x ? ? a , 3 2
因为切线 l 在点 A(1 f (1)) 处穿过 y ? f ( x) 的图象, , 所以 g ( x) ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ?

2 1 ? a] 在 x ? 1 两边附近的函数值异号,则 3 2

x ? 1 不是 g ( x) 的极值点.
而 g ( x) ?

1 3 1 2 2 1 x ? ax ? bx ? (1 ? a ? b) x ? ? a ,且 3 2 3 2

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g ?( x) ? x 2 ? ax ? b ? (1 ? a ? b) ? x 2 ? ax ? a ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1 ? a) .
若 1 ? ?1 ? a ,则 x ? 1 和 x ? ?1 ? a 都是 g ( x) 的极值点. 所以 1 ? ?1 ? a ,即 a ? ?2 .又由 a ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 .故 f ( x) ?
2

1 3 2 x ?x ?x. 3

解法二:同解法一得 g ( x) ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ?

2 1 ? a] 3 2 1 3a 3 ? ( x ? 1)[ x 2 ? (1 ? ) x ? (2 ? a)] . 3 2 2

因为切线 l 在点 A(1 f (1)) 处穿过 y ? f ( x) 的图象,所以 g ( x) 在 x ? 1 两边附近的函数值异号.于是存在 ,

m1,m2 ( m1 ? 1 ? m2 ) .
当 m1 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 ; 或当 m1 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 . 设 h( x ) ? x ? ? 1 ?
2

? ?

3a ? 3a ? ? ? x ? ? 2 ? ? ,则 2 ? 2 ? ?

当 m1 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 ; 或当 m1 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 . 由 h(1) ? 0 知 x ? 1 是 h( x) 的一个极值点,则 h?(1) ? 2 ?1 ? 1 ? 所以 a ? ?2 .又由 a ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x) ?
2
3

3a ? 0. 2

1 3 2 x ?x ?x 3

3? 第 6 题. (2007 江苏)已知函数 f ( x) ? x ? 12 x ? 8 在区间 ? ?3, 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则

M ? m ? _____. 答案: 32
第 7 题. (2007 江西理)设 p : f ( x) ? e ? ln x ? 2 x ? mx ? 1 在 (0, ?) 内单调递增,q : m ≥ ?5 , p 是 q 则 ?
x 2

的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:B

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

第 8 题. (全国卷 I 理)设函数 f ( x) ? e ? e .
x

?x

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(Ⅰ)证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; (Ⅱ)若对所有 x≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围答案:解: (Ⅰ) f ( x) 的导数 f ?( x) ? e ? e .
x ?x

e 由于 e ? e ≥ 2 e ?
x -x x

?x

? 2 ,故 f ?( x) ≥ 2 .

(当且仅当 x ? 0 时,等号成立) . (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则

y A P B
F1 O

D
F2

g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e x ? e? x ? a ,
x ?x (ⅰ)若 a ≤ 2 ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? e ? e ? a ? 2 ? a ≥ 0 ,

x
C

故 g ( x) 在 (0, ∞) 上为增函数, ? 所以, x≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ,即 f ( x) ≥ ax . (ⅱ)若 a ? 2 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln

a ? a2 ? 4 , 2

此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0,x1 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ≥ ax 相矛盾.

2 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?∞,? .
第 9 题. (2007 全国 I 文)曲线 y ?

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3?
1 3
D.



A.

1 9

B.

2 9

C.

2 3
2

答案:A 第 10 题. (2007 全国 I 文)设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围. 3]
2

答案: (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
2

因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

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即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 8c ,
3 2

f ?( x) ? 6 x 2 ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) .
当 x ? (0, 时, f ?( x) ? 0 ; 1) 当 x ? (1 2) 时, f ?( x) ? 0 ; , 当 x ? (2, 时, f ?( x) ? 0 . 3) 所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

3? 则当 x ? ? 0, 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 3? 因为对于任意的 x ? ? 0, ,有 f ( x) ? c 恒成立,
2

所以 解得

9 ? 8c ? c2 ,

c ? ?1 或 c ? 9 ,

因此 c 的取值范围为 (??, 1) ? (9, ?) . ? ? 第 11 题. (2007 全国 II 理)已知函数 f ( x) ? x ? x .
3

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (2)设 a ? 0 ,如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ?a ? b ? f (a) . 答案:解: (1)求函数 f ( x) 的导数: f ?( x) ? 3x ? 1 .
2

曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为:

y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) ,


y ? (3t 2 ? 1) x ? 2t 3 .

(2)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使

b ? (3t 2 ? 1)a ? 2t 3 .

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于是,若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程

2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0
有三个相异的实数根. 记 则

g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ,
g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at ? 6t (t ? a) .

当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t
g ?(t ) g (t )

(??, 0)

0 0 极大 值a?b

(0,a)
?

a
0 极小值

(a, ?) ?

?
?

?
?

?

b ? f (a )

由 g (t ) 的单调性,当极大值 a ? b ? 0 或极小值 b ? f (a) ? 0 时,方程 g (t ) ? 0 最多有一个实数根; 当 a ? b ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? 0,t ?

3a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数根; 2

当 b ? f (a) ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? ? ,t ? a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数根. 综上, 如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线, g (t ) ? 0 有三个相异的实数根, ? 即 则 即

a 2

? a ? b ? 0, ?b ? f (a ) ? 0.

?a ? b ? f (a ) .

第 12 题. (2007 陕西理)设函数 f ( x) ?

ex ,其中 a 为实数. x 2 ? ax ? a

(I)若 f ( x) 的定义域为 R ,求 a 的取值范围; (II)当 f ( x) 的定义域为 R 时,求 f ( x) 的单调减区间. 答案:解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 R ,? x ? ax ? a ? 0 恒成立,?? ? a ? 4a ? 0 ,
2 2

? 0 ? a ? 4 ,即当 0 ? a ? 4 时 f ( x) 的定义域为 R .
(Ⅱ) f ?( x) ?

x( x ? a ? 2)e x ,令 f ?( x) ≤ 0 ,得 x( x ? a ? 2) ≤ 0 . ( x 2 ? ax ? a) 2

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由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 ? a ,又? 0 ? a ? 4 ,

? 0 ? a ? 2 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ? a ;
当 a ? 2 时, f ?( x) ≥ 0 ;当 2 ? a ? 4 时,由 f ?( x) ? 0 得 2 ? a ? x ? 0 , 即当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 的单调减区间为 (0,? a) ; 2 当 2 ? a ? 4 时, f ( x) 的单调减区间为 (2 ? a, . 0) 第 13 题. (2007 浙江理)设 f ( x) ?
2 x3 2 ,对任意实数 t ,记 gt ( x) ? t 3 x ? t . 3 3

(I)求函数 y ? f ( x) ? g8 ( x) 的单调区间; (II)求证: (ⅰ)当 x ? 0 时, f ( x) ≥ gt ( x) 对任意正实数 t 成立; (ⅱ)有且仅有一个正实数 x0 ,使得 g8 ( x0 ) ≥ gt ( x0 ) 对任意正实数 t 成立. 答案: (I)解: y ?
2

x3 16 ? 4x ? . 3 3

由 y? ? x ? 4 ? 0 ,得

x ? ?2 .
因为当 x ? (??, 2) 时, y? ? 0 , ? 当 x ? (?2, 时, y? ? 0 , 2) 当 x ? (2, ?) 时, y? ? 0 , ? 故所求函数的单调递增区间是 (??, 2) , (2, ?) , ? ? 单调递减区间是 (?2, . 2) (II)证明: (i)方法一: 令 h( x ) ? f ( x ) ? g t ( x ) ?

x3 2 2 ? t 3 x ? t ( x ? 0) ,则 3 3

h?( x) ? x 2 ? t 3 ,
当 t ? 0 时,由 h?( x) ? 0 ,得 x ? t .
1 3

2

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当 x ? (0,x ) 时, h?( x) ? 0 , 当 x ? ( x , ?) 时, h?( x) ? 0 , ? 所以 h( x) 在 (0, ?) 内的最小值是 h(t 3 ) ? 0 . ? 故当 x ? 0 时, f ( x) ≥ gt ( x) 对任意正实数 t 成立. 方法二: 对任意固定的 x ? 0 ,令 h(t ) ? gt ( x) ? t 3 x ?
1 2 ?1 3 h?(t ) ? t ( x ? t 3 ) , 3

1 3

1 3

1

2

2 t (t ? 0) ,则 3

由 h?(t ) ? 0 ,得 t ? x .
3

当 0 ? t ? x 时, h?(t ) ? 0 .
3

当 t ? x 时, h?(t ) ? 0 ,
3

所以当 t ? x 时, h(t ) 取得最大值 h( x ) ?
3

3

1 3 x . 3

因此当 x ? 0 时, f ( x) ≥ gt ( x) 对任意正实数 t 成立. (ii)方法一:

f (2) ?

8 ? g8 (2) . 3

由(i)得, g8 (2) ≥ gt (2) 对任意正实数 t 成立. 即存在正实数 x0 ? 2 ,使得 g8 (2) ≥ gt (2) 对任意正实数 t 成立. 下面证明 x0 的唯一性: 当 x0 ? 2 , x0 ? 0 , t ? 8 时,

f ( x0 ) ?

x03 16 , g8 ( x0 ) ? 4 x0 ? , 3 3 x03 16 ? 4 x0 ? , 3 3

由(i)得,

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再取 t ? x0 ,得 g x 3 ( x0 ) ?
3
0

x03 , 3

16 x03 所以 g8 ( x0 ) ? 4 x0 ? ? ? g x 3 ( x0 ) , 0 3 3
即 x0 ? 2 时,不满足 g8 ( x0 ) ≥ gt ( x0 ) 对任意 t ? 0 都成立. 故有且仅有一个正实数 x0 ? 2 , 使得 g8 ( x0 ) ≥ gt ( x0 ) 对任意正实数 t 成立. 方法二:对任意 x0 ? 0 , g8 ( x0 ) ? 4 x0 ? 因为 gt ( x0 ) 关于 t 的最大值是

16 , 3

1 3 x0 ,所以要使 g8 ( x0 ) ≥ gt ( x 0) 对任意正实数成立的充分必要条件是: 3

4 x0 ?

16 1 3 ≥ x0 , 3 3
2

即 ( x0 ? 2) ( x0 ? 4) ≤ 0 ,



又因为 x0 ? 0 ,不等式①成立的充分必要条件是 x0 ? 2 , 所以有且仅有一个正实数 x0 ? 2 , 使得 g8 ( x0 ) ≥ gt ( x0 ) 对任意正实数 t 成立. 第 14 题. (2007 湖北理)已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2 ax , g ( x) ? 3a 2 ln x ? b ,其中 2

a ? 0 .设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) . 答案:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解: (Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . x

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ax0 ? 3a ln x0 ? b, 3a 2 ? x0 ? 2a ? 即? 由 得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) . 3a 2 x0 ? x0 ? 2a ? , ? x0 ?

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1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2 5 令 h(t ) ? t 2 ? 3t 2 ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是 2
即有 b ? 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 ; 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 .
1 ? 1 ? ? ? 3 ? 故 h(t ) 在 ? 0,e ? 为增函数,在 ? e 3, ∞ ? 为减函数, ? ? ? ?
1 1

于是 h(t ) 在 (0, ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ? ?

? ?

1

? ?

3 2 e3 . 2

(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F ?( x) ? x ? 2a ?

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) , 2

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) . x x

故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a, ∞) 为增函数, ? 于是函数 F ( x) 在 (0, ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 . ? 故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) 第 15 题. (2007 安徽文)设函数 f ( x) ? ? cos x ? 4t sin
2

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , x ?R , 2 2

其中 t ≤ 1 ,将 f ( x) 的最小值记为 g (t ) . (I)求 g (t ) 的表达式; (II)讨论 g (t ) 在区间 (?11) 内的单调性并求极值. , 答案:解: (I)我们有

x x f ( x) ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 2 2
? sin 2 x ?1 ? 2t sin ? 4t 2 ? t 2 ? 3t ? 4 ? sin 2 x ? 2t sin x ? t 2 ? 4t 3 ? 3t ? 3
? (sin x ? t )2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
2 由于 (sin x ? t ) ≥ 0 , t ≤ 1 ,故当 sin x ? t 时, f ( x) 达到其最小值 g (t ) ,即

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g (t ) ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
(II)我们有 g ?(t ) ? 12t ? 3 ? 3(2t ? 1)(2t ? 1), ? t ? 1 . ??
2

列表如下:

t
g ?(t )

?? ? ? ? ?1, ? 2? ?

?

1 2

? 1 ?? ?? , ? ? 2 2?
?

1 2

?1 ? 1? ? , ?2 ?

?

0
极大值

0
?1? ? ?2?

?

g (t )

?

? 1? g?? ? ? 2? ? ?

?

极小值 g ?

?

由此可见, g (t ) 在区间 ? ?1 ? ,

1? ?1 ? ? 1 1? ?1? 1? ? 和 ? , 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值为 g ? ? ? 2 , 2? ?2 ? ? 2 2? ?2?

极大值为 g ? ?

? ?? ??4. ? 2?

第 16 题. 设 a ≥ 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0) . (Ⅰ)令 F ( x) ? xf ?( x) ,讨论 F ( x) 在 (0, ∞) 内的单调性并求极值; ? (Ⅱ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 答案: (Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ? 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ? 列表如下:

2ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

x
F ?( x) F ( x)

(0, 2)
?

2 0 极小值

(2, ∞) ?

?
?

?

F (2)

故 知 F ( x) 在 (0, 内 是 减 函 数 , 在 (2, ∞) 内 是 增 函 数 , 所 以 , 在 x ? 2 处 取 得 极 小 值 2) ?

F( 2 ) ? ? 2

2 l ? 2 .2 n a

(Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 .

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于是由上表知,对一切 x ? (0, ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . ? 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ∞) 内单调增加. ? 所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 .
2

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

第 17 题. (2007 天津理)已知函数 f ( x) ?

2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R ) ,其中 a ?R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值. 答案: (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x) ? 又 f ?( x) ?

2x 4 , f (2) ? , 5 x ?1
2

2( x 2 ? 1) ? 2 x 2 x 2 ? 2 x 2 · 6 ? 2 , f ?(2) ? ? . 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 25

所以,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y ? 即 6 x ? 2 y ? 32 ? 0 . (Ⅱ)解: f ?( x) ?

4 6 ? ? ( x ? 2) , 5 25

2a( x 2 ? 1) ? 2 x(2ax ? a 2 ? 1) ?2( x ? a)(ax ? 1) ? . ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. (1)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? ?

1 , x2 ? a .当 x 变化时, f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表: a

x
f ?( x) f ( x)
? 所以 f ( x) 在区间 ? ?∞,
函数 f ( x) 在 x1 ? ?

1? ? ? ? ?∞, ? a? ?
?

1 a
0

? 1 ? ? ? ,a ? ? a ?

a
0

(a, ∞) ?
?

?
?

?

极 小值

极 大值

?

? ?

1? ? 1 ? ? ? , (a, ∞) 内为减函数,在区间 ? ? ,a ? 内为增函数. a? ? a ? ? 1? f ? ? ? ,且 ? a? ? 1? f ? ? ? ? ?a 2 , ? a?

1 处取得极小值 a

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1 处取得极大值 f (a ) ,且 f (a) ? 1 . a 1 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? a,x2 ? ? ,当 x 变化时, f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表: a
函数 f ( x) 在 x2 ?

x
f ?( x) f ( x)

? ?∞,a ? a
?
?
? 1 ? a
0 极 大值

1? ? ? ? a, ? a? ?
?

?
0

1 a

? 1 ? ? ? ,+ ∞? ? a ?

?
?
1? ? 内为减函数. a?

?

极 小值

所以 f ( x) 在区间 (?∞,a) , ? ? ,+ ∞ ? 内为增函数,在区间 ? a, ? 函数 f ( x) 在 x1 ? a 处取得极大值 f (a ) ,且 f (a) ? 1 . 函数 f ( x) 在 x2 ? ?

? ?

? ?

1 处取得极小值 a

? 1? f ? ? ? ,且 ? a?

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 . ? a?

第 18 题. (2007 天津理)已知函数 f ( x) ?

2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R ) ,其中 a ?R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值. 答案: (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x) ? 又 f ?( x) ?

2x 4 , f (2) ? , 5 x ?1
2

2( x 2 ? 1) ? 2 x 2 x 2 ? 2 x 2 · 6 ? 2 , f ?(2) ? ? . 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 25

所以,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y ? 即 6 x ? 2 y ? 32 ? 0 . (Ⅱ)解: f ?( x) ?

4 6 ? ? ( x ? 2) , 5 25

2a( x 2 ? 1) ? 2 x(2ax ? a 2 ? 1) ?2( x ? a)(ax ? 1) ? . ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. (1)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? ?

1 , x2 ? a .当 x 变化时, f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表: a

x

1? ? ? ? ?∞, ? a? ?

1 a

? 1 ? ? ? ,a ? ? a ?

a

(a, ∞) ?

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f ?( x) f ( x)
所以 f ( x) 在区间 ? ?∞, ?

?

0 极 小值

?
?

0 极 大值

?

?

?

? ?

1? ? 1 ? ? ? , (a, ∞) 内为减函数,在区间 ? ? ,a ? 内为增函数. a? ? a ? ? 1? f ? ? ? ,且 ? a? ? 1? f ? ? ? ? ?a 2 , ? a?

函数 f ( x) 在 x1 ? ? 函数 f ( x) 在 x2 ?

1 处取得极小值 a

1 处取得极大值 f (a ) ,且 f (a) ? 1 . a 1 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? a,x2 ? ? ,当 x 变化时, f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表: a

x
f ?( x)
f ( x)

? ?∞,a ? a
?
?
? 1 ? a
0 极 大值

1? ? ? ? a, ? a? ?
?

?
0

1 a

? 1 ? ? ? ,+ ∞? ? a ?

?
?
1? ? 内为减函数. a?

?

极 小值

所以 f ( x) 在区间 (?∞,a) , ? ? ,+ ∞ ? 内为增函数,在区间 ? a, ? 函数 f ( x) 在 x1 ? a 处取得极大值 f (a ) ,且 f (a) ? 1 . 函数 f ( x) 在 x2 ? ?

? ?

? ?

1 处取得极小值 a

? 1? f ? ? ? ,且 ? a?

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 . ? a?

第 19 题. (2007 福建理)某分公司经销某种品牌产品, 每件产品的成本为 3 元, 并且每件产品需向总公司交 a 元( 3 ≤ a ≤ 5 )的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元( 9 ≤ x ≤11 )时,一年的销售量为 (12 ? x) 万件. (Ⅰ)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a ) . 答案: 解: (Ⅰ)分公司一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为:
2

L ? ( x ? 3 ? a)(12 ? x)2,x ? [9, . 11]
(Ⅱ) L?( x) ? (12 ? x) ? 2( x ? 3 ? a)(12 ? x)
2

? ( 1 2?x ) ( 1? a 2 x. ) 8 ? 3

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2 . a 或 x ? 12 (不合题意,舍去) 3 2 28 ?3 ≤ a ≤ 5 ,?8 ≤ 6 ? a ≤ . 3 3 2 在 x ? 6 ? a 两侧 L? 的值由正变负. 3 2 9 所以(1)当 8 ≤ 6 ? a ? 9 即 3 ≤ a ? 时, 3 2
令 L? ? 0 得 x ? 6 ?

Lmax ? L(9) ? (9 ? 3 ? a)(12 ? 9) 2 ? 9(6 ? a) .
(2)当 9 ≤ 6 ?

2 28 9 a ≤ 即 ≤ a ≤ 5 时, 3 3 2
2 3

Lmax

2 2 2 ?? 1 ? ? ?? ? ? ? L(6 ? a ) ? ? 6 ? a ? 3 ? a ? ?12 ? ? 6 ? a ? ? ? 4 ? 3 ? a ? , 3 3 3 ?? 3 ? ? ?? ? ?

9 ? 9(6 ? a ), 3≤ a ? , ? 2 ? 所以 Q ( a ) ? ? 3 ?4 ? 3 ? 1 a ? , 9 ≤ a ≤ 5 ? ? ? 3 ? 2 ? ?
答:若 3 ≤ a ?

9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a) ? 9(6 ? a) (万元) ; 2
3

2 ? 9 ? 1 ? ? 若 ≤ a ≤ 5, 则当每件售价为 ? 6 ? a ? 元时, 分公司一年的利润 L 最大, 最大值 Q (a ) ? 4 ? 3 ? a ? (万 3 ? 3 ? 2 ? ?
元) . 第 20 题. (2007 广东文)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 .

? 答案: ? , ? ?

?1 ?e

? ?

2 第 21 题. (2007 广东文)已知函数 f ( x) ? x ? x ? 1 , ?,? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根 (? ? ? ) , f ?( x) 是

f ( x) 的导数.设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?
(1)求 ?,? 的值;

f (an ) (n ? 1, ?) . 2, f ?(an )

(2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln

an ? ? (n ? 1, ?) .求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . 2, an ? ?

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答案:解:(1) 由 x ? x ? 1 ? 0
2

得x?

?1 ? 5 2

?? ?

?1 ? 5 2

??

?1 ? 5 2
2 2 an ? an ? 1 an ? 1 ? 2an ? 1 2an ? 1

(2)

f ? ? x ? ? 2x ?1

an ?1 ? an ?

an 2 ? 1 1 ? 5 3? 5 ? an 2 ? 1 ? 5 an ? an ?1 ? ? 2an ? 1 2 2 ? 2 ? an ?1 ? ? an ? 1 1 ? 5 3? 5 ? an 2 ? 1 ? 5 an ? 2an ? 1 2 2

? ?

? ?

? 1? 5 ? 2 ? an ? ? 2 ? ? ? an ? ? ? ?? ? ? 1 ? 5 ? ? an ? ? ? ? ? an ? ? ? 2 ?

2

? bn?1 ? 2bn



b1 ? l n

a1 ? ? 3? 5 ? ln ? a1 ? ? 3? 5

1 ? 4 ln 2

5

?数列 ?bn ? 是一个首项为 4 ln

1? 5 ,公比为 2 的等比数列; 2

?

Sn ?

4ln

1? 5 ?1 ? 2n ? 1? 5 2 ? 4 ? 2n ? 1? ln 1? 2 2
2

第 22 题. (2007 山东理)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (Ⅰ)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值点;

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?

?1 ? 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立. ?n ? n n

答案:解: (Ⅰ)由题意知, f ( x) 的定义域为 (?1 ? ?) , f ?( x) ? 2 x ? , 设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,其图象的对称轴为 x ? ?
2

b 2 x3 ? 2 x ? b ? x ?1 x ?1

1 ? (?1, ?) , ? 2

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1 ? 1? ? g ( x) max ? g ? ? ? ? ? ? b . 2 ? 2?
当b ?

1 1 时, g ( x) max ? ? ? b ? 0 , 2 2
2

即 g ( x) ? 2 x ? 3x ? b ? 0 在 (?1 ? ?) 上恒成立, ,

? ?当 x ? (?1, ?) 时, f ?( x) ? 0 ,

?当 b ?

1 时,函数 f ( x) 在定义域 (?1 ? ?) 上单调递增. , 2 1 (Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当 b ? 时,函数 f ( x) 无极值点. 2
1? ? 2? x ? ? 1 1 2? ? ? 0 有两个相同的解 x ? ? , ② b ? 时, f ?( x) ? x ?1 2 2
3

1? ? ? x ? ? ?1, ? 时, f ?( x) ? 0 , ? 2? ? ? 1 ? x ? ? ? , ? ? 时, f ?( x) ? 0 , ? ? 2 ?

?b ?

1 时,函数 f ( x) 在 (?1 ? ?) 上无极值点. , 2
?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 1 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? , x2 ? , 2 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? 0, 2 2

③当 b ?

?b ? 0 时, x1 ?

? , 即 x1 ? (?1 ? ?) , x2 ? ? ?1, ? ? .

?b ? 0 时, f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(?1,x1 )
?

x1

( x2, ?) ?

0

?

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f ( x)

?

极小值

?

由此表可知: b ? 0 时, f ( x) 有惟一极小值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b , 2

当0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b 1 ? ?1 , 时, x1 ? 2 2

? x1,x2 ? (?1 ? ?) ,
此时, f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(?1,x1 )

x1

( x1,x2 )
?

x1

( x1, ?) ?

?
?

0
极大 值

0
极 小值

?
?

f ( x)
由此表可知: 0 ? b ? 综上所述:

?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 1 时, f ( x) 有一个极大值 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ; 2 2 2

b ? 0 时, f ( x) 有惟一最小值点 x ?

?1 ? 1 ? 2b ; 2

0?b?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 1 时, f ( x) 有一个极大值点 x ? 和一个极小值点 x ? ; 2 x 2

1 b ≥ 时, f ( x) 无极值点. 2
(Ⅲ)当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) ,
2

令函数 h( x) ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln( x ? 1) ,
2 2 2

则 h?( x) ? 3x ? 2 x ?
2

1 3x 2 ? ( x ? 1)2 ? . x ?1 x ?1

? ? ?当 x ? ? 0, ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在 ? 0, ? ? 上单调递增,
又 h(0) ? 0 .

? x ? (0, ?) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 x 2 ? x3 ? ln( x ? 1) 恒成立. ?

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故当 x ? (0, ?) 时,有 ln( x ? 1) ? x ? x . ?
2 3

对任意正整数 n 取 x ? 所以结论成立.

1 ?1 ? 1 1 ? (0, ?) ,则有 ln ? ? 1? ? 2 ? 3 . ? n ?n ? n n

第 23 题. (2007 四川理)设函数 f ( x) ? ?1 ?
x

? ?

1? ? ( x ? N,且n ? 1,x ? R ) n?

x

? 1? (Ⅰ)当 x ? 6 时,求 ? 1 ? ? 的展开式中二项式系数最大的项; ? n?
(Ⅱ)对任意的实数 x ,证明

f (2 x) ? f (2) ; ? f ?( x) ( f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2
? 1? ? ?1 ? k ? ? (a ? 1)n 恒成立?若存在,试证明你的结论并求出 a 的值; ? k ?1 ?
n k

(Ⅲ) 是否存在 a ?N , 使得 an ? 若不存在,请说明理由.

? 1 ? 20 答案: (Ⅰ)解:展开式中二项式系数最大的项是第 4 项,这项是 C 1 ? ? ? 3 n ?n?
3 5 6

3

? 1? ? 1? (Ⅱ)证法一:因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? 1 ? ? ? n? ? n?
? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? n? ? n? ? n?
n n
2n 2

2n

2

n

? 1? ? 1? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? n? ? n?

n

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 f ' ? x ? ? n? ? 2? ? n? ? n?
证法二:

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? 因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? n? ? n? ? n? ? n? ? n?
而2 f
'

2n

2

2n

2

n

? 1? ? ?1 ? ? ? n?

1 1 ? x ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? ? ? ? ? n? ? n?

n

故只需对 ? 1 ?

? ?

1? ? 1? ? 和 ln ?1 ? ? 进行比较。 n? ? n?

' 令 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1? ,有 g ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

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x ?1 ? 0 ,得 x ? 1 x
' '

因为当 0 ? x ? 1时, g ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减;当 1 ? x ? ?? 时, g ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增,所以 在 x ? 1 处 g ? x ? 有极小值 1 故当 x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 1 , 从而有 x ? ln x ? 1,亦即 x ? ln x ? 1 ? ln x 故有 ?1 ?

? ?

1? ? 1? ? ? ln ?1 ? ? 恒成立。 n? ? n?
'

所以 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? 2 f

? x ? ,原不等式成立。
2 k m

(Ⅲ)对 m ? N ,且 m ? 1 有 ?1 ?

? ?

1? 0 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? k ? 1 ? m? 1 ? ? ? Cm ? C m ? ? ? ? C m ? ? ? ? ? C m ? ? ? ? ? C m ? ? m? ?m? ?m? ?m? ?m?
2 k

m

m ? m ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1?? ? m ? k ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1?? 2 ?1 ? 1 ? ? 1?1? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? 2! ? m ? k! m! ?m? ?m?

m

? 2?

1? 1? 1? 1 ?? 2 ? ? k ?1 ? 1 ? 1 ? ? m ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ?1 ? ? 2! ? m ? k ! ? m ?? m ? ? m ? m! ? m ? ? m ?

? 2?
? 2?

1 1 1 1 ? ??? ??? 2! 3! k! m!
1 1 1 1 ? ?? ? ??? 2 ?1 3 ? 2 k ? k ? 1? m ? m ? 1?

1? 1? ? 1? ?1 1? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?

? 3?

1 ?3 m
k

又因 Cm ?

1? ?1? ? ? ? 0 ? k ? 2,3, 4,? , m ? ,故 2 ? ?1 ? ? ? 3 ?m? ? m?
m k

k

m

n 1? ? ? 1? ∵ 2 ? ?1 ? ? ? 3 ,从而有 2n ? ? ? 1 ? ? ? 3n 成立, k? ? m? k ?1 ?

? 1? 即存在 a ? 2 ,使得 2n ? ? ? 1 ? ? ? 3n 恒成立. k? k ?1 ?
n

k

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4 4

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第 24 题. (2007 重庆理)已知函数 f ( x) ? ax ln x ? bx ? c( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极值 ?3 ? c , 其中 a,b 为 常数. (Ⅰ)试确定 a,b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ≥ ?2c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

答案:解: (I)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 . 又对 f ( x) 求导得

1 f ?( x) ? 4ax3 ln x ? ax 4 ? ? 4bx3 x
? x3 (4a ln x ? a ? 4b) .
由题意 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 . (II)由(I)知 f ?( x) ? 48 x ln x ( x ? 0 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .
3

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 为增函数. 因此 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ,而 f ( x) 的单调递增区间为 (1 ? ∞) . , 1) (III)由(II)知, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值,要使 f ( x) ≥ ?2c ( x ? 0 )恒成立,只需 ?3 ? c ≥ ?2c .
2
2

即 2c ? c ? 3 ≥ 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ≥ 0 ,
2

解得 c ≥

3 或 c ≤ ?1 . 2
?3 ?2 ? ?

? ? 所以 c 的取值范围为 ( ??, 1] ? ? , ? ? .

导数的应用 第 1 题. 曲线 y ? e 2 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
2

1

x



A.

9 2 e 2

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

答案:D

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第 2 题. 设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x .
2

(I)若当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln 答案:解: 每个点落入 M 中的概率均为 p ? 依题意知 X ~ B ?10000, ? . (Ⅰ) EX ? 10000 ?

e . 2

1 . 4

? ?

1? 4?

1 ? 2500 . 4
? ? X ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? , 10000 ?

(Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ?0.03 ?

X ? ? P ? ?0.03 ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? ? P(2425 ? X ? 2575) 10000 ? ? ?
2574

l ? 2426 2574 l ?0

?C

l 10000

? 0.25l ? 0.7510000?l
2425 l ?0

l l ? ? C10000 ? 0.25l ? 0.7510000?l ? ? C10000 ? 0.25l ? 0.7510000?l

? 0.9570 ? 0.0423 ? 0.9147 .
第 3 题. (2007 海南、宁夏文)曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
x
2



A.

9 2 e 4

B. 2e

2

C. e

2

D.

e2 2

答案:D 第 4 题. (2007 湖南理)函数 f ( x) ? 12 x ? x 在区间 [?3, 上的最小值是 3]
3



答案: ?16

3? 第 5 题. (2007 江苏)已知函数 f ( x) ? x ? 12 x ? 8 在区间 ? ?3, 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则
3

M ? m ? _____. 答案: 32

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第 6 题. (2007 江西文)设 p : f ( x) ? x ? 2 x ? mx ? 1 在 (??, ?) 内单调递增, q : m≥ ?
3 2

4 ,则 p 是 q 的 3

( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:C

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

第 7 题. (2007 江西文)四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯 口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到 右依次为 h1 , h2 , h3 , h4 ,则它们的大小关系正确的是( )

A. h2 ? h1 ? h4 C. h3 ? h2 ? h4 答案:A

B. h1 ? h2 ? h3 D. h2 ? h4 ? h1

第 8 题. (2007 全国 II 文)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? (2 ? b) x ? 1 3

在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 . (1)证明 a ? 0 ; (2)求 z ? a ? 2b 的取值范围. 答案:解:求函数 f ( x) 的导数 f ?( x) ? ax ? 2bx ? 2 ? b .
2

(Ⅰ)由函数 f ( x) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值,知 x1,x2 是 f ?( x) ? 0 的两个根. 所以 f ?( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 x ? x1 时 f ( x) 为增函数, f ?( x) ? 0 ,由 x ? x1 ? 0 , x ? x2 ? 0 得 a ? 0 .

? f ?(0) ? 0 ? (Ⅱ)在题设下, 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 等价于 ? f ?(1) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ?

?2 ? b ? 0 ? 即 ? a ? 2b ? 2 ? b ? 0 . ?4a ? 4b ? 2 ? b ? 0 ?

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?2 ? b ? 0 ? 化简得 ? a ? 3b ? 2 ? 0 . ? 4a ? 5b ? 2 ? 0 ?
此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线: 2 ? b ? 0,a ? 3b ? 2 ? 0,a ? 5b ? 2 ? 0 . 4 所围成的 △ABC 的内部,其三个顶点分别为: A ? , ?,B(2,,C (4, . 2) 2)

?4 6? ?7 7?

z 在这三点的值依次为
所以 z 的取值范围为 ?

16 ,8 . 6, 7

b

? 16 ? ,? . 8 ? 7 ?

2 1 O

B(2, 2) C (4, 2)
?4 6? A? , ? ?7 7?

2

4

a

第 9 题. (2007 山东文)设函数 f ( x) ? ax ? b ln x ,其中 ab ? 0 .
2

证明:当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 没有极值点;当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 有且只有一个极值点,并求出极值. 答案:证明:因为 f ( x) ? ax ? b ln x,ab ? 0 ,所以 f ( x) 的定义域为 (0, ?) . ?
2

b 2ax 2 ? b . f ?( x) ? 2ax ? ? x x
当 ab ? 0 时,如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0, ?) 上单调递增; ? 如果 a ? 0,b ? 0,f ?( x) ? 0,f ( x) 在 (0, ?) 上单调递减. ? 所以当 ab ? 0 ,函数 f ( x) 没有极值点. 当 ab ? 0 时,

? b ?? b ? 2a ? x ? ? ?? x ? ? ? 2a ? ? 2a ? ? f ?( x) ? x
令 f ?( x) ? 0 , 将 x1 ? ? ?

b b ? (0, ?) (舍去) x2 ? ? (0, ?) , ? ? , 2a 2a

当 a ? 0,b ? 0 时, f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

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x
f ?( x) f ( x)
从上表可看出,

? b ? 0, ? ? 2a ?
?

? ? ? ?

?

b 2a

? ? b ? ? ? ? , ?? ? 2a ? ?

0 极小值

?
?

?
? ?

函数 f ( x) 有且只有一个极小值点,极小值为 f ? ? ?

b ? b? ? b ?? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? . 2a ? 2? ? 2a ? ? ?

当 a ? 0,b ? 0 时, f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)
从上表可看出,

? b ? 0, ? ? 2a ?
?

? ? ? ?

?

b 2a

? ? b ? ? ? ? , ?? ? 2a ? ?

0 极大值

?
?

?
? ?

函数 f ( x) 有且只有一个极大值点,极大值为 f ? ? ? 综上所述, 当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 没有极值点; 当 ab ? 0 时,

b ? b? ? b ?? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? . 2a ? 2? ? 2a ? ? ?

若 a ? 0,b ? 0 时,函数 f ( x) 有且只有一个极小值点,极小值为 ?

b? ? b ?? ?1 ? ln ? ? 2a ? ? . 2? ? ?? b? ? b ?? ?1 ? ln ? ? 2a ? ? . 2? ? ??

若 a ? 0,b ? 0 时,函数 f ( x) 有且只有一个极大值点,极大值为 ?

第 10 题. (2007 山东文)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大 值为 3,最小值为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为 直 径 的 圆 过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

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答案:解: (Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为 由已知得: a ? c ? 3,a ? c ? 1,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

a ? 2,c ? 1, ? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3

?椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4


(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 ,则

? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0, ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) x1 x2 ? . ? 3 ? 4k 2 ?
又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, , 0)

? k AD k BD ? ?1 ,即

y1 y ? 2 ? ?1 . x1 ? 2 x2 ? 2

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .

?

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .
解得: m1 ? ?2k,m2 ? ?

2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m1 ? ?2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, ,与已知矛盾; 0)

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当 m2 ? ?

2? 2k ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? ,? . 0 7? 7 ? ?7 ?

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? ,? . 0

?2 ?7

? ?

第 11 题. 已知 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx 在区间 [0 1]上是增函数,在区间 (?∞,,, ∞ )上是减函数,又 , 0) (1 ?

?1? 3 f ?? ? ? . ?2? 2 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;
(Ⅱ)若在区间 [0,m](m ? 0) 上恒有 f ( x) ≤ x 成立,求 m 的取值范围. 答案:解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,
2

?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2

? 1 ? 3a 3a 3 ? f ?( x) ? 3ax 2 ? 3ax ,? f ? ? ? ? ? ? ,? a ? ?2 ,? f ( x) ? ?2 x3 ? 3x 2 . 2 2 ?2? 4
(Ⅱ)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x ? 3x ? x ≤ 0 ,
3 2

1 ? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤ 或 x≥1 . 2
又 f ( x) ≤ x 在区间 ? 0,m? 上恒成立,? 0 ? m ≤

1 . 2

第 12 题. (2007 广东文)若函数 f ( x) ? x ( x ? R ) ,则函数 y ? f (? x) 在其定义域上是(
3



A.单调递减的偶函数 C.单调递增的偶函数 答案:B

B.单调递减的奇函数 D.单调递增的奇函数

第 13 题. (2007 湖北文)已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1 f (1)) 处的切线方程是 y ? ,

1 x ? 2 ,则 2

f (1)? f ? (1)? ____.
答案:3

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3

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第 14 题. (2007 四川文)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 .
(Ⅰ)求 a , b , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值. 答案:Ⅰ)∵ f ( x) 为奇函数, ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) 即 ?ax ? bx ? c ? ?ax ? bx ? c
3 3

∴c ? 0 ∵ f '( x) ? 3ax ? b 的最小值为 ?12
2

∴ b ? ?12 又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为 因此, f '(1) ? 3a ? b ? ?6 ∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . (Ⅱ) f ( x) ? 2 x ? 12 x .
3

1 6

f ' (x ? )

2

6? x

1? 2

x6 ( ?

x2 ,列表如下: ?) ( 2 )

x
f '( x) f ( x)

(??, ? 2)

? 2

(? 2, 2)
?

2

( 2, ??)

?
?

0
极大

0
极小

?
?

?

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 ( ??, ? 2) 和 ( 2, ??) ∵ f (?1) ? 10 , f ( 2) ? ?8 2 , f (3) ? 18 ∴ f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 .

第 15 题. (2007 天津文)设函数 f ( x) ? ? x( x ? a) ( x ?R ) ,其中 a ?R .
2

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(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值;

, (Ⅲ)当 a ? 3 时,证明存在 k ? ? ?1 0? ,使得不等式 f (k ? cos x) ≥ f (k ? cos x) 对任意的 x ?R 恒成
2 2

立. 答案: (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x( x ? 1) ? ? x ? 2 x ? x ,得 f (2) ? ?2 ,且
2 3 2

f ?( x) ? ?3x 2 ? 4 x ? 1, f ?(2) ? ?5 .
所以,曲线 y ? ? x( x ? 1) 在点 (2, 2) 处的切线方程是 y ? 2 ? ?5( x ? 2) ,整理得 ?
2

5x ? y ? 8 ? 0 .
(Ⅱ)解: f ( x) ? ? x( x ? a) ? ? x ? 2ax ? a x
2 3 2 2

f ?( x) ? ?3x 2 ? 4ax ? a 2 ? ?(3x ? a)( x ? a) .
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论.

a 或 x ? a. 3

(1)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x) 的正负如下表:

x
f ?( x)
因此,函数 f ( x) 在 x ?

a? ? ? ?∞, ? 3? ?
?

a 3

?a ? ? ,a ? ?3 ?

a

(a, ∞) ?
?

0
?a? f ? ? ,且 ?3?

?

0

a 处取得极小值 3

4 ?a? f ? ? ? ? a3 ; 27 ?3?
函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极大值 f (a ) ,且

f (a) ? 0 .
(2)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x) 的正负如下表:

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x

? ?∞,a ?
?

a

? a? ? a, ? ? 3?

a 3

?a ? ? ? , ∞? ?3 ?
?

f ?( x)

0

?

0

因此,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 f (a ) ,且

f (a) ? 0 ;
函数 f ( x) 在 x ?

a 处取得极大值 3

?a? f ? ? ,且 ?3?

4 ?a? f ? ? ? ? a3 . 27 ?3?
(Ⅲ)证明:由 a ? 3 ,得

a 0 ? 1 ,当 k ? ? ?1,? 时, 3

k ? cos x ≤1, k 2 ? cos2 x ≤1 .
1? 由(Ⅱ)知, f ( x) 在 ? ?∞, 上是减函数,要使 f (k ? cos x) ≥ f (k ? cos x) , x ?R
2 2

只要 k ? cos x ≤ k ? cos x( x ? R)
2 2



cos 2 x ? cos x ≤ k 2 ? k ( x ? R)
设 g ( x) ? cos x ? cos x ? ? cos x ?
2



? ?

1? 1 ? ? ,则函数 g ( x) 在 R 上的最大值为 2 . 2? 4

2

要使①式恒成立,必须 k ? k ≥ 2 ,即 k ≥ 2 或 k ≤ ?1 .
2

0 所以,在区间 ? ?1,? 上存在 k ? ?1 ,使得 f (k ? cos x) ≥ f (k ? cos x) 对任意的 x ?R 恒成立.
2 2

第 16 题. (2007 重庆文)用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2 :1 , 问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 答案:解:设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2 x(m) , 高为 h ?

18 ? 12 x 3? ? ? 4.5 ? 3x(m) ? 0 ? x ? ? . 4 2? ?

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故长方体的体积为 V ( x) ? 2 x (4.5 ? 3x) ? 9 x ? 6 x (m ) ? 0 ? x ?
2 2 3 2

? ?

3? ?. 2?

从而 V ?( x) ? 18 x ? 18 x ? 18 x(1 ? x) .
2

令 V ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 1 ,因此 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, V ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ?

3 时, V ?( x) ? 0 . 2

故在 x ? 1 处 V ( x ) 取得极大值,并且这个极大值就是 V ( x ) 的最大值. 从而最大体积 V ? V (1) ? 9 ?1 ? 6 ?1 ? 3(m ) ,此时长方体的长为 2m ,高为 1.5m .
2 3 3

答:当长方体的长为 2m ,宽为 1m ,高为 1.5m 时,体积最大,最大体积为 3 m .

3


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