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广东省惠州市2015届高三第三次调研考数学文试题 Word版含答案


广东省惠州市 2015 届高三第三次调研考数学文试题
2015.1 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其

他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.若集合 A ? {0,1, 2,3}, B ? {1, 2, 4}, 则集合 A A. {0,1, 2,3, 4} B. {1, 2,3, 4}

B?(
C. {1, 2}

) D. {0} )

2.已知 0<a<2,复数 z ? a ? i (i 是虚数单位),则 | z | 的取值范围是( A. (1, 3) 3.函数 f ( x) ? B.(1,5) C.(1,3) ) C. (?1 , 2)

D. (1, 5)

1 ? ln( x ? 1) 的定义域为( 2? x
B. (?1 , 2)

A. (2 , ? ?)

(2, ? ?)

D. ? ?1, 2? ) D.3

4.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 6, a1 ? 4 ,则公差 d 等于( A.1 B.

5 3

C. ?2 )

2 5.已知 a ? R ,则“ a ? 2a ”是“ a ? 2 ”成立的(

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.圆 ( x ? 2) ? y ? 4 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 的位置关系为(
2 2 2 2

) D.相离

A.内切 7.下列命题正确的是(

B.相交 )
-1-

C.外切

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

?x ? y ? 2 ? 0 ? 8.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 7 ? 0 , ?x ? 1 ?
y 则 的最大值为( x
A. 3 B. 6 )
3 3 正视图

4

9 C. 5
C.24

D. 1 )

侧视图

9.右图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为( A.72 B.36 D.12

3 俯视图

10.已知函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意两个实数 x1 ? x2 ,不等式

f ( x1 ) ? f ? x2 ? ? 0 恒成立,则不等式 f ( x ? 3) ? 0 的解集为( x1 ? x2
A. (??, ?3) B. (4, ??) C. (??,1)



D. (??, ?4)

二、填空题: (本大题共 5 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.已知向量 a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) ,且 a ? b ,则实数 x ? ____________. 12.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,若 a ? 15 ,b ? 10 , A ? 则 cos B = ____________. 13. A, B, C 是平面内不共线的三点,点 P 在该平面内且有 PA ? 2PB ? 0 ,现将一粒黄豆随 机 撒在 △ ABC 内,则这粒黄豆落在 △PBC 内的概率为___________. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得 分。 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? sin(? ? 被圆 ? ? 4 截得的弦长为____________. B
-2-

?
3



uu r

uur

r

?
4

)?2
C

D

O

A

15. (几何证明选做题)如图,已知 △ ABC 内接于圆 O ,点 D 在

OC 的延长线上, AD 切圆 O 于 A ,若 ?ABC ? 30? , AC ? 2 ,
则 AD 的长为____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

已知向量 a ? (cos x ? sin x,2sin x), b ? (cos x ? sin x,cos x) .令 f ( x) ? a ? b , (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? ?

r

r

r r

? ? 3? ? 时,求 f ( x) 的最小值以及取得最小值时 x 的值. , ?4 4 ? ?

17.(本小题满分 12 分) 惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的高三 文科学生共有 800 人, 各学校男、 女生人数如右表: 已知在三所高中的所有高三文科学生中随机抽 取 1 人,抽到乙高中女生的概率为 0.2 . (1)求表中 x 的值; (2)惠州市第三次调研考试后,该县区决定从三所高中的所有高三文科学生中利用随机 数表法抽取 100 人进行成绩统计分析,先将 800 人按 001,002,?,800 进行编号。 如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先抽取的 3 个人的编号; (下面摘取了随机数表中第 7 行至第 9 行) 8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5026 8392 6301 5316 5916 9275 3862 9821 5071 7512 8673 5807 4439 1326 3321 1342 7864 1607 8252 0744 3815 0324 4299 7931 (3)已知 y ? 145 , z ? 145 ,求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率。 18. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, AB ? BC , A?1
A E F
B?1

甲高中 女生 男生 153 97

乙高中

丙高中

x
90

y
z

E 、 F 分别是 A1B , AC1 的中点.
(1)求证: EF ∥平面 ABC ; (2)求证:平面 AEF ? 平面 AA 1B 1B ; (3)若 AB ? BC ? a , A1 A ? 2a ,
-3-

B

C?1

C

(第 18 题)

求三棱锥 F ? ABC 的体积. 19. (本小题满分 14 分) 已知递增等差数列 ?an ? 中的 a2 , a5 是函数 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 10 的两个零点.数列 ?bn ? 满 足,点 (bn , Sn ) 在直线 y ? ? x ? 1 上,其中 Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和. (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)令 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 20.(本小题满分 14 分) 已知直线 y ? ?2 上有一个动点 Q ,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足

OP ? OQ ( O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C .
(1)求曲线 C 的方程; (2) 若直线 l2 是曲线 C 的一条切线, 当点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离最短时, 求直线 l2 的方程. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1(a ? R), f ? ( x)是f ( x) 的导函数. (1)若 x ?[?2, ?1] ,不等式 f ( x) ≤ f ?( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ?| f ?( x) | ; (3)设函数 g ( x) ? ?

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) ,求 g ( x)在x ?[2, 4] 时的最小值. ? f ( x), f ( x) ? f ?( x)

惠州市 2015 届高三第三次调研考试
数 学 试 题 (文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 A 6 B 7 C 8 B 9 D 10 D

2015.1

1. 【解析】直接可得 A 2. 【解析】 z ?

B ? ?0,1, 2,3, 4? ,故选 A .

a 2 ? 1 ,而 0 ? a ? 2 ,即 1 ? a 2 ? 1 ? 5 ,?1 ? z ? 5 ,故选 D .

-4-

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? 3. 【解析】 函数式若有意义需满足条件:? 2 ? x ? 0 ? ? 取交集可得:x ? ? ?1 , 2? , ?x ? 2 ?2 ? x ? 0 ?
故选 C . 4. 【解析】等差数列中,由 S3 ? 故选 C . 5. 【解析】因为 a 2 ? 2a ,所以 0 < a < 2 ,则“ a 2 ? 2a ”是“ a ? 2 ”的充分而不必要条件。先 解出 a 2 ? 2a ,再进行判断即可。故选 A . 6. 【解析】通过求出两圆心的距离为: 1 ?

3(a1 ? a3 ) a ?a ? 6 ,且 a1 ? 4 得 a3 ? 0 ,则 d ? 3 1 ? ?2 , 2 3 ?1

17 <5,即 r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ,因此选 B .

7. 【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线, 也可能相交,所以 A 错;两平面相交时也可以有三个点到另一个平面的距离相等, 故 B 错; 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直; 故 D 错;故选项 C 正确. 8. 【解析】目标函数

y y ?0 可以变形为 k ? ,则表示为可行域内的点 ( x , y ) 和 x x?0

原点 (0 , 0) 连线的直线的斜率,由图可知:当其经过点 C (1 , 6) 时,直 线的斜率最大,即

y y 6?0 ? 6 ,故选 B . 有最大值为 ? x x 1? 0

9. 【解析】本题的直观图是一个三棱锥.由三视图知底面三角形的高为 3,底边长为 6,

1 ? 6 ? 3 ? 9 ,由侧视图知有一条侧棱与底面垂 2 1 直,三棱锥的高为 4,直接代公式可求体积 V ? ? 9 ? 4 ? 12 ,故选 D . 3
则底面三角形的面积为 S ? 10. 【解析】函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,则关于原点对称,由函数 f ( x ? 1) 的图像 向左平移一个单位得到函数 f ( x) 的图像,则函数 f ( x) 的图像关于点 (?1 , 0) 对 称;又对于任意的 x1 ? x2且x1 , x2 ? R 满足不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 可知,函数 x1 ? x2

f ( x) 在 R 上单调递增,结合图像可知 f ( x ? 3) ? 0 得 x ? 3 ? ?1 ,则 x ? ?4 ,故
选 D. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11、 0. 12、

6 3

13、

1 3
-5-

14、 4 3

15、 2 3

11【解析】∵ a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) ,且 a ? b ,∴ a ? b ? 2 ? x ? 1? ? 2 ? 0 ,解之可得 x=0.故 答案为 0. 12 【解析】 根据正弦定理
3 15 10 a b ? 可得 解得 sin B ? ,又因为 b ? a ,则 ? ? sin B 3 sin A sin B sin 3

r r

B ? A ,故 B 为锐角,所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ?

6 6 ,故答案为 . 3 3

13【解析】由 PA ? 2PB ? 0 ? PA ? ?2PB ,则点 P 是边 AB 的三等分点(靠近点 B ) ,得 长度关系 PB ? 所求概率为

uu r

uur

r

uu r

uur

1 1 AB ,且 ?PBC 与 ?ABC 的高相等,则: S?PBC ? S?ABC ,所以 3 3

1 . 3

14【解析】直线 ? sin(? ?

?
4

) ? 2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 2 ? 0 ,圆 ? ? 4 的直角坐标方

程为 x2 ? y 2 ? 16 ,因为圆心(0,0)到直线的距离 d=2,半径 r=4,所以截得的弦 长为 4 3 . 15【解析】∵OA=OC,且 ?AOC ? 2?ABC ? 60? ,∴△AOC 是等边三角形,∴OA=AC=2, ∵∠OAD=90°,∠D=30°,∴AD= 3 ?AO= 2 3 .故答案为: 2 3 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 【知识点】 y ? A sin ?? x ? ? ? 的图像及性质. 【解析】 f ( x) ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? 2sin x ? cos x ………………………….2 分

? cos2 x ? sin 2 x ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ………………… …...4 分

? 2 sin(2 x ? ) 4

?

………………………………………………………5 分

(1)由最小正周期公式得: T ? (2) x ? [

2? ? ? …………………………………………6 分 2
3? 7? , ] …………………………………………7 分 4 4

? 3?
4 4 ,

4 3? 5? 令 2x ? ? ,则 x ? ,……………………………………………….8 分 8 4 2 ? 5? 5? 3? ] 单调递减,在 [ , ] 单调递增 ……………….10 分 从而 f ( x) 在 [ , 4 8 8 4

] ,则 2 x ?

?

?[

?

-6-

即当 x ?

5? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 ……………………………12 分 8

【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开,再利用辅助角公式进行化简, ( 1)由最小正周 期公式得结果; (2)借助于三角函数的单调性求出单调区间,同时求出最大值。 17.(本小题满分 12 分) 【 解 析 】( 1 ) 由

x ?0 . 2 , 得 x ? 160 , 即 表 中 x 的 值 为 800

160 ???????????2 分 ( 2 ) 依 题 意 , 最 先 检 测 的 3 个 人 的 编 号 依 次 为 165,538,629; ????????????5 分 (3)设“丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多”的事件为 A ,其中女生男生数记为

( y , z) .
由(1)知 x ? 160 ,则 y ? z ? 300 ,且 y ? 145 , z ? 145 , y , z ? N , ∴ 满足条件的 ( y , z ) 有: (145,155) ; (146,154) ; (147,153) ; (148,152) ; (149, 151) ; (150,150) ; (151,149) ; (152,148) ; (153,147) ; (154,146) ; (155,145)共 11 组, 且 每 组 出 现 的 可 能 性 相 同. ?????????????9 分 其中事件 A 包含的基本事件 ( y , z ) ,即满足 y ? z 的有: (151,149) ; (152,148) ; (153,147) ; (154,146) ; (155,145)共 5 组. ????11 分 ∴ 丙 高 中 高 三 文 科 学 生 中 的 女 生 比 男 生 人 数 多 的 概 率

P ( A) ?

5 . ?????????12 分 11

18. (本小题满分 14 分) 证明: (1)连结 A1C , 因为直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,四边形 AA1C1C 是矩形, 故点 F 在 A1C 上,且 F 为 A1C 的中点. 在 ?A1 BC 中,因为 E,F 分别是 A1 B , A1C 的中点, 故 EF // BC . 又因 BC ? 平面 ABC ,EF ? 平面 ABC ,所以 EF // 平面 ABC (其它方法参照给分) (2)在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, B1 B ? 平面 ABC ,所以 B1 B ? EF 由(1)知 EF // BC ,且 AB ? BC ,则 EF ? AB
-7-

?????2 分 ??????4 分

??????6 分

因 B1 B I AB ? B ,故 EF ? 平面 ABB1 A1 分 又 EF ? 平面 AEF ,故平面 AEF ? 平面 ABB1 A1 分

????????????9

????????????10

1 1 1 (3)VF ? ABC ? VA1 ? ABC ? ? ? S ?ABC ? AA1 2 2 3

????????????12 分 ????????????14 分

1 1 1 a3 ? ? ? a 2 ? 2a ? 2 3 2 6
(其它方法参照给分) 19. (本小题满分 14 分)

【知识点】等差、等比数列的通项公式;错位相减法求数列的和. 【解析】 (1)因为 a2 , a5 是函数 f ( x) ? x ? 7 x ? 10 的两个零点,则
2

?a2 ? a5 ? 7 ?a2 ? 2 ?a2 ? 5 ,解得: ? 或? .………………………………………………..2 分 ? ?a5 ? 5 ?a5 ? 2 ?a2 ? a5 ? 10
又等差数列 {an } 递增,则 ?

?a2 ? 2 ,所以 an ? n, n ? N * …………………………….4 分 ?a5 ? 5

因为点 在直线 y ? ? x ? 1 上,则 Sn ? ?bn ? 1。 (bn , Sn)

1 .………………………………………………….5 分 2 1 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? (?bn ? 1) ? (?bn ?1 ? 1) ,即 bn ? bn ?1 .………………..…6 分 2 1 1 1 n * 所以数列 {bn } 为首项为 ,公比为 的等比数列,即 bn ? ( ) , n ? N .…………….…7 分 2 2 2 1 n * (2)由(1)知: an ? n, n ? N * 且 bn ? ( ) , n ? N , …………………………………...…8 分 2 1 n * 则 cn ? an ? bn ? n ? ( ) , n ? N …………………………………………………...9 分 2 1 1 2 1 3 1 n 所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n ? ( ) ① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ② . …………………10 分 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 n ?1 ①-②得: Tn ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) ? 1 ? (n ? 2)( ) .……12 分 2 2 2 2 2 2 2 n?2 1 n * * 所以 Tn ? 2 ? ( n ? 2)( ) , n ? N . 或写 Tn ? 2 ? n , n ? N . …………………14 分 2 2
当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? ?b1 ? 1,即 b1 ? 【思路点拨】 (1)先解出两个零点,再利用等差、等比数列的通项公式即可; ( 2)直接使用
-8-

错位相减法求之即可。 20. (本小题满分14分) (1)解:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则点 Q 的坐标为 ? x, ?2 ? . ∵ OP ? OQ , ∴ kOP kOQ ? ?1 . 当 x ? 0 时,得 (或者用向量: OP ? OQ ? x2 ? 2 y ? 0 ,且 x ? 0 得出) …… 2 分

y ?2 ? ?1 ,化简得 x2 ? 2 y . x x

当 x ? 0 时, P 、 O 、 Q 三点共线,不符合题意,故 x ? 0 . ∴曲线 C 的方程为 x2 ? 2 y ? x ? 0 ? . (2) 解法 1:∵ 直线 l2 与曲线 C 相切, ∴直线 l2 的斜率存在. 设直线 l2 的方程为 y ? kx ? b , 由? …… 5 分 …… 4 分

? y ? kx ? b, 2 得 x ? 2kx ? 2b ? 0 . 2 x ? 2 y , ?
2

∵ 直线 l2 与曲线 C 相切, 则 ? ? 4k ? 8b ? 0 ,即 b ? ? ∴ 直线 l2 的方程为 2kx ? 2 y ? k ? 0
2

k2 . 2
…… 6 分

∴ 点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离 d ?

?2 ? b k 2 ?1

?

1 k2 ? 4 2 k 2 ?1

…… 7 分

1? 3 ? ? ? ? k 2 ?1 ? 2 ? 2? k ? 1 ? ?
1 ? ?2 2 k 2 ?1 3 k 2 ?1

…… 8 分

…… 9 分

? 3.
当且仅当 k 2 ? 1 ?

…… 10 分 ……12 分

3 k ?1
2

,即 k ? ? 2 时,等号成立.此时 b ? ?1 .

∴直线 l2 的方程为 2x ? y ?1 ? 0 或 2x ? y ? 1 ? 0 .
-9-

…… 14 分

解法 2:由 x2 ? 2 y ,得 y' ? x , ∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,其中 y1 ? 则直线 l2 的方程为: y ? y1 ? 2x1 ? x ? x1 ? ,化简得 x1 x ? y ?

…… 5 分

1 2 x1 , 2
…… 6 分

1 2 x1 ? 0 . 2

点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离 d ?

1 ?2 ? x12 2 x12 ? 1

?

1 x12 ? 4 2 x12 ? 1

…… 7 分

1? 3 ? ? ? ? x12 ? 1 ? 2 ? 2? x ? 1 1 ? ?
1 ? ?2 2 x12 ? 1 3 x12 ? 1

…… 8 分

…… 9 分

? 3.
2 当且仅当 x1 ?1 ?

…… 10 分 ……12 分

3 x12 ? 1

,即 x1 ? ? 2 时,等号成立.

∴直线 l2 的方程为 2x ? y ?1 ? 0 或 2x ? y ? 1 ? 0 . 解法 3:由 x ? 2 y ,得 y ? x ,
2

…… 14 分 …5分

'

∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,其中 y1 ?

1 2 x1 ? 0 , 2
…6分

则直线 l2 的方程为: y ? y1 ? 2x1 ? x ? x1 ? ,化简得 x1 x ? y ? y1 ? 0 . 点 ? 0, 2 ? 到直线 l2 的距离 d ?

?2 ? y1 x12 ? 1

?

y1 ? 2 2 y1 ? 1

…… 7 分

? 1? 3 ? ? ? 2 y1 ? 1 ? ? 2? 2 y ? 1 1 ? ?
1 ? ?2 2 2 y1 ? 1 3 2 y1 ? 1

…… 8 分

…… 9 分

? 3.
当且仅当 2 y1 ? 1 ?

…… 10 分

3 2 y1 ? 1

,即 y1 ? 1 时,等号成立,此时 x1 ? ? 2 . ……12 分

∴直线 l2 的方程为 2x ? y ?1 ? 0 或 2x ? y ? 1 ? 0 .
- 10 -

…… 14 分

21(本小题满分 14 分) 解:(1)因为 f ( x) ≤ f ?( x) ,所以 x2 ? 2 x ? 1≤ 2a(1 ? x) , 又因为 ?2 ≤ x ≤ ?1 ,知 1 ? x ? 0 所以 a ≥ ???????1 分

x2 ? 2 x ? 1 x2 ? 2 x ? 1 1 ? x 3 ? ≤ , 在 x ? [?2, ? 1] 时恒成立,因为 2(1 ? x) 2(1 ? x) 2 2

??2 分

3 ????????????????????3 分 2 ⑵ 因为 f ( x) ? f ?( x) ,所以 x2 ? 2ax ? 1 ? 2 x ? a ,
所以 a ≥ . 所以 ( x ? a)2 ? 2 x ? a ? 1 ? a2 ? 0 ,则 x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a . ①当 a ? ?1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2 a ; ②当 ?1 ≤ a ≤ 1 时, x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a ,? 所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2 a 或 x ? ?(1 ? 2a) ; ③当 a ? 1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? 1 或 x ? ?(1 ? 2a) . ???????????? 6 分 ????????7 分 ???4 分 ??????? 5 分

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) , ⑶因为 f ( x) ? f ?( x) ? ( x ? 1)[ x ? (1 ? 2a)] , g ( x) ? ? ? f ( x), f ( x)? f ?( x),
①若 a ≥ ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ≥ f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a , 从而 g ( x) 的最小值为 g (2) ? 2a ? 4 ; ????????????????9 分

1 2

②若 a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ? f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 , 当 ?2 ≤ a ? ? 时, g ( x) 的最小值为 g (2) ? 4a ? 5 , 当 ?4 ? a ? ?2 时, g ( x) 的最小值为 g (?a) ? 1 ? a2 , 当 a ≤ ?4 时, g ( x) 的最小值为

3 2

3 2

g (4) ? 8a ? 17 .

????????????????11 分

? x2 ? 2ax ? 1, x ?[2,1 ? 2a) 3 1 ③若 ? ≤ a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, g ( x) ? ? 2 2 x ?[1 ? 2a,4] ?2 x ? 2a,
当 x ? [2,1 ? 2a) 时, g ( x) 最小值为 g (2) ? 4a ? 5 ; 当 x ? [1 ? 2a, 4] 时, g ( x) 最小值为 g (1 ? 2a) ? 2 ? 2a . 因为 ? ≤ a ? ? , (4a ? 5) ? (2 ? 2a) ? 6a ? 3 ? 0 , 所以 g ( x) 最小值为 ??????????????????????????13 分 ?8a ? 17, a ≤ ?4, ? 2 ? 4 ? a ? ?2, ?1 ? a , ? 1 综上所述, ? ?????????????14 分 ? g ? x ?? ? min ? ?4a ? 5, ? 2 ≤ a ? ? , 2 ? ? 1 ?2a ? 4, a ≥ ? 2 ?
4a ? 5 .

3 2

1 2

- 11 -


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