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扬州大学附属中学东部分校2014—2015学年第一学期期中考试高二年级数学试题


扬州大学附属中学东部分校 2014—2015 学年第一学期期中考试

高二年级数学试题
本卷共 20 题,时间 120 分钟,满分 160 分 注意:答案全部写在答卷上
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填写在答卷相应位置. 1.命题“ ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 . ?x

? R, x 2 ? x ? 1 ? 0

2.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的准线方程为 16 7



.x ?

16 16 或x ? 3 3

3. 已知 ? , ? 表示两个不同的平面, 则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ” m 为平面 ? 内的一条直线, 的______________条件(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分 也不必要”中选出一种填空.) 必要不充分 4.若一个球的表面积为 12π ,则该球的半径为 ①若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ②若 m∥α,n⊥α,则 n⊥m; ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β. 其中正确命题有 6.阅读下列程序: Read S ?1 For I from 1 S ?S+I End for Print S End 输出的结果是 ▲
2 2



.

3

5.已知直线 m、n 与平面 α、β,给出下列三个命题:



个.2

to

5 step 2

. 10

7.已知点 P 是圆 C:x +y +4x+ay-5=0 上任意一点,P 点关于直线 2x+y-1=0 的对称点在圆上,则实数 a 等于 ▲ .-10

1

8 .直线 l 经过 P(2, 3), 且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程为 ▲ . 3x ? 2 y ? 0 或 x ? 2 y ? 8 ? 0

9. 定义某种新运算 ? : S ? a ? b 的运算原理如右边流程图所示,则 5 ? 4 - 3 ? 4 = .9

10.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 M , N 两点, a 2 b2
. 2 ?1

以 MN 为直径的圆恰好过左焦点,则椭圆的离心率等于

11.已知圆 C 在 x 轴上的截距为-1 和 3,在 y 轴上的一个截距为 1,若过点(2, 3-1)的 直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 的长为 4,则直线 l 的倾斜角为____________.30°或 90°。

12.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 DD1 的中点, 则下列结论正确的是 ▲ (填序号)①②③
A1 M D C A B D1 B1 C1

①线段 A1M 与 B1C 所在直线为异面直线; ②对角线 BD1⊥平面 AB1C; ③平面 AMC⊥平面 AB1C; ④直线 A1M//平面 AB1C.

13.如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封) ,其轴截面是边长 为 2 的正方形,P 是 BC 中点,现有一只蚂蚁位于外壁 A 处,内壁 P 处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 ▲ .

?2 ?9
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 相交于 A, B a2 b2

14. 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

两点,且 OA ? OB( O 为坐标原点 ) ,若椭圆的离心率 e ? [ ,

1 2 ] ,则 a 的最大值 2 2





6 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内,否则答题 无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15. (本小题满分 14 分)已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 长为 a . (1)求异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小; (2)求四棱锥 A1 ? ABCD 的体积.

(1)因为 B1C // A1 D ,

?直线 A1 B 与 A1 D 所成的角就是异面直线 A1B 与 B1C 所成角. ??2 分
又 ?A1 BD 为等边三角形,

?异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60 ? .

??8 分

(2)四棱锥 A1 ? ABCD 的体积 V ? .

1 2 1 ? a ? a ? a3 3 3

??14 分

x 16. (本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 .设命题 p : 函数 y ? a 是定义在 R 上的增函数;
2 命题 q : 关于 x 的方程 x ?ax ? 1 ? 0 有两个不等的负实根.若“ p 或 q ”为真命题, “p

且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围. 解: p 真:依题意, a ? 1 ???????4 分

q 真:

x?0

?a ? ?x ?

1 ?2 x

? ??0 ? a ? (法二: ? ? ? 0 ? a ? 2 )用韦达也可以 ???????6 分 ? 2 ? ? f (0) ? 0
p 或 q 为真, p 且 q 为假 ? p, q 一真一假
???????7 分 ???????11 分

? a ? 1 ?0 ? a ? 1 ?? 或? ?a ? 2 ? a ? 2

3

?1 ? a ? 2

???????14 分

17. (本小题满分 15 分)如图: AD ? 2, AB ? 4 的长方形 ABCD 所在平面与正 ?PAD 所 在平面互相垂直, M , Q 分别为 PC , AD 的中点. (1)求证: PA// 平 面 MBD ; (2)试问:在线段 AB 上是否存在一点 N ,使得平面 PCN ? 平面 PQB ?若存在,试 指出点 N 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

(1)连 AC 交 BD 于 O ,连 MO 则 O 为 AC 中点,因为 M 为 PC 中点,[来源:学科网] 所以 MO / / AP , (2)当 BN= 又 AP ? 平面MBD , MO ? 平面MBD ,则 AP / / 平面MBD .

1 时,平面 PCN ? 平面PQB . 2

证明如下:正 ?PAD 中,Q 为 AD 的中点故 PQ ? AD

? ? 平面PAD ? 平面ABCD ? AD ? 由 ? ? PQ ? 平面ABCD , 又 CN ? 平面ABCD , 则 PQ ? 平面PAD ? ? PQ ? AD ?
PQ ? CN
又因为长方形 ABCD 中由相似三角形得,则 CN ? BQ

平面PAD ? 平面ABCD

?CN ? 平面PQB



CN ? 平面PCN 所以,平面 PCN ? 平面PQB .

4

18. (本题满分 15 分)已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4 ,且椭圆 ? 过点 a 2 b2

A(2 , 2 ) .
(1)求椭圆 ? 的方程; (2)设 P 、 Q 为椭圆 ? 上关于 y 轴对称的两个不同的动点,求 AP ? AQ 的取值范围.

18 . ( 本 题 满 分

15

分 ) ( 1 ) 解 法 一 : 由 已 知 得

c ? 2,

????????????????????(1 分)

2 ?4 ? 2 ? 2 ?1, 因为椭圆 ? 过点 A(2 , 2 ) ,所以 ? a b ?a 2 ? b 2 ? 4 , ?
解得 ?
2 ? ?a ? 8 , 2 ? ?b ? 4 .

????????????(3 分)

??????????????????????????? (5 分)

所以,椭圆 ? 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 4

?????????????????(7 分)

解法二:由已知得 c ? 2 ,所以椭圆 ? 的两个焦点是 F1 (?2 , 0) , F2 (2 , 0) ,??(1 分) 所以 2a ?| AF 1 | ? | AF 2 |? 3 2 ? 2 ? 4 2 ,故 a ? 2 2 , 所以 b ? a ? c ? 4 .
2 2 2

????????(5 分)

????????????????????(6 分)

x2 y2 ? ? 1 . ??????????????????(7 分) 所以,椭圆 ? 的方程为 8 4
(2)设 P( x , y) ,则 Q(? x , y) ( x ? 0 ) ,

AP ? ( x ? 2 , y ? 2 ) , AQ ? (?x ? 2 , y ? 2 ) , ????????????(1 分)


x2 y2 ? ? 1 ,得 x 2 ? 8 ? 2 y 2 ,所以 AP ? AQ ? 4 ? x2 ? ( y ? 2 )2 ? 3 y 2 ? 2 2 y ? 2 8 4
2

? 2? 8 ? ? , ? 3? y ? ? ? 3 3 ? ?

????????????????????????(5 分)

5

8 ? 2? 8 ? ? ? 10 ? 4 2 . ?????(7 分) 由题意, ? 2 ? y ? 2 ,所以 ? ? 3? y ? ? 3 3 ? 3 ? ?
所以, AP ? AQ 的取值范围是 ??

2

? 8 ? , 10 ? 4 2 ? . ? 3 ?

????????????(8 分)

19. (本小题满分 16 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 , 设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。 y A O l

x

19.解: (1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2) ,∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a) 2 ? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2
2 2 2 2 又∵ MA ? 2 MO ∴设 M 为 (x,y) 则 x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y 整理得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4

设为圆 D ∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 即:圆 C 和圆 D 有交点
6

∴ 2 ?1 ?
2

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1
2

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R
2 由 5a ? 12a ? 0 得 0 ? x ?

12 5

终上所述, a 的取值范围为: ?0, 20. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 E :

? 12 ? ? ? 5?

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上任意一点到两焦点距离之和为 2 5 ,离心 a 2 b2

率为

5 ,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 是右准线上任意一点,过 F2 作直线 PF2 的垂线 5

F2Q 交椭圆于 Q 点.
(1)求椭圆 E 的标准方程; ( 2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3) 点 P 的纵坐标为 3, 过 P 作动直线 l 与椭圆交于两个不同点 M , N , 在线段 MN 上 取点 H (异于点 M,N) ,满足

MP MH ? ,试证明点 H 恒在一定直线上. PN HN

? 2a ? 2 5 ? c 5 ? 解: (1)由题意可得 ? e ? ? ,解得 a ? 5 , c ? 1 , b ? 2 , a 5 ? 2 ?a ? b 2 ? c 2 ?
所以椭圆 E :

x2 y 2 ? ?1. 5 4 a2 ? 5 , F2 (1,0) c

(2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为 x ? 设 P(5, y0 ), Q( x1 , y1 ) , 因为 PF2⊥F2Q,所以 kQF2 kPF2 ? 所以 ? y1 y0 ? 4( x1 ? 1) ,

y0 y ? 1 ? ?1 , 5 ? 1 x1 ? 1

7

又 因 为 kPQ kOQ ?

2 2 x12 ?y1 y 0 y1 y1 y1 ? y 0 y 1 ? 4( x 1? 1) 2 y ? 4(1 ? ) 代入化简得 且 ? ? 2 ? 1 5 x1 x1 ? 5 x1 ? 5x1 x12 ? 5x1

4 k P Qk O Q ? ? . 5
即直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 ?

4 . 5

(3)设过 P(5,3) 的直线 l 与椭圆交于两个不同点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,点
2 2 H ( x, y) ,则 4x12 ? 5 y12 ? 20 , 4x2 ? 5 y2 ? 20 .



MP MH ? ? ? ,则 PM ? ? PN , MH ? ? HN , PN HN

∴ ( x1 ? 5, y1 ? 3) ? ? ( x2 ? 5, y2 ? 3) , ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) , 整理得 5 ?

x ? ? x2 x1 ? ? x2 y ? ? y2 y ? ? y2 ,y? 1 ,x ? 1 ,3 ? 1 , 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?
2 2 x12 ? ? 2 x2 y12 ? ? 2 y2 ,3 y ? , 1? ? 2 1? ? 2

∴从而 5 x ?

2 2 2 由于 4x1 ? 5 y12 ? 20 , 4x2 ? 5 y2 ? 20 ,

∴ 20 x ? 15 y ?

2 2 2 2 4 x12 ? 4? 2 x2 ? 5 y12 ? 5? 2 y2 4 x12 ? 5 y12 ? ? 2 (4 x2 ? 5 y2 ) ? ? 20 , 2 2 1? ? 1? ?

所以点 H 恒在直线 20 x ? 15 y ? 20 ? 0 ,即 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 上.

8


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