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2013年全国高中数学联赛吉林赛区


2013 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛

一、选择题(每小题 6 分,共 30 分) 1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



3π A. 2π + √
B.

3 π 8

2

2

C. 4π +



2 3 π 3 3 π 3

2 2 正(主)视 图

2 2 侧(左)视 图 俯视图

D. 2π +

2.已知函数 f(x ) ? 2 sin(?x ?

?
3

) ? cos(?x ?

?
6

)(? ? 0)的最小正周期为 ? ,则

? 的值为(
A. 4

) B.2 C.

1 2

D.

1 4

3.已知函数 f ( x) ? ax ? b?x ? ?0,1?? ,则“ a + 2b > 0 a ? 2b ? 0 ”是“ f ( x) ? 0 恒成立” 的( ) B.必要非充分条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件

A.充分非必要条件 C.充要条件

4.若函数图像上 y ? f ( x) 的任意一点 P 的坐标 ( x, y ) 满足条件| x | ? | y |,则称函数具 有性质 S ,那么下列函数中具有性质 S 的是 ( A. f ?x ? ? e ? 1
x

) C. f ?x ? ? sin x D. f ?x ? ? tan x

B. f ?x ? ? ln?x ? 1?

5.在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有 1 点和 6 点,2 点 和 5 点,3 点和 4 点) .开始时,骰子如图 1 那样摆放,朝上的点数是 2,最后翻动到如图 2 所示位置.现要求翻动次数最少,则最后骰子朝上的点数为 3 的概率为( A. )

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 6 .已知函数 f(x ) ? A cos( ?x ? 是 .

?
4

? ? )(A ? 0) 在 (0, ) 上是减函数,则 ? 的最大值
8

7.三棱锥 S-ABC 中, ?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90 ? , AC ? 2, BC ? 13 , SB ? 则直线 SC 与 AB 所成角的余弦值为_____________.

29 .

x2 y2 8.椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的四个顶点为 A、B、C、D,若菱形的 ABCD 内切圆半径等于 a b
椭圆焦距的

6 ,则椭圆的离心率为 6
? ? ?



9.设 a, b 为两个非零向量,且 a ? 2, a ? 2b ? 2 ,则的最大值是
*

? ?



10.对于数列 ?an ? ,如果存在一个数列 ?bn ?,使得对于任意的 n ? N ,都有,则把 {bn } 叫 做 ?an ? 的“弱数列”.设, bn ? n ? 2n ? n ?
3 2

5 ,, 且是的“弱数列” ,则实数 t 的取值范 4

围是

_ .
D

11.圆 O 的半径为 1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1 的正方形 (实线所示,正方形的顶点 A 与点 P 重合)沿圆周顺时针滚动。经过若干次 滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的路径的长度为 _______________. 三、解答题(第 12 题 15 分,13、14、15 题每题 25 分,共 90 分) 12 . 已 知 正 数 数 列 的 前 n 项 和 为 , 且 满 足 : an ?
2

D C A (P) A B C

an ? 2S n ? 0 ,

c n ? a n bn,
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)若 b1 ? 1 , 2bn ?

?cn ?的前n项和Tn ; bn ?1 ? 0 (n ? 2,n ? N * ) , 求:数列
Tn ? M 对任意正整数 n 恒成立,且 M ? m ? 4 ?

(3)是否存在整数 m、M,使得 m ? 说明理由.

13.已知 a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 的对边, b cosC ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (1)求证 A,B,C 成等差数列; (2)若 b ? 3 ,求 2a+c 的最大值. 14. (1)已知 0 ? x ? 1 ,求证: x ?

3 ? 2x4 ? 2x ; 8

(2)已知 x, y, z ? 0 且 x ? y ? z ? 1 , 求 f(x ,y ,z ) ? 2x 15.求方程 x
3 4

? y 2 ? z 的最大值和最小值.

? y 3 ? x 2y 2 ? (x ? y )2 z ? 0 的所有非负整数解.

解答
1D 2 B 提示: f ? x ? ? 2 sin( wx ?

?

? 2 sin( wx ? ) ? cos( wx ? ? ) 3 3 2 ? 2 sin( wx ?
? 3 sin( wx ?
因为 T =

?

) ? cos( wx ? ) 3 6

?

?

?

?

?

3

) ? sin( wx ?
)

?

3

)

2? 2? ? ? ,即 W ? 2 . ,所以 W W

3

3B 4C 5C 6 8 提示:要求 w 的最大值,不妨设 w>0. 要使 f ( x) 在 ? 0, ? 上是减函数,结合余弦型函数图象知必需

? ?? ? 8?

T ? ? ? ? ,即 ? ,故 w 2 8 w 8

≤8. 当 w=8 时, (A>0)显然在上是减函数,符合 w 的最大值为 8.

y

O

x

7

17 17

提示:如图,取 A 为原点,AB、AS 分别为 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则

有 AC=2,则有 AC=2,BC=,SB= 29 ,得 B(0, 17 ,0) 、S(0,0, ) 2 3 、C( 2

13 , 17

4 13 4 ,0) ,所以 SC ? (2 , , ? 2 3). 17 17 17
因为 AB = (0 ,17, 0), SC ? AB = 4, | SC || AB |= 4 17 ,所以 cos? ?

17 ,即为所求. 17

S

z

A B x
8

y

C
6 c 2 ? 2c ? a 2 ? b 2 ,可得 e ? ? 6 a 2

2 2

提示:由题设 ab=

9 10

2 2
5 1? ?3 ? ? 因为 ?bn ?的 ?an ? ? ? ? 提示:f ( x) ? an ? bn ? n 2 ? ?2t ? 1?n ? t 2 ? , ? ? ?, ? ? ? , 4 2? ?2 ? ?
*

弱数列,所以 f (n) ? 0 任意的 n ? N 均成立.

令 ? ? (2t - 1)2 ? 4? t 2 ?

? ?

5? ? ? ?4t ? 6 . 4?

3 时,题设成立; 2 3 2t ? 1 ? 1,即二次函数的对称轴在 n=1 的左端,此时, (1)当时 ? ? 0 ,即: t ? 时, 2 2 5 3 1 2 2 题设成立的等价条件是 f (1) ? 0 , 即 1 ? ?2t ? 1? ? t ? ? 0 , 即 t ? 2t ? ? 0 , 解得 t ? 2 4 4 3 1 或 t ? ,所以 t ? . 2 2
(1)当时 ? ? 0 ,即: t ? 由(1) (2)可知,t 的取值范围是 ? ? ?, ? ? ? , ? ?? .

? ?

1? 2?

?3 ?2

? ?

11

?2 ? 2 ??
2

提示:A 走过的路径由 9 段圆心角均为

? 的劣弧组成,其中 6 个劣弧所在 6

圆的半径为 1,3 个劣弧所在圆的半径为 1,3 个劣弧所在圆的半径为 2 ,所以点 A 走过的

路径的长度为

?

?1 ? 6

2 ?1?1? 2 ?1?1? 2 ?1 ?

? ?2 ? 2 2 ?? .

2 12 (1)令 n>1, ,所以 an ?1 ? an?1 ? 2Sn?1 ? 0 ,所以

(an ? an?1 )?an ? an?1 ? ? an ? an?1 ? 2an ? 0 , (an ? an?1 ?1)?an ? an?1 ? ? 0 ,
因此 an ? an?1 ? 1 . 令 n=1, a1 ? a1 ? 2a1 ? 0 , a1 ? 1 ,an ? 1 ? ?n ?1? ? n .
2

b 1 ?1? (2)因为 n ? ,所以 bn ? ? ? bn ?1 2 ? 2?

n ?1

?1? ,因此 Cn ? n? ? ? 2?

n ?1

.

?1? ?1? ?1? 所以 Tn ? 1? ? ? 2? ? ? ?n? ? ?2? ?2? ? 2?
1 2 n

0

1

n ?1



1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 1? ? ? 2? ? ? ?n? ? , 2 ? 2? ? 2? ? 2? 1 1 ?1? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2?
n -1

?1? ? n? ? , ? 2?

n

? ? 1 ? n ? ? 1 ? n ?1 Tn ? 4?1 ? ? ? ? ? n? ? ? ? ?2? ? ? ?2?

?1? ?1? ? 4 ? 4? ? ? n? ? ? 2? ? 2? ?1? ? 4 ? ?2n ? 4?? ? ?2?
n

n

n ?1

(3)由(2)可得: Tn ? 4 .因为

?1? Tn?1 ? Tn ? 4 ? ?2n ? 6?? ? ? 2? ?1? ? ?n ? 1?? ? ? 0 ?2?
所以 Tn ? T1 ? 1 .
n

n ?1

?1? ? 4 ? ?2n ? 4?? ? ? 2?

n

故存在整数 M=4,m=0 满足题目要求. 13 (1)因为 b cosC ? 3b ? a ? c ? 0 ,所以

sin B sin C ? 3 sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0 .
又 A+B+C=π,所以 sin A ? sin ?B ? C ? .所以

sin BcosC ? 3 sin B sin C ? sin?B ? C? ? sin C ? 0 sin B cosC ? 3 sin B sin C ? (sin B cosC ? cos B sin C) ? sin C ? 0 .
3 sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
又 0<C<π,所以 sin C ? 0 .所以

3 sin B ? cos B ?1 ? 0
( 2 sin? 3 1 ? cos? ) ?1 2 2

? ?? ?? ? ? 2? sin B cos ? cos B sin ? ? 1 .亦即 2 sin ? B ? ? ? 1 6? 6 6? ? ?

? . 3 2? 又 A+B+C=π,所以 A+C= =2B. 3
又 0<B<π ,所以 B= 所以 A、B、C 成等差数列. (2)由正弦定理

a b c ? ? ,得 sin A sin B sin C

a c ? ? sin A sin C

3 3 2

即 a ? 2 sin A , c ? 2 sin C .所以 2a ? c ? 4 sin A ? 2 sin C . 因为 B=

? 2? - A .所以 ,所以 C= 3 3 2? 2a + c = 4 sinA + 2 sin( - A) 3

? 3 ? 1 ? = 4 sinA + 2 ? cos A ? sin A ? 2 ? 2 ? ?

? 5 sin A ? 3 cos A
? 5 7 21 ? ? ? 2 7? ? sin A ? 14 ? cos A 14 ? ? ?

? 2 7sin(A ? ?) ?2 7 .
其中锐角 ? 满足 sin ? ?

21 5 7 , cos? ? . 14 14

因为 A ? ? 0,

? ?

2? ? ? ,所以当 A 为 ? 的余角时,即 2 7 sin? A ? ? ? ? 2 7 时,2a+c 取最大值. 3 ?

1 ,所以 14 (1) 因为 0 ≤x ≤

2x4 - 2x = 2x(x-1)(x2 + x +1) ≤ 0
从而 2 x ? 2 x
4

1 ,所以 因为 0 ≤x ≤

3? 1 ? 2 x 4 ? ? x ? ? ? ? ?2 x ? 1??4 x ? 4 x ? 3? ? 0 8? 8 ?
从而 x ?

3 ? 2x2 8

综上, x ? (2)一方面,

3 ? 2 x 2 ? 2 x .(亦可用导数证明) 8

f ( x,y,z) ? 2x 4 ? y 2 ? z ? 2 x 4 ? y 2 ? z
? 2?x ? y ? z ? ? 2
,y ? z ? 0 当时取等号. 当且仅 x ? 1
从而 f ( x,y,z ) 得最大值为 2. 另一方面,

?

?

f ( x,y,z) ? 2x 4 ? y 2 ? z ? 2x 4 ? y 2 ? ?1 ? x ? y ? ? 2x4 ? x ? y 2 ? y ? 1
3 ? 3? ? 1 ? ? ?? ? ? ?? ? ? 2 ? 8 ? 8? ? 4?
1 , z ? 0 当时取等号. 2 3 从而 f ( x,y,z ) 得最小值为 . 8
当且仅 x ? y ? 15 (1)当 x ? 0 时,方程变为 y ? y z ? 0 ,即 y ? y ? z ? ? 0 ,所以 y=0 或 y=z.
3 2 2

?

? ?

?

?0,0, m?、 ?0, m, m? 为满足题意的解(其中 m 为任意的非负整数) ?m,0, m?为满足题意的解(其中 m 为任意的非负整 (2)当时 y=0,同理可得 ?0,0, m?、
数)
* (3)当 x, y ? N 时,令 a ? x ? y, b ? xy ,则原方程变为

b2 ? 3ab ? a 2 ?a ? z ? ? 0 .
考虑到 a、b、c 均为整数,从而判别式

? ? 9a 2 ? 4a 2 ?a ? z ? ? a 2 ?4a ? 9 ? 4z ?
为完全平方数 又 4a ? 9 ? 4 z 为奇数,所以可设 4a ? 9 ? 4 z ? (2t ? 1) (其中 t≥0) ,于是
2

a ? t2 ? t ? z ? 2

b?

? 3a ? ? ? a?t ? 1? 2

2 又 a, b ? N * ,所以 t ≥
下面考虑平方数

(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy = a 2 - 4b = a 2 - 4a(t-1)
显然

?a ? 2?t ?1? ? 2?2 ? a2 ? 4a?t ?1? ? ?a ? 2?t ?1??2


a2 ? 4a?t ?1? ? ?a ? 2?t ?1??
2

2

故 ?a ? 2?t ?1? ? 2? ? a 2 ? 4a?t ?1?
2 即 a ? t ,故 t ? z ? 2 ,所以 t=2,z=0

从而 a ? b ? 4,x ? y ? 2 即此时方程的解为(2,2 ,0). 综上,方程的所有非负整数解为: (2,2,0) 、 (0,0,m) 、 (0,m,m) 、 (m,0,m) (其中 m 为任意的非负整数)


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