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湖南省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(3)函数与导数


最新联考试题分类汇编
一、选择题:

函数与导数

9. (湖南省 十二校 2013 届高三第二次联考文)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足

f ( x ? 2) ? 2 f ( x),当x ?[0,2]时, f ( x) ? (2 x ? 1)(2 x ? 4) 。若
f ( x)在[?2n,?2n ? 2]( n ? N *)上的最小值为 ?
A.1 B.4

9 , 则 n=( ) 32
D.3

C.2

2. (湖南师大附中 2013 届高三第六次月考理)函数 f ( x) ? ln x ? 间是( ) B. (1,2) C. ( 2, e)

1 的一个零点所在的区 x

A. ( ?1,1)

D. (e,3)

3. (湖南师大附中 2013 届高三第六次月考理)化简对数式 ( ) A. 1 B. 2 C. - 1

1 1 ? log3 得到的值为 log5 3 15

D. ?

1 3

8. (湖南师大附中 2013 届高三第六次月考理)对于定义域为[0,1]的函数 f ( x) ,如果同 时满足以下三个条件: ①对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ② f (1) ? 1 ③若 x1 ? 0, x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; 则称函数 f ( x) 为理想函数. 下面有三个命题: (1)若函数 f ( x) 为理想函数,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 f ( x) ?2 x ?1( x ?[0,1]) 是理想函数; (3)若函数 f ( x) 是理想函数, 假定存在 x0 ? [0,1] , 使得 f ( x0 ) ?[0,1] , 且 f [ f ( x0 )] ? x0 , 则 f ( x0 ) ? x0 ; 其中正确的命题个数有( A. 0 个 ) B.1 个 C.2 个 D.3 个

1

4.(湖南省长沙市 2013 年高考模拟试卷一文科)当 y ? f ? x ? 是下列的( 定是增函数。 A.二次函数 B.反比例函数 C.对数函数

)时,f ′(x)一

D.指数函数

9.(湖南省长沙市 2013 年高考模拟试卷一文科)使得函数 f ? x ? ? 的值域为 ?a, b??a ? b ? 的实数对 ?a, b ? 有( A.1 )对 B.2 C.3

1 2 4 7 x ? x ? ?a ? x ? b ? 5 5 5

D.无数 )

4. (湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测理)下列命题中是假命题的是( A. ?? , ? ? R ,使 sin (? +? )=sin? +sin? ; B. ?? ? R, 函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数

? (m ? 1) ? x C. ?m ? R ,使 f ( x)
2

m 2 ?4 m ?3

是幂函数,且在 (0,??) 上递减

D. ?a >0 函数 f ( x) ? ln x ? ln x ? a 有零点.
(x +1) ? ?log 2 , x >3 f ( x) ? ? x -3 ? ? 2 +1, x ? 3 ,满 5. (湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测理)已知函数

足 f (a)=3 ,则 f (a ? 5) 的值为

( C )

A.

log2 3

17 B. 16

3 C. 2

D.1

8. (湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测理)对于函数

f ( x)



g ( x) ,其定义域



? a, b ? 。若对于任意的 x ? ? a, b? ,总有

1?

g ( x) 1 ? f ( x) 10 则称 f ( x) 可被 g ( x) 置换,那么下
的是 ( B )

列给出的函数中能置换

f ( x) ? x , x ? ? 4,16?

A. g ( x) ? 2 x ? 6, x ?[4,16]

1 g ( x) ? ( x ? 6), x ?[4,16] 5 B.
D. g ( x) ? x ? 9, x ?[4,16]
2

1 g ( x) ? ( x ? 8), x ? [4,16] 3 C.

9、 (湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测文)设函数 y ? f ( x) 在区间(a,b)的导 函数为 f '( x), f '( x ) 在区间(a,b)的导函数为 f ''( x) 若在区间(a,b)上 f ''( x ) ? 0 恒成

2

立,则称函数 f ( x) 在区间(a,b)上为“凸函数”,已知

f ( x) ?

1 4 1 3 3 2 x ? mx ? x 12 6 2 ,

若对任意的实数m满足 | m |? 2 时,函数 f ( x) 在区间(a,b)上为“凸函数”,则 b ? a 的最 大值为( A.4 ) B.3 C.2 D.1
x

?1? 2 g ( x) ? ? ? ? m ?2? 7. (湖南省长沙市四县一市2013年3月高三模拟文 ) 已知 f ( x) ? x , . 若
对任意 x1 ? [?1 , 3] ,总存在 x2 是 A. [?8 , ? ?)

?[0 , 2],使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 m 的取值范围
?1 ? ?4 , ? ?? ? C. ?

? 3 ? ?? 4 , ? ? ? ? B. ?

D. [1 , ? ?)

10. (湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测理)函数

f ( x) ? 1 ? 2 log 6 x

的定义域

3



? 0,

6? ?



11. ( 湖 南 省 五 市 十 校 2013 届 高 三 第 一 次 联 合 检 测 理 )

?

1

0

(e x ? x)dx



e?
于 .

1 2

15. ( 湖 南 省 五 市 十 校 2013 届 高 三 第 一 次 联 合 检 测 理 ) 已 知 函 数

f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d (b, c, d为常数),当k ? (??,0) ? (4,??) 时,f ( x) ? k ? 0 只 有一个实根;当k∈(0,4)时, f ( x) ? k ? 0 有3个相异实根,现给出下列四个命题:
? ① f ( x) ? 4 ? 0 和 f ( x) ? 0 有一个相同的实根;
② f ( x) ? 0和f ( x) ? 0 有一个相同的实根;
'

③ f ( x) ? 3 ? 0 的任一实根大于 f ( x) ? 1 ? 0 的任一实根; ④ f ( x) ? 5 ? 0 的任一实根小于 f ( x) ? 2 ? 0 的任一实根. 其中正确命题的序号是 (1),(2),(4)

0? x?
15、 (湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测文)当 取值范围 .

1 x 2 时,4 ? loga x ,则 a 的

? 2 ? ? ? 2 ,1? ? ? 【答案】 ?
三、解答题: 17 、 (湖南师大附中 2013 届高三第六次月考理) (满分 12 分)已知 ?,? 是三次函数

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx (a, b ? R) 的两个极值点,且 ? ? ?0,1? , ? ? ?1,2? ,求动点 ?a, b ? 3 2 所在的区域面积 S . 1 1 ? x 3 ? ax 2 ? 2bx (a, b ? R) 可得, 【解析】由函数 f ( x) 3 2 f ( x) ?

f ?( x) ? x 2 ? ax ? 2b ,

??????2 分

2 由题意知, ?,? 是方程 x ? ax ? 2b ? 0 的两个根, ??5 分

4

? f ?(0) ? 2b ? 0 ? 且 ? ? ?0,1? , ? ? ?1,2? ,因此得到可行 ? f ?(1) ? 1 ? a ? 2b ? 0 ,????9 分 ? f ?(2) ? 4 ? 2a ? 2b ? 0 ? ?b ? 0 ? 即 ?a ? 2b ? 1 ? 0 , ?a ? b ? 2 ? 0 ?
画出可行域如图. ???11 分 所以 S ?

1 . 2

???12 分

19. (湖南省长沙市 2013 年高考模拟试卷一文科)某地 政府鉴于某种日常食品价格增长过快, 欲将这种食品价格控制在适当范围内, 决定对这 种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市 场价格为 x 元/千克,政府补贴为 t 元 /千克,根据市场调查,当 16 ? x ? 24 时,这种食品市场日供应量 p 万千克与市场日 需 量 q 万 千 克 近 似 地 满 足 关 系 : p ? 2? x ? 4t ? 14 ?, ? x ? 16, t ? 0 ? ,

q ? 24 ? 8 ln

20 , ?16 ? x ? 24 ? 。当 p ? q 市场价格称为市场平衡价格。 x

(1)将政 府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于每千克 20 元,政府补贴至少为每千克多少元? 19.解: (1)由 P=Q 得 2(x + 4t -14 )= 24+8ln t=

20 (16≤x≤24 ,t>0) 。 x

20 13 1 - x+ ln (16≤x≤24) 。?????????3 分 2 4 x 1 1 ? t′=- - <0,? t 是 x 的减函数。 4 x 13 1 20 1 20 1 5 = +ln = + ln ;?????????5 分 ? tmin= - ? 24+ ln 2 4 24 2 24 2 6 13 1 20 5 5 1 5 5 5 tmax= - ? 16+ ln = + ln , ? 值域为[ + ln , + ln ]????7 2 4 16 2 4 2 6 2 4
分 (2)由(1) t=

20 13 1 - x+ ln (16≤x≤24) 。 2 4 x 13 1 20 而 x=20 时,t= - ? 20 + ln =1.5(元 /千克) ????????9 分 2 4 20 ? t 是 x 的减函数。欲使 x ? 20,必须 t ? 1.5(元/千克)
要使市场平衡价格不高于每千克 20 元,政府补贴至少为 1.5 元/千克。??12 分

5

17 . ( 湖 南 省 五 市 十 校 2013 届 高 三 第 一 次 联 合 检 测 理 ) ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2 ( x?R ) ,
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值;
2 (Ⅱ)已知 m ? R , p :关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? 2m ? 2 对任意 x ? R 恒成立;

q :函数 y ? (m2 ? 1) x 是增函数.若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,求实数 m 的取
值范围.

? ? ? x ? 1 ( x ? ?2) ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 3 (?2 ? x ? ) 作出图像,可知f (x) min =f(1)=1 2 ? 1 ? 5x ? 1 ( x ? ) ? ? 2 解: (Ⅰ)

(4分)

?p:m2 +2m-2 ? 1 ? -3 ? m ? 1
(Ⅱ) ?q:m -1>1 ? m> 2或m<- 2
2

(8分)





3 ? 1m ? ?- ? p或 为真, q 且 为假 p ? q 10若 真 假时,则 p ?q 解得 , 2? 2 ? m ? 2 ? ?

?

1 m

(10分)

? ?m>1或m<-3 20若p假q真时,则 ? ,解得m<-3或m> 2 m <2 或 m > 2 ? ?
故实数 m 的取值范围是 (-?,-3) ?[- 2,1] ? ( 2,+?) (12分)

6

19、 (湖南省五市十校2013届高三第一次联合检测理)某商场根据调查,估计家电商品从年 初 ( 1 月 ) 开 始 的 x 个 月 内 累 计 的 需 求 量 p(x) ( 百 件 ) 为

x p(x)= (39 x-2x 2 +41)(1 ? x ? 12且x ? N ? ) 2
(1)求第 x 个月的需求量 f (x) 的表达式.

?f(x)-21x,(1 ? x<7,x ? N? ) ? g (x)= ? x 2 1 2 ? ? x ( x -10 x+96),(7 ? x ? 12,x ? N ) ?e 3 (2) 若第 x 个月的消售量满足 (单位: 百件) ,
q(x)=
每件利润
6

100e x -6 x 元,求该商场销售该商品,求第几个月的月利润达到最大值?最大

是多少? (e 取值为403) 解: (1) x ? 2时,f (x)=p(x)-p(x-1)=-3x +42x;当x=1时,p(x)=39,也满足
2

? f (x)=-3x2 +42x,(1 ? x ? 12,x ? N? )
(2)设该商场第 x 个月的月利润为 ? (x) 元,则

(4分)

7

10.当1 ? x<7,x ? N?时,? (x)=(-3x 2 +42 x-21x) ?

10000e x -6 =30000(7-x)e x -6 x (5分)

? '(x)=30000(6-x)ex-6 ,令? '(x)=0, ? x=6 ?
?(x)在[1,6]上单调递增,在[6,7]上单调递减
w(x)max =w(6)=30000
0 ?

(8分)

x2 1 2 10000e x -6 1 2 .当7 ? x ? 12,x ? N 时,? (x)= x ( x -10 x+96) ? =10000( x3 -10 x 2 +96 x)e-6 e 3 x 3

? '(x)=10000(x-12)(x-8)e-6 , ?(x)在[7,8]上单调递增,在[8,12]上单调递减
w(x)max =w(8)<30000
(12分)

当第6个月利润最大,是30000元 (13分) 21. ( 湖 南 省 五 市 十 校 2013 届 高 三 第 一 次 联 合 检 测 理 ) 已 知 函 数

f ( x) ?

1 2 x ? x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) 2

(1)判断 f ( x ) 的单调性;

x , x ( x ? x2 ) , 求 证 ? ? k (x? 1 ), ( 2 ) 记 ? ( x )? f ( x? 1 ) 若 函 数 ? ( x) 有 两 个 零 点 1 2 1

? ?(

x1 ? x2 )?0 2

解: (1) 原函数定义域为 分) 记 g ( x) ? x ? ln( x ? 1)

? ?1, ??? , f ?( x) ? x ? ln( x ? 1) ,

(2

g ?( x) ? 1 ?
分)

1 x ? x ?1 x ?1 ,

(3

? ?1,0? 递减, ? 当 x ? (?1, 0) 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在
?0, ??? 递增, ? 当 x ? (0, ??) 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在
? x ? ? ?1, ??? , g( x) ? 0
分) (2)由(1)可知 ? ( x) ? x ? 1 ? ln x ? k ( x ? 1) ,由题意: , 即当

? x ? ? ?1, ??? , f ?( x) ? 0 ? f ( x) ? ?1, ?? ? , 在 递增

(6

x1 ?1 ? ln x1 ? k ( x1 ?1) ? 0 ,

8

x2 ?1 ? ln x2 ? k ( x2 ?1) ? 0 , 两 式 相 减 得 :
k ? 1? x 1 ln 1 x1 ? x2 x2 ,

x1 ? x2 ? ln

x1 ? k ( x1 ? x2 ) x2 , 即 有

? ?( x) ? 1 ? ? k
又 因 为 (9分) , 所 以

1 x

? ?(

x1 ? x2 2 )? 1 ? k ? 2 x1 ? x2

x 1 2 ? l n1 ? x1? x2 x2 ? x1

x2







x1 ? 1) x1 2( x1 ? x2 ) x1 x2 ln ? ? ln ? x1 x2 x1 ? x2 x2 ?1 x2 2(
2 t? ( t l?n t ?1 1 ) ? t( 0 ? ? ?(t ) ? 1 )
,则 (11分)





x1 ? t( ? 0t ? x2

1 )
, 设

? (t ?)

(t ? 1)2 ?0 t ? ? 0,1? t (t ? 1)2 ,所以 ? (t ) 在 递增,所以

? (t ) ? ? (1) ? 0 ,
ln


x1 2( x1 ? x2 ) ? ?0 x ? x2 ? 0 , x2 x1 ? x2 ,又因为 1

? ?(
所以

x1 ? x2 x 1 2 )? ln 1 ? ?0 2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2

(13分)

21 、 ( 湖 南 省 五 市 十 校 2013 届 高 三 第 一 次 联 合 检 测 文 ) ( 本 题 满 分 13 分 ) 设 函 数

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c
?3 ?

,且

f ?1? ? ?

a 2 , 3a ? 2c ? 2b ,求证:

(1) a ? 0, 且 (2)函数

b 3 ?? a 4;

f ? x?

在区间

? 0, 2 ? 内至少有一个零点;

57 2 ? x1 ? x2 ? f x x , x ? ? 4 . (3)设 1 2 是函数 的两个零点,则
f ?1? ? a ? b ? c ? ? a 2 ,? 3a ? 2b ? 2c ? 0 ,

21、解:(1) 又

c ? 0 3a ? 2c ? 2b ,? a ? 0, c ? 0 ????????????2分

9



2c ? ?3a ? 2b,?3a ? ?3a ? 2b ? 2b

a?0

??3 ?

b 3 ?? a 4 ????4分

(2)

f ? 0? ? c, f ? 2? ? 4a ? 2b ? c ? a ? c f ? 0? ? c ? 0
f ?1? ? ? a ?0 2

①当 c ? 0 时,



? 函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内至少有一个零点
②当 c ? 0 时, 函数

f ?1? ? ?

a ? 0 f 2 ? a ?c ? 0 ? ? 2 , ,

f ? x?

在区间

?1, 2? 内至少有一个零点
在区间

综上所述:函数

f ? x?

? 0, 2 ? 内至少有一个零点。?????????8分

(3)

x1 , x2 是函数

f ? x?
2

b c 3 b x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? ? ? a a 2 a 的两个零点,?
2 2

?

x1 ? x2 ?
?3 ?

? x1 ? x2 ?

? b? ? 3 b? ?b ? ? 4 x1 x2 ? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? a? ? 2 a? ?a ?

b 3 57 ?? 2 ? x1 ? x2 ? a 4 ,? 4 ??????????13分

22 、 ( 湖 南 省 五 市 十 校 2013 届 高 三 第 一 次 联 合 检 测 文 ) ( 本 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数
2 f ? x? ? ? ? a x ?2 x ? a ? ? xe



? a ? R?
的极值;

(1)当 a ? ?2 时,求函数 (2) 若

f ? x?

f ? x?

在[-1,1]上单调递减,求实数 a 的取值范围.

22、解: (1)当 a ? ?2 时,

f ? x ? ? ? 2x2 ? 2x ? 2? ? ex

,定义域是 R , ???2分

f ' ? x ? ? ? 4 x ? 2 ? ? e x ? ? 2 x 2 ? 2 x ? 2 ? ? e x ? 2 ? x ? 1?? x ? 2 ? ? e x


f ' ? x? ? 0

得 x ? ?2或x ? 1 ,由

f ' ? x? ? 0

得 ?2 ? x ? 1 ,?????4分

? f ? x ? 的增区间为 ? ??, ?2? 和 ?1, ?? ? ;减区间为 ? ?2,1?
? f ( x)极大 ? f (?2) ? 10 e 2 ,? f ( x)极小 ? f (1) ? ?2e ??????6分

10

f ' ? x ? ? ? ?2ax ? 2 ? ? e x ? ? ?ax 2 ? 2 x ? a ? ? e x ? ? ?ax 2 ? 2 ? a ? 1? x ? a ? 2 ? ? ex ? ? (2)
要 令

f ? x?



??1,1? 上单调递减,只要 ?ax2 ? 2 ? a ?1? x ? a ? 2 ? 0 ??7分

g ? x ? ? ?ax2 ? 2 ? a ?1? x ? a ? 2

' 1? 当 a ? 0 时, g ? x ? ? ?2x ? 2 ,在 ??1,1? 内 g ? x ? ? 0 , f ? x ? ? 0

函数

f ? x?



??1,1? 上单调递减????????8分

2 2? 当 a ? 0 时, g ? x ? ? ?ax ? 2 ? a ?1? x ? a ? 2 是开口向下的二次函数,

x ? 1?
其对称轴为 即 a ? 0 时,

1 ?1 g x ? ? 在 ??1,1? 上递增,当且仅当 g ? ?1? ? 0 , a ,
此时无解。 ??????10分

f ' ? x? ? 0

2 3? 当 a ? 0 时, g ? x ? ? ?ax ? 2 ? a ?1? x ? a ? 2 是开口向上的二次函数,

? ? g ?1? ? 0 ? a?0 ? ? ' ? g ? ?1? ? 0 即 ??2a ? 4 ? 0 ,所以 ?2 ? a ? 0 时 f ? x ? ? 0 , 当且仅当 ?
此时函数
? ?

f ? x?
?



??1,1? 上单调递减???????????12分

??2,0? 。???????13分 综合 1 , 2 ,3 得,实数 a 的取值范围为
22.(湖南省怀化市2013年高三第一次模拟理)(本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ?1 ( a ? 0 , e 为自然对数的底数).
x

(1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若 f ( x ) ≥0对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值;

1 2 n ?1 n n n e ( ) n ? ( ) n ? ??? ? ( ) ?( ) ? (其中n ? N*) n n n e ?1 (3)在(2)的条件下,证明: n

11

1 ? e? n 1 e ? ? ? ?1 ?1 1? e 1? e e ? 1 ????13分
21 . ( 湖 南 省 长 沙 市 四 县 一 市 2013 年 3 月 高 三 模 拟 文 ) ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? ln x ,

g ( x) ?

1 2 ax ? bx(a ? 0) 2

(1)若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内是增函数,求b的取值范围;

12

C C (Ⅱ)设函数 f ( x) 的图象 1 与函数 g ( x) 的图象 2 交于点 P 、Q ,过线段 PQ 的中点 R 作

x 轴的垂线分别交 C1 、C2 于点 M 、 N ,问是否存在点 R ,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N
处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由. 21. 解: (Ⅰ)依题意: h( x) ? ln x ? x ? bx.
2

h( x) 在(0,+ ? )上是增函数,
? h?( x) ? 1 ? 2x ? b ? 0 x 对 x ∈(0,+ ? )恒成立, x?0 1 ? 2 x ? 2 2. ,则 x
4分

? b?

1 ? 2 x, x

? b 的取值范围是 (??, 2 2] .
(Ⅱ)设点P、Q的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), 且0 ? x1 ? x 2 .

x?
则点M、N的横坐标为

x1 ? x 2 . 2

k1 ?
C1在点M处的切线斜率为

1 2 | x1 ? x2 ? . x x? 2 x1 ? x 2
x ?x x? 1 2 2

k 2 ? ax ? b |
C2在点N处的切线斜率为

?

a ( x1 ? x 2 ) ? b. 2

8分

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则 k1 ? k 2 .

a ( x1 ? x2 ) 2 ? ? b. x ? x 2 2 即 1 则

13

14


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