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2007年成都一诊理科数学成都市2007届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理科数学含答案) 免费


2007 届高中毕业班第一次诊断性检测 成都市 2007 届高中毕业班第一次诊断性检测 数学(理工农医类) 数学(理工农医类)
注:只需修改下载年份,05 年—10 年成都一诊数学文理科试题均可搜索并免费下载 只需修改下载年份,
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答第 I 卷前,考

生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题看上。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3. 本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 S = 4π R 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V =
2

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A、B 相互独立,那么

4 π R2 3

P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P , 那么 n 次独立重复试验中恰好发生在 k 次的概率:
k Pn ( k ) = Cn ? P k (1 ? P ) n?k

其中 R 表示球的半径

( k = 0,1, 2 ??? n )
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分。在每小题列出的 4 个选项中,只有一项是符合 题目要求的,把正确选项代号涂在机读卡的相应位置上. 1.某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,学校学生会用分层抽样的方法从这三 个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为 7,那从高三 学生中抽取的人数应为 ( ) A.10 B.9 C.8 D.7 2.已知集合 U=R,集合 M = { y | y = 2 , x ∈ R}, 集合N = {x | y = lg(3 ? x)}, 则 M I N =
x
U

( B. {t | t < 1}

) D. ( )

A. {t | t ≥ 3}

C. {t | 1 ≤ t < 3}

3.已知向量 a = ( x,?1)与向量b = (1, ), 则不等式 a ? b ≤ 0 的解集为 A. {x | x ≤ ?1或x ≥ 1} C. {x | x ≤ ?1或0 ≤ x ≤ 1} B. {x | ?1 ≤ x < 0或x ≥ 1} D. {x | x ≤ ?1或0 < x ≤ 1}

1 x

“ 4.在 ?ABC 中, AB ? AC > 0 ”是“ ?ABC 为锐角三角形”的
1





A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件

5.已知 l、m 是不重合的直线,α 、 β 、 γ 是两两不重合的平面,给出下列命题:①若 m // l , m ⊥ α , 则

l ⊥ α ; ② 若 m // l , m // α , 则l // α ; ③ 若 α I β = l , β I γ = m, γ I α = n则l // m // n ; ④ 若

l // α , l ? β , m // β , m ? α , 且 直线 l、m 为异面直线,则 α // β .
A.①② B.①③ C.①④ D.②④ ( )





6.已知函数 f (x ) 的部分图象如图所示,则 f (x ) 的解析式可能为 A. f ( x ) = 2 sin( B. f ( x ) =

x π ? ) 2 6

2 cos(4 x +

π
4

)

C. f ( x ) = 2 cos(

x π ? ) 2 3

D. f ( x ) = 2 sin( 4 x +

π

6

)

7 . 已 知 无 穷 等 比 数 列 {a n } 的 公 比 为 q (| q |< 1, q ∈ R ), S n 为 其 前 n 项 和 (n ∈ N * ) , 又

a1 + a 2 + a3 =
A.

1 2

7 1 , a1 ? a 2 ? a 3 = , 则 lim S n 的值为 n →∞ 8 64 1 1 B. ? C. 2 8
1 2 3 4

( D.1



8.某次文艺汇演,要将 A、B、C、D、E、F 这六个不同节目编排成节目单,如下表: 序号 节目 如果 A、B 两个节目要相邻,且都不排在第 3 号位置,那么节目单上不同的排序方式有 ( A.192 种 B.144 种 C.96 种 D.72 种 ) 5 6

9.如图,设地球半径为 R,点 A、B 在赤道上,O 为地心,点 C 在北纬 30°的纬线( O ′ 为其圆心)上, 且点 A、C、D、 O ′ 、O 共面,点 D、 O ′ 、O 共线.若 ∠AOB = 90 ,则异面直线 AB 与 CD 所成角的
o

余弦值为 A.

( B. ?



6 4 6+ 2 4

6 4 6? 2 4

C.

D.

2

10.已知函数 f ( x ) =

ax + 3 的反函数为 f ?1 ( x), 若函数y = g ( x) 的图象与函数 y = f x ?1 7 于直线 y = x 对称,且 g (3) = ,则实数 a 的值为( ) 2 1 A.2 B.1 C.-1 D. 2

?1

( x + 1) 的图象关

?a x ( x > 1), ? 是 R 上的单调函数,则实数 a 取值范围为( 11.若函数 f ( x ) = ? a ?(4 ? ) x + 2( x ≤ 1) ? 2
A. (1, + ∞ ) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8)



12.已知抛物线 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的对称轴在 y 轴的左侧,其中 a, b, c ∈ {?3,?2,?1,0,1,2,3} ,在这 些抛物线中,记随机变量 ξ ="| a ? b | 的取值 " , 则 ξ A. 的数学期望值 ξ D. ( )

8 9

B.

3 5

C.

2 5

1 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)把答案填在题中横线上. 13.已知 tan(α + β +

π
6

)=

1 π 1 π , tan( β ? ) = ? , 则 tan(α + ) = 2 6 3 3
2 3 8 2 3

.
8

14 . 已 知 (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + L + (1 + x ) = a 0 + a1 x + a 2 x + a3 x + L + a8 x

, 则

a1 + a 2 + a3 + L + a8 =

.

15.在等差数列 {a n } 中, a 4 = 2, a 7 = ?4. 现从 {a n } 的前 10 项中随机取数,每次取出一个数,取后放回, 连续抽取 3 次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数 的概率为 (用数字作答). 16.定义在(-1,1)上的函数 f ( x ) = ?5 x + sin x, 如果f (1 ? a ) + f (1 ? a 2 ) > 0 , 则实数a 的取值范围 为 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin

x x x cos ? 2 sin 2 . 3 3 3

(Ⅰ)若 x ∈ [0, π ], 求函数 f (x ) 的值域; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 f (C ) = 1, 且b 2 = ac,

求 sin A的值.
3

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=2,点 M、N 分别在侧棱 PD、PC 上,且 PN =

1 NC , PM = MD. . 2

(Ⅰ)求证:PC⊥AM; (Ⅱ)求证:PC⊥平面 AMN; (Ⅲ)求二面角 B—AN—M 的大小.

19. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) = x 2 + 2bx + c(b, c ∈ R ) 满足 f (1) = 0 , 且关于 x 的方程 f ( x ) + x + b = 0 的两个 实数根分别在区间(-3,-2)(0,1)内. , (Ⅰ) 求实数b 的取值范围; (Ⅱ)若函数 F ( x) = log b f ( x ) 在区间(-1-c,1-c)上具有单调性,求实数 c 的取值范围.

4

20. (本小题满分 12 分) 某商场以 100 元/件的价格购进一批衬衣,以高于进价的价格出售,销售有淡季旺季之分.通过市场调 查发现: ①销售量 r (x ) (件)与衬衣标价 x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系: r ( x) = kx + b1 ;在销 售淡季近似地符合函数关系: r ( x) = kx + b2 , 其中k < 0, b1 、 b2 > 0且k 、 b1 、 b2 为常数; ②在销售旺季,商场以 140 元/件的价格销售能获得最大销售利润; ③若称①中 r ( x ) = 0 时的标价 x 为衬衣的“临界价格” ,则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临 界价格”的 1.5 倍. 请根据上述信息,完成下面问题: (Ⅰ)填出表格中空格的内容; 数量关系 销售季节 旺 淡 季 季 销售量 r (x ) (件) 不同季节的销售总利润 y(元) 标价 (元/件) 与标价 x(元/件)的函数关系式 (含 k、b1 或 b2) x x

r ( x) = kx + b1

(Ⅱ)在销售淡季,该商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为多少元才合适?

21. (本小题满分 12 分) 已知向量 p // q, 其中p = ( x + c ? 1,1), q = (ax 2 + 1, y )( a, c, x, y ∈ R且a > 0, x ≠ 1 ? c) , 把其中 x, y 所满足的关系式记为 y = f (x ). 若函数 f (x ) 为奇函数,且当 x > 0时, f ( x) 有最小值 2 2 . (Ⅰ)求函数 f (x ) 的表达式; (Ⅱ) {a n } ,{bn } 满足如下关系:a n +1 = 设

f (a n ) ? a n a ?1 1 , bn = n (n ∈ N * ) 且 b1 = , 求数列 {bn }的 2 an + 1 3
? ?

通项公式,并求数列 ?(3n ? 1) log 1 bn ? (n ∈ N * ) 前 n 项的和 S n .

? ?

3

5

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x ln x. (Ⅰ)求函数 f (x ) 的单调区间和最小值; (Ⅱ)当 b > 0时, 求证 : b ≥ ( ) e (其中 e=2.718 28…是自然对数的底数) ;
b

1 e

1

(Ⅲ)若 a > 0, b > 0, 证明 : f ( a ) + ( a + b) ln 2 ≥ f ( a + b) ? f (b).

6

2007 成都市 2007 届高中毕业班第一次诊断性检测题 数学试题( 数学试题(理科)参考答案及评分意见
第Ⅰ卷(选择题
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.A.210 :7=30 :1,∴从高三学生中抽取的人数应为 共 60 分)

300 = 10, 选 A. 30

2.B. M = {y | y ≥ 1}, N = {x | x < 3}, M I N = {t | 1 ≤ t < 3}, 选 C. 3.D. a ? b = x ?

x2 ?1 1 ≤ 0, ≤ 0, 选 D. x x

4.B.在 ?ABC中, AB ? AC > 0 ? ∠A 为锐角,不一定为锐角三角形;若 ?ABC 为锐角三角形,则必有

AB ? AC > 0 ,选 B.
5.C.①正确;②还可能 l ? α ,错误;③l 还需与 α 、 β 的交一垂直,错误;④由平面与平面平行的性 质定理可知正确,选 C.

1 , 代点B (0,1) 验证可知,选 C. 2 1 1 7.D. {a n } 为等比数列, a1 ? a 2 ? a 3 = ? a2 = , 64 4
6.C.由图可知 T = π ? ω =

1 4

5 ? a1 + a1 q 2 = ? 8 ? 1 1 ? 由 ?a1 ? a1 q 2 = ? a1 = 1 = , 16 2 ? ?| q |< 1 ? ?
∴ lim S n =
n →∞

a1 = 1, 选 B. 1? q
1 2 4 1 1 2 3 4 1 2

8.B.由题意得 C 3 A2 A4 或C 4 C 3 A2 A3 或A4 C 3 A2 = 144 种,选 B. 9.A.分别以 OB、OA、OD 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 O—xyz,易得 A(0,R,0) , B ( R , 0 , 0 ) , C ( 0 ,

3 1 R, R ) 2 2

, D ( 0 , 0 , R ) ,

3 2 R 3 1 AB ? CD 6 2 AB = ( R,? R,0), CD = (0,? R, R), cos < AB, CD >= = = , 选 A. 2 2 2 4 2R AB ? CD
7

10.A. f

?1

( x) =

x + 3 ?1 x+4 7 x+4 中的 , f ( x + 1) = , g (3) = ? y = x?a x +1? a 2 x +1? a

x=

7 , y = 3, 代入解得a = 2, 选 A. 2 a a > 0, a 1 ≥ 4 ? + 2 同 时 成 立 , 解 不 等 式 组 得 2 2

11 . D . 由 f ( x)在R 上 是 单 调 弟 增 函 数 知 a > 1,4 ?

a ∈ [4,8) ,选 D.
12.A.

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13.1. tan(α + β ) = tan[(α +

共 90 分)

π
6

) + (β ?

π
6

)] =

tan(α +

π
6

) + tan( β ?

π
6

) )

1 ? tan(α +

π
6

) ? tan( β ?

π
6

= 1.

14.502.令 x = 1得a 0 + a1 + a 2 + L + a8 = 510, 又令x = 0得

a 0 = 8,∴ a1 + a 2 + a 3 + L + a8 = 502.
15.

6 .由 a 4 = 2, a 7 = ?4 可得等差数列 {a n } 的通项公式为 a n = 10 ? 2n( n = 1, 2,…,10) ;由题意, 25 2 1 三次取数相当于三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为 ,取得负数的概率为 ,在三 5 2
2 1 2 3

6 ? 2? ? 1? 次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为 C ? ? ? ? = . 25 ? 5? ? 2?
16. 1 < a <

2 .Q f (? x) = ? f ( x), x ∈ (?1,1), ∴ f (x) 为奇函数;又 x ∈ (?1,0) 时

f ′( x) < 0, ∴ f ′(x) 在(-1,0)上是单调递减函数.由奇数的性质可知 f ( x)在x ∈ (?1,1) 上为单调递
减函数;

?? 1 < 1 ? a < 1 ? ∴ f (1 ? a ) + f (1 ? a 2 ) > 0 ? f (1 ? a ) > f (a 2 ? 1) ? ?? 1 < 1 ? a 2 < 1. ? 2 ?1 ? a < a ? 1
解得 1 < a <

2.

三、解答题: (共 74 分) 17.解: (Ⅰ) f ( x ) =

2x 2x 2x π + cos ? 1 = 2 sin( + ) ? 1. ………………3 分 3 3 3 6 π 2 x π 5π Q x ∈ [0, π ],∴ ≤ + ≤ . 6 3 6 6 1 2x π ∴ ≤ sin( + ) ≤ 1. 2 3 6 3 sin
8

∴ f (x) 的值域为[0,1].…………………………4 分
(Ⅱ)Q f (C ) = sin(

∴ sin(

2C π + ) = 1. 3 6

2C π + ) ? 1 = 1. 3 6

而 C ∈ (0, π ),∴ C =

π
2

. ……………………2 分

在 Rt?ABC 中,Q b 2 = ac, c 2 = a 2 + b 2 ,

b a ∴ c 2 = a 2 + ac ? ( ) 2 + ? 1 = 0. c c
解得

a ?1± 5 = . c 2

∴ 0 < sin A < 1, ∴ sin A = a 5 ?1 . …………………………3 分 = c 2

18.解: (Ⅰ)因为四棱锥 P—ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,故建立如图所示的空间直角坐 标系 A ? xyz, 又 PA=AD=2, 则有 P(0,0,2) ,D(0,2,0).

∴ M (0,1,1), C (2,2,0).

∴ PC = (2,2,?2), AM = (0,1,1). Q PC ? AM = 0 + 2 ? 2 = 0,∴ PC ⊥ AM . ………………4 分
(Ⅱ)设 N ( x, y , z ),Q PN =

1 NC , 则有 2 1 2 x ? 0 = (2 ? x),∴ x = . 2 3 2 4 同理可得 y = , z = . 3 3 2 2 4 即得 N ( , , ). …………………………3 分 3 3 3 4 4 8 由 PC ? AN = + ? = 0. 3 3 3 ∴ PC ⊥ AN .
又Q PC ⊥ AM , AM I AN = A,

∴ PC ⊥ 平面AMN . ………………………………1 分

9

(Ⅲ)设平面 BAN 的法向量为 n = ( x, y , z ).

?n ? AB = 2 x = 0 ? 由? , 取n = (0,?2,1). 2 2 4 ?n ? AN = x + y + z = 0 3 3 3 ?
而 PC = ( 2,2,?2)为平面AMN的法向量,

∴ cos < n, PC >=

n ? PC n ? PC

=

?4?2 5 ? 12

=?

15 . 5
15 . …………4 分 5

结合图形可知,所注二面角 B—AN—M 的大小为 π ? arccos

19.解: (Ⅰ)由题知, f (1) = 1 + 2b + c = 0,∴ c = ?1 ? 2b. …………………………2 分 记 g ( x) = f ( x) + x + b = x 2 + (2b + 1) x + b + c = x 2 + ( 2b + 1) x ? b ? 1,

? g (?3) = 5 ? 7b > 0 ? g (?2) = 1 ? 5b < 0 1 5 1 5 ? 则? ? < b < , 即b ∈ ( , ). …………4 分 5 7 5 7 ? g ( 0) = ? 1 ? b < 0 ? g (1) = b + 1 > 0 ? 1 5 (Ⅱ)令 u = f ( x ). Q 0 < < b < < 1, 5 7
∴ log b u在(0,+∞) 是减函数.
而 ? 1 ? c = 2b > ?b, 函数f ( x ) = x 2 + 2bx + c的对称轴为x = ?b,

∴ f ( x)在区间(?1 ? c,1 ? c)上单调递增
从而函数 F ( x ) = log b f ( x )在( ?1 ? c,1 ? c ) 上为减函数.………………2 分 且 f ( x)在区间( ?1 ? c,1 ? c)上恒有f ( x) > 0, 只需要f ( ?1 ? c) ≥ 0,

1 5 ? 17 ?c = ?2b ? 1( < b < ) ∴? 5 7 ? ? < c ≤ ?2. ………………4 分 7 ? f ( ?1 ? c ) ≥ 0 ?
20.解(Ⅰ) 销售量 r (x ) (件) 不同季节的销售总利润 y(元) 标价 (元/件) 与标价 x(元/件)的函数关系式 (含 k、b1 或 b2) 旺 季 x

r ( x) = kx + b1

y = kx 2 ? (100k ? b1 ) x ? 100b1

10





x

r ( x) = kx + b2

y = kx 2 ? (100k ? b2 ) x ? 100b2

(Ⅱ)在(Ⅰ)的表达式中,由 k < 0 可知, 在销销售旺季,当 x =

100k ? b1 b = 50 ? 1 时,利润 y 取最大值; 2k 2k 100k ? b2 b = 50 ? 2 时,利润 y 取最大值. 2k 2k

在销销售淡季,当 x =

下面分销售旺季和销售淡季进行讨论: 由②知,在销售旺季,商场以 140 元/件价格出售时,能获得最大利润. 因此在销售旺季,当标价 x = 50 ?

b1 = 140 时,利润 y 取最大值. 2k

此时 b1 = ?180k , 销售量为r ( x) = kx ? 180k . 由 kx ? 180k = 0 知,在销售旺季,衬衣的“临界价格”为 180 元/件.……4 分 ∴由③知,在销售淡季,衬衣的“临界价格”为 120 元/件. 可见在销售淡季,当标价 x = 120 元/件时,销售量为 r ( x) = kx + b2 = 0. 此时, b2 = ?120k ∴在销售淡季,当标价 x = 50 ?

b2 = 110 元/件时,利润 y 取最大值. 2k

故在销售淡季,商场要获得最大利润,应将衬衣的标价定为 110 元/件合适.……4 分 21.解: (Ⅰ)由 p//q,得 y ( x + c ? 1) = ax 2 + 1

∴ y = f ( x) =

ax 2 + 1 (a > 0, x ≠ 1 ? c). x + c ?1

…………2 分

又函数 f (x ) 为奇函数,有 f (? x) = ? f ( x), 可得c = 1.

当x > 0时, f ( x) =

ax 2 + 1 1 = ax + ≥ 2 a x x

∴2 2 = 2 a,

∴ a = 2.

故f ( x ) =

2x 2 + 1 ( x ≠ 0) x

…………3 分

(Ⅱ) a n +1

2 2a n + 1 ? an f (a n ) ? a n an a2 +1 = = = n , 2 2 2a n

11

bn +1

2 an + 1 ?1 a n +1 ? 1 2a n a 2 ? 2a n + 1 a ?1 2 = = 2 = n = ( n ) = bn . 2 a n+1 + 1 a n + 1 an + 1 a n + 2a n + 1 +1 2a n
n ?1

2 4 ∴ bn = bn ?1 = bn ? 2 = L = b12 .

…………3 分

而 b1 =

1 1 n ?1 ∴ bn = ( ) 2 (n∈N*). …………1 分 3 3 ∴ 数列{(3n ? 1)} log 1 bn }的通项为(3n ? 1) log 1 bn = (3n ? 1) ? 2 n ?1.
3 3

∴ S n = 2 ? 2 0 + 5 ? 21 + 8 ? 2 2 + L + (3n ? 4) ? 2 n? 2 + (3n ? 1) ? 2 n ?1. ∴ 2 S n = 2 ? 21 + 5 ? 2 2 + 8 ? 2 3 + L + (3n ? 4) ? 2 n ?1 + (3n ? 1) ? 2 n.
①-②,得 ? S n = 2 + 3( 2 + 2 + L + 2
1 2 n ?1

① ②

) ? (3n ? 1)2 n.

∴ S n = 4 + (3n ? 4)2 n

(n ∈ N * ).

22.解: (Ⅰ)Q f ′( x ) = ln x + 1( x > 0), 令f ′( x ) ≥ 0, 即 ln x ≥ ?1 = ln e ?1 . …………1 分

Q e = 2.718 28K > 1,∴ y = ln x在(0,+∞) 上是单调递增函数.
1 ∴ x ∈ [ ,+∞). e 1 同理,令 f ′( x ) ≤ 0可得x (0, ]. e 1 1 ∴f(x)单调递增区间为 [ ,+∞) ,单调递减区间为 (0, ] .……………………2 分 e e 1 1 由此可知 y = f ( x ) min = f ( ) = ? . …………………………………………1 分 e e 1 1 (Ⅱ)由(I)可知当 b > 0 时,有 f (b) ≥ f ( x ) min = ? ,∴ b ln b ≥ ? , e e
即 ln(b ) ≥ ?
b 1

1 ∴ x ≥ e ?1 = . e

1 1 = ln( ) c . e e

1

1 ∴ b b ≥ ( ) c .……………………………………………………………………3 分 e
(Ⅲ)将 f ( a ) + ( a + b) ln 2 ≥ f ( a + b) ? f (b) 变形,得

f (a ) + f (b) ≥ f (a + b) ? (a + b) ln 2 ,
即证明 f ( a ) + f ( a + b ? a ) ≥ f ( a + b) ? ( a + b) ln 2.

12

设函数 g ( x ) = f ( x ) + f ( k ? x )( k > 0). ……………………………………3 分

Q f ( x) = x ln x,

∴ g ( x) = x ln x + (k ? x) ln(k ? x), ∴ 0 < x < k.
Q g ′( x) = ln x + 1 ? ln(k ? x) ? 1 = ln

x , k?x x 2x ? k k 令g ′( x) > 0, 则有 >1? > 0 ? < x < k. k?x k?x 2
k 2 k 2

∴函数 g ( x )在[ , k )上单调递增,在 (0, ] 上单调递减. ∴ g (x ) 的最小值为 g ( ) ,即总有 g ( x ) ≥ g ( ). 而 g ( ) = f ( ) + f (k ?

k 2

k 2

k 2

k 2

k k ) = k ln = k (ln k ? ln 2) = f (k ) ? k ln 2, 2 2

∴ g ( x) ≥ f (k ) ? k ln 2,
即 f ( x ) + f ( k ? x ) ≥ f ( k ) ? k ln 2. 令 x = a, k ? x = b, 则 k = a + b.

∴ f (a ) + f (b) ≥ f (a + b) ? (a + b) ln 2. ∴ f (a ) + (a + b) ln 2 ≥ f (a + b) ? f (b). ……………………………………4 分

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