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平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比(1)


:平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比 三角形 三角形两边之和大于第三边. 四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面 积. 三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形 内切圆的圆心. 三角形任意两边中点的连线平行于第三边, 且等于第 三边的一半. 四面体的六个二面角的平分面交于一点,且该点是 四面体内切球的球心. 四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面积等 于第四个面面积的 第四个面. 三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相 等的两部分. 四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个 三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四 面体分成体积相等的两部分. 三角形的三条中线交于一点, 且三角形的每一条中线 被该点分成的两段的比为 2:1. 将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接,所得 四条线段交于一点,且其中每一条线段被交点分成 的两段的比都是 3:1

1 ,且该三角形所在平面平行于 4

? 在Δ ABC 中, A 的平分线交 BC 于 D, 则

在四面体 ABCD 中, 二面角 C-AB-D 的平分面交棱 CD AB BD ? ; AC DC S S 于点 E,则, ?BCE ? ?ABC ; S?BDE S?ABD 在四面体 ABCD 中,棱 AB 与面 ACD、BCD 的夹角分 别 ? , ? ,则

在Δ ABC 中,

a b c ? ? (正弦定理) sin A sin B sin C

S?BCD S?ACD ? sin ? sin ?

设Δ ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c ,Δ ABC 的面 积为 S ,内切圆半径为 r ,外接圆半径为 R ,则

四面体 S—ABCD 的四个侧面的面积分别为 S1 ,

2S (1) r ? a?b?c
(2) R ? 2 r

S2 , S3 , S4 ,内切球的半径为 r ,外接球的半径
为 R ,则(1) r ?

3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

(2) R ? 3r


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