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2014高考数学(理)一轮总复习(人教新课标)配套单元测试:第一章 集合与常用逻辑用语 Word版含解析(1)


第一章
符合题目要求)

集合与常用逻辑用语 单元测试

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项

1. (2013·广东卷)设集合 S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则 S∩T
等于( ) B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2}

A.{0}

答案 A 解析 S={0,-2},T={0,2},∴S∩T={0}. 2.已知全集 U=R,设集合 A={x|y=ln(2x-1)},集合 B={y|y=sin(x-1)},则 (?UA)∩B 为 1 A.(2,+∞) 1 C.[-1,2] 答案 C 1 B.(0,2] D.? ( )

解析

1 如图,阴影部分表示集合 ( ? UA)∩B ,而集合 A = {x|x> 2 } , ? UA =

1 1 {x|x≤ 2} . B = {y|- 1≤y≤1} ,所以 ( ? UA)∩B= {x|x≤ 2 }∩{y|- 1≤y≤1} = {x|- 1 1≤x≤2}. 3.已知?ZA={x∈Z|x<6},?ZB={x∈Z|x≤2},则 A 与 B 的关系是 ( A.A?B C.A=B 答案 A ( ) B.A?B D.?ZA??ZB )

4.已知集合 A 为数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的 A.充分不必要条件 C.充要条件
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B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案 解析

B ∵ “A∩{0,1} = {0}” 得 不 出 “A = {0}” , 而 “A = {0}” 能 得 出

“A∩{0,1}={0}”, ∴“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件. 5.已知命题 p:?x∈R,x2-2x+1>0;命题 q:?x∈R,sinx=1.则下列判 断正确的是 A.綈 q 是假命题 C.綈 p 是假命题 答案 解析 A 由题意可知,p 假 q 真. x+1 },B={x|x>a},则下列关系不可能成立的是 x-2 ( A.A?B C.A?B 答案 解析 D ?x+1≥0, 由? 可得 A=[-1,2)∪(2,+∞),前三个选项都有可能, ?x-2≠0 B.B?A D.A??RB ) B.q 是假命题 D.p 是真命题 ( )

6.已知集合 A={x|y=

对于选项 D,?RB=(-∞,a],不可能有 A??RB. 7.设全集 U=R,A={x|x2-5x-6>0},B={x||x-5|<a}(a 为常数)且 11∈B, 则 A.?UA∪B=R C.?UA∪?UB=R 答案 解析 D A={x|x<-1或x>6},∵11∈B,∴a>|11-5|=6.又由 |x-5|<a,得 5 B.A∪?UB=R D.A∪B=R ( )

-a<x<5+a,而 5-a<-1,5+a>11.画数轴知选 D. 8.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
2 C.命题“?x0∈R,x2 0+x0+1<0”的否定是“?x∈R,x +x+1<0”

(

)

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D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 答案 解析 D A 中原命题的否命题为“若 x2≠1, 则 x≠1”, 故 A 错; 在 B 中, “x

=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,故 B 错;C 中命题的否定应为 “?x∈R,x2+x+1≥0”,故 C 错;在 D 中,逆否命题与原命题同真假,易知 原命题为真,则其逆否命题也为真命题,因此 D 正确. 9.已知直线 l1:x+ay+1=0,直线 l2:ax+y+2=0,则命题“若 a=1 或 a=-1,则直线 l1 与 l2 平行”的否命题为 A.若 a≠1 且 a≠-1,则直线 l1 与 l2 不平行 B.若 a≠1 或 a≠-1,则直线 l1 与 l2 不平行 C.若 a=1 或 a=-1,则直线 l1 与 l2 不平行 D.若 a≠1 或 a≠-1,则直线 l1 与 l2 平行 答案 解析 A 命题“若 A,则 B”的否命题为“若綈 A,则綈 B”,显然“a=1 或 ( )

a=-1”的否定为“a≠1 且 a≠-1”,“直线 l1 与 l2 平行”的否定为“直线 l1 与 l2 不平行”,所以选 A. 10. 命题“?x∈[1,2], x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( A.a≥4 C.a≥5 答案 解析 C 命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4,故其充 B.a≤4 D.a≤5 )

分不必要条件是实数 a 的取值范围是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为 C. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) 11.“a=1”是“函数 y=cos2ax-sin2ax 的最小正周期为 π”的________条 件. 答案 充分不必要

1 12.设全集为 R,集合 A={x| x≤1},则?RA________.

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答案 解析

{x|0≤x<1} 1-x 1 1 A={x|x ≤1}={x|x-1≤0}={x| x ≤0}=

{x|x≥1 或 x<0},因此?RA={x|0≤x<1}. 13.满足条件:M∪{a,b}={a,b,c}的集合 M 的个数是________. 答案 4个

14.设全集 U= A∪B= {x∈N*|lgx<1},若 A∩(? UB)={m|m= 2n +1 , n = 0,1,2,3,4},则集合 B=________. 答案 解析 {2,4,6,8} A∪B={x∈N*|lgx<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(?UB)={m|m=2n+1,

n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}. π 1 15.“α≠3”是“cosα≠2”的________条件. 答案 必要不充分

16.下列命题中是假命题的是________. ①存在 α,β∈R,有 tan(α+β)=tanα+tanβ ②对任意 x>0,有 lg2x+lgx+1>0 ③△ABC 中,A>B 的充要条件是 sinA>sinB ④对任意 φ∈R,函数 y=sin(2x+φ)都不是偶函数 答案 解析 ④ 对于①,当 α=β=0 时,tan(α+β)=0=tanα+tanβ,因此选项①是真

1 3 3 命题;对于②,注意到 lg2x+lgx+1=(lgx+2)2+4≥4>0,因此选项 B 是真命题; 对于③, 在△ABC 中, 由 A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB(其中 R 是△ABC π 的外接圆半径), 因此选项③是真命题;对于④,注意到当 φ= 时,y=sin(2x+φ) 2 =cos2x 是偶函数,∴④是假命题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知集合 A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0}, 且 A∪B=A,求实数 m 的值组成的集合.

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答案 解析

1 1 {0,-2,-3} A={x|x2-5x+6=0}={2,3},A∪B=A,∴B?A.

①当 m=0 时,B=?,B?A; 1 ②当 m≠0 时,由 mx+1=0,得 x=-m. 1 ∵B?A,∴-m∈A. 1 1 1 1 ∴-m=2 或-m=3,得 m=-2或-3. 1 1 ∴满足题意的 m 的集合为{0,-2,-3}. 18.(本小题满分 12 分)判断下列命题是否是全称命题或特称命题,若是, 用符号表示,并判断其真假. (1)有一个实数 α,sin2α+cos2α≠1; (2)任何一条直线都存在斜率; (3)所有的实数 a,b,方程 ax+b=0 恰有唯一的解; (4)存在实数 x0,使得 解析 假命题. (2)是全称命题;用符号表示为:?直线 l,l 存在斜率,是一个假命题. (3)是全称命题;用符号表示为:?a,b∈R,方程 ax+b=0 恰有唯一解, 是一个假命题. (4)是特称命题;用符号表示为:?x0∈R, =2 x2 0-x0+1 1 是一个假命题. 1 =2. x2 - 0 x0+1

(1)是特称命题;用符号表示为:?α∈R,sin2α+cos2α≠1,是一个

19.(本小题满分 12 分)已知命题“?x∈R,|x-a|+|x+1|≤2”是假命题, 求实数 a 的取值范围. 答案 解析 (-∞,-3)∪(1,+∞) 依题意知, 对任意 x∈R, 都有|x-a|+|x+1|>2; 由于|x-a|+|x+1|≥|(x

-a)-(x+1)|=|a+1|, 因此有|a+1|>2,a+1<-2 或 a+1>2, 即 a<-3 或 a>1.
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所以实数 a 的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞). 20.(本小题满分 12 分)已知集合 E={x||x-1|≥m},F={x| (1)若 m=3,求 E∩F; (2)若 E∪F=R,求实数 m 的取值范围. 解析 F={x| (1)当 m=3 时,E={x||x-1|≥3}={x|x≤-2 或 x≥4}, x-4 10 >1}={x| <0}={x|-6<x<4}. x+6 x+6 10 >1}. x+6

∴E∩F={x|x≤-2 或 x≥4}∩{x|-6<x<4}={x|-6<x≤-2}. (2)∵E={x||x-1|≥m}, ①当 m≤0 时,E=R,E∪F=R,满足条件. ②当 m>0 时,E={x|x≤1-m 或 x≥1+m}, 由 E∪F=R,F={x|-6<x<4},

?1-m≥-6, ∴?1+m≤4, ?m>0,

解得 0<m≤3.

综上,实数 m 的取值范围为 m≤3. 21.(本小题满分 12 分)已知命题 p:A={x|a-1<x<a+1,x∈R},命题 q: B={x|x2-4x+3≥0}. (1)若 A∩B=?,A∪B=R,求实数 a; (2)若綈 q 是 p 的必要条件,求实数 a. 答案 解析 (1)a=2 (2)a=2

由题意得 B={x|x≥3 或 x≤1},

(1)由 A∩B=?,A∪B=R,可知 A=?RB=(1,3), ?a+1=3, ∴? ∴a=2. ?a-1=1, (2)∵B={x|x≥3 或 x≤1},∴綈 q:{x|1<x<3}. ∴綈 q 是 p 的必要条件,即 p?綈 q. ∴A??RB=(1,3).

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?a+1≤3, ∴? ∴2≤a≤2,∴a=2. ?a-1≥1, 22.(本小题满分 12 分)已知 P={x|x2-8x-20≤0},S={x||x-1|≤m}. (1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件.若存在,求 m 的范围; (2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件.若存在,求出 m 的范围. 答案 解析 (1)m 不存在 (2)m≤3

(1)P={x|-2≤x≤10},

S={x|1-m≤x≤m+1}. 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件, ?1-m=-2, ∴? ∴m 不存在. ?1+m=10,

(2)若存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件, ∴S?P. 若 m<0,即 S=?时,满足条件.

?m+1≥1-m, 若 S≠?,应有?1-m≥-2, ?m+1≤10,
解之得 0≤m≤3. 综之得,m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

1.已知全集 U=Z,集合 A={x|x2=x},B={-1,0,1,2},则图中的阴影部 分所表示的集合等于 ( )

A.{-1,2} C.{0,1} 答案 A

B.{-1,0} D.{1,2}

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解析

依题意知 A={0,1},(?UA)∩B 表示全集 U 中不在集合 A 中,但在集

合 B 中的所有元素,故图中的阴影部分所表示的集合等于{-1,2},选 A. 2.下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是 A.p:a+c>b+d,q:a>b 且 c>d B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且 a≠1)的图像不过第二象限 C.p:x=1,q:x2=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数 答案 解析 A B 选项中,当 b=1,a>1 时,q 推不出 p,因而 p 为 q 的充分不必要 ( )

条件.C 选项中,q 为 x=0 或 1,q 不能够推出 p,因而 p 为 q 的充分不必要条 件.D 选项中,p、q 可以互推,因而 p 为 q 的充要条件.故选 A. 1 3. 设集合 P={x|x2-x-2≥0}, Q={y|y=2x2-1, x∈P}, 则 P∩Q= ( A.{m|-1≤m<2} C.{m|m≥2} 答案 解析 C 本题考查集合的概念及运算,根据题意知 P={x|x≥2 或 x≤-1},又 B.{m|-1<m<2} D.{-1} )

? 1? 1 ? 1 ? 因为当 x ∈ P 时, y = 2 x2 - 1 ∈ ?-2,+∞? ,故 Q = ? y|y≥-2? ,故 P∩Q = ? ? ? ?

{m|m≥2}. 4.已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数都是负数.则下 列命题中为真命题的是 A.(綈 p)或 q C.(綈 p)且(綈 q) 答案 D 解析 B.p 且 q D.(綈 p)或(綈 q) ( )

由于命题 p 是真命题,命题 q 是假命题,因此,命题綈 q 是真命题,

于是(綈 p)或(綈 q)是真命题. 5.如下四个电路图,视“开关甲闭合”为条件甲,“灯泡乙亮”为结论乙, 以贴切、形象的诠释甲是乙的必要不充分条件的图形是 ( )

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答案

B

6. (2012· 江西)若全集 U={x∈R|x2≤4}, 则集合 A={x∈R||x+1|≤1}的补集 ?UA 为 A.{x∈R|0<x<2} C.{x∈R|0<x≤2} 答案 解析 C 由已知得,全集 U={x∈R|-2≤x≤2},集合 A={x∈R|-2≤x≤0}, B.{x∈R|0≤x<2} D.{x∈R|0≤x≤2} ( )

结合数轴得?UA={x∈R|0<x≤2},故选 C 项. 7.(2012· 陕西)集合 M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则 M∩N= A.(1,2) C.(1,2] 答案 解析 C 因为 M = {x|x>1} , N = {x| - 2≤x≤2} ,所以 M∩N = {x|1<x≤2} = B.[1,2) D.[1,2] ( )

(1,2].故选 C 项. 8.(2012· 福建)下列命题中,真命题是 A.?x0∈R, B.?x∈R,2x>x2 a C.a+b=0 的充要条件是b=-1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 答案 解析 D ∵a>1>0,b>1>0,∴由不等式的性质,得 ab>1. ≤0 ( )

即 a>1,b>1?ab>1.
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9.(2012· 浙江)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2: x+(a+1)y+4=0 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 解析 A l1 与 l2 平行的充要条件为 a(a+1)=2×1 且 a×4≠1×(-1),可解得 ( )

a=1 或 a=-2,故 a=1 是 l1∥l2 的充分不必要条件. 10.(2012· 安徽)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 解析 A 由面面垂直的性质定理,可得 α⊥β,α∩β=m,b?β,b⊥m?b⊥α. ( )

又∵a?α,∴a⊥b,但反之则不成立. a b 11.已知命题 p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题 q:“c2>c2”是“a>b”的 充要条件,则 A.“p 或 q”为真 C.p 真 q 假 答案 解析 A a b 由 x>3 能够得出 x2>9,反之不成立,故命题 p 是假命题;由c2>c2能 B.“p 且 q”为真 D.p,q 均为假 ( )

1 a b 够推出 a>b, 反之, 因为c2>0, 所以由 a>b 能推出c2>c2成立, 故命题 q 是真命题. 因 此选 A. 12.已知命题 p:?x∈(-∞,0),2x<3x,命题 q:?x∈(0,1),log2x<0,则 下列命题为真命题的是
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(

)

A.p∧q C.(綈 p)∧q 答案 C 解析

B.p∧(綈 q) D.p∨(綈 q)

由指数函数的图像与性质可知,命题 p 是假命题,由对数函数的图像

与性质可知,命题 q 是真命题,则命题“p∧q”为假命题,命题“p∨(綈 q)”为 假命题,命题“(綈 p)∧q”为真命题,命题“p∧(綈 q)”为假命题,故选 C. 13.有下列四个命题,其中真命题是 A.?n∈R,n2≥n B.?n∈R,?m∈R,m· n=m C.?n∈R,?m∈R,m2<n D.?n∈R,n2<n 答案 解析 B 1 对于选项 A,令 n=2即可验证其不正确;对于选项 C、选项 D,可 ( )

令 n=-1 加以验证,均不正确,故选 B. x2 y2 14.设 x,y∈R,则“|x|≤4 且|y|≤3”是“16+ 9 ≤1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 解析 B 画图易知,{(x,y)||x|≤4 且|y|≤3}?{(x,y)| ( )

x2 y2 16+ 9 ≤1}. 15. 命题“?x∈R, x2+ax-4a<0”为假命题, 是“-16≤a≤0”的________ 条件. 答案 解析 充要 ∵“?x∈R,x2+ax-4a<0”为假命题,

∴“?x∈R,x2+ax-4a≥0”为真命题,∴Δ=a2+16a≤0,即-16≤a≤0. 故为充要条件. 16.已知命题 p:α=β 是 tanα=tanβ 的充要条件.
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命题 q:??A.下列命题中为真命题的有________. ①p 或 q 答案 ②p 且 q ③綈 p ④綈 q

①③

17.已知集合 A={1,a,5},B={2,a2+1}.若 A∩B 有且只有一个元素, 则实数 a 的值为________. 答案 解析 0 或-2 若 a=2,则 a2+1=5,A∩B={2,5},不合题意舍去.

若 a2+1=1,则 a=0,A∩B={1}. 若 a2+1=5,则 a=± 2. 而 a=-2 时,A∩B={5}. 若 a2+1=a,则 a2-a+1=0 无解. ∴a=0 或 a=-2. 18.命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是________. 答案 解析 若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后,再交换位置,注意“-

1<x<1”的否定是“x≥1 或 x≤-1”.

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