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2004年高考新疆(甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地)数学 2


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2004 年普通高等学校招生全国统一考试Ⅳ
(甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地) 文科数学(必修+选修Ⅰ) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟. 第I卷 参考公式: 球的表面积公式 2 如果事件 A、B 互斥,那么 S=4 ?R P(A+B)=P(A)+P(B) 其中

R 表示球的半径, 如果事件 A、B 相互独立,那么 球的体积公式 P(A·B)=P(A) ·P(B) 4 3 V= ?R 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 3 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 Pn(k)=C k P (1-P) n
k n-k

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 U={1,2,3,4,5},集合 M={0,3,5},N={1,4,5},则 M∩( U N)= ( ) A.{5} B.{0,3} C.{0,2,3,5} D. {0,1,3,4,5} 2.函数 y ? e ( x ? R) 的反函数为
2x



) C. y ?

A. y ? 2 ln x( x ? 0) D. y ?

B. y ? ln(2 x)(x ? 0)

1 ln x( x ? 0) 2

1 ln 2 x( x ? 0) 2


3.正三棱柱侧面的一条对角线长为 2,且与底面成 45°角,则此三棱柱的体积为 ( A.

6 2 6 3

B.

6

C.

6 6

D.

2 4. 函数 y ? ( x ? 1) ( x ? 1) 在 x ? 1 处的导数等于



) C.3 ) D. 4

A.1

B.2

1 x 1 x 5.为了得到函数 y ? 3? ( ) 的图象,可以把函数 y ? ( ) 的图象 ( 3 3
A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度

B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度

6.等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 项和等于

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) A.160 D.220
4

B.180

C.200 ( )

7.已知函数 y ? log 1 x与y ? kx 的图象有公共点 A,且点 A 的横坐标为 2,则 k A. ? D.

1 4

B.

1 4

C. ?

1 2

1 2

8.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 A. x ? y ? 2x ? 3 ? 0
2 2



) B. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

C. x ? y ? 2x ? 3 ? 0
2 2

D. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

9. 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师, 从 派到 3 个班担任班主任 (每班 1 位班主任) , 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有 ( ) A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种 10.函数 y ? 2 sin( A.-3 D.- 5 11.已知球的表面积为 20 ? ,球面上有 A、B、C 三点.如果 AB=AC=BC=2 3 ,则球心到平 面 ABC 的距离为 A.1 ( B. 2 ) C. 3 D. 2

?
3

? x) ? cos(

?
6

? x)( x ? R) 的最小值等于
C.-1





B.-2

12.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列, ∠B=30°,△ABC 的面积为

3 ,那么 b= 2
B. 1? 3





A.

1? 3 2

C.

2? 3 2

D. 2 ? 3 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13. ( x ?

1 x

) 8 展开式中 x 5 的系数为

.

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14.已知函数 y ?

1 x ?? sin ( A ? 0) 的最小正周期为 3 ? ,则 A= 2 A

.

15.向量 a、b 满足(a-b)(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,则 a 与 b 夹角的余弦值等于 · . 16.设 x, y 满足约束条件:

? x ? y ? 1, ? ? y ? x, ? y ? 0, ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

sin(? ? ) 15 4 已知α 为第二象限角,且 sinα = 的值. ,求 4 sin 2? ? cos 2? ? 1
18. (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }为等比数列, a2 ? 6, a5 ? 162. (Ⅰ)求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 S n 是数列{ an }的前 n 项和,证明

?

S n ? S n? 2 ? 1. 2 S n?1

19. (本小题满分 12 分) 已知直线 l1 为曲线 y ? x ? x ? 2 在点(1,0)处的切线, l 2 为该曲线的另一条切线,
2

且 l1 ? l 2 . (Ⅰ)求直线 l 2 的方程; (Ⅱ)求由直线 l1 、 l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积.

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20. (本小题满分 12 分) 某同学参加科普知识竞赛,需回答 3 个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三问题分 别得 100 分、100 分、200 分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分 别为 0.8、0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响. (Ⅰ)求这名同学得 300 分的概率; (Ⅱ)求这名同学至少得 300 分的概率.

21. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,AB=8,AD=4 3 ,侧面 PAD 为等边三角 形,并且与底面所成二面角为 60°. (Ⅰ)求四棱锥 P—ABCD 的体积; (Ⅱ)证明 PA⊥BD.

22. (本小题满分 14 分) 双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b) ,且点(1, a2 b2
4 c. 求双曲线的离心率 e 的取值 5

0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s ? 范围.

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2004 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修Ⅱ)参考答案 一、选择题 1—12 B C A D D B A D B C A B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.28 14.

3 2

15. ?

1 2

16.2

三、解答题 17. 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式, 二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分 12 分.

2 (sin ? ? cos? ) 2 (sin? ? cos? ) 4 2 ? 解: ? . 2 sin 2? ? cos 2? ? 1 2 sin ? cos? ? 2 cos ? 4 cos? (sin? ? cos? ) sin(? ? )
当 ? 为第二象限角,且 sin ? ?

?

15 时 4

sin ? ? cos ? ? 0, cos ? ? ?

1 , 4

sin(? ? ) 2 4 ? ? 2. 所以 = sin 2? ? cos 2? ? 1 4 cos?
18. (本小题主要考查等比数列的概念、前 n 项和公式等基础知识,考查学生综合运用基础 知识进行运算的能力.满分 12 分.
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?

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解: (I)设等比数列{an}的公比为 q,则 a2=a1q, a5=a1q . a1q=6, 依题意,得方程组 a1q4=162. 解此方程组,得 a1=2, q=3. n-1 故数列{an}的通项公式为 an=2·3 .

4

2(1 ? 3 n ) ? 3 n ? 1. (II) S n ? 1? 3
S n ? S n ? 2 3 2 n ? 2 ? (3 n ? 3 n ? 2 ) ? 1 3 2 n ? 2 ? 2 3 n ? 3 n ? 2 ? 1 ? ? ? 1, 2 S n ?1 3 2 n ? 2 ? 2 ? 3 n ?1 ? 1 3 2 n ? 2 ? 2 ? 3 n ?1 ? 1 即 S n ? S n?2 ? 1. 2 S n ?1

19.本小题主要考查导数的几何意义,两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力. 满分 12 分. 解:y′=2x+1. 直线 l1 的方程为 y=3x-3. 2 2 2 设直线 l2 过曲线 y=x +x-2 上 的点 B(b, b +b-2),则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b -2

1 2 ,b ? ? . 3 3 1 22 . 所以直线 l2 的方程为 y ? ? x ? 3 9
因为 l1⊥l2,则有 2b+1= ?

? y ? 3x ? 3, ? (II)解方程组 ? 1 22 ?y ? ? 3 x ? 9 ?

1 ? ?x ? 6 , ? 得? ?y ? ? 5 . ? 2 ?
1 6 5 2

所以直线 l1 和 l2 的交点的坐标为 ( ,? ).

22 ,0 ) . 3 1 25 5 125 ? | ? |? . 所以所求三角形的面积 S ? ? 2 3 2 12
l1、l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0) (? 、
20.本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方 法,应用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. 解:记“这名同学答对第 i 个问题”为事件 Ai (i ? 1,2,3) ,则 P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6. (Ⅰ)这名同学得 300 分的概率 P1=P(A1 A2 A3)+P( A1 A2A3)

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=P(A1)P( A2 )P(A3)+P( A1 )P(A2)P(A3) =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228. (Ⅱ)这名同学至少得 300 分的概率 P2=P1+P(A1A2A3) =0.228+P(A1)P(A2)P(A3) =0.228+0.8×0.7×0.6 =0.564. 21.本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)如图 1,取 AD 的中点 E,连结 PE,则 PE⊥AD. 作 PO⊥平面在 ABCD,垂足为 O,连结 OE. 根据三垂线定理的逆定理得 OE⊥AD, 所以∠PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的平面角, 由已知条件可知∠PEO=60°,PE=6, 所以 PO=3 3 ,四棱锥 P—ABCD 的体积 VP—ABCD= ? 8 ? 4 3 ? 3 3 ? 96 . (Ⅱ)解法一:如图 1,以 O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P(0,0,3 3 ) ,A(2 3 ,-3,0) ,B(2 3 ,5,0) ,D(-2 3 ,-3,0) 所以 PA ? (2 3,?3,?3 3), BD ? (?4 3,?8,0). 因为 PA? BD ? ?24 ? 24 ? 0 ? 0, 所以 PA⊥BD. 解法二:如图 2,连结 AO,延长 AO 交 BD 于点 F.能过计算可得 EO=3,AE=2 3 , 又知 AD=4 3 ,AB=8, 得

1 3

EO AD ? . AE AB

所以 Rt△AEO∽Rt△BAD. 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD. 因为 直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影,所以 PA⊥BD. 22.本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分 12 分. 解:直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0. a b

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由点到直线的距离公式,且 a ? 1 ,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ?

b(a ? 1) a2 ? b2



同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d 2 ?

b(a ? 1) a2 ? b2

s ? d1 ? d 2 ?
由s ?

2ab a2 ? b2

?

2ab . c

4 2ab 4 c, 得 ? c, 5 c 5



5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 .

于是得

5 e 2 ? 1 ? 2e 2 ,

即4e 4 ? 25e 2 ? 25 ? 0.

解不等式,得

5 ? e 2 ? 5. 由于 e ? 1 ? 0, 所以 e 的取值范围是 4

5 ? e ? 5. 2

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