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对数运算


“对数运算”教学设计
八一中学 王明辉 教学准备 : 1、数学分析 A、对数的历史 对数是中学初等数学中的重要内容 。 在数学史上,一般认为对数的发明者是 16 世 纪末到 17 世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔。在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心 说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性, 天文学家们不得不花费很大的精力去计算那

些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至 毕生的宝贵时间。为了简化计算,纳皮尔多年潜心研究大数字的计算技术,终于独立发明了 对数。当然,纳皮尔所发明的对数,在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳 皮尔那个时代,“指数”这个概念还尚未形成,因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样, 通过指数来引出对数,而是通过研究直线运动得出对数概念的。在那个时代,计算多位数之 间的乘积, 还是十分复杂的运算, 因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方 法。让我们来看看下面这个例子: n 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、?? 2^n 1 、 2 、 4 、 8 、 16 、 32 、 64 、 128 、 256 、 512 、 1024 、 2048 、 4096 、 8192 、 16384 、?? 这两行数字之间的关系是极为明确的:第一行表示 2 的指数,第二行表示 2 的对应 幂。 如果我们要计算第二行中两个数的乘积, 可以通过第一行对应数字的加和来实现。 比如, 计算 64 × 256 的值,就可以先查询第一行的对应数字: 64 对应 6 ,256 对应 8 ;然 后再把第一行中的对应数字加和起来:6 + 8 = 14 ;第一行中的 14 ,对应第二行中的 16384 ,所以有: 64 × 256 = 16384 。纳皮尔的这种计算方法,实际上已经完全是现代 数学中“对数运算”的思想了。我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候,采用的正是 这种思路:计算两个复杂数的乘积,先查《常用对数表》,找到这两个复杂数的常用对数, 再把这两个常用对数值相加,再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值,就是 原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”,从而达到简化计算的思路,正是对数 运算的明显特征。经过多年的探索,纳皮尔男爵于 1614 年出版了他的名著《奇妙的对数定 律说明书》,向世人公布了他的这项发明,并且解释了这项发明的特点。所以,纳皮尔是当 之无愧的 “对数缔造者” 理应在数学史上享有这份殊荣。 , 伟大的导师恩格斯在他的著作 《自

然辩证法》 中, 曾经把笛卡尔的坐标、 纳皮尔的对数、 牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为 17 世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说对数可以缩短计算时间, “在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。 B、对数的性质 基本性质:

( 1 ) 、

( 2 ) 、

( 3 ) 、

( 4 ) 、

其他性质 :

性质一:换底公式 :

性质二: C 、 函数研究 (1). 定义域和值域; (2). 解析式; (3). 图像; (4). 性质:单调性,恒过点,变化规律等。 2 、基本定位和重点分析:

这是一节对数的运算课,主要要求学生能根据指数与对数的关系解决简单的对数运算 问题,进而总结出对数的运算法则。重点在于发现-总结-证明 3 、学情分析: 这是一个英语实验班的数学课,学生中大部分是扎扎实实的学习方法,对于发现创新 都十分小心,还有一部分思维灵活,敢于总结,却不注重严谨性,两种学法相互补充,对学 生而言应该算是一个互促互进的过程。 4 、文献检索 教学设计:

内容:
对数运算 教学目标 : 1. 熟悉对数的符号,利用指对关系解决简单的对数求值问题。 2. 在自己的解题过程中发现规律,总结规律并证明规律,使用规律(运算法则)。 3. 在自我探索发现的过程中体会数学,提升自我价值。 教学重点 : 发现总结和使用对数的运算法则,有针对性的证明。 教学难点 : 如何确定发现的规律中哪些是作为运算法则保留下来的,以及为什么。 课时安排 : 学习过程: 一、引例:求值

从特殊值入手猜想对数的运算法则; 教师引导猜想方向; 归纳 — 猜想 — 证明:回到原始(定义) (对数问题可转化为指数问题解决) 预案 1 :有的学生速度会很快,借此提问为什么,找到什么规律,引出以下内容。 预案 2 :如果总结不出规律,可以引导学生观察数字特征,归类寻找。 二、探究对数的运算法则

猜想:

结论:

推论 1

推论 2

问题: 讨论结果:

推广:

对数运算法则:

(同底的运算)

(根据情况可有部分换底公式的特殊情况及对数函数的概念及性质) 预案 1 :学生总结的规律很多,有可能出现错误的,有可能出现重复的,所以先针对 正误作出筛选,再细致研究,最终确定需要的法则,再加以证明。 预案 2 :学生判断不出总结式中的正误时,可引导举反例找出。 预案 3 :学生比较困难的是如何确定法则,为什么是这三个作为法则固定下来,其他 的总结式又有什么用处,此时需要讲解。 三、例题

1、用

表示下列各式

2、求值:









新问题:不同底的对数运算怎么办? 四、小结: 1 、对数运算法则; 2 、研究对数的方法:利用特殊值发现,再回到原始定义,利用指数; 3 、研究问题的方法:归纳猜想证明;数学思想:转化的思想; 4 、研究问题后要使之严谨化;给出限制条件及适用范围;

5 、根据某些限制提出新问题; 6 、提出对数函数的概念及研究途径; 7 、数学史上的对数与指数。

教学方式:
以学生计算数值、寻找计算规律、筛选和证明为主线,教师在其中起穿引作用,并在 法则的确定中给以讲解,其他都是学生分小组自行完成。

学生:
1 、为激发学生学习兴趣,采取分小组的形式,有竞争的作用在其中。 2 、当学生发现规律进行总结时,让同学筛选甄别也可以促进学生的严谨意识,之后 的证明也是如此。 3 、确定法则的时候让学生体会“规则”在各个学科都是很重要的。

总结: 这是新课程改革后的新教材下的对数学习,更注重学生的“学”,所以我才取的是“发 现式”的教学,虽然与数学的发展过程不尽一致,但对于学生会从发现中体会乐趣。课后我 觉得这一点还是达到了预期的效果。另外,这节课中学生会总结出很多所谓运算“规律”, 甚至连换底公式都有模糊意识,所以如何让学生分层次的认识自己所总结的这些“规律”, 确实是教学中的难点,课下,学生仍然很认真的继续找规律,所以真正要落实的法则和其他 公式以及推论就要逐层落实渗透,不是一节课可以完成的。


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