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2-6高中数学核动力


第二章

函数、导数及其应用

课 前 自 主 学 案

第6节

对数与对数函数

高 考 热 点 聚 焦

课 堂 互 动 讲 案

课 后 巩 固 练 案





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第二章

函数、导数及其应用

课 前 自 主 学 案

1.(2012· 安徽高考)(log29)· 34)=( (log 1 A. 4 C.2 1 B. 2 D.4

)

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课 堂 互 动 讲 案

lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 【解析】 log29×log34= × = × =4. lg 2 lg 3 lg 2 lg 3
【答案】 D

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函数、导数及其应用

2.(2011· 安徽高考)若点(a,b)在 y=lg x 图象上,a≠1, 则下列点也在此图象上的是(
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) B.(10a,1-b) D.(a2,2b)

?1 ? ? A.?a,b? ? ? ? ?10 ? ? C.? a ,b+1? ? ? ?

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【解析】
课 堂 互 动 讲 案

因为点(a,b)在y=lg x的图象上,所以b=lg
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a,b=lg a,则2b=2lg a=lg a2,所以点(a2,2b)在此图象上, 故选D. 【答案】 D





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函数、导数及其应用

1 3.(2012· 全国新课标高考)已知函数 f(x)= ; ln?x+1?-x 则 y=f(x)的图象大致为(
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)

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函数、导数及其应用

? 1? 1 【解析】 排除法, 因为 f(2)= <0, 排除 A.f?-2? ? ? ln 2-2 ? ?
课 前 自 主 学 案

1 1 = = <0 排除 C、D,选 B. 1 1 e ln + ln 2 2 2

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【答案】 B
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4.(2012· 重庆高考)已知 a=log23+log2 3,b=log29- log2 3,c=log32,则 a,b,c 的大小关系是(
课 前 自 主 学 案

)

A.a=b<c C.a<b<c

B.a=b>c D.a>b>c

【解析】 a=log23+log2

1 3 3=log23+ log23= log23 2 2

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1 3 b=log29-log2 3=2log23- log23= log23 2 2
课 堂 互 动 讲 案

log22 1 c=log32= = ,则 a=b>c. log23 log23
【答案】 B

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函数、导数及其应用

5 . (2012· 苏高考 ) 函 数 f(x) = 1-2log6x的 定义 域 江 为
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.

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【答案】 (0, 6]

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1.对数的概念
课 前 自 主 学 案

(1)对数的定义
如果ax =N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对 数,记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数.

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函数、导数及其应用

3.对数函数的图象与性质

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函数、导数及其应用

如何确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关
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系?

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提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横

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坐标即为它们相应的底数.∴0<c<d<1<a<b.
菜 单

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4.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数 互为反函数,它们的图象关于直线 称. y=logax y=x 对

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课 前 自 主 学 案

1x 已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=( ) ;当 x<4 时, 2 f(x)=f(x+1).则 f(2+log23)=( 1 A. 24 ) 1 B. 12 3 D. 8

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1 C. 8

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【思路点拨】
课 前 自 主 学 案

判断2+log23的范围再代入适当的解析
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式求解.

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【答案】 A

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函数、导数及其应用

(2012·北京高考)已知函数f(x)=lg x,若
f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=________.
课 前 自 主 学 案

【思路点拨】 准确的运用对数的运算性质. 【尝试解答】 1, 所以f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=lg a2b2 =2lg ab=2. 因为f(x)=lg x,f(ab)=1,所以lg ab=

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课 堂 互 动 讲 案

【答案】 2
【归纳提升】 利用对数的运算法则,将对数的和、

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差、倍数运算,转化为对数真数的积、商、幂再运算.
菜 单

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【思路点拨】
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本题可依据对数函数的单调性先将各

个值分置于不同的区间上,然后依区间内的大小而确立大小 关系,也可以运用图象法,直观地判断其大小.

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【答案】 A

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函数、导数及其应用

已知函数 f(x)=log1(x2-2ax+3),
2
课 前 自 主 学 案

(1)若函数 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围.

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【思路点拨】
课 堂 互 动 讲 案

(1)据定义域为R,真数大于0恒成立,
课 后 巩 固 练 案

由此求出a的取值范围;(2)值域为R,则真数包含所有的正 实数,因此只需让真数的最小值小于等于零即可.





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函数、导数及其应用

【尝试解答】 设 u=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2. (1)因为 u>0,对 x∈R 恒成立,所以 umin=3-a2>0.解
课 前 自 主 学 案

得- 3<a< 3, 所以实数 a 的取值范围是(- 3, 3). (2)函数 f(x)的值域为 R 等价于 u=x2-2ax+3 能取遍(0, +∞)上的一切值,所以只要 umin =3-a2≤0?a≤- 3或 a≥ 3.所以实数 a 的取值范围是(-∞,- 3]∪[ 3,+∞).

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课 堂 互 动 讲 案

【归纳提升】 对数比较大小 (1)不同底问题可以化为同底的问题利用单调性处理; (2)不可化为同底的问题,一般利用中间值来比较大小.
菜 单

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课 前 自 主 学 案

1-mx (2013· 南京模拟)已知 f(x)=loga (a>0,a≠1)是奇 x-1 函数. (1)求 m 的值; (2)讨论 f(x)的单调性.

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【思路点拨】

(1)利用奇函数的定义有f(-x)+f(x)=

0,可求m;(2)可采用导数讨论.

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函数、导数及其应用

【尝试解答】 (1)∵f(x)是奇函数,
课 前 自 主 学 案

1+mx 1-mx ∴f(-x)+f(x)=loga +loga -x-1 x-1 1-m2x2 =loga 2 =0 对定义域内的任意 x 恒成立, 1-x 1-m2x2 ∴ 2 =1, 1-x

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课 堂 互 动 讲 案

∴(m2-1)x2=0,对定义域内的任意 x 恒成立,m=± 1. 1-mx 当 m=1 时, =-1,函数无意义,∴m=-1. x-1

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x+1 (2)由(1)知 f(x)=loga , x-1
课 前 自 主 学 案

∴定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), x+1 2 设 t=g(x)= =1+ . x-1 x-1 ①当 a>1 时,f(t)=logat 在(0,+∞)上为增函数, g(x)在(-∞,-1)与(1,+∞)上为减函数,

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课 堂 互 动 讲 案

∴f(x)在(-∞,-1)与(1,+∞)上是减函数; ②当 0<a<1 时,f(t)=logat 在(0,+∞)上为减函数, g(x)在(-∞,-1)与(1,+∞)上为减函数,
菜 单

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课 前 自 主 学 案

【归纳提升】

研究与对数函数有关的复合函数的单调

性时,一种方法是利用导数,这时应注意正确地进行求导运 算,另一种方法是根据复合函数单调性的判断规则“同增异 减”进行判断,对于含有参数的函数,必须进行分类讨论.

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●考情全揭密●
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从近几年高考题来看,高考考查的热点是对数式的运算 和对数函数的图象、性质的综合应用,同时考查分类讨论、

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数形结合、函数与方程思想.常以选择题、填空题的形式考
查对数函数的图象、性质, 或与其他知识交汇以解答题的 形式出现.
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预计2014年高考仍将以对数函数的性质为主要考查点, 重点考查运用知识解决问题的能力.





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●命题新动向●
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对数函数单调性的应用
利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问 题,其基本方法是“同底法”.即把不同底的对数式化为同 底的对数式,然后根据单调性来解决.

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(2012·上海高考)已知f(x)=lg(x+1).若
0<f(1-2x)-f(x)<1,求x的取值范围.
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【规范解答】

?2-2x>0, ? (1)由? ?x+1>0, ?

得-1<x<1.

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2-2x 2-2x 由 0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg <1 得 1< < x+1 x+1 10.

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2 1 因为 x+1>0, 所以 x+1<2-2x<10x+10, <x< . - 3 3 ?-1<x<1, ? 2 1 由? 2 得- <x< . 1 3 3 ?-3<x<3, ?
菜 单

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函数、导数及其应用

●针对训练● (2012· 全国大纲高考)已知 x=ln π, y=log52, z=e-2,
课 前 自 主 学 案

1

则(

) A.x<y<z C.z<y<x B.z<x<y

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D.y<z<x 1 1 【解析】 x=ln π>1,y=log52= < , log25 2
课 堂 互 动 讲 案

1 1 1 z=e 2= , < <1,所以 y<z<x,选 D. e 2 e


1

【答案】 D

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