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2012江苏省数学竞赛《提优教程》第22讲


第二讲

三角恒等变换

本专题涉及到的知识点是两角和差的正余弦、正切公式;二倍角公式.正用、逆用、创造 条件使用公式是解题的关 键,涉及到三种主要的变换:角变换、函数名称的变换、运算方式 的变换.

A 类例题
例1 已知 ? , ? 都是钝角,且 sin ? ?

12 3 , cos(

? ? ? ) ? .求 sin ? . 13 5

分析 实施角变换: ? ? ( ? ? ? ) ? ? ,角变换是三角函数中最重要的一种变换. 解 由 ? , ? 都是钝角知,

? ? ? ? 900 .

若 ? ? ? ? 00 ,则 [900 ? (? ? ? )],1800 ? ? 均为锐角,且

sin[900 ? ( ? ? ? )] ? cos( ? ? ? ) ?

3 12 ? ? sin ? ? sin(1800 ? ? ) . 5 13

由此得 [900 ? (? ? ? )] ? 1800 ? ? , ? ? 900 与 ? 角是钝角矛盾,故只有 00 ? ? ? ? ? 900 ,所

5 4 ,sin( ? ? ? ) ? . 13 5 12 3 5 4 16 ? ? (? ) ? ? 从而 sin ? ? sin[? ? ( ? ? ? )] ? . 13 5 13 5 65
以 cos ? ? ? 例2 已知

[来源:Z。xx。 k.Com]

说明 抓住了角变换就明确了解题的方向,本题容易产生的失误是解的个数.

1 ? tan ? ? 2006 ,求 sec 2? ? tan 2? 的值. 1 ? tan ?

分析 变形的方法是化弦处理和抓住公式结构逆用公式. 解 由

1 ? tan ? ? ? 2006 得 tan(? ? ) ? 2006 , 1 ? tan ? 4

1 ? cos( ? 2? ) 1 ? sin 2? ? 2 另一方面 sec 2? ? tan 2? ? ? ? tan( ? ? ) , ? cos 2? 4 sin( ? 2? ) 2 所以 sec 2? ? tan 2? ? 2006 .
说明 抓住公式结构是逆用和创造条件用好公式的前提,类似的问题在三角函数中很多,如 求值:

?

3 t a n 01? 8

0 0 ta n18 ? tan12

,3 在 t此 a n问 1题 2 中要抓两点,第一是

0

tan180 ? tan120 与 tan180 tan120 蕴 涵 在 两 角 和 的 正 切 公 式 结 构 中 , 第 二 是 角 关 系 180 ? 120 ? 300 .
由 tan 30 ? tan(18 ? 12 ) ?
0 0 0

tan180 ? tan120 展开整理即得其 值为 1 . 1 ? tan180 tan120

例3 已知 ?

? sin ? ? sin ? ? b ,求 sin(? ? ? ) , cos(? ? ? ) . ?cos ? ? cos ? ? a

分析 本题的解法很多,现用角变换求解. 解 由已知条件有 b ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin[(? ? ? ) ? ? ]
[来源:学科网 ZXXK]

? (cos ? ? cos ? )sin(? ? ? ) ? (sin ? ? sin ? ) cos(? ? ? )
? a sin(? ? ? ) ? b cos(? ? ? ) .
同理

a? b s i? n (? ?

? )a

c?o ? s. ? (

)

联立求出 sin(? ? ? ) ?

2ab a 2 ? b2 , cos( ? ? ? ) ? . a 2 ? b2 a 2 ? b2

情景再现
1.已知 sin ? ? 4sin(? ? ? ) ,求证: tan(? ? ? ) ?

sin ? . cos ? ? 4

2.求 tan 20 ? 2 tan 40 ? 4 tan10 ? tan 70 的值.
0 0 0 0

3.求值:

sin 70 ? cos150 sin 80 . cos 70 ? sin150 sin 80

B 类例题
例4 已知 ? 是锐角, ? 是钝角,且 sec(? ? 2? ),sec ? ,sec(? ? 2? ) 成等差数列,求 的值. (2001年上海市数学竞赛) 分析 化弦降次和 运算方法变换. 解 由条件化弦得

cos ? cos ?

2 1 1 ? ? , cos ? cos(? ? 2? ) cos(? ? 2? )

2 cos(? ? 2? ) ? cos(? ? 2? ) ? , cos ? cos(? ? 2? ) cos(? ? 2? )

2 2cos ? cos 2? 2 , cos 2? ? cos 4? ? 2cos ? cos 2? , ? cos ? 1 (cos 2? ? cos 4? ) 2
cos 2? ? cos 4? ? (1 ? cos 2? ) cos 2? cos 2? (1 ? cos 2? ) ? cos 2? ? cos 4? ,

cos 2? (1 ? cos 2? ) ? cos 2? ? 2cos2 2? ?1

cos 2? (1 ? cos 2? ) ? (1 ? cos 2? )(2cos 2? ? 1) ,
即 cos 2? ? 2cos 2? ? 1 , cos2 ? ? 2cos2 ? 由 ? 是锐角, ? 是钝角得 例5 设 0 ? ? , ? ?

cos ? ?? 2. cos ?

?
2

,求证:

? ?? ?

?
2

是 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ? ) 成立的充要条件. (2005年第15届希望杯数

学赛) 分析 运用公式直接展开. 解法一 充分性是显然的,下面证必要性. 由 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ? ) 得

sin 2 ? ? sin 2 ? ? (sin ? cos ? ? cos ? sin ? )2


sin 2 ? ? sin2 ? ? sin2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin2 ? ? 2sin ? cos? sin ? cos ?







2sin 2 ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? cos ? cos ? ,
即 sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? 0 ,由 0 ? ? , ? ?

?
2

得? ? ? ?

?
2



解法二 构造三角形求解.构造 ?ABC, ?A ? ? , ?B ? ? ,则

?C ? ? ? (? ? ? ) ,因为 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? ? ) ,
即 sin
2

? ? sin 2 ? ? sin 2 C ,即 a 2 ? b2 ? c2 ,从而知 C ?
?
2

2 2

?
2



即 A? B ?

例6 求 cos 10 ? cos 50 ? sin 40sin80 的值. (1991年全国高中联赛) 分析 本题的基本方法是降次、和差化积,从结构特征构造求解.
0 0 0 0 0 0

解法一 注意 sin 40 ? cos50 ,sin80 ?cos10 ,且三角式是关于 cos10 ,cos50 对称的, 所以可以构造二元对 称代换求值. 设 cos10 ? a ? b,cos50 ? a ? b ,
0 0

则a ?

1 3 (cos100 ? cos 500 ) ? cos 200 , 2 2

b?

1 1 (cos100 ? cos 500 ) ? sin 200 , 2 2
2 2 0 0

所以原式 ? cos 10 ? cos 50 ? cos50 cos10

? (a ? b)2 ? (a ? b)2 ? (a ? b)(a ? b) ? a 2 ? 3b2
?( 3 1 3 cos 200 )2 ? 3( sin 200 )2 ? . 2 2 4

解法二 利用 cos 2 100 ? sin 2 10 0 ?1,cos 2 50 0 ?sin 2 50 0 ?1 ,构造对偶模型求解. 设 A ? cos 10 ? cos 50 ? sin 40sin80 ,
2 2

B ? sin 2 10 ? sin 2 50 ? cos 40cos80 ,则 A ? B ? 2 ? cos 400 ,

A ? B ? cos 200 ? cos1000 ? cos1200 ? cos 400 ?

1 3 ,从而求 出 A ? . 2 4

说明 三角式的结构特征分析在解题中的作用很大,往往能揭示问题的 本质.本题也可以通 过构造三角形等其它方法求解. 例7 求 cos

2? 4? ? cos 的值. 5 5

分析 从基本方法和构造法两个角度求解. 解法一 (和差化积逆用公式)

2? 4? ? 3? ? 2? ? cos ? ?2 cos cos = ? 2 cos cos , 5 5 5 5 5 5 ? 1 分子分母同乘 4 sin ,连续两次逆用二倍角公式得其值为 ? . 5 2 cos
解法二 (构造对偶式求解) 设 x ? cos

2? 4? 2? 4? ? cos , y ? cos ? cos , 5 5 5 5 2? 4? 1 4? 1 8? xy ? cos 2 ? cos 2 ? (1 ? cos ) ? (1 ? cos ) 5 5 2 5 2 5 1 1 4? 2? 1 ? (cos ? cos ) ? ? y .约去 y ( y ? 0) 得 x ? ? . 2 2 5 5 2
x ? cos

解法三 (自身代换构造方程求解)

2? 4? 2? ? ? cos ? cos ? cos ? 0 , 5 5 5 5 4? 2? 4? 2 2 2? ? cos 2 ? 2 cos cos 平方 x ? cos 5 5 5 5 4? 8? sin sin 1 4? 1 8? 5 5 ? (1 ? cos ) ? (1 ? cos ) ? 2 2? 4? 2 5 2 5 2sin ? 2sin 5 5 1 x 1 1 4? 8? 1 1 4? 2? ? ? (cos ? cos ) ? ? (cos ? cos ) ? ? . 2 2 2 2 5 5 2 2 5 5 1 1 1 2 得方程 x ? ? x ,从而解得 x ? ? . 2 2 2
解法四 (构造同形方程)

2? 4? 2? 4? ? cos , cos ,则 cos x ? cos 同时满足该同形方程. 5 5 5 5 2? 4? 2 ? cos ) ? 0 , 由二倍角公式得二次方程 2 cos x ? cos x ? (1 ? cos 5 5 2? 4? 2? 4? 2 , cos ? cos ) ? 0 的两根,而且是全体根, 这表明 cos 是方程 2 y ? y ? (1 ? cos 5 5 5 5 2? 4? 1 ? cos ?? . 由根与系数的关系得 cos 5 5 2
设 cos x ? cos 2 x ? cos

情景再现
4.求证:

tan 5? ? tan 3? ? 4(tan 5? ? tan 3? ) . cos 2? cos 4?

5.已知 ? , ? ? (0,

?

2

) ,且满足:

3sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1,3sin 2? ? 2sin 2? ? 0 .
求 ? ? 2 ? 的值.

C 类例题
例8 化简

tan ? tan 2? ? tan 2? tan 3? ?

? tan(n ?1)? tan n? .

分析 从结构特征入手,由于每个乘积项中的两个角相差都是 ? ,从两角差的正切公式化简 入手. 解 由

tan ? ? tan[n? ? (n ? 1)? ] ?

tan n? ? tan(n ? 1)? 1 ? tan n? tan(n ? 1)?









t

t n a ? ? n n ? ?t a n ( 1 ) n a ? n n ? ?t ? a n ( 1 ? ) ,其中 n ? 2,3, 4, . t ? a n tan 2? ? tan ? tan 3? ? tan 2? ? 1) ? ( ? 1) ? tan ? tan ? ?(

1

从而原式

?(


tan n? ? tan( n ? 1)? tan n? ? 1) ? ?n tan ? tan ?

例9 求证: tan

?
7

tan

2? 3? tan ? 7. 7 7

分析 构造方程求解.

k? k? k ? 1, 2,3 . 知 ? 是方程 tan 3? ? tan 4? ? 0 的根.设 ? ? 7 7 tan ? ? tan 2? 2 tan 2? ? ? 0. 则 tan 3? ? tan 4? ? 0 ,即 1 ? tan ? tan 2? 1 ? tan 2 2? tan ? ? tan 2? 2 tan 2? ? ? 0 展开整理得 令 x ? tan ? ,对 1 ? tan ? tan 2? 1 ? tan 2 2?
解由 ? ?

x6 ? 21x4 ? 35x2 ? 7 ? 0

2? 3? , tan 是上述方程的三个根, 7 7 7 2? 3? 2 ? 3 2 , tan 2 , tan 2 那么 tan 是方程 t ? 21t ? 35t ? 7 ? 0 的三个根,由根与系数的关系得 7 7 7 ? 2? 3? tan 2 tan 2 tan 2 ? 7, 7 7 7 ? 2? 3? tan ? 7. 开方即得 tan tan 7 7 7
由 tan

?

, tan

例10 若 a, b, c 均是整数(其中 0 ? c ? 90 ) ,且使得

9 ? 8sin500 ? a ? b sin c0 ,求
0

a?b 的值. c

分析 角变换,使得 9 ? 8sin 50 为完全平方. 解

9 ? 8sin 500 ? 9 ? 8sin100 ? 8sin100 ? 8sin 500

? 9 ? 8sin100 ? 8[sin(300 ? 200 ) ? sin(300 ? 20 )] ? 9 ? 8sin100 ? 8cos 200 ? 9 ? 8sin100 ? 8(1 ? 2sin 2 100 ) ? 16sin 2 100 ? 8sin100 ? 1 ? (4sin100 ? 1)2
所以 a ? 1, b ? 4, c ? 10 ,

a?b 1 ? . c 2

情景再现
6.已知 a , b 为整数,且满足 9 ? 8sin500 ? a ? b csc500 .求出 a , b 的所有可能值. 7.设 ? , ? , ? ? (0,

?
2

), ? ? ? ,且

sin ? sin ? ? tan ? . cos ? ? cos ?

求证:
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

sin ? sin ? ? tan ? . cos ? ? cos ?

习题
1.已知 tan ? 和 tan( 2.已知 tan(

?
4

? ? ) 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个根,求证 p ? q ? 1 ? 0 .

?
4

? ? ) ? 3, 求 sin 2? ? 2cos2 ? 的值. 4 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,求 cos ? 的值. 5 3

3.已知 ? , ? 是锐角, cos ? ?
0 0

4.求值: tan 20 ? 4sin 20 .

5.已知 a sin ? ? b sin ? ? c sin ? ? 0 ①

a cos ? ? b cos ? ? c cos ? ? 0 ②,其中 a, b, c ? 0 .
求证:

sin( ? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? ? . a b c

6.求函数 y ?

sin 3x sin 3 x ? cos 3x cos3 x ? sin 2 x 的最小值. cos 2 2 x

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

7.已知

sin(? ? ? ) k? ? 2 tan ? sin ? (其中 ? , ? 均不等于 ,k ?Z ) . sin ? 2



sin(2? ? ? ) 的值. sin ?
3 ,求角 ? , ? . 2

8.已知 ? , ? ? (0, ? ) ,且 cos ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ?
7

9.证明: cos 7 x ? 7cos5x ? 21cos3x ? 35cos x ? 64cos x . 10.证明:对任一自然数 n 及任意实数 x ?

m? (k ? 0,1, 2, 2k

, n), m 为 任 一 整 数 , 有

1 1 ? ? sin 2 x sin 4 x

?

1 ? cot x ? cot 2n x . n sin 2 x

11.设 ? , ? 是锐角,且 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin(? ? ? ) . 求证: ? ? ? ?

?
2

.

12. 已知 A 1 cos ?1 ? A 2 cos ?2 ?

? An cos ?n ? 0 ,

A1 cos(?1 ? 1) ? A2 cos(?2 ? 1) ?
求证:对任意的 ? ? R ,恒有

? An cos(?n ? 1) ? 0 .

A1 cos(?1 ? ? ) ? A2 cos(?2 ? ? ) ?
本节“情景再现”解答:
[来源:学科网]

? An cos(?n ? ? ) ? 0 .

1.解 角变换.由 sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] 得

sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? 4sin(? ? ? )
即 sin(? ? ? )(cos ? ? 4) ? cos(? ? ? )sin ? 即 tan(? ? ? ) ?

sin ? . cos ? ? 4

2.解 逆用公式和角关系. 原式 ? (tan 200 ? tan 700 ) ? 2 tan 400 ? 4 tan100

? tan(200 ? 700 )(1 ? tan 200 tan 700 ) ? 2 tan 400 ? 4 tan100 ? ? tan500 (1 ?1) ? 2tan 400 ? 4tan100 ? 2(tan 40 ? tan 500 ) ? 4 tan100 ? 2 tan(400 ? 500 )(1 ? tan 400 tan 500 ) ? 4 tan100
? ?4 tan100 ? 4 tan100 ? 0 .
3.解 角变换.原式 ?

sin(150 ? 80 ) ? cos150 sin 80 cos(150 ? 80 ) ? sin150 sin 80

?

sin150 cos80 ? tan150 ? tan(450 ? 300 ) ? 2 ? 3 . cos150 cos80

也可以变换运算方式积化和差. 4.解 左右两边同时化弦.

cos 3? sin 5? ? cos 5? sin 3? 4sin 2? cos 2? cos 4? ? cos 5? cos 4? cos 3? cos 2? cos 5? cos 4? cos 3? cos 2? 4sin 2? ? . cos 5? cos 3? sin 5? sin 3? sin 5? cos 3? ? cos 5? sin 3? ? ) ? 4( ) 而右边 ? 4( cos 5? cos 3? cos 5? cos 3? 4sin 2? ? .所以等式成立. cos 5? cos 3?
左边 ? 5.解 基本方法降次消元.由 3sin
2

? ? 2sin 2 ? ? 1 降次化简得

2 cos 2? ? 1 ? cos 2 ? ,① 3 2 再由 3sin 2? ? 2sin 2? ? 0 得 sin 2? ? sin 2 ? ,② 3 1 1 由①②两式平方相加消去角 ? ,求得 cos 2 ? ? 代入①中求得 sin ? ? . 3 3
即 sin ? ? cos 2 ? ? sin(

? 2 ? ) ,由 ? , ? ? (0, ) 得 ? ? 2 ? ? 2 2 2 1 0 0 3 0 6.解 由三倍 角公式有 sin 3 ? 50 ? 3sin 50 ? 4sin 50 ? , 2
从而 即

?

?

?

?8 s 3 i n 05 ?0

0 6 s ? i n? 5 0 ,

1

0

2 ( 9 ? 8 s i0 n 5 2 0 ) 0? s i n 5 0 0? , ( 3 s i n 50

1)

又 9 ? 8sin 50 ? 0
0

所以 9 ? 8sin500 ? 3 ? csc500 ,

即 a ? 3, b ? ?1 满足条件. 假设存在另外一组 (a0 , b0 ) 满足条件 ,则 a0 ? b0 csc500 ? 3 ? csc500 , 解出 sin 50 ?
0

b0 ? 1 0 ,从而 sin 50 是有理数. 3 ? a0

设 sin 50 ?
0

p , ( p, q) ? 1, p, q ? N* 代入 q
1 ,整理得 2

sin 3 ? 500 ? 3sin 500 ? 4sin 3 500 ?

8 p3 ? 6 pq2 ? q3 ? 0 ,于是 q 2 8 p 3 ,由 ( p, q ) ? 1知 q 2 8 ,故 q ? 2 又 q ? 1 ,所以 q ? 2 此
3 2 i n5 0 时 p ? 3 p ? 1 ? 0 , p( p ? 3) ? 0 , 只能有 p ? 1 , 即s
0

?

1 矛盾,因此满足条件的 a , b 是 2

唯一的. 7.解 构 造 直 角 三 角 形 . Rt ?ABC, ?A ? ? , AC ? cos ? ? cos ? , 则 由 条 件 知

BC ? sin ? sin ? ,所以 AB ? (cos ? ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? sin 2 ? ? 1 ? cos ? cos ? .
所以 cos ? ?

AC cos ? ? cos ? ? AB 1 ? cos ? cos ?

sin ? ?

sin ? sin ? BC sin ? sin ? ? ,将其代入到 中去,化简后即得证. cos ? ? cos ? AB 1 ? cos ? cos ?

习题”解答: 1.解 角变换 ? ? (

?
4

?? ) ?

?
4

和逆用公式.由根与系数的关系得

tan ? ? tan( ? ? ) ? ? p, tan ? tan( ? ? ) ? q 4 4
所以 ? p ? tan ? ? tan(

?

?

?

? ? ) ? tan[? ? ( ? ? )][1 ? tan ? tan( ? ? )] 4 4 4

?

?

[1 ? tan ? tan( ? ? )] 4 4 ? 1? q ? tan
所以 p ? q ? 1 ? 0 .

?

?

2.解 化成正切.由 tan( 而 sin 2? ? 2cos ? ?
2

?
4

? ? ) ? 3, 求得 tan ? ?

1 , 2

sin 2? ? 2 cos 2 ? 2 tan ? ? 2 4 ? ?? . 2 2 2 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5
4 3 得 sin ? ? , 由 ? , ? 是 锐 角 5 5

3 . 解 角 变 换 ? ? ? ? (? ? ? ) . 由 ? 是 锐 角 c o s? ?

1 tan(? ? ? ) ? ? 知 ? ? ? 是第四象限角,所以 3

cos(? ? ? ) ?

1 1 ? tan (? ? ? )
2

?

3 10 10 , sin(? ? ? ) ? ? . 10 10

所以 cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

?

9 10 . 50

4.解 化弦和角变换.

sin 200 ? 4sin 200 cos 200 tan 20 ? 4sin 20 ? cos 200
0 0

?

sin 200 ? 2sin 400 sin 200 ? 2sin(600 ? 200 ) ? cos 200 cos 200

?

sin 200 ? 3 cos 200 ? sin 200 ? 3. cos 200

5.证:消元. ① ? cos ? ? ② ? sin ? 得

a(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) ? b(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) ? 0 ,
即 a sin(? ? ? ) ? b sin(? ? ? ) ? 0 ,

sin( ? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? ? ,同理可证 , a b b c sin( ? ? ? ) sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? ? 所以 . a b c
即 6.解 降次.

sin 3x sin3 x ? cos3x cos3 x ? (sin 3x sin x)sin 2 x ? (cos3x cos x)cos2 x
1 ? [(cos 2 x ? cos 4 x) sin 2 x ? (cos 2 x ? cos 4 x) cos 2 x] 2 1 ? [(sin 2 x ? cos 2 x) cos 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) cos 4 x] 2

?

1 1 (cos 2 x ? cos 2 x cos 4 x) ? cos 2 x(1 ? cos 4 x) ? cos3 2 x 2 2

所以 y ? cos 2 x ? sin 2 x ?

2 sin(2 x ? ) ,其最小值为 ? 2 . 4 sin(? ? ? ) ? 2 tan ? sin ? 得 7.解 角变换.由 sin ?

?

sin(? ? ? )cos ? ? 2sin 2 ? sin ? ,
即 sin(? ? ? ) cos ? ? (1 ? cos 2? )sin ? ,所以

1 1 1 1 sin(2? ? ? ) ? sin(? ? ) ? sin ? ? sin(2? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) , 2 2 2 2
即 3sin ? ? sin(2? ? ? ) ,所以 8.解 配方.由条件得

sin(2? ? ? ) ? 3. sin ?

2 cos

? ??
2

cos

? ??
2

? (2 cos 2

? ??
2

? 1) ?

? 4 cos cos ?1 ? 0 , 2 2 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 2 ? ?? ? 4 cos cos ? sin 2 ? cos 2 ? 0, 即 4 cos 2 2 2 2 2 ? ?? ? ?? 2 ? ?? ? cos ) ? sin 2 ? 0, 配方得 (2 cos 2 2 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? cos ,sin ? 0 ,由 ? , ? ? (0, ? ) 得 从而得 2 cos 2 2 2
即 4 cos

2 ? ??

? ??

? ??

3 , 2

? ?? ?

?

3


3 3

9 . 证 明 降 次 . 由 cos3x ? 4cos x ? 3cos x , 得 4cos x ? 3cos x ? cos3x , 从 而 有

16 c6 ox s?
?

2 c oxs? 3

6x c o sx? 3 c o2 s ,x

9 cos

1 ? cos 6 x 9(1 ? cos 2 x) ? 3(cos 4 x ? cos 2 x) ? 2 2
6

所以 32cos x ? 1 ? cos6 x ? 6(cos 4 x ? cos 2 x) ? 9(1 ? cos 2 x) 所以

64cos7 x ? 2cos 6 x cos x ? 12cos 4 x cos x ? 30cos 2 x cos x ? 20cos x
? cos 7 x ? cos 5 x ? 6cos 5 x ? 6cos 3x ? 15cos 3x ? 15cos x ? 20cos x ? cos 7 x ? 7 cos 5 x ? 21cos 3x ? 35cos x .
10.证明 裂项.

1 2cos 2 x ? cos 2 x 2cos 2 x cos 2 x ? cot x ? cot 2 x , ? ? ? sin 2 x sin 2 x 2sin x cos x sin 2 x
1 ? cot 2 x ? cot 4 x, sin 4 x 1 1 ? ? 各项相加,得 sin 2 x sin 4 x
同理

,

1 ? cot 2n ?1 x ? cot 2n x , sin 2n x 1 ? ? cot x ? cot 2n x . n sin 2 x

( ?? ? ) 1 1 . 证 明 用 不 等 式 逼 出 . 由 ? , ? 是 锐 角 知 c o s?
sin(? ? ? ) ?

0 ,又由已知条件得 ①

1 ? cos 2? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ②, 2 2

但 0 ? sin(? ? ? ) ? 1 ,故 0 ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 1 ③, 由①③得 cos(? ? ? ) ? 0, 从而 0 ? ? ? ? ?

?
2

,有

0 ? ? ?? ?? ?? ?

?
2

,





0?

c ? o ?s? ( ?
, 即

? )

? c? o 代 入 s② ( , 得 )
, 只 能 是

sin(? ? ? ) ? 1 ? cos2 (? ? ? ) ? sin 2 (? ? ? )
s

sin(? ? ? ) ? 1

? i ? n ?( ?

? ?)?

2

? 1?,

.

12.解 构造关于 ? 角的函数,重新组合三角式. 作函数 f ( ? ) ?
n

? A cos(?
k ?1 k k k

n

k

? ? ), ? ? R ,从而有 f (0) ? f (1) ? 0 .

由 f (? ) ?
n

? A [cos ?
k ?1

cos ? ? cos(? k ? )sin ? ] 2
n

?

? (? Ak cos ? k ) cos ? ? [? Ak cos(? k ? )]sin ? 2 k ?1 k ?1
? f (0) cos ? ? f ( ) sin ? 2
= f ( ) sin ? .

?

?

?

2

取 ? ? 1 ,得 0 ? f (1) ? f ( )sin1 ,但 sin1 ? 0 ,故 f ( ) ? 0 ,从而由 f ( ? ) ? f ( ) sin ?

?

?

?

2

2

2

知 f ( ? ) ? 0, ? ? R .

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