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山东省潍坊市青州第二中学2015届高三上学期第一次月考试题


2014-2015 学年度青州二中高三十月数学诊断性试题
适用范围(人教版集合、常用逻辑用语、不等式、初等函数、导数、三角函数) 命题:王章永 一、选择(5*10=50) 审核:王建慧 .

1、函数 f ( x) ? lg(1 ? x 2 ) ,集合 A ? { x | y ? f ( x)} , B ? { y | y ? f ( x)} ,则右

图中阴影部分表 示的集合为 ( A. [?1, 0] C. (?? , ?1) [0 ,1) B. (?1, 0) D. (?? , ? 1] (0 ,1) )

? 2、在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 c ? 4 2,B ? 45 ,面积 S ? 2 ,则 b 等于

A.

113 2

B.5

C. 41

D.25

3、已知

1 1 ? ? 0 ,给出下列四个结论:① a ? b a b


② a ? b ? ab

③ | a |?| b | ④ ab ? b

2

其中正 确结论的序号是 ( A.①② B.②④ 4、函数 f ? x ? ? ?1 ? cos2 x ?sin x 是
2

C.②③

D.③④

A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为

? 的奇函数 2

B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为

? 的偶函数 2

5、下面命题中假命题是 A. ?x ? R,3x ? 0 B. ?? , ? ? R ,使 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? C. ?m ? R ,使 f ( x) ? mxm
2
2

?2m

是幂函数,且在 (0, ??) 上单调递增
2

D.命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ”的否定是“ ?x ? R, x ? 1 ? 3x ” 1 2 6、已知幂函数 f(x)的图象经过点( , ),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不 8 4 同两点,给出以下结论:其中正确结论的序号是 ① x1 f ? x1 ? > x 2 f ? x 2 ? ;② x1 f ? x1 ? < x 2 f ? x 2 ? ③

f ? x1 ? f ? x 2 ? > ; x1 x2



f ? x1 ? f ? x 2 ? < . x2 x1

A.①②

B.②④
1

C.②③

D.③④

7、已知条件 p:x≤1,条件 q:

1 <1,则 p 是 ? q 成立的 x

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 8 、 函 数 f ?x ? ? A s i ? n ?x ? ? ? ? b 的 图 象 如 图 , 则

? 等于 S ? f ?0? ? f ?1? ? ? ? ? ? f ?2011
A.0 9、函数 y ? B.503 C.2012 D.1006

ex ? x 的一段图象是 ex ? x

10、 奇函数 f ( x ) ,偶函数 g ( x) 的图像分别如图 1、 2 所示,方程 f ( g ( x)) ? 0, g ( f ( x)) ? 0 的 实根个数分别为 a , b ,则 a ? b ?

A.14 二、填空(5*5=25)

B.10

C.7

D.3

11、已知定义域为的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,则 f (2014) ? ____________. 12、已知 sin ? ? ?

? ?

7? ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? ? 的值等于___________. 12 ? 3 12 ? ?

? ? 1

?x ? y ? 3 ? 0 ? ? 13、若函数 y=2x图象上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为 ? ? ?x ? m

2

14、设 a ? b ? 2, b ? 0 , 则当 a ? ______时, 15、对于函数 y ? lg | x ? 3| 和 y ? sin

1 |a| 取得最小值. ? 2|a| b

?x
2

(?4 ? x ? 10) ,下列说法正确的是__________.

(1)函数 y ? lg | x ? 3| 的图像关于直 线 x ? ?3 对称; (2) y ? sin

?x
2

(?4 ? x ? 10) 的图像关于直线 x ? 3 对称;

(3)两函数的图像一共有 10 个交点; (4)两函数图像的所有交点的横坐标之和等于 30; (5)两函数图像的所有交点的横坐标之和等于 24. 三、解答(12*4+13*2=75) 16、设命题 p:函数 f ? x ? ? 1g ? ax 2 ? x ?

? ?

a? x x ? 的定义域为 R;命题 q : 3 ? 9 ? a 对一切的实 16 ?

数 x 恒成立,如果命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

17、已知函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)若点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上,求 f (? ) 的值; (Ⅱ)若 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域. 6 3

18、已知函数 f ( x) ?

2x ? 1 , 2x ? 1 (1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性;(2)求证: f ? x ? 在为增函数;
(3)求证:方程 f ? x ? ? ln x ? 0 至少有一根在区间 ?1,3? .

3

19、已知函数 f ( x) ? 3sin2 x ? 2cos2 x ? 1, x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最小值; (Ⅱ)在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 c ? 3, f (C ) ? 0,sin B ? 2sin A, 求 a , b 的值.

20、某地区的农产品 A 第 x 天 ?1 ? x ? 20? 的销售价格 p ? 50 ? x ? 6 (元∕百斤) ,一农 户在第 x 天 ?1 ? x ? 20? 农产品 A 的销售量 q ? 40 ? x ? 8 (百斤) 。 (1)求该农户在第 7 天销售农产品 A 的收入; (2)问这 20 天中该农户在哪一天的销售收入最大? 21 、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( x ? R, a ? 0) , ? 2 是 f ( x) 的一个零点,又

f ( x) 在 x ? 0 处有极值,在区间 (?6,?4) 和 (?2,0) 上是单调的,且在这两个区间上的
单调性相反. (I)求

b 的取值范围; a

(II)当 b ? 3a 时,讨论 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)在(II)的条件下,求使 y y ? f ( x ), ?3≤x≤2 ? [ ?3, 2] 成立的 a 的取值范围.

?

?

4

2014-2015 学年度青州二中高三十月数学诊断性试题 参考答案
一、选择:1-5.D B B D D 二填空:0 三、解答 16、 【答案】 6-10.C B C D B

?

1 3

1

?2

(2)(3)(4);

17 答案 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上, 所以 sin ? ? ?

1 3 , cos ? ? , 2 2

??????2 分

所以 f (? ) ? 3sin 2? ? 2sin 2 ? ? 2 3sin ? cos ? ? 2sin 2 ?

??????4 分

? 2 3 ? (?

3 1 3 ) ? ? 2 ? (? ) 2 ? ?3 . 2 2 2

??????5 分

(Ⅱ) f ( x) ? 3sin 2 x ? 2sin 2 x ? 3sin2x ? cos 2 x ?1

??????6 分 ??????8 分

? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 6
因为 x ? [ ? 所以 ?

?

? ?
,

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6

6 3

] ,所以 ?

?

6

? 2x ?

?
6

?

5? , 6

??????10 分 ??????11 分 ??????12 分

所以 f ( x ) 的值域是 [?2,1] .

5

18、 【答案】

2x ? 1 2 , ?1? x 2x ? 1 2 ?1 2 2 2 2 ) ? (1 ? x ) ? 2 ? ( x ? ?x ) 所以 f (? x) ? f ( x) ? (1 ? ? x 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 x x 2 2?2 2(2 ? 1) ? 2?( x ? x )?2? x ?2?2?0. 2 ?1 2 ?1 2 ?1 即 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数.
证明:(1)函数 f ? x ? 的定义域为 R,且 f ( x) ?

2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2) ? ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x , ? ? 2 1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x1 ? x2 , 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2 x2 ? 1 ? 0 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? .
所以,函数 f ? x ? 在 R 上是增函数.

2x ? 1 ? ln x , 2x ? 1 21 ? 1 1 23 ? 1 7 因为 g ?1? ? 1 ? ln1 ? ? 0 , g ? 3? ? 3 ? ln 3 ? ? ln 3 ? 0 , 2 ?1 3 2 ?1 9
(3)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ln x ? 所以,方程 f ? x ? ? ln x ? 0 至少有一根在区间(1,3)上.

19、 【答案 】

6

20、 【解析】 .⑴由已知第 7 天的销售价格 p ? 49 ,销售量 q ? 41 . ∴第 7 天的销售收入

W7 ? 49 ? 41 ? 2009 (元) . ????????????????????(3
分)

?(44 ? x)(48 ? x) ? 2009 ⑵设第 x 天的销售收入为 Wx ,则 Wx ? ? ? (56 ? x)(32 ? x) ?
当 1 ? x ? 6 时, Wx ? (44 ? x)(48 ? x) ? (

1? x ? 6 x ? 7 .?(6 分) 8 ? x ? 20

(44 ? x) ? (48 ? x) 2 ) ? 2116 . (当且仅当 2

x ? 2 时取等号)∴当 x ? 2 时取最大值 W2 ? 2116 .????????????(9
分) 当 8 ? x ? 20 时, Wx ? (56 ? x)(32 ? x) ? (

(56 ? x) ? (32 ? x) 2 ) ? 1936 . (当且仅当 2

x ? 12 时取等号)∴当 x ? 12 时取最大值 W12 ? 1936 . ??????????(10
分) 由于 W2 ? W7 ? W12 ,∴第 2 天该农户的销售收入最大. ??????????(11 分) 答:⑴第 7 天的销售收入 2009 元;⑵第 2 天该农户的销售收入最大. ????(12 分

21【解析】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ,所以 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c .
3 2 2

又 f ( x ) 在 x ? 0 处有极值,所以 f ?(0) ? 0 即 c ? 0 ????????2 分 所以 f ?( x) ? 3ax ? 2bx
2

令 f ?( x) ? 0

所以 x ? 0 或 x ? ?

2b ---------3 分 3a

又因为 f ( x ) 在区间 (?6 , ? 4) , (?2 , 0) 上是单调且单调性相反 所以 ?4 ? ?

2b b ? ?2 所以 3 ? ? 6 3a a
3

-------------------------------6 分
2

(Ⅱ)因为 b ? 3a ,且 ?2 是 f ( x) ? ax ? 3ax ? d 的一个零点,
3 2 所以 f (?2) ? ?8a ? 12a ? d ? 0 ,所以 d ? ?4a ,从而 f ( x) ? ax ? 3ax ? 4a . 2 所以 f ?( x) ? 3ax ? 6ax ,令 f ?( x) ?0 ,所以 x ? 0 或 x ? ?2 . ------------------8

分 列表如下:

7

(?3 , ? 2)

(?2, 0)
a?0


(0 , 2)
a?0
+ 0

x

?3
a?0

?2

a?0


a?0
+

a?0


2

f ?( x ) f ( x)
?4a

+

0 0

0

?4a

16 a

单调区间:略 (Ⅲ)由(Ⅱ)知:当 a ? 0 时,若 ?3 ? x ? 2 ,则 ?4a ? f ( x) ? 16a 当 a ? 0 时,若 ?3 ? x ? 2 ,则 16a ? f ( x) ? ?4a -----------------------10 分

?a ? 0 ? ?16a ? 2 从而 ? ?4 a ? ?3 ?
即0 ? a ?

?a ? 0 ? ?16a ? ?3 ----------------------------------------12 分 或 ??4a ? 2 ?

1 3 ?a?0 或? 8 16

所以存在实数 a ? ? ?

? 3 ? ? 1? , 0 ? ? 0 , ? ,满足题目要求.????????13 分 ? 16 ? ? 8 ?

8


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