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用空间向量解立体几何题专题四


用空间向量解立体几何题专题四
一、角度问题: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 (1)异面直线 l , m 所成的角为 ? (0 ? ? ?
? ? ? ?

?
2

) ,则 cos? ?| cos ? a , b ?|?
?

?

? ?

| a? b | | a |?| b |
? ? ? ?

? ?

(2)直线 l 与平面 ? 所成的角为 ? (0 ? ? ?

?
2

) ,则 sin ? ?| cos ? a, u ?|?

| a? u | | a |?| u |
? ?

(3)二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) ,

若?是锐角,则cos? ?| cos ? u , b ?|?
? ?

? ?

| u? v | | u |?| v |
v? ? ? ?

? ?

若?是钝角,则cos? ? ? | cos ? u , v ?|? ?

| u? v |
? ?

| u |?| v | 特别的,二面角的大小有时为锐角有时为钝角,所以在计算之前先依据图形判断一下所 求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或者“补角” 。
二、空间角的求法 (1) 、异面直线所成的角: 例 4 : 三棱柱 OAB ? O1 A1 B1 , 面O1OBB1 ? 面OAB , ?O1OB ? 600 , ?AOB ? 900 , 且 OA ? 3, OB ? OO1 ? 2 ,求异面直线 A1 B 与 AO1 所成的角的大小. 解:过 O1 作 O1 P ? OB于P ? 面O1OBB1 ? 面OAB? O1 P ? 面OAB 如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

A( 3,0,0), B(0,2,0), A1 ( 3,1, 3),O1 (0,1, 3)
∴ A1 B ? (? 3,1,? 3 ), AO1 ? (? 3,1, 3 ) 设所求的角为 ? , 则
cos? ? | A1 B? AO1 | | A1 B | ? | AO1 |
? ? ? ?

?

?

?

1 7? 7

?

1 7

故 A1 B 与 AO1 所成的角为 arccos

1 . 7
z P

(2) 、直线和平面所成的角 例 5 :如图,四 棱 锥 P ? ABCD 中, 底面 ABC D 为矩形, PD ? 底面A B CD, AD ? PD, AB ? 2BC , E,F 分 别 CD,PD 的中点,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小. 解:如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,不妨设 AD ? PD ? 1, 则
B
1

x C

F

E A y

D

2 2 1 1 ,0,0), F ( , , ) 2 2 2 2 ? ? ? 2 1 1 ? AC ? ( 2 ,?1,0), AE ? ( ,?1,0), EF ? (0, , ) 2 2 2 A(0,1,0), C ( 2 ,0,0), E (

设面 AEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
?? ? 2 ? ? n ? AE ? 2 x ? y ? 0 ?? ? ? n? EF ? 1 y ? 1 z ? 0 ? 2 2 ?

?

取 z ? 1 ,得 n ? (? 2 ,?1,1) 设 AC 与面 AEF 所成角为 ? ,则

?

sin ? ?

| AC? n | | AC | ? | n |
? ?

?

?

?

1 3?2

?

3 6

得 ? ? arcsin

3 6

所以 AC 与平面 AEF 所成角的大小为 arcsin (3) 、二面角 例 6(07 上海) :如图 6,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底 面边长为 3,侧棱 AA1 ?

3 . 6
z
A C O B B1 A1 C1

3 3 ,D 是 CB 延长线上一点, 2

y

且 BD ? BC 。求二面角 B1 ? AD ? B 的大小 ? . 解:取 BC 的中点 O,连 AO。
x

D

平面 ABC ? 平面 BCC1 B1 , AO ? BC ,∴ AO ? 平面 BCC1 B1 以 O 为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
0,0, 则 A( 3 3 9 3 3 3 ) ) ) , 3 ,0 ) , B( ,0,0 , D( ,0,0 , B( , 1 2 2 2 2 2

? ? ? 9 3 3 3 ( ,0,? 3) (3,? 3 ,0) (0, 3 ,0) ∴ AD ? , BD ? , BB1 ? , 2 2 2 2

易知面 ABD 的法向量 n1 ? (0,1,0) 设面 AB1 D 的法向量为 n2 ? ( x, y, z ) ,则
2
?

?

9 3 ?? ? ? n 2 ? AD ? 2 x ? 2 3z ? 0 ?? ? 3 ?n 2 ? B1 D ? 3x ? 3y ? 0 2 ?

取 y ? 1 ,得 n2 ? (

?

3 3 ,1, ) 2 2

设所求的二面角为 ? ,由 | cos? |?

| n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 |
?

?

?

?

1 1 ? , 1? 2 2

故所求二面角 B1 ? AD ? B 的大小为 60? 。 三、训练题: 1、在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2BB1 ? 2 ,
P 为 B1C1 的中点. (1)求直线 AC 与平面 ABP 所成的角; (2)求异面直线 AC 与 BP 所成的角;
P

2、如图,正四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 (1)求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小 ; (2)若 E 是 PB 中点,求异面直线 PD 与 AE 所成的角的正切值
P

6 。 2

E D A B C



3

3、已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC, 1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1, 2 M 是 PB 的中点。 (1)求 AC 与 PB 所成的角; (2)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。

4、在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD。 (1)证明 AB⊥平面 VAD; (2)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小。

4


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