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泉州七中2013届高三5月月考数学理试题 Word版含答案


2013 年泉州七中高中毕业班第一次质量检查


参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差







锥体体积公式

s=

1

? ( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? … ? ( x n ? x ) ? ? n ?
2 2 2

V=

1 3

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
2 S ? 4 ? R ,V ? 4 ? R 3

V=Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知全集 U
? R

,集合 M ? { x x ? x ? 0} ,则 C U M =(
2

)
{ D. x | x ? 0 或 x ? 1}
? z2
y A

{ A. x | 0 ? x ? 1}

{ { B. x | 0 ? x ? 1} C. x | x ? 0 或 x ? 1}

??? ??? ? ? 2.如图,在复平面内,若复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 O A , O B

,则复数 z1

所对应的点位于
O

(

)
x B

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.设函数 f ( x ) ( x ? R ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) , f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,则函数 y ? f ( x ) 的图像可
第 2 题图

以是(

)

A.

B.

C.

D. )

4.已知 l , m 为两条不同的直线, ? 为一个平面。若 l // ? ,则“ l // m ”是“ m // ? ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

5.若等比数列 ? a n ? 的首项为 A. 3
x
2

1 9

,且 a 4 ? ? 1 ( 2 x ) d x ,则数列 ? a n ? 的公比是(
2

)

B.
y

1 3
2

C. 27

D.

1 27

6.若双曲线

?

? 1 的渐近线方程为

5 x ? 3 y ? 0 ,则椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的离心率为(

)

9
1 2

m
2 2 5 5

m
5 ?1 2

4

A.

B.

C.

D.

7. 如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,在包围该三棱锥的 外接球内任取一点,则该点落在三棱锥内部的概率为( A.
4 9?

4 4
正视图

)

2
侧视图

B.

2 2 7?

C.

4 2 7?

D.

2 9?

8. 有四个关于三角函数的命题: ① ? x ? R, s in
2

x 2

+ cos

2

x 2

=

1 2

俯视图

视图

第 7 题图

② ? x , y ? R , sin ( x ? y ) ? sin x ? sin y ks5u
C b b ③三角形 A B C 的三个内角 A 、B 、 的对边的长分别为 a 、 、c , a 、 、c 成等差数列, 0 若 则
? B ?

?
3

④ s in x ? c o s y ? x ? y ? 其中假命题的是( ... A. ①④ ) B.②④

?
2

C. ①③

D.②③

9. 如图,已知圆 C 直径的两个端点坐标分别为 A ? ? 9 , 0 ? 、B ? ? 1 , 0 ? ,点 P 为圆 C 上(不同于 A 、B )的 任意一点,连接 AP 、 B P 分别交 y 轴于 M、N 两点,以 MN 为直径的 圆与 x 轴交于 D、F 两点,则弦长 DF 为( A. 7 B. 6 C. 2 7 )

D. 2 6
第 9 题图

10.对于定义域为[0,1]的函数 f ( x ) ,如果同时满足以下三个条件: ① 对 任 意 的 x ? [ 0 ,1] , 总 有 f ( x ) ? 0 ② f (1) ? 1

③ 若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 , 都 有

f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立; 则称函数 f ( x ) 为 ? 函数.

下面有三个命题:(1)若函数 f ( x ) 为 ? 函数,则 f ( 0 ) ? 0 ; (2)函数 f ( x ) ? 2 ? 1( x ? [ 0 ,1]) 是? 函数;
x

(3)若函数 f ( x ) 是 ? 函数,假定存在 x 0 ? [ 0 ,1] ,使得 f ( x 0 ) ? [ 0 ,1] ,且 f [ f ( x 0 )] ? x 0 , 则 f ( x0 ) ? x0 ; 其中真命题个数有 ( ... A. 0 个 ) C. 2 个 D. 3 个

B. 1 个

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. ( x ? 2 ) 的展开式中, x 的系数是_____. (用数字作答)
6

3

12.已知正数 x 、 y 满足 ?

?2 x ? y ? 0 ?x ? 3y ? 5 ? 0

,则 z ? ( ) ? ( ) 的最小值为_____.
x y

1

1

4

2

13. 定义一种运算 S ? a ? b , 在框图所表达的算法中揭示了这种运算 ? ” “ 的含义。 那么, 按照运算 ? ” “ 的含义,计算 tan 1 5 ? tan 3 0 ? tan 3 0 ? tan 1 5 ?
开始
? ? ? ?



y
输 入 a, b
是 否

B

a ? b?

S ? a?b

S ? ab

M N x A

输出S

结束

第 13 题图
?

O第 14 题图
? ?

14.幂函数 y ? x ,当 ? 取不同的正数时,在区间 ?0 ,1 ? 上它们的图像是一族美丽的曲线(如图) .设点
A (1, 0 ), B ( 0 ,1) , 连 接 AB , 线 段 AB 恰好 被 其 中 的 两 个 幂 函 数 y ? x , y ? x

的图像三等分,即有

BM ? MN ? NA . ,那么??=



? ? 15.已知向量 ? 、 、 满足 ? ? 1 , ? ? ? ? ? , ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 。若对每一个确定的 ? , ? 的最

大值为 m ,最小值为 n ,则对任意的 ? , m ? n 的最小值为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩进行统计分析, 两班成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于 90 分为及格.

(Ⅰ)从每班抽取的同学中各抽取一人,求至少有一人及格的概率; (Ⅱ)从甲班 10 人中取一人,乙班 10 人中取两人,三人中及格人数记为 X ,求 X 的分布列和期望. 17. (本小题满分 13 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( ? ? 0 , ? ? 填入的部分数据如下表:
x
?x ? ?
A sin( ? x ? ? )

?
2

) 在某一个周期内的图象时,列表并

x1

1 3

x2
?

7 3

x3
2?

0 0

?
2
3

3? 2

0

?

3

0
y

(Ⅰ)请写出上表的 x 1 、 x 2 、 x 3 ,并直接写出函数的解析式 (Ⅱ)将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移
g ( x ) 的图象, P
2 3

P

个单位得到函数
O x

、 Q 分别为函数 g ( x ) 图象的最高点和

最低点(如图) ,求 ? O Q P 的大小。
Q

18. (本小题满分 13 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB =2, BC = a ,又 PA ⊥平面 ABCD , PA =4. (Ⅰ)线段 BC 上存在点 Q ,使 PQ ⊥ QD ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)线段 BC 上存在唯一点 Q ,使 PQ ⊥ QD 时,求二面角 A ? PD ? Q 的余弦 值。 19. (本小题满分 13 分) D C A Q P

B

平面内动点 P 到点 F ( 0 ,1) 的距离等于它到直线 y ? ? 1 的距离,记点 P 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; ks5u (Ⅱ)△ABC 的三个顶点在曲线 ? 上,记△ABC 的三边 AB、BC、CA 所在的直线的斜率分别为
k AB , k BC , k CA ,若 A 为原点,求 k AB ? k BC ? k CA 的值;ks5u

(Ⅲ)若给出一个以 P ( 2 ,1) 为顶点、其余各顶点均为曲线 ? 上的动点的多边形,请你探究出各多边形各边 所在的直线斜率之间的关系式,并说明理由。 20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? x ?
a x ( a ? 0 ) , g ( x ) ? 2 ln x ? bx ,直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x ) 相切.

(Ⅰ)若对 [1, ?? ) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [ e , 3 ]( e ? 2 .7 1 8 2 8 ? ? ? 是自然对数的底数)内的任意 k 个 实数 x 1 , x 2 , ? , x k 都有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x k ? 1 ) ? 16 g ( x k ) 成立; (Ⅲ)求证: ?
i ?1 n

4i 4i
2

?1

? ln( 2 n ? 1 ) ( n ? N ) .
*

21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按 、 、 所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括 号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2). (Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:2x-y=4,求 l 的方程. (2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin (? ? 为 2 。 (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长。 (3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x ) ? | 2 x ? 1 | ? | x ? 3 | 。 (Ⅰ)解不等式 f ( x ) ? 0 ; (Ⅱ)已知关于 x 的不等式 a ? 3 ? f ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2013 年泉州七中高中毕业班第一次质量检查 理科数学参考答案 一、选择题:BABDA, CCABD 二、填空题: 11. -160 三、解答题: ks5u 16.解: (Ⅰ)甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格.???????2 分 事件“从两班 10 名同学中各抽取一人,至少有一人及格”记作 A , 12.
1 16

?
4

) ?1?

2 ,圆 C 的圆心是 C ( 2 ,

?
4

) ,半径

13. 1

14. 1

15.

1 2

则 P ( A) ? 1 ?

C 6C 5
1

1

1 1

?1?

30 100

?

7 10

??????????????????6 分

C 10C 10

(Ⅱ) X 取值为 0,1,2,3.?????????????????????7 分
P ( X ? 0) ? C6
1 1

?

C5

2

C 10 P ( X ? 2) ? C6
1 1

C 10 ? C5
2 2

2

?

2 15

;
1 1

P ( X ? 1) ? C 5C 5 C 10
2 1

C6
1

1

?

C 5C 5 C 10
2

1

1

?

C4
1 1

1

?

C5
2

2

C 10 ? ? 16 45 ;

C 10 C4
1

C 10 C5
2

2

?

19 45 4 .

;

?

C4
1

P ( X ? 3) ?

?

?

C 10

C 10

C 10

C 10

C 10

45

所以 X 的分布列为
X

0
2 15

1
19 45

2
16 45

3
4 45

P(X )

?????????11 分 所以 E ( X
)? 19 ? 32 ? 12 45 ? 7 5 . ???????????????????????13



17.解:(Ⅰ) x 1 ? ?
所 以 f (x) ?

2 3

, x2 ?
?
2

4 3
x?

, x3 ?
?
3
2 3

10 3

-????????3 分 ????????6 分

3 sin (

)

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图像沿 x 轴向右平移

个单位得到函数 g ( x ) ?

3 s in

?
2

x -????????7 分

因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点, 所以 P (1, 3 ), Q (3, ? 3 ) ????????????????9 分 所以 O P ? 2, P Q ? 4, ????????????????10 分
OQ ? 1 2 ,? c o s ? ? OQ ? PQ ? OP
2 2 2

2O Q ? Q P

?

3 2

???ks5u???12 分

所以 ? ?

?
6

????????????????13 分

法 2: 可 以 得 ? P O x ? 6 0 o , ? P ? 6 0 o , ? Q O x ? 3 0 o 所 以 ? = 3 0 o 法
??? ???? ? QP ?QO ( ? 2 , 2 3 ) ? ( ? 3, 3 ) 3 ? 3:利用数量积公式 c o s ? ? ???? ???? ? 2 4 ? 12 ? 9 ? 3 QP ? QO

,所 以 ? =30o

18.解法 1: (Ⅰ)以

???? ???? ???? ? A D 、A B 、A P

为 x.y.z 轴建立如图的空间直角坐标系,则 B(0,2,0) ,C ????????2 分

(a,2,0) ,D(a,0,0) ,P(0,0,4) ,

设 Q(t,2,0) t ? 0 ) ( ,则 PQ =(t,2,-4) DQ =(t-a,2,0) , .
2 ∵PQ⊥QD,∴ P Q ?D Q ? t ( t ? a ) ? 4 =0.即 t ? a t ? 4 ? 0 .??ks5u???4 分

???? ???? ?

a ? t?

4 t

? 4



.故 a 的取值范围为

? 4, ? ? ? . ?????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a ? 4 时,边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD.此时 Q(2,2,0) ,D(4, 0,0) . 设 ????????7 分 是平面 P Q D 的法向量,

n ? ? x, y, z ?

???? ? n ?D P ? 0 ? ??4 x ? 4 z ? 0 ? ???? ? n ? ? 1,1,1 ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? n ?D Q ? 0 ? 由 ,得 ? .取 z ? 1 ,则 是平面 P Q D 的一个法向量.????10 分 ???? ???? A D ?n 3 c o s ? A D , n ? ? ???? ? ??? ? 3 AD ? n A B ? ? 0, 2, 0 ? 而 是平面 P A D 的一个法向量, ??12 分

∴二面角 A-PD-Q 的余弦值为

3 3

. ????ks5u??????13 分

解法 2: (Ⅰ)如图,连 A Q ,由于 PA⊥平面 ABCD,则由 PQ⊥QD, 必有 A Q ? D Q . P 设 B Q ? t ,则 C Q ? a ? t ,在 R t ? A B Q 中,有 A Q ? 在
R t? C D Q

t ?4
2



中,有

DQ ?
2

?a ? t?
2

2

?4
2



N

A M Q C

B

在 R t ? A D Q 中,有 A Q ? D Q ? A D . 即
t ? 4 ? ?a ? t? ? 4 ? a
2 2 2

, 即 t ? at ? 4 ? 0
2

. ∴

D

a ? t?

4 t

? 4



故 a 的取值范围为

? 4, ? ? ? .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a ? 4 时,边 BC 上存在唯一点 Q(Q 为 BC 边的中点) , 使 PQ⊥QD,过 Q 作 QM∥CD 交 AD 于 M,则 QM⊥AD. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥QM.∴QM⊥平面 PAD. 过 M 作 MN⊥PD 于 N,连结 NQ,则 QN⊥PD. ∴∠MNQ 是二面角 A-PD-Q 的平面角. 在等腰直角三角形 P A D 中,可求得 M N ?
2 ,又 M Q ? 2 ,进而

z P

A Q D x C

B

y

NQ ?

6


MN NQ ? 2 6 ? 3 3

cos ? M N Q ?



.故二面角 A-PD-Q 的余弦值为

3 3



19.解: F : x 2 ? 4 y ????????3 分 (Ⅰ) (Ⅱ)设 B ? x B , y B ? , C ? x C , y C ? .则
k AB ? k BC ? k CA ? yB xB
2

?

y B ? yC x B ? xC
xC
2

?

yC xC

?

xB 4 xB

2

?

x B ? xC
2

4 ? x B ? xC

?

?

?

1 4

4 xC

? x B ? ? x B ? x C ? ? x C ? ? 0 .????????6 分 ? ?

(Ⅲ)① 研究 ? P B C .
k PB ? k BC ? k CP ? yB ? yP xB ? xP
2

?

y B ? yC x B ? xC
2 2

?

yC ? y P xC ? x P

?

xB ? xP
2 2

4 ? xB ? xP
1 4

?

?

x B ? xC
2

4 ? x B ? xC

?

?

xC ? x P 4 ? xC ? x P

?
xP 2 ? 1 .??8 分

?

? ? x B ? x P ? ? ? x B ? xC ? ? ? xC ? x P ? ? ? ? ?

② 研究四边形 P B C D .
k PB ? k BC ? k CD ? k DP ? xB ? xP 4 ? x B ? xC 4 ? xC ? x D 4 ? xD ? xP 4 ? 0 ?????9 分

③ 研究五边形 P B C D E .
k PB ? k BC ? k CD ? k DE ? k EP
? xB ? xP 4 ? x B ? xC 4 ? xC ? x D 4 ? xD ? xE 4 ? xE ? xP 4 ? xP 2 ? 1 .????10 分

④ 研究 n ? 2 k 边形 P1 P2 ? P2 k ? k ? N ? , k ? 2 ? ,其中 P1 ? P .
kP P ? kP
1 2

2 P3

? kP

3 P4

? ? ? ? ? 1?

2 k ?1

kP

2k P 1

?

xP ? xP
1

2

?

xP ? xP
2

3

?

xP ? xP
3

4

4 xP
2 k ?1

4

4

? ? ? ? ? 1?

2 k ?1

xP

2k

? xP 4

1

?

?1 ? ? ? 1 ? 4 ?
1

? ? 0 .???????12 分 ?

⑤ 研究 n ? 2 k ? 1 边形 P1 P2 ? P2 k ?1 ? k ? N ? , k ? 2 ? ,其中 P1 ? P .
kP P ? kP
1 2

2 P3

? kP

3 P4

? ? ? ? ? 1?

2 k ?1?1

kP

2 k ? 1 P1

?

xP ? xP
1

2

?

xP ? xP
2

3

?

xP ? xP
3

4

4

4

4

? ? ? ? ? 1?

2 k ?1?1

xP

2 k ?1

? xP

1

?

xP

4

?1 ? ? ? 1 ? 4 ?
1

2 k ?1?1

? ? 1 .???14 分 ?

注:④⑤可合为研究 n 边形 P1 P2 ? Pn ? k ? N ? , n ? 3 ? ,其中 P1 ? P .
kP P ? kP
1 2

2 P3

? kP

3 P4

? ? ? ? ? 1?
xP ? xP
3

n ?1

kP

nP 1

?

xP ? xP
1

2

?

xP ? xP
2

3

?

4

4

4

4

? ? ? ? ? 1?

n ?1

x Pn ? x P 4

1

?1 ? ? ? 1 ? ? 4 ?
1

xP

n ?1

? ? ?

1 ? ? ? 1? 2

n ?1

.???14 分

20. (Ⅰ) 解: 设点 ( x 0 , y 0 ) 为直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x ) 的切点, 则有 2 ln x 0 ? bx 0 ? 2 x 0 ? 2 . (*)
? g ?( x ) ? 2 x ? b ,?

2 x0

?b ? 2.

(**)

由(*)(**)两式,解得 b ? 0 , g ( x ) ? 2 ln x . 、 由 f ( x ) ? g ( x ) 整理,得
a x ? x ? 2 ln x ,

ks5u………………2 分

? x ? 1 ,? 要使不等式 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,必须 a ? x

2

? 2 x ln x 恒成立.

设 h ( x ) ? x ? 2 x ln x , h ? ( x ) ? 2 x ? 2 (ln x ? x ?
2

1 x

) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 ,

? h ? ?( x ) ? 2 ?

2 x

,? 当 x ? 1 时, h ? ? ( x ) ? 0 ,则 h ? ( x ) 是增函数,

? h ? ( x ) ? h ? (1) ? 0 , h ( x ) 是增函数, h ( x ) ? h (1) ? 1 , a ? 1 .…………………5 分

因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x ?
? f ?( x ) ? 1 ? 1 x
2

………………………………………6 分

1 x


8 3

? 0 ,? f ( x ) 在 [ e , 3 ] 上是增函数, f ( x ) 在 [ e , 3 ] 上的最大值为 f ( 3 ) ?



要对 [ e , 3 ] 内的任意 k 个实数 x 1 , x 2 , ? , x k 都有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x k ? 1 ) ? 16 g ( x k ) 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,
? 当 x 1 ? x 2 ? ? ? x k ? 1 ? 3 时不等式左边取得最大值, x k ? e 时不等式右边取得最小值.
? ( k ? 1) ? 8 3 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 .……………10 分

(Ⅲ)证明(法一) :当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1, ?? ) 时, f ( x ) ? g ( x ) ,

即 ln x ? 令x ?

1 2

(x ?

1 x

). 2k ? 1 2k ? 1 ?

………………………………………………………11 分
1 2k ? 1 2k ? 1 ( ? ), 2 2k ? 1 2k ? 1 4k 4k
2

2k ? 1 2k ? 1

,得 ln

化简得 ln( 2 k ? 1) ? ln( 2 k ? 1) ?
n

?1


n

………………………………13 分
4i 4i ? 1
2

ln( 2 n ? 1) ?

? [ln( 2 i ? 1) ? ln( 2 i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1



………………………14 分

(法二)数学归纳法:当 n ? 1 时,左边=

4 3

,右边= ln 3 ,
1 x ? 2 ln x .

根据(1)的推导有, x ? (1, ?? ) 时, f ( x ) ? g ( x ) ,即 x ? 令 x ? 3 ,得 3 ?
1 3 ? 2 ln 3 ,即 4 3 ? ln 3 .

因此, n ? 1 时不等式成立. (另解:? e ?
5 2

………………………………11 分
5
4

,? e ? ( ) ?
4

625 16

? 27 ,? 4 ? ln 27 ,即

4 3

? ln 3 . )

2
k

假设当 n ? k 时不等式成立,即 ?
i ?1

4i 4i ? 1
2

? ln( 2 k ? 1 ) ,

则当 n ? k ? 1 时, ?

k ?1

4i 4i ? 1
2

?

?
i ?1

k

4i 4i ? 1
2

?

4 ( k ? 1) 4 ( k ? 1) ? 1
2

? ln( 2 k ? 1) ?

4 ( k ? 1) 4 ( k ? 1) ? 1
2



i ?1

要证 n ? k ? 1 时命题成立,即证 ln( 2 k ? 1) ?

4 ( k ? 1) 4 ( k ? 1) ? 1
2

? ln( 2 k ? 3 ) ,

即证

4 ( k ? 1) 4 ( k ? 1) ? 1
2

? ln

2k ? 3 2k ? 1


2k ? 3 2k ? 1

在不等式 x ?
2k ? 3 2k ? 1 ?

1 x

? 2 ln x 中,令 x ?

,得

ln

1 2k ? 3 2k ? 1 4 ( k ? 1) ( ? ) ? . 2 2 2k ? 1 2k ? 3 4 ( k ? 1) ? 1

? n ? k ? 1 时命题也成立.

………………………………………13 分
n

根据数学归纳法,可得不等式 ?
i ?1

4i 4i
2

?1

? ln( 2 n ? 1 ) 对一切 n ? N 成立. …14 分
*

21.铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 解:(Ⅰ)设 ?
?a ?c b? ? d?

,则有 ?

?a ?c

b ? ?1 ? ? ? ? d ? ? ? 1?

=?

? ? 1? ? a ? ,? ? ? 1? ? c

b? ??2? ? ? ? d ? ?1 ?

=?

?0 ? ? ??2?

,

所以 ?

?a ? b ? ?1

? ?2 a ? b ? 0, ,且 ? , ?c ? d ? ?1 ??2c ? d ? ?2

?????2 分

?a ? ?b 解得 ? ?c ?d ?

?1 ? 2 ? 3 ? 4
2? ? 4? ?x ? ?x ? 2y ? ? ? ? ? ? ? y ? ?3 x ? 4 y ?

所以 M= ?

?1 ?3

2? ? 4?

??????4 分

(Ⅱ)因为 ?

? x ? ? ?1 ? ? ? ? y ?? ?3

且 m:2 x ? ?

y? ? 4



????5 分 ???7 分

所以 2(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+4 =0,这就是直线 l 的方程 (2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 解: (Ⅰ)圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 sin( ? ?
?
4 )

···3 分 ··· ··· ···· 7 分 ···· ···

(Ⅱ)圆心到直线距离为 1 ,圆半径为 2 ,所以弦长为 2 (3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ) f ( x ) ? 0 的解集为: ( ?? , ? 4 ) ? ( , ?? )
3 2

···· 3 分 ··· ··· ···· 7 分 ··· ···

(Ⅱ) a ? ?

13 2


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