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2014高考数学一轮复习:1集合与常用逻辑用语


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2014 高考数学一轮复习 1 集合与常用逻辑用语
考试内容: 集合、子集、补集、交集、并集. 逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件. 考试要求: 榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解空

集和全集的意义;了解属于、包含、 相等关系的意义;掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系;掌握充分条 件、必要条件及充要条件的意义. 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:
?1.集合的有关概念 ? 集合 ?2.集合间的包含关系 ?3.集合间的运算 ? ?1.简单命题与复合命题 ? 常用逻辑用语 ?2.命题的四种形式 ?3.充要关系 ?

二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为 A ? A ; ②空集是任何集合的子集, 记为 ? ? A ;③空集是任何非空集合的真子集; 如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B.
A ? B,B ? C,那么A ? C .

如果

[注]:①Z= {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集, 则集合 A 也是有限集. (×) (例: S=N; A= N ? , 则 Cs A ? {0} ) ③ 空集的补集是全集. ④若集合 A=集合 B,则 CBA = ? , CAB = ? CS(CAB) D = ( 注 : AB = ? ) C .

3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R

? 二、四象限的点集.

③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集.
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[注]:①对方程组解的集合应是点集.例: ? ?2 x ? 3 y ? 1 ②点集与数集的交集是 ? . (例:A ={(x,y)| y =x+1} 4. ①n 个元素的子集有 2n 个. ②n 个元素的真子集有 2n -1 个. ③n 个元素的非空真子集有 2n-2 个. 5.集合运算:交、并、补.

?x ? y ? 3

解的集合{(2,1)}. B={y|y =x2+1} 则 A∩B = ? )

交:A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} 并:A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 补:C U A ? {x ?U , 且x ? A}
6.主要性质和运算律 (1) 包含关系:
A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C; A ? B ? A, A ? B ? B; A ? B ? A, A ? B ? B.

(2) 等价关系: A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B ? C U A ? B ? U (3) 集合的运算律: 交换律: A ? B ? B ? A; A ? B ? B ? A. 结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) 分配律:. A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) 0-1 律: ? ? A ? ?, ? ? A ? A,U ? A ? A,U ? A ? U 等幂律: A ? A ? A, A ? A ? A. 求补律:A∩CUA=φ A∪CUA=U ? UU=φ ? Uφ =U C C 反演律:CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB) 7.有限集的元素个数 定义:有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数,记为 card( A)规定 card(φ ) =0. 基本公式:

(1)card ( A ? B) ? card ( A) ? card ( B) ? card ( A ? B) (2)card ( A ? B ? C ) ? card ( A) ? card ( B) ? card (C ) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C )
(3) card(?A)= card(U)- card(A) U 【基础练习】

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1.集合 {( x, y) 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, x, y ? Z} 用列举法表示 2.设集合 A ? {x x ? 2k ?1, k ? Z} , B ? {x x ? 2k , k ? Z} ,则 A ? B ?

. .

3.已知集合 M ? {0,1, 2} , N ? {x x ? 2a, a ? M } ,则集合 M ? N ? _______. 4.设全集 I ? {1,3,5,7,9} ,集合 A ? {1, a ? 5 ,9} , CI A ? {5,7} ,则实数 a 的值为____ 【范例解析】 例 . 已 知 R 为实数集,集合 A ? {x x 2 ? 3x ? 2 ? 0} .若 B ? C R A ? R , B ? C R A ? {x 0 ? x ? 1 或
2 ? x ? 3} ,求集合 B.

___.

【反馈演练】 1.设集合 A ? ? ,2?, B ? ? ,2,3?, C ? ?2,3,4?,则 ? A ? B ? U C =_________. 1 1 2.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a ? b | a ? P, b ? Q}, 若P ? {0,2,5}, Q ? {1,2,6} ,则

P+Q 中元素的个数是____ ___个.
3.设集合 P ? {x x 2 ? x ? 6 ? 0} , Q ? {x 2a ? x ? a ? 3} . (1)若 P ? Q ? P ,求实数 a 的取值范围;

(2)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围;

(3)若 P ? Q ? {x 0 ? x ? 3},求实数 a 的值.

(3)由 P ? Q ? {x 0 ? x ? 3},则 a ? 0 .

(二)简易逻辑 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。
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2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由 简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式: 或 q(记作 p “p∨q” ); 且 q(记作 p “p∧q” ); p(记作 非 “┑q” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 互 逆 原命题 逆命题 (1)“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反; 若 p则 q 若 q则 p 互 (2)“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真, 否 为 逆 互 其他情况时为假; 互 否 否 逆 (3)“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假, 为 否 其他情况时为真. 互 4、四种命题的形式: 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q;逆否命题:若┑q 则┑p。 (1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题; (2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题; (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题. 5、四种命题之间的相互关系: 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题 ? 逆否命题) ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. 例:①若 a ? b ? 5,则a ? 2或b ? 3 应是真命题. 解:逆否:a = 2 且 b = 3,则 a+b = 5,成立,所以此命题为真. ② x ? 1且y ? 2,
x ? y ? 3.
否命题 若 ┐p则 ┐q 互 逆 逆否命题 若 ┐q则 ┐p

解:逆否:x + y =3
? x ? 1且y ? 2

x = 1 或 y = 2.

x ? y ? 3 ,故 x ? y ? 3 是 x ? 1且y ? 2 的既不是充分,又不是必要条件.

⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 例:若 x ? 5, x ? 5或x ? 2 . ? 6、如果已知 p ? q 那么我们说,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。 若 p ? q 且 q ? p,则称 p 是 q 的充要条件,记为 p?q. 7、反证法:从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理?)矛盾,从而否定假 设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。 【基础练习】 1.下列语句中:① x2 ? 3 ? 0 ;②你是高三的学生吗?③ 3 ? 1 ? 5 ;④ 5 x ? 3 ? 6 . 其中,不是命题的有 . 2.一般地若用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,则它的逆命题可表示为若 ,否命 题可表示为 ,逆否命题可表示为 ;原命题与 互为逆否命题,否命题
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互为逆否命题.

【范例解析】 例1. 写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题并判断真假. (1) 平行四边形的对边相等; (2) 菱形的对角线互相垂直平分; (3) 设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d . 例 2.写出由下列各组命题构成的“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的命题,并判断真假. (1)p:2 是 4 的约数,q:2 是 6 的约数; (2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分; (3)p:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同,q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的绝对值相等. 例 3.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除; (2)p:每一个非负数的平方都是正数; (3)p:存在一个三角形,它的内角和大于 180°; (4)p:有的四边形没有外接圆; (5)p:某些梯形的对角线互相平分. 【反馈演练】 1.命题“若 a ? M ,则 b ? M ”的逆否命题是__________________. 2.已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1,则 ?p : . .

3.若命题 m 的否命题 n,命题 n 的逆命题 p,则 p 是 m 的

4.命题“若 a ? b ,则 2 a ? 2 b ? 1 ”的否命题为________________________. 5.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假. (1)设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; (2)设 a, b ? R ,若 a ? 0, b ? 0 ,则 ab ? 0 . 答案 集合

【基础练习】
{0, 2}
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1. {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)} . 【范例解析】

2. ? .

3.

4.8 或 2

例.解:(1)? A ? {x 1 ? x ? 2} ,?CR A ? {x x ? 1 或 x ? 2} .又 B ? C R A ? R , A ? C R A ? R , 可得 A ? B .而 B ? C R A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ,? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ? B. 借助数轴可得
B ? A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ? {x 0 ? x ? 3}.

【反馈演练】 1.{1,2,3,4}

2.8

3.解: (1)由题意知:P ? {x ?2 ? x ? 3} , P ? Q ? P ,? Q ? P .①当 Q ? ? 时,得 2a ? a ? 3 , ? 解得 a ? 3 .②当 Q ? ? 时,得 ?2 ? 2a ? a ? 3 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 0 .综上, a ? (?1, 0) ? (3, ??) .

?2a ? a ? 3, (2)①当 Q ? ? 时,得 2a ? a ? 3 ,解得 a ? 3 ;②当 Q ? ? 时,得 ? ,解得 ?a ? 3 ? ? 2或 2a ? 3
3 3 a ? ?5或 ? a ? 3 .综上, a ? (??, ?5] ? [ , ??) .(3)由 P ? Q ? {x 0 ? x ? 3},则 a ? 0 . 2 2 常用逻辑用语 【基础练习】

1.①②④

2.若 q 则 p , 若?p则?q , 若?q则?p ,逆否命题,逆命题

【范例解析】 例 1.解:(1)原命题:若一个四边形是平行四边形,则其两组对边相等;真命题; 逆命题:若一个四边形的两组对边相等,则这个四边形是平行四边形;真命题; 否命题:若一个四边形不是平行四边形,则其两组对边至少一组不相等;真命题; 逆否命题:若一个四边形的两组对边至少一组不相等,则这个四边形不是平行四边形;真命题. (2)原命题:若一个四边形是菱形,则其对角线互相垂直平分;真命题; 逆命题:若一个四边形的对角线互相垂直平分,则这个四边形是菱形;真命题; 否命题:若一个四边形不是菱形,则其对角线不垂直或不平分;真命题; 逆否命题:若一个四边形的对角线不垂直或不平分,则这个四边形不是菱形;真命题.
d (3)原命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b ,c ? ,则 a ? c ? b ? d ;真命题;逆命题:设 a, b, c, d ? R ,

若 a ? c ? b ? d , a ? , d? 则 bc

d ; 假命题; 否命题: a, b, c, d ? R , a ? b 或 c ? d , a ? ?b ? 设 若 则 c



假命题;逆否命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b 或 c ? d ;真命题. 点评:已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式,找出其条件 p 和结论 q,再根据四种命题的定义写出其它命题;对于含大前提的命题,在改写命题时大前提 不要动;在写命题 p 的否定即 ?p 时,要注意对 p 中的关键词的否定,如“且”的否定为“或”, “或”的否定为“且”,“都是”的否定为“不都是”等. 例 2. 解:(1)p 或 q:2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数,真命题; p 且 q:2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数,真命题;
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非 p:2 不是 4 的约数,假命题. (2)p 或 q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题; p 且 q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题; 非 p:矩形的对角线不相等,假命题. (3)p 或 q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同或绝对值相等,假命题;

p 且 q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同且绝对值相等,假命题;
非 p:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号不同,真命题. 点评:判断含有逻辑联结词“或”,“且”,“非”的命题的真假,先要把结构弄清楚,确定 命题构成的形式以及构成它们的命题 p,q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假. 例 3. 解:(1) ?p :存在末位数字是 0 或 5 的整数,但它不能被 5 整除,假命题;

(2) ?p :存在一个非负数的平方不是正数,真命题; (3) ?p :任意一个三角形,它的内角和都不大于 180°,真命题; (4) ?p :所有四边形都有外接圆,假命题; (5) ?p :任一梯形的对角线都不互相平分,真命题.

点评:一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下:
正面词语 否定词语 正面词语 否定词语 等于 不等于 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有一个 一个也没有 小于 不小于 任意的 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 ? ?

【反馈演练】 1. 若 b ? M ,则 a ? M 2. ?x ? R,sin x ? 1. 3.逆否命题 4.若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1

5.解: (1)逆命题:设 a, b ? R ,若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 ab ? 0 ;真命题; 否命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ;真命题; 逆否命题:设 a, b ? R ,若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 ;真命题; (2)逆命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0, b ? 0 ;假命题; 否命题:设 a, b ? R ,若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 ab ? 0 ;假命题; 逆否命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;真命题.

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