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【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测8 指数与指数函数]


课时限时检测(八)
命题报告 考查知识点及角度 指数幂的运算 指数函数的图象 指数函数的性质 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 基础 1,7,10 2,3

指数与指数函数

(时间:60 分钟 满分:80 分) 题号及难度 中档 4 5,6 8,9,11 aπ 的值为( 6 )

稍难

r />
12

1.若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan A.0 B.

3 C.1 D. 3 3 【解析】 由题意得 3a=9,∴a=2, aπ π ∴tan =tan = 3. 6 3 【答案】 D 1?2.5 2.设 a=22.5,b=2.50,c=? ?2? ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c 1 - 2.5 ?2.5 【解析】 b=2.50=1,c=? ?2? =2 , - 则 2 2.5<1<22.5,即 c<b<a. 【答案】 C 1? 2 3.函数 y=? ) ?2?2x-x 的值域为( 1 1? ? A.? B.? ?2,+∞? ?-∞,2? 1? C.? D.(0,2] ?0,2? 【解析】 ∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1?t 又 y=? ?2? 在 R 上为减函数, 1? 1 2 ?1?1 ∴y=? ?2?2x-x ≥?2? =2, 1 ? 即值域为? ?2,+∞?. 【答案】 A

)

4.(2014· 临沂模拟)若函数 y=ax+b 的图象如图 2-5-1,则函数 y= 象为( )

1 +b+1 的图 x+a

图 2-5-1

【解析】 由图可知 0<a<1,-2<b<-1. 1 1 又函数 y= +b+1 的图象是由 y= 向左平移 a 个单位,向下平移|b+1|单位而得到 x x +a 的.结合四个选项可知 C 正确. 【答案】 C 1 5.(2014· 济南模拟)若函数 f(x)=?a+ex-1?cos x 是奇函数,则常数 a 的值等于( ) ? ? 1 1 A.-1 B.1 C.- D. 2 2 1 【解析】 设 g(x)=a+ x ,t(x)=cos x, e -1 1 1 ∵t(x)=cos x 为偶函数, 而 f(x)=?a+ex-1?cos x 为奇函数, ∴g(x)=a+ x 为奇函数. ? ? e -1 1 ex 又∵g(-x)=a+ -x =a+ , e -1 1-ex x 1 ? e 1 ? ∴a+ x=- a+ x ? e -1?对定义域内的一切实数都成立,解得:a=2. 1-e 【答案】 D 6.(2013· 课标全国卷Ⅱ)若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 1 x 【解析】 ∵2 (x-a)<1,∴a>x- x. 2 1 - 令 f(x)=x- x,∴f′(x)=1+2 xln 2>0. 2 ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)>f(0)=0-1=-1, ∴a 的取值范围为(-1,+∞),故选 D. 【答案】 D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) f?x+2?,x<2 ? ? 7 . (2014· 珠 海 一 中 等 六 校 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) = ??1?x 则 f( - 3) 的 值 为 , x > 2 ? ??2? ________. 【解析】 ∵f(-3)=f(-3+2)=f(1),f(1)=f(1+2)=f(3), 1?3 1 f(3)=? ?2? =8, 1 ∴f(-3)= . 8 1 【答案】 8 8.(2012· 山东高考)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m, 且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=________. 1 - 【解析】 若 a>1,有 a2=4,a 1=m,此时 a=2,m= ,此时 g(x)=- x为减函数, 2

1 1 - 不合题意.若 0<a<1,有 a 1=4,a2=m,故 a= ,m= ,检验知符合题意. 4 16 1 【答案】 4 1 9.已知 0≤x≤2,则 y=4x- -3· 2x+5 的最大值为________. 2 【解析】 令 t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4, 1 1 1 - 又 y=22x 1-3· 2x+5,∴y= t2-3t+5= (t-3)2+ , 2 2 2 ∵1≤t≤4, 5 ∴t=1 时,ymax= . 2 5 【答案】 2 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)(1)计算: 1 ??33?-2-?54?0.5+?0.008?-2÷ ?0.02?- × 3 2 ?? 8? 3 ? 9? 1 0.25 ?0.32? ?÷ 2? 0.062 5 ; 4 1 3 a -8a b ? 3 ? 3 3 a· a2 (2)化简: ÷ ?a-2-2 b?× 2 2 ? 3 3 a ? 5 4b +2 ab+a 3 3 3 a· a (式中字母都是正数). 【解】 (1)原式 8 2 49 1 1 000?2 4 2? =?? ? -? ? +? ??27?3 ? 9 ?2 ? 8 ?3÷ 50× 10 ? ? 625 ?1 ÷ ?10 000?4 1 4 2? 1 ?4 7 × =?9-3+25× ?÷ 5 2 10 ? 2 ? 17 ? 2 =? ?- 9 +2?×2=9. 1 ? 1?3 ? 1?3? 1 1 ? 2?1 a - 2b a· a a ? a -2b 3?? 3? ? 3? ? 3 3 ? 3?2 (2)原式= ÷ × a 1?1 ?a1?2+a1· ?2b1?+?2b1?2 ?a1· ? 3? ? 2 a3?5 3 ? 3? ? 3? 5 a 6 1? 1? 1 a =a ?a3-2b3?× × 3 1 1 1 a -2b a 3 3 6 1 2 =a ×a×a =a2. 3 3 11.(12 分)(2014· 安徽省涡阳四中月考)已知函数 f(x)=2a· 4x-2x-1. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在 x∈[-3,0]的值域; (2)若关于 x 的方程 f(x)=0 有解,求 a 的取值范围. 【解】 (1)当 a=1 时,f(x)=2· 4x-2x-1=2(2x)2-2x-1, 1 ? 令 t=2x,x∈[-3,0],则 t∈? ?8,1?. 1?2 9 ?1 ? ? 9 ? 故 y=2t2-t-1=2? ?t-4? -8,t∈?8,1?,故值域为?-8,0?

(2)关于 x 的方程 2a(2x)2-2x-1=0 有解,等价于 方程 2ax2-x-1=0 在(0,+∞)上有解. 解法一:记 g(x)=2ax2-x-1, 当 a=0 时,解为 x=-1<0,不成立. 1 当 a<0 时,开口向下,对称轴 x= <0,过点(0,-1),不成立. 4a 1 当 a>0 时,开口向上,对称轴 x= >0,过点(0,-1),必有一个根为正, 4a 所以,a>0. x+1 1 1 1?2 1 + - , 解法二:方程 2ax2-x-1=0 可化为 a= 2 = ? 2x 2?x 2? 8 1 1 1?2 1 + - 在(0,+∞)上的值域 ∴a 的范围即为函数 g(x)= ? 2? x 2? 8 所以,a>0. - 12. (13 分)(2014· 吉林模拟)设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数; 2 (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x +2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2 【解】 ∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,∴k-1=0,∴k=1. 1 (1)∵f(1)>0,∴a- >0,又 a>0 且 a≠1, a - ∴a>1,f(x)=ax-a x, - 而当 a>1 时,y=ax 和 y=-a x 在 R 上均为增函数, ∴f(x)在 R 上为增函数, 原不等式化为:f(x2+2x)>f(4-x), ∴x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0, ∴x>1 或 x<-4, ∴不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}. 3 1 3 (2)∵f(1)= ,∴a- = , 2 a 2 1 即 2a2-3a-2=0,∴a=2 或 a=- (舍去), 2 -2x -x 2x x ∴g(x)=2 +2 -4(2 -2 ) - - =(2x-2 x)2-4(2x-2 x)+2. -x x 令 t=2 -2 (x≥1), 3 则 t=h(x)在[ 1,+∞)上为增函数(由(1)可知),即 h(x)≥h(1)= . 2 ∴g(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2, ∴当 t=2 时,g(x)min=-2, 此时 x=log2(1+ 2), 当 x=log2(1+ 2)时,g(x)有最小值-2.


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