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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:1.6 二次函数与幂函数]


1.6 二次函数与幂函数

一、选择题 1. 已知二次函数 y=x2-2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数, 则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤2 或 a≥3 B.2≤a≤3 C.a≤-3 或 a≥-2 D.-3≤a≤-2 解析: 由 y=(x-a)2+(1-a2)在区间(2,3)内是单调函数得对称轴在区间(2,3)之外, 即 a≤2 或 a≥3,选

A. 答案:A
1 1

1

2.(2014· 黄冈质检)设 y1=0.4 3 ,y2=0.5 3 ,y3=0.5 4 ,则( A.y3<y2<y1 B.y1<y2<y3 C.y2<y3<y1 D.y1<y3<y2
1 3 1 3 1 3

)

解析:幂函数 y=x 是定义域上的单调递增函数,所以 0.4 <0.5 ,指数函数 y=0.5x 是定义域上的单调递减函数,所以 0.5 <0.5 ,故 y1<y2<y3. 答案:B 3.下图给出四个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是(
1 4

1 3

)

1

1
-1

A.①y=x 3 ,②y=x2,③y=x 2 ,④y=x
1

B.①y=x3,②y=x2,③y=x 2 ,④y=x
1

-1

C.①y=x2,②y=x3,③y=x 2 ,④y=x
1

-1

1 - D.①y=x 3 ,②y=x ,③y=x2,④y=x 1 2 解析:注意到函数 y=x2≥0,且该函数是偶函数,其图象关于 y 轴对称,结合选项知,
1

该函数图象应与②对应;y=x 2 = x的定义域、值域都是[0,+∞),结合选项知,该函数 1 - 图象应与③对应;y=x 1= ,结合选项知,其图象应与④对应.综上所述,选 B. x 答案:B 4.设 b>0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为下列之一,则 a 的值为( )

A.1 B.-1 -1- 5 -1+ 5 C. D. 2 2 解析:∵b>0,∴图象①②不可能, 又∵③④过原点.∴f(0)=0,即 a2-1=0,a=± 1, b 又 b>0,如 a=1,- <0 与③④图形矛盾. 2a

∴a=-1. 答案:B 5.(2014· 长春月考)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,如果 f(x1)=f(x2)(x2≠x1),则 f(x1+x2) 等于( ) b b A.- B.- 2a a 4ac-b2 C.c D. 4a b b b2 b - ?=a·2-b·+c=c. 解析:由题意可得 x1+x2=- ,所以 f? ? a? a a a 答案:C 6. (2014· 山西月考)已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b), 并且 α, β 是方程 f(x)=0 的两根(α <β),则实数 a,b,α、β 的大小关系是( ) A.α<a<b<β B.a<α<β<b C.a<α<b<β D.α<a<β<b 解析:由题意得 a、b 是 g(x)=(x-a)(x-b)=0 的两个根,当 α,β 是方程 f(x)=0 的两 根(α<β)时,α、β 相当于直线 y=2 与 y=g(x)的交点的横坐标,由于函数 g(x)=(x-a)(x-b) 的图象是开口向上的抛物线,故必在 α<a<b<β. 答案: A 二、填空题 7. (2014· 青岛模拟)已知函数 f(x)=x , 且 f(2x-1)<f(3x), 则 x 的取值范围是__________. 1 解析:f(x)=x 在[0,+∞)上为增函数,f(2x-1)<f(3x),则 0≤2x-1<3x,∴x≥ . 2 1 答案:x≥ 2 8.若(a+1)
? 1 2 1 2

1 2

<(3-2a)
1 ? 2

?

1 2

,则 a 的取值范围是______________.

解析:∵函数 y=x

在定义域(0,+∞)上递减,

a+1>0, ? ? 2 3 ∴?3-2a>0, 即 <a< . 3 2 ? ?a+1>3-2a, 2 3? 答案:? ?3,2? 9.已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0,则 m 的 取值范围是__________. 解析: m≥0 时, 不能保证对?x∈R, f(x)<0 或 g(x)<0, 当 m=-1 时, f(x)=-(x+2)2, g(x)=2x-2,画出图象如下图,显然成立.

当-1<m<0 时,2m>-(m+3),由题意知: ? ?-1<m<0, ? 即-1<m<0, ?2m<1, ? 当 m<-1 时,-(m+3)>2m,

? ?m<-1, 则由题意知? ?-?m+3?<1, ? ∴-4<m<-1,综上得-4<m<0. 答案:(-4,0) 三、解答题

π π? 10.已知函数 f(x)=x2+2x· tanθ-1,x∈[-1, 3],其中 θ∈? ?-2,2?. π (1)当 θ=- 时,求函数 f(x)的最大值与最小值; 6 (2)求 θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数. π 解析:(1)当 θ=- 时, 6 2 3 f(x)=x2- x-1 3 4 3 =?x- ?2- , 3? 3 ? x∈[-1, 3], 3 4 ∴x= 时,f(x)的最小值为- . 3 3 2 3 x=-1 时,f(x)的最大值为 . 3 (2)函数 f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ, ∵y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数, ∴-tanθ≤-1 或-tanθ≥ 3, 即 tanθ≥1 或 tanθ≤- 3. π π? ?π π? 因此,θ 的取值范围是? ?-2,-3?∪?4,2?.

11.已知函数 . (1)证明 f(x)满足 f(-x)=-f(x),并求 f(x)的单调区间; (2)分别计算 f(4)-5f(2)g(2)和 f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数 f(x)和 g(x)的对 所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明.

即 f(x)在(0,+∞)上递增. 同理 f(x)在(-∞,0)上也递增. 故 f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增.

(2)f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0, 且 f(x2)-5f(x)g(x)=0. 证明如下:

12. (2014· 银川质检)已知 f(x)是二次函数, 不等式 f(x)<0 的解集是(0,5), 且 f(x)在区间[- 1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在整数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等实数 x 根?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由. 解析:(1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5),∴可设 f(x)=ax(x-5)(a>0). ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a. 由已知,得 6a=12,∴a=2, ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). 37 (2)方程 f(x)+ =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0. x 设 h(x)=2x3-10x2+37,则 h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10). 10? 当 x∈? ?0, 3 ?时,h′(x)<0,h(x)是减函数. 10 ? 当 x∈? ? 3 ,+∞?时,h′(x)>0,h(x)是增函数. 10? 1 ∵h(3)=1>0,h? ? 3 ?=-27<0,h(4)=5>0, 10? ?10 ? ∴方程 h(x)=0 在区间? ?3, 3 ?,? 3 ,4?内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+ ∞)内没有实数根. 37 ∴存在唯一的整数 m=3,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不同 x 的实数根.


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