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什么是数学


什么是数学
我不是在做一件很伟大的事, 我也不希望我可以伟大, 作为一个很平庸的人, 我能做的, 就是把我对数学的感悟和体验写下来,保存下来,仅此而已。 数学不是一个很普通的,很简单的,纯粹的数字运算。数学是什么?我觉得大多数的高 中生以及高中数学老师并不能很好的给出一个答案, 而我也不能。 我只能告诉你一个和其他 人不一样的答案,那就是,数学,不是一门课程,是这个世界。 我上高中的时候经常会遇到一些比较奇怪的题目,这些题目,同学们经常无从下手,或 者循规蹈矩。但是,我天生有一种懒惰性(人类所共有的哈) ,有一种不服输以及渴望能够 创新的心理。于是,我在写题目的时候不会去想这道题目应该答案是什么,我所想的,所思 考的,是这道题,到底在说什么。只有明白了,这道题到底在陈述一个什么事实,我认为, 你才有资格去探究,这道题目应该用什么思路去解答。没有纯粹的题目,只有纯粹的数学。 数学,因为它的纯粹,而优美。 你在探究这道题目的时候, 每个字都是重要的, 因为, 每个字的背后都必然有他的来源, 而这个来源,有的是看出来的,有的是尝试出来的。记住,不要漏掉老师所给你的每一个细 节。我没有办法说,我来把所有的课程都讲一遍,因为,数学具有强大的连续性,每一个知 识点都不是独立存在的,你必须认真去搞懂每一个知识点所应该具有的东西:他是什么,他 的特征是什么。 定义和特征都是对这个物体所做的描述, 只有抓住他真正的内在, 才能明白, 什么是数学。 最后,我们来分析一道数学题,我一直以我对于这道题目的解读为傲: 若 a1 , a2 , a3 ,?, an ? 1 ,求证:

( 1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )? (1 ? an ) ? 2n?1 1 ? a1a2 a3 ? an

首先看到两边都是关于 n 的命题, 自然而然第一种方法就出来了, 数归, 这都是显然的。 但是,如果我们对题目仔细分析,就可以发现,题目告诉我们的 a1 , a2 , a3 ,?, an ? 1 显然是 在暗示我们,如果 a1 , a2 , a3 ,?, an 全部为 1 就会有奇妙的事情发生。我们来尝试一下。 补充一点,对于多元函数,我们的表示方法很简单 f (a1 , a2 , a3 ?) . 令 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1 , 则 f (a1 , a2 , a3 ?, an ) ? 2n?1 ! 这是一个两人着迷的结论, 所以,我们从这个结论下手,就会有很不错的路径来解答这道题目,而这,恰恰是为了避免 数归冗长呆板过程的好方法。 当然,只有一个结论显然不足以让我们完美解答这道题目。因为 f (a1 , a2 , a3 ?, an ) 毕 竟是一个 n 元函数啊,我们最喜欢的是一元函数,对一元函数求范围,是对我们数学能力的 基本要求呢,所以,我们对 f (a1 , a2 , a3 ?, an ) 进行一个小小的处理。我们构造这样一个函 数:g ( x) ?

( 1 ? x)(1 ? b1 )(1 ? b2 )(1 ? b3 )? (1 ? bn?1 ) , 其中 b1 , b2 , b3 ,?, bn?1 ? 1且均为常量。 1 ? xb1b2b3 ?bn?1

一个函数摆在面前, 我们当然首先想到求导, 因为, 求导, 可以帮我们确定函数单调性。

(1 ? b1 )(1 ? b2 )(1 ? b3 )? (1 ? bn ?1 )(1 ? xb1b2b3 ? bn ?1 ) g ?( x) ? (1 ? x)(1 ? b1 )(1 ? b2 )(1 ? b3 )? (1 ? bn ?1 )(b1b2b3 ? bn ?1 ) (1 ? xb1b2b3 ? bn ?1 ) 2

(1 ? b1 )(1 ? b2 )(1 ? b3 )? (1 ? bn ?1 ) (1 ? b1 )(1 ? b2 )(1 ? b3 )? (1 ? bn ?1 )b1b2b3 ? bn ?1 ? x(1 ? b1 )(1 ? b2 )(1 ? b3 )? (1 ? bn ?1 )b1b2b3 ? bn ?1 ? ? x(1 ? b1 )(1 ? b2 )(1 ? b3 )? (1 ? bn ?1 )b1b2b3 ? bn ?1 (1 ? xb1b2b3 ? bn ?1 ) 2 (1 ? b1 )(1 ? b2 )(1 ? b3 )? (1 ? bn ?1 )(1 ? b1b2b3 ? bn ?1 ) (1 ? xb1b2b3 ? bn ?1 ) 2

又?b1 , b2 , b3 ,?, bn?1 ? 1 ,? g ?( x) ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号。? g ( x) 在定义域上 单调递减,? 当 x ? 1 时,均有 g ( x) ? g (1) 。又该式具有普遍性所以我们有一个非常激动人 心的式子 f (a1 , a2 , a3 ?, an ) ? f (1,1,1?,1) ? 2n?1 ,从而命题得证。 再远的终点如果从现在开始都不会太晚,感悟不是一天两天,而是长年累月的沉淀,我 写的不一定是最好的,但是我希望能够对正在读这个的你有所裨益。


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