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3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设


教学设计:

教学题目

§ 3.1.1 直线的倾斜 角与斜率

设 计 者

石阡民族中学 邓新引

知 识 1、理解直线的倾斜角和斜率的概念; 与 2、理解直线倾斜角的唯一性、存在性; 技 3、斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 能 过 程 与 方 教学目标

法 1、 通过直线倾斜角概念的学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示, 情 感 态 度 与 价 值 观 培养学生观察、探索能力、数学语言表达能力、数学交流与评价 能力. 2、通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理 解数形结合的思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形 成严谨的科学态度和求简的数学精神. 3、充分利用倾斜角和斜率是用数与形两方面来刻画直线相对 x 轴倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想。 教 学 难 点 用代数方法 推导斜率的 过程。 经历用代数方法刻画直线斜率的过程, 初步掌握过已知两点的直 线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

教学重点 与难点

1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念; 教 推导并初步掌握过两点的直线斜率公式; 学 2、 重 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形 点 成及公式推导中的作用。

计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学生 教学方法 在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验 公式的推导过程,主动建构自己的认知结构。 教学工具 教学环节 教学内容 计算机多媒体、实物投影仪 师生互动 设计意图

问题 1:对所画图形你知道 多少?

教师出示幻灯片: 画出一条 由学生说 出或经启 直线 学生回答 (不能确定) 这是 发得到 一条由两个点确定的直线, 也是一次函数的图像。

问题 2:能否知道是哪个一 学生回答并求出函数解析 次函数?是否需要什么条 件? 式, 就函数解析式与其图象 (学科介绍:解析几何的创 始人——笛卡尔是 17 世纪 法国伟大的数学家,它是用 代数的方法来研究几何问题 的学科。因此同学们在学习 这门学科的过程中,务必耐 心细致地进行计算,确保运 算的准确。 ) 问题 3:过一点(如点 P)能 确定一条直线的位置吗?还 需要一个什么几何量就可以 确定呢? 的关系教师指出: 直角坐标 系的建立架起了“数”与 “形” 的桥梁。 解析几何这 门学科随之而产生。 (估 学生作图并回答确定直线 位置可有两种方式 (1)已知直线上两点 计不少学 生能意识 到需要有

创设情境 揭示课题

(2)已知直线上一点和直 一个角) 线的倾斜程度

问题 4、角的形成还需一条 线,也就是说要有刻画倾斜 程度的角,就必须还有一条 形成角的参照的直线。在平 面直角坐标系下,以哪条轴 线为基准形成刻画倾斜程度 的角? 问题 5、过点 P 与 x 轴形成

以 x 轴或 y 轴为基准都可 以,习惯上我们用 x 轴。

学生可能 回答 x 轴 或y轴

教师引导学生选取不同的 方向来描述角,并区分

概念形成

L1 与 L2 数学概念在刻画事物时, 讲 45? 角的直线有几条? 揭示 求统一美与简洁美, 如何用 (学生可能答一条或两条, 数学语言准确描述这个角 课题 投影演示结果)如何区分清 呢? 楚这两条直线呢? 1、 倾斜角的定义:在直角 给出定义 学生练习画出过点 P 的各 坐标系下,以 x 轴为基 准,当直线 l 与 x 轴相交 种倾斜角的直线。 时, x 轴正向与直线 l 向 上方向之间所成的角 ? , 叫做直线 l 的倾斜角。

学生容易忽略与 x 轴 平行的直线,补出图 让学生进 入思考 问倾斜角在哪儿?如何规 规定: 当直线 l 与 x 轴平行或 重合时,它的倾斜角为 0 ? 。 因此,直线的倾斜角 ? 的取 值范围是[0 ? ,180 ? ) 这样平面直角坐标系内每一 以上定义了一个从 “形” 的 倾斜角 ? 与它对应,且倾斜 角度用倾斜角刻画平面直 角坐标系内一条直线的倾 程度相同的直线,其倾斜角 斜程度。 相等; 倾斜程度不同的直线, 其倾斜角不相等。 教师提出问题, 学生进入思 旧知识的 考。 回忆 爬坡的体验,对于斜坡的倾 学生会回答如下: 坡角与坡度 斜程度,可以用什么量来反 生活中,我们都有过爬山、 映? 初中对坡度是如何定义的? 巩固旧 知,同化 新知 当坡角 ? 增大时,坡度如何 变化? 当坡角 ? =90 ? 与 0 ? 时, 升高 量、前进量分别是什么?坡 度又分别是什么? 教师继续提出问题, 学生思 考: 当坡角 ? 增大时, 坡度 如何变化? 当坡角 ? =90 ? 与 0 ? 时,升 坡度=升高量/前进量 (即坡角 ? 的正切值) 对于忘记 的知识点 老师要即 时的给出 条直线都有唯一一个确定的 定?

坡角、坡度都能反映倾斜程 高量、 前进量分别是什么? 度,迁移到数学中,坡角相 坡度又分别是什么?

当于直线的倾斜角,而坡度 则对应于直线的“斜率” 。 2、 斜率: 倾斜角不是 90 ? 的 直线,其倾斜角的正切值叫 做这条直线的斜率。即

k ? tan ? (? ? 90 )
?

教师进行简单的推导如下: 转化到其补角 ? 上

问题 6、当 ? 为钝角时,直 线的斜率如何求?

? ? 180? ? ? (? 是钝角) ? k ? tan ? ? tan(180? ? ? ) ? ? tan ?

? ? 180? ? ? (? 是钝角) ? k ? tan ? ? tan(180? ? ? ) ? ? tan ?

让学生能 即时的动 并 给 出 一 个 具 体 的 角 手,跟上 老师的思 让学生来演算: 路

如:倾斜角 ? ? 120 ,
?

则斜率 k ? ? 3
问题 7、当 ? 在[0 ? ,180 ? ) 内变化时,斜率 k 如何变 化?

0? ? ? ? 90? k ?0 逐渐变大

以表格的 形式出 现,便于 学生观察

?=90?
k不存在
90? ? ? ? 180? k ?0 逐渐变小

?=0?
k=0

倾斜角能从形的角度刻画 倾斜程度,而斜率是比值, 刻画直线的倾斜程度,哪个 实质是数值, 它能从数的角 度反映倾斜的程度, 显然用 量更优越呢? 斜率更细致入微些。 问题 8、倾斜角与斜率都能 两点确定一条直线, 可见由 两点也就确定了直线的倾 斜程度,即倾斜角与斜率。 看来, 直线上两点与直线的 斜率有着密不可分的联系。 学生活动: 问题 9、在平面直角坐标系 中,已知直线上两点 P1(x1, y1) 2(x2,y2)且 x1 ? x2, ,P 能否用 P1 、 2 的坐标来表示 P 直线斜率 k? 随意在坐标系下画两点 P1 、P2 及直线 P1 P2,探究 各种图形并尝试推导, 可以 先特殊再一般, 也可先一般 再特殊地去分析。 教师可适 当引导其将斜坡截面图迁 移到坐标系中,类似升高 量, 前进量, 用点的坐标表 示线段长, 并请同学叙述各 尝试推导 深化认识 个图的推导过程与结果。 解: 设直线 P1 P2 倾斜角为 ? ( ? ? 90 ? )当直线 P1 P2 方向向上时, 过点 P1 作 x 轴 的平行线,过点 P2 作 y 轴 的平行线,两线交于点 Q, 则点 Q 为(x2,y1) (1)当 ? 为锐角时,

? ? ?QP P2 , x1 ? x2 , 1
y1 ? y 2 。
在 Rt?P P2 Q 中, 1

y

y

P2(x2,y2)
Q (x2 ,y1 )

P2(x2,y2 ) P1(x 1,y1) α x

tan a = tan QP P2 1 = QP2 PQ 1 = y2 - y1 x2 - x1

α

P1(x1,y1)
O

Q (x2 ,y1 )

x

O

y P1 (x1,y1)
Q (x1 ,y2 ) P2(x2 ,y2)

y P1(x1,y1) P2(x2,y2) α x

α

Q (x1 ,y2 )

O

x

O

(2)当 ? 为钝角时,

思考: 1、 各种一般情形得出的结 论一致吗?与 P1、P2 这两点 坐标顺序有关系吗? 2、 当直线 P1P2 与 x 轴平行或 重合时,上述结论还成立 吗? 3、 斜率公式使用时应注意什 么问题?

? ? 180? ? ?
(设 ?QP P2 = ? ) x1 ? x 2 , , 1

y1 ? y 2
tan ? ? tan(180? ? ? ) ? ? tan ?



Rt?P P2 Q 1





tan? ?

QP2 QP 1

?

y 2 ? y1 y ? y1 ?? 2 x2 ? x1 x2 ? x1

? tan? ?

y 2 ? y1 (学生分 x2 ? x1

组推导) 同理, 当直线 P2P1 方向向上 时,无论 ? 为锐角或钝角, 也有 tan? ?
y2 ? y1 ,即 x2 ? x1

k?
巩固练习:求经过下列两点 直线的斜率,并判断倾斜角 是锐角还是钝角。 (1)A(3,2),B(-4,1) (2)A(3,2),B(4,1) (3)A(3,2),B(3,-1) (4)A(3,2),B(-4,2)

y 2 ? y1 x2 ? x1

此过程让学生独立完成: (1) k
AB

?

1 7

(2) k AB = - 1 (3) 不存在 (4) k
AB

加强理解 记忆:
k? y -y x -x
2 2 1 1

?0

例 1.课本 P85 例 1

例 2. P85 例 2 变式 1:如下图中,
y C B

变式 1.直线的斜率为 k, 倾 ? 3? 斜角为 α , 若 <? < , 4 4 则 k 的范围是( ) A.(-1,1) B.(-∞,-1) ∪ (1, +∞) [-1, C、 1] D. (-∞,-1]∪[1,+∞) 变式 2.设直线的斜率为 k, 倾斜角为 α ,若-1<k<1, α 的 取 值 范 围 ( )
4 , 4 )

x O A

菱 形 O A B C 中 , 则 ?AOC ? 600 , 求菱形各边与 是 深化内涵 拓展提高 变式 2:如图 对角线的倾斜角与斜率.

A. (?

? 3?

? ? ? ? 3? ? B. B. ?0, ? ? ? , ? ? ? 4? ? 4 ? ? ? ? ? ? 3? ? C. ? 0, ? ? ? , ? ? 4? ?2 4 ?

中的直线 l1、l2、l3 的斜率 ? ? ? ? 3? ? 分别为 k1、 2、 3, k k 则有( ) D. ?0, ? ? ? , ? ? ? 4? ? 4 ? A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 练习:P86 练习:1、2,3 同学们这节课有何收获? 1、明确了确定直线位置的几何要素。 反思小结 概括提炼 2、理解了刻画倾斜程度的量(倾斜角与斜率) ,知道了求斜率的两 种方法(定义法、坐标法) 3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的 数学思想

1、倾斜角的定义 范围[0 ? ,180 ? )
?

?

2、直线的斜率 板书设计
k ? tan ? ( ? ? 90? )

? 为钝角时,
k ? tan ? ? tan(180 ? ? ?) ? ? tan ?

学 示 斜 式 形

生 推 率 的

展 导 公 图

必做部分:P89 习题 3.1A 组:3,4,5. 作业 选做部分:P90 习题 3.1B 组:5,6. 1.在下列叙述中: ①一条直线的倾斜角为 α ,则它的斜率为 k=tanα ; ②若直线斜率 k=-1,则它的倾斜角为 135°; ③若 A(1,-3)、B(1,3),则直线 AB 的倾斜角为 90°; ④若直线过点(1,2),且它的倾斜角为 45°,则这直线必过 (3,4)点;

3 ⑤若直线斜率为 ,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点; 4
⑥因为平行于 y 轴的直线的斜率不存在,所以平行于 y 轴的直线 目标检测 的倾斜角不存在; ⑦两直线的斜率相等,它们的倾斜角相等。所有正确命题的序号 是___________. 2.已知直线的倾斜角为 α ,若 sin ? ? ___________。 3.没有斜率的直线一定是( A 过原点的直线 C.垂直于 y 轴的直线 ) B.垂直于 x 轴的直线 D.垂直于坐标轴的直线
3 ,求此直线的斜率 5

标分析:

教学设计分析 (1)<<3.1.1 直线的倾斜角和斜率 >>是高中解析几何的开始内容,是 贯彻和突出数形结合思想的开场白,是学生领会解析几何实质的开 始。初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的.了解研 究数学的基本方法

重难点 分析

练习分析 课后作业

(2)数学问题来于实际,然后又回到实际中去。 .因此数学概念要尽可能 地反映客观实际,但又要便于数学中的计算变形,即定义合情合理原 则和最简原则. (3) 让学生知道牢固的代数知识是解决解析几何问题的先决条件。 (1)一般和特殊的关系:直线的倾斜角是一个角的概念,从角的概 念(始边,顶点,终边)角度来分析倾斜角的形成反映了特殊的来 于一般之中,否则对于倾斜角的概念会感到突然。其次,倾斜角的 定义分直线与 x 轴相交和直线与 x 轴重合或与 x 轴平行两种情况, 较为复杂。仍然需要充分暴露从一般到特殊的复杂的认识过程 。 (2)学概念的逻辑合理化及最简原则:数学中研究角一般都是研究 它的某一个(或几个)三角函数值。充分展示探求倾斜角的过程, 比较倾斜角的几个三角函数值。从而遵循以上两个原则,改变知识 的灌入式为知识的自然生长。 过程分析:采用了 创设情景—设问— 探求—归纳——及时练习— —综合提高,最后学生小结。充分发挥学生学习的积极性和主动性, 教师成为学习的组织者。学生自己思考得出结论。培养他们的主体 意识和探索精神,理论联系实际的能力。及时练习能使新知识牢固 掌握,提高学习效率。综合提高能发展学生的创新能力。 注意当堂基本要求的落实巩固, 注意与其他基础知识点间的联系 (如 三角形的角的有关性质) 。并指导学生课后的复习的方向(如正切函 数的图象和性质等) (类似于练习) :按照教材的要求布置。


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