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湖北省枣阳市第一中学2016届高三下学期3月月考数学(理科)试题 Word版含答案


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湖北省枣阳市第一中学 2015-2016 学年度下学期高三年级 3 月月 考数学(理科)试题
本试卷两大题 22 个小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 ★ 祝考试顺利 ★

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知向量 a ? ?

2m,1? ,向量 b ? ?1, ?8? ,若 a ? b ,则实数 m 的值是( A. ?4 B. 4
5 2

?

?

?

?

) D.

C. )

4 3

1 4

2. ( x2 ? x ? y)5 展开式中 x y 系数为( A.10 B.20
2

C.30

D.60

3.直线 y ? x ? 1 与抛物线 y ? 2 x 相交于 P、Q 两点,抛物线上一点 M 与 P、Q 构成 ? MPQ

的面积为 A、1

3 3 ,这样的点 M 有且只有( 2
B、2

)个 C、3 D、4 )

2 4.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 =(

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

5.若 O 是 ?ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 4OA ? OB ? OC ? 0 ,那么( ) A. AO ? OD

?

????

????

B. AO ? 2OD

????

????

C. AO ? 3OD )

????

????

D. 2 AO ? OD

????

????

6.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,圆锥的体积为( A.

3 ? R3 3

B.

3 ? R3 6

C.

3 ? R3 24

3 D. ? R

1 6

7.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f (x) ? 2 x ? 4 的 解集为( A. (?1,1) ) B. (?1, ??) C. (??, ?1) D. (??, ??) )

8.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 满足 f ( x) ? f (a) 对 x ? R 恒成立,则函数( A. f ( x ? a) 一定为奇函数 B. f ( x ? a) 一定为偶函数

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C. f ( x ? a) 一定为奇函数 D. f ( x ? a) 一定为偶函数 )

9.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为-4 时,则输入的 S0 的值为(

A.7

B.8
x

C.9
2

D.10

10.已知函数 f ? x ? ? e ?1, g ? x ? ? ?x ? 4x ? 3 ,若存在 f ? a ? ? g ?b? ,则实数 b 的取值 范围为() A. ?1,3? C. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ? B. ?1,3?

?

?

D. 2 ? 2, 2 ? 2

?

?

11.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PQ 中点的横坐标为 3,|PQ|=10,则抛物线方程是 2 2 2 2 (A)y =4x (B) y =2x (C) y =8x (D)y =6x π 12.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f( +x)=-f(x),且 f(-x)=f(x),则 f(x)可以是 3 ( ) B.f(x)=2sin3x 1 C.f(x)=2cos x 3 D.f(x)=2cos3x 1 A.f(x)=2sin x 3

2

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.函数 y ? x ? 2cos x ? 3 在区间 ?0,

? ?? 上的最大值是 ? 2? ?



.

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14.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1;
2 ③某项测量结果 ? 服从正太态布 N 1, ? , P ?? ? 5 ? ? 0.81 ,则 P ?? ? ?3? ? 0.19 ;

?

?

④对于两个分类变量 X 和 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说, k 越小,判断“ X 与 Y 有关 系”的把握程度越大. 以上命题中其中真命题的个数为 . .

2

15.已知 a ? b ? c ? 0 ,且 a 与 c 的夹角为 60 ? , b ? 3 a ,则 cos? a, b? 等于

16. 某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良, 现决定优选加工温度, 试验范围定为 60~ 81℃, 精确度要求±1℃。 现在技术员准备用分数法进行优选, 则最多需要经过 次 试验才能找到最佳温度。 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? log3 ( x ?1) 的定义域为 A,函数 g ( x) ? 2 ? log2 x (Ⅰ)求 A、B; (Ⅱ)求设 A ? B ? U ,求 CU ( A ? B) . 18. (本题 12 分)已知直线 l 经过两点 (2,1) , (6,3) . (1)求直线 l 的方程; (2)圆 C 的圆心在直线 l 上,并且与 x 轴相切于 (2, 0) 点,求圆 C 的方程.
( x ? 1) 的值域为 B。

3 19. (本题满分 8 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b=1,c= 2 .
(Ⅰ)求角 C 的取值范围; (Ⅱ)求 4sinCcos(C )的最小值.

20. (本题 12 分)已知矩阵 A ? ? ?
-1

? 1 4? ? ? ? 2 3?

(1)求 A 的逆矩阵 A ; (2)求 A 的特征值及对应的特征向量。 2 2 21. (本题满分 12 分) 设 p: 实数 x 满足 x -5ax+4a <0 (其中 a>0) , q: 实数 x 满足 2<x≤5 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?q 是 ?p 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 14 分)对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,若同时满足下列条件:① f ( x) 在 D 内单调递增或单调递减;②存在区间 [a, b] ? D ,使 f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [a, b] ;

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那么把 y ? f ( x) ( x ? D )叫闭函数,且条件②中的区间 [a, b] 为 f ( x) 的一个“好区间”. (1)求闭函数 y ? ? x3 的“好区间”; (2)若 [1,16] 为闭函数 f ( x) ? m x ? n log2 x 的“好区间”,求 m 、 n 的值; (3)判断函数 y ? k ? x ? 1 是否为闭函数?若是闭函数,求实数 k 的取值范围.

参考答案 1.B 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 向 量 a ? ? 2m,1? , 向 量 b ? ?1, ?8? , 且 a ? b , 所 以 ,

?

?

?

?

a ? b ? 2m ? 8 ? 0, m ? 4, 故选 B .
考点:平面向量的数量积. 2.C 【解析】 试题分析: : ( x2 ? x ? y)5 的展开式的通项为 Tr ?1 ? C5 x ? x
r 2

?

?

5? r

yr ,

令 r=2,则 x ? x 的通项为 C3 x
2 k

?

?

3

? ?

2 3? k

x k ? C3k x 6?k ,

令 6-k=5,则 k=1,
2 1 ∴ ( x ? x ? y) 的展开式中, x y 的系数为 C5 C3 ? 30

2

5

5

2

考点:二项式定理 3.C 【解析】 4.B 【解析】
2 2 2 试题分析:? a 3 · a 9 =2 a5 ? a6 ? 2a5 ?q ?

2 ? a2 ? 1? a1 ?

2 2

考点:等比数列通向公式及性质 5.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 可 得 OB ? OC ? 2OD . 所 以

??? ? ??? ?

????

??? ? ???? ? ??? ? ???? ???? ???? ? 4OA ? OB ? OC ? 0 ? 2OA ? OD ? 0 .即 ?2OA ? OD ,所以 2 AO ? OD .故 D 正确.
考点:向量加法的平行四边形法则. 6.C 【解析】

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试题分析:根据题意可知,所卷成的圆锥底面圆的半径为

R ,由勾股定理,可知,圆锥的 2

高h =

3R 1 R 3R ,所以圆锥的体积为 V = 鬃 p ( )2 ? 2 3 2 2

3 p R3 ,故选 C. 24

考点:圆锥的体积. 7.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 f ( x) ? 2 x ? 4 ? f ( x) ? 2 x ? 4 ? 0 , 设 F ( x)?

f ( x? )

2? x , 4则

f ?( x) ? 2 ,所以 F ?( x) ? 0 在 R 上恒成立,所以 F ( x) 在 R 上单调 F ?( x)? ?f ( ? x) ,因为 2
递增,而 F (?1) ? f (?1) ? 2 ? (?1) ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 0 ,故不等式 f ( x) ? 2 x ? 4 ? 0 等价于

F ( x) ? F (?1) ,所以 x ? ?1 ,选 B.
考点:函数的单调性与导数. 8.D 【解析】本题主要考查的是三角函数的图像与性质。由条件可知 f ?a ? ? 1 ,即 x ? a是f ?x ? 的一条对称轴。 又 y ? f ?x ? a ? 是由 y ? f ?x ? 向左平移 a 个单位得到的, 所以 y ? f ?x ? a ? 关于 x ? 0 对称,即 y ? f ?x ? a ? 为偶函数。应选 D。 9.D 【解析】 试题分析:根据程序框图知,当 i ? 4 时,输出 S.第 1 次循环得到 S ? S0 ? 2, i ? 2 ;第 2 次循环得到 S ? S0 ? 2 ? 4, i ? 3 ;第 3 次循环得到 S ? S0 ? 2 ? 4 ? 8, i ? 4 ,所以 S0 ? 10 , 故选 D.

? ln(1 ? x) ? 考点:程序框图的计算与输出. ?(x)

ax ( x ? 0), 1? x

【方法点晴】本题主要考查了程序看图中直到型循环结构计算与输出,属于基础题,对于循 环结构有两种形式应用,其中当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先判断后循环, 直到型是先循环后判断,此类问题的解答的关键是根据每次循环,把握好判断的条件,准确 计算 S 的结果,直到最后终止循环,输出结果. 10.D 【解析】 试题分析:由题可知 若有

f ? x ? ? e x ? 1 ? ?1, g ? x ? ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ? ? ? x ? 2 ? ? 1 ? 1
2

f ? a ? ? g ?b?

,则

g ?b? ? ? ?1,1?



2 2 即 ?b ? 4b ? 3 ? ?1 ,即 b ? 4b ? 2 ? 0 ,

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解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 . 所以实数 b 的取值范围为

?2 ?

2, 2 ? 2

?

故选 D. 考点:1.函数的零点与方程根的关系;2.函数的值域 11.C 【解析】 试题分析:由抛物线的定义可得 PQ ? x p ? xq ? p ? 10 ,又 x p ? xq ? 2 ? 3 ? 6 ,故

p ? 4 ,抛物线方程是 y2=8x
考点:抛物线方程 12.D 【解析】略

? 13. 6
【解析】 y ? x ? 2cos x ? 3 ,则 y ' ? 1 ? 2sin x 。所以当 x ? [0,

?
6

) 时 y ' ? 0 ,此时函数

? ? y ? x ? 2cos x ? 3 单调递增,当 x ? ( , ] 时 y ' ? 0 ,此时函数 y ? x ? 2cos x ? 3 单 6 2 ? ? 调递减。所以函数 y ? x ? 2cos x ? 3 在 x ? 取到极大值 6 6
14.2 【解析】 试题分析:从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项 指标检测,这样的抽样是系统抽样,①错;两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝
2 对值越接近于 1,②正确;某项测量结果 ? 服从正太态布 N 1, ? , P ?? ? 5 ? ? 0.81 ,则

?

?

P ?? ? ?3? ? P ?? ? 5? ?1 ? P?? ? 5? ? 0.19,③正确;对于两个分类变量 X 和 Y 的随机
变量 K 的观测值 k 来说, K 越大,判断“ X 与 Y 有关系”的把握程度越大,④错.故只 有 2 个正确. 考点:抽样方法(系统抽样) ,线性相关关系,正态分布,独立性检验. 15. ?
2

3 2

【解析】 试题分析:∵ a ? b ? c ? 0 ,∴ b ? ?(a ? c) ,∴ b ? a ? c ? 2 | a || c | cos 600 , ∴ 3a ? a ? c ? | a || c | ,∴ 2a ? | a || c | ?c ? 0 ,∴ | a |?| c | ,

?

? ?

?2

? 2 ?2
?

? ?

?2

? 2 ?2

? ?

?2

? ?

?2

?

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2 0 ∴ a ? b ? ?a (a ? c) ? ?a ? a ? c ? ? | a | ? | a || c | cos 60 ? ?

? ?

? ? ?

?2

? ?

?

? ?

3 ? 2 |a| 2

3 ? 2 ? ? ? |a| ? ? a ?b 3 ? ?? ∴ cos ? a, b ?? ? ? ? ? 2 . 2 | a || b | | a | 3 | a |
考点:1.向量的运算;2.两向量的夹角公式. 16.6 【解析】 17. (1) A ? {x | x ? 2} , B ? { y | y ? 2} (2) CU ( A ? B) ? {x | x ? 2, 或x ? 2} 【解析】 试题分析:解: (Ⅰ)由 log3 ( x ? 1) ? 0 ,得 x ? 2 ,∴ A ? {x | x ? 2} ?????????? 3 分 又 x ? 1 ∴ log2 x ? 0 ,∴ 2 ? log2 x ? 2 ,∴ B ? { y | y ? 2} ??????????6 分 (Ⅱ)∵ A ? {x | x ? 2} , B ? { y | y ? 2} ????????????10 分 ∴ U ? A ? B ? R , A ? B ? {2} ,∴ CU ( A ? B) ? {x | x ? 2, 或x ? 2} ????????????????????????????12 分 考点:本试题考查了函数的定义域和值域的求解运用。 点评: 解决该试题的关键是对于带有偶次根式的表达式, 以及对数式的函数的定义域的求解 和值域的准确表示,并结合数轴法来求解交集和补集,属于基础题。易错点就是集合 A 的求 解,忽略了对数真数大于零。 18. (1) x ? 2 y ? 0 (2) ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 【解析】 试题分析: (1)由直线过的两点坐标求得直线斜率, 在借助于点斜式方程可得到直线 l 方程; (2)借助于圆的几何性质可知圆心在直线 x ? 2 上,又圆心在直线 l 上,从而可得到圆心坐 标,圆心与 (2, 0) 的距离为半径,进而可得到圆的方程 试题解析: (1)由已知,直线 l 的斜率 k ?

3 ?1 1 ? ,所以,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 . 6?2 2

(2)因为圆 C 的圆心在直线 l 上,可设圆心坐标为 (2a, a) , 因为圆 C 与 x 轴相切于 (2, 0) 点,所以圆心在直线 x ? 2 上,所以 a ? 1 ,所以圆心坐标为

(2, 1) ,半径为 1,所以,圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1
考点:1.直线方程;2.圆的方程 ? (Ⅱ)0 19. (Ⅰ) 0 < C ≤ ; 3 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由正弦定理得 sin C ? 3 sin B ,又因为 0 ? sin B ≤1 ,从而得出 C 的范围。
2

(Ⅱ)把要求的式子进行化简,然后用辅助角公式将其化为只含有一个三角名的式子,即可 求出它的取值范围。

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3 1 3 试题解析:解: (Ⅰ)由正弦定理,得 sin B . ? 2 ,即 sin C ? 2 sin B sin C

由 0 ? sin B ≤1 ,得 0<sinC ≤ 3 ,又 b > c ,故 C 为锐角,所以 0 < C ≤ ? . 3 2 (Ⅱ) 4sin C cos(C ?

?
6

) ? 4sin C (

3 1 cos C ? sin C ) 2 2

? 2 3 sin C cos C ? 2sin 2 C ? 2 3sin C cos C ? 2sin 2 C ? 3sin 2C ? (1 ? cos 2C)
? 2sin(2C ? ) ? 1 , 6 ? ? 5? 由 0 < C ≤ ? ,得 ? 2C ? ≤ ,故 sin(2C ? ? ) ≥ 1 , 6 6 6 3 6 2
所以 4sin C cos(C ? ? ) ≥ 0 (当 C ? 时取到等号)所以 4sin C cos(C ? ) 的最小值是 0. 6 3 6 考点:正弦定理及诱导公式、辅助角公式的运用;
?1

?

?

?

20. (1) A

? 3 4 ? ?? ? ?? 5 5 ?; ? 2 ? 1? ? ? 5? ? 5

(2) ? ? 5 或 ? ? ?1 ;当 ? ? 5 时,特征向量 ?1 ? ? ?1? ? 当 ? ? ?1 时,特征向量 ? 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 【解析】 -1 试题分析: (1)利用逆矩阵的计算公式求出 A 的逆矩阵 A ; (2)利用特征多项式对应方程的根,求矩阵的特征值,再结合对应的方程,求出每个特征 值所对应的特征向量. 试题解析:解: (1)∵ | A |? 1? 3 ? 2 ? 4 ? ?5
? 3 4 ? ?? ? ?? 5 5 ? ? 2 ? 1? ? ? 5? ? 5

?1?

? ? 2?

∴A 可逆

1分

∴A

?1

3 分(2)A 的特征多项式

f (? ) ?

? ?1
?2

?4 ? (? ? 1)(? ? 3) ? 8 ? ?2 ? 4? ? 5 ? ?3

4分

由 f (? ) ? 0 ,得 ? ? 5 或 ? ? ?1 ; 当 ? ? 5 时,由 ?

5分

? 4x ? 4 y ? 0 ?1? 得特征向量 ?1 ? ? ?1? ? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? ?? 2 x ? 4 y ? 0 ? ? 2? 得特征向量 ? 2 ? ? ? 1 ? ? ?? 2 x ? 4 y ? 0 ? ?
7分

当 ? ? ?1 时,由 ?

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考点:矩阵与变换. 21. (1) (2, 4) (2)

5 ?a?2 4

【解析】 试题分析:解: (1)当 a=1 时,解得 1<x<4, 即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<4. 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是(2,4) . (2) ?q 是 ?p 的必要不充分条件即 p 是 q 的必要不充分条件, 设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 B ? A, 2 2 由 x -5ax+4a <0 得(x-4a) (x-a)<0, ∵a>0,∴A=(a,4a) , 又 B=(2,5], 则 a≤2 且 4a>5,解得

5 <a≤2. 4

考点:解不等式、常用逻辑用语、充要条件 22. (1) [ ?1,1] ;(2) ? 【解析】

?m ? 1 5 ;(3) ? ? k ? ?1 . 4 ?n ? 3

? f (a) ? b ? 试题分析: (1) 由 y ? ? x 是减函数,可得 ? f (b) ? a .从而可求得 a , b . (2) 若 f ( x) 是 [1,16] ? a?b ?
3

上的增函数,则 ?

? f (1) ? 1 ? f (1) ? 16 ;若 f ( x) 是 [1,16] 上的减函数,则 ? .验证函数的单调 ? f (16) ? 16 ? f (16) ? 1

性是否成立.(3)假设 y ? k ? x ? 1 是闭函数,因为函数 y ? k ? x ? 1 在 [?1, ??) 上是增 函 数 , 所 以 存 在 存 在 区 间 [a, b] ? [?1, ??) , 满 足 ?

? f (a) ? a , 即 方 程 f ( x) ? x 在 区 间 ? f (b) ? b

[? 1,?? )上有两不相等的实根 . 令 x ? 1 ? t , 可将 f ( x) ? x 变形为 t 2 ? t ? k ? 1 ? 0 , 可知
此方程有两个大于零的不等实根.由此可得 k 的范围. 试题解析:解: (1)? y ? ? x 是减函数,
3
3 ? f (a ) ? b ??a ? b ?a ? ?1 ? ? ? ? f (b) ? a ? ??b3 ? a ? ? ? b ?1 ? a?b ? a?b ? ?

故闭函数 y ? ? x 的“好区间”是 [ ?1,1] .
3

(3 分)

(2)①若 f ( x) 是 [1,16] 上的增函数,则? ?

? f (1) ? 1 ? m ?1 ?m ? 1 ?? ?? ? f (16) ? 16 ?4m ? 4n ? 16 ? n ? 3

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此时 f ( x) ?

x ? 3log2 x 是 [1,16] 上的增函数,故 f ( x) ? x ? 3log2 x 符合题意.

? m ? 16 ? f (1) ? 16 ? m ? 16 ? ?? ?? ②若 f ( x) 是 [1,16] 上的减函数,则? ? 63 ? f (16) ? 1 ?4m ? 4n ? 1 ?n ? ? ? 4
此时 f ( x) ? 16 x ? 因为 f (4) ?

63 log 2 x . 4

1 63 ? 1 ? f (16) ,所以 f ( x) ? 16 x ? log 2 x 在区间 [1,16] 上不是减函数, 2 4 63 log 2 x 不符合题意. 故 f ( x) ? 16 x ? 4
综上: ?

?m ? 1 ?n ? 3

(8 分)

(3)若 y ? k ? x ? 1 是闭函数,则存在区间 [a, b] ? [?1, ??) ,满足 ? 故方程 f ( x) ? x 在区间 [?1, ??) 上有两不相等的实根. 由 k ? x ?1 ? x 得 x ? x ?1 ? k ? 0

? f (a) ? a ; ? f (b) ? b

2 2 令 x ? 1 ? t 则 x ? t ? 1 ,方程可化为 t ? t ? k ? 1 ? 0 ,且方程有两不相等的非负实根;

? g (0) ? 0 ? ?k ? 1 ? 0 5 ? ? ?? ? ? ? k ? ?1 令 g (t ) ? t ? t ? k ?1 ,则 ? 1 5 4 g ( ) ? 0 ??k ? ? 0 ? ? 2 ? 4
2

(14 分)

考点:1 新概念;2 用单调性求最值.


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