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函数对称性问题


简析函数对称性问题
函数图象的对称性体现了数学对称美。函数图象对称问题是函数部分的一个重要问 题,也是高考的重点。本文从两方面探讨函数的对称性。 命题 1、函数 y=f(a+x)与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 x ?

b?a 对称。 2

特别地,当 a=-b 时,函数 y=f(-b+x)与函数 y=f(b-x)的图象关

于直线 x=b 对称。 推论 1、 函数 y ? f (a ? ? x) 与函数 y ? f (b ? ? x) 的图象关于直线 x ?

证明:? y ? f (a ? ? x) ? f [? ( x ?

a

?

)] , a

b?a 对称 2? b y ? f (b ? ? x) ? f [?? ( x ? )]

?

所以 , 将函数 y ? f (? x) 的图象向左平移 | 数 y ? f (?? x) 的 图 象 向 右 平 移 |

?

| 个单位得 y ? f (a ? ? x) 的图象;将函

b

?

| 个 单 位 得 函 数 y ? f (b ? ? x) 的 图 象 , 而

y ? f (? x) 与 y ? f (?? x) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 可 得 两 函 数 图 象 关 于 直 线

x?

b?a 对称。记忆技巧:令 2?

a ? ? x? b ? ? x,易得 x ?

b?a ,即对称轴方程。 2?

命题 2、 若函数 y=f(x) 对定义域中任意 x 均有 f(a+x)=f(b-x), 则函数 y=f(x)的图象关于直线

x?

a?b 对称。反之亦然。 2
若函数 y=f(x) 对定义域中任意 x 均有 f(a+mx)=f(b-mx), (m ? 0) ,则函数

推论 2、

y=f(x)的图象关于直线 x ?

a?b 对称。反之亦然。 2

命题 3、 若函数 y=f(x)对定义域中任意 x 均有 f(x+a)+f(b-x)=c,则函数 y=f(x)的图象关于点

(

a?b c , ) 成中心对称图形。 2 2

下面举例说明其应用。 [例 1] 函数 y=f(x+1)与函数 y=f(3-x)的图象关于 __________对称 解:由命题 1 知,两函数图象关于 x ?

3 ?1 ? 1 , 即关于直线 x=1 对称。 2

[例 2] 若方程 f(3+2x)=0 有三个根,则方程 f(1-2x)=0 有_____个根,两方程的所有的根之 和为______ 解:设 y1 ? f (3 ? 2 x), y2 ? f (1 ? 2 x) ,由推广 1 知,两函数图象关于 x ?

1? 3 1 ?? 2? 2 2

对称,故两函数图象与 x 轴交点个数相同,方程 f(1-2x)=0 也有三个根,这六个跟之 和为 ?

1 ? 6 ? ?3 . 2
?

[例 3] 函数 y=f(x)对一切 x 满足 f(x+a)=f(b-x) (1) 若方程 f(x)=0 恰有 2n( n ? N )个根,则这些根的和为多少?

1

(2) 若方程恰 2n+1( n ? N )个根,则这些根的和为多少? 解:由命题 2 知,y=f(x)图象关于 x ?

?

a?b 对称。 2

(1) 若方程 f(x)=0 恰有 2n 个根时,由于方程的根在 x 轴上对应点关于 x ?

a?b 对称, 2

? ? a ? b ,故 S ? (a ? b) ? 所以, xm ? xm

a?b ,另外 2n 个根在 x 2 a?b 1 (2n ? 1) ? (a ? b) 轴上对应点关于 x ? 对称,故 S2 n ?1 ? (n ? ) ? (a ? b) ? . 2 2 2 1? x [ 例 4] 函 数 f ( x) ? ,( 1 ) 证 明 函 数 的 图 象 关 于 (-1,-1) 对 称 。( 2 ) 求 1? x
(2) 若方程 f(x)=0 恰有 2n+1 个根时,则方程必有一根为 x ? f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)的值. 解: 因为 f ( x) ?

2n ? n(a ? b) . 2

f ( x) ?

1? x 对称中心(-1,-1),由命题 3 知,f(x)+f(-x-2)=-2 , 1? x

1? x 2 1 ,由 f ( x) ? 的对称中心( 0 , 0 ) ,平移可得 ? ?1 ? 1? x x ?1 x

则 f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)= 3 ? [ f (?2) ? f (0)] ? 3 ? (?2) ? ?6 .

补充,供参考 1、函数自身对称性 命题 1 函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是 f (a ? x) ? f (a ? x) 或

f ( x) ? f (2a ? x) 。证明(略)
推论 函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f ( x) ? f (? x) 。 函数 y ? f ( x) 的图像关于点 A (a, b) 对称的充要条件是 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b

命题 2

证明(略) 推论 函数 y ? f ( x) 的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f ( x) ? f (? x) ? 0 偶函数、奇函数分别是命题 1,命题 2 的特例。 命题 3 (1)若函数 y ? f ( x) 的图像同时关于点 A(a,c)和点 B(b,c)成中心对 称( a ? b ) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且 2 a ? b 是其一个周期。

2

证明:函数 y ? f ( x) 的图像同时关于点 A ( a , c )和点 B (b , c )成中心对称,则

f (2a ? x) ? f (? x) ? 2c



f (2b ? x) ? f ( x) ? 2c







f [2(a ? b) ? x] ? f ([2a ? (?2b ? x)] ? 2c ? f [?(?2b ? x)] ? 2c ? f (2b ? x) ? 2c ? [2c ? f ( x)] ? f ( x) ,所以 2 a ? b 是它
的一个周期。 (2) 、 若一个函数的图象有两条不同的对称轴,分别为 x=m,x=n,那么这个函数是 周期函数。 证: 因为函数的对称轴为 x=m, x=n (m≠n), 则

f (m ? x) ? f (m ? x) (1) ,

f ( n ? x) ? f ( n ? x )
则 有

(2) , 分别将 x=m-x,x=n-x 代入(1) (2),

f(

? 2m ?

x)

f (, x) f (2n ? x) ? f ( x)





f [ x ? 2(m ? n)] ? f (2m ? x ? 2n) ?

f (2n ? x) ? f ( x) , 所以 y ? f ( x) 是周期函数,周期为 2(m-n)。
(3)若函数 y ? f ( x) 的图像既关于点 A(a,c)成中心对称又关于直线 x=b 成轴对称 (a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且 4 a ? b 是其一个周期。 证明:因为函数 y ? f ( x) 的图像关于点 A(a,c)成中心对称,





f ( x) ? f (2a ? x) ? 2c, 用2b ? x * )



x





f (2b ? x) ? f ?2a ? (2b ? x)? ? 2c (

又因为函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? b 成轴对称, 所以 f (2b ? x) ? f ( x) 代入 (*) 得:

f ( x) ? 2c ? f ?2(a ? b) ? x?(**), 用2(a ? b) ? x代x 得 f ?2(a ? b) ? x? ? 2c ? f ?4(a ? b) ? x? 代入(**)得:

f ( x) ? f ?4(a ? b) ? x?, 故y ? f ( x) 是周期函数,且 4 a ? b 是其一个周期。
3

2. 不同函数对称性 命题 4 函数 y ? f ( x)与y ? 2b ? f (2a ? x) 的图像关于点 A(a, b) 成中心对称。

证明:设点 P( x0 , y 0 )是y ? f ( x) 图像上任一点,则 y 0 ? f ( x0 ) 。点 P( x0 , y 0 ) 关于点

A(a, b) 的对称点为 P' (2a ? x0 , 2b ? y 0 ) ,此点坐标满足 y ? 2b ? f (2a ? x) ,显然点
P' (2a ? x0 , 2b ? y 0 ) 在 y ? 2b ? f (2a ? x) 的图像上。
同理可证: y ? 2b ? f (2a ? x) 图像上关于点 A(a, b) 对称的点也在 y ? f ( x) 的图像 上。 推论 函数 y ? f ( x) 与 y ? ? f (? x) 的图像关于原点成中心对称。 函数 y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 的图像关于直线 x ? a 成轴对称。 设点 P( x0 , y 0 ) 是 y ? f ( x) 图像上任意一点,则 y 0 ? f ( x0 ) 。点 P( x0 , y 0 ) 关

命题 5

证明

于直线 x ? a 的对称点为 P' (2a ? x0 , y 0 ) ,显然点 P' (2a ? x0 , y 0 ) 在 y ? f (2a ? x) 的图 像上。 同理可证: y ? f (2a ? x) 图像上关于直线 x ? a 对称的点也在 y ? f ( x) 图像上。 推论 函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 的图像关于直线 y 轴对称。 ①函数 y ? f ( x) 与 a ? x ? f (a ? y) 的图像关于直线 x ? y ? a 成轴对称。 ②函数 y ? f ( x) 与 x ? a ? f ( y ? a) 的图像关于直线 x ? y ? a 成轴对称。 现证命题 6 中的② 设点 P( x0 , y 0 ) 是 y ? f ( x) 图像上任一点,则 y 0 ? f ( x0 ) 。记点 P( x0 , y 0 ) 关于直线

命题 6

x ? y ? a 的 对 称 点 P' ( x1 , y1 ) , 则 x1 ? a ? y 0 , y1 ? x0 ? a , 所 以
x0 ? a ? y1 , y 0 ? x1 ? a 代入 y 0 ? f ( x0 ) 之中得 x1 ? a ? f (a ? y1 ) 。所以点 P' ( x1 , y1 )

4

在函数 x ? a ? f ( y ? a) 的图像上。 同理可证:函数 x ? a ? f ( y ? a) 的图像上任一点关于直线 x ? y ? a 的轴对称点也在 函数 y ? f ( x) 的图像上。故命题 6 中的②成立。 推论 函数 y ? f ( x) 的图像与 x ? f ( y) 的图像关于直线 x ? y 成轴对称。

5


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