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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训6-2等差数列试题


1.(文)(2012·辽宁文,4)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( A.12 C.20 [答案] B [解析] 本题考查等差数列的性质. 由等差数列的性质得,a2+a10=a4+a8=16,B 正确. [点评] 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质. B.16 D.24

)

(理)(2013·浙江金华一中 12 月月考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=4,S10= 110,则

Sn+64 的最小值为( an
B.8

) 15 C. 2 17 D. 2

A.7 [答案] D

? ?a1+d=4, [解析] 由题意知? ?10a1+45d=110. ?

∴?

?a1=2, ? ? ?d=2.

∴Sn=n +n,an=2n.

2



Sn+64 n2+n+64 n 1 32 1 = = + + ≥ +2 an 2n 2 2 n 2

n 32 17 n 32 · = .等号成立时, = ,∴n=8, 2 n 2 2 n

故选 D. 2.(文)(2011·福州模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a6+a7=18,则 S9 的值 是( ) A.64 C.54 [答案] C [解析] 由 a2+a6+a7=3a1+12d=3a5=18,得 a5=6. 9? 所以 S9= B.72 D.以上都不对

a1+a9?
2

=9a5=54.

(理)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 为 ( ) A.12 C.6 B.8 D.4

[答案] B [解析] 32, ∴a8=8. ∴m=8.故选 B. 3.(2011·西安五校一模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a3+a7=-6, 则当 Sn 取最小值时,n 等于( A.8 C.6 [答案] C [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,依题意得 a3+a7=2a5=-6,∴a5=-3,∴d= ) B.7 D.9 由等差数列性质知,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=

a5-a1
5-1

=2,∴an=-11+(n-1)×2=2n-13.令 an>0 得 n>6.5,即在数列{an}中,前 6 项均

为负数,自第 7 项起以后各项均为正数,因此当 n=6 时,Sn 取最小值,选 C. 4.已知不等式 x -2x-3<0 的整数解构成等差数列{an}的前三项,则数列{an}的第四项 为( ) A.3 C.2 [答案] D [解析] 由 x -2x-3<0 及 x∈Z 得 x=0,1,2. ∴a4=3 或-1.故选 D. 5.(2012·大纲全国理,5)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 { 1
2 2

B.-1 D.3 或-1

anan+1

}的前 100 项和为( 100 101 99 100

) B. D. 99 101 101 100

A. C.

[答案] A [解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的运用, 以及裂项求和的 综合应用. 5? ∵a5=5,S5=15,∴ ∴d=

a1+a5?
2

=15,即 a1=1.

a5-a1
5-1

=1,∴an=n.



1

anan+1 n?
1



1 1 1 = - . n+1? n n+1 1 1 1 1 1 1 }的前 100 项的和为:T100=(1- )+( - )+?+( - )=1- = 2 2 3 100 101 101

则数列{ 100 . 101 故选 A.

anan+1

[点评] 本题亦可利用等差数列的性质,由 S5=15 得 5a3=15,即 a3=3,再进一步求 解. 6.(文)在函数 y=f(x)的图象上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是 等比数列,则函数 y=f(x)的解析式可能为( A.f(x)=2x+1 C.f(x)=log3x [答案] D ) B.f(x)=4x
2

?3?x D.f(x)=? ? ?4?

?3?x ?3? [解析] 对于函数 f(x)=? ? 上的点列(xn,yn),有 yn=? ?xn,由于{xn}是等差数列, 4? ? ?4? ? ?xn+1 3 yn+1 ?4? ? ? ?3?d 所以 xn+1-xn=d,因此 = =? ?xn+1-xn=? ? ,这是一个与 n 无关的常数,故{yn} yn ?4? ?3?x ?4? ? ? n ?4?
是等比数列.故选 D. [点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正), 其对数成等差, 指数成 等差时,幂成等比. (理)已知直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0 所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的 第一项与第二项,若 bn= A. C. 2013 4029 4017 4029 1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 T2014=( an·an+1 B. D. 2014 4029 4018 4029 )

?3?

[答案] B [解析]
?x+y-4=0 ? ? ? ?3x-y=0

依题意,将(3m+1)x+(1- m) y-4=0 化为(x+ y-4)+ m(3x- y)=0,令 ,解得?
?x=1 ? ? ?y=3



∴直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0 过定点(1,3), ∴a1=1,a2=3,公差 d=2,an=2n-1,

∴bn=

1 1 1 1 = ( - ), an·an+1 2 2n-1 2n+1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2014 ∴T2014= ×[( - )+( - )+?+( - )]= ×(1- )= .故选 B. 2 1 3 3 5 4027 4029 2 4029 4029 7.(2011·洛阳部分重点中学教学检测)已知 a,b,c 是递减的等差数列,若将其中两

a2+c2 个数的位置对换,得到一个等比数列,则 2 的值为________. b
[答案] 20 [解析] 依题意得①?
?a+c=2b, ? ? ?b =ac.
2

或②?

?a+c=2b, ? ? ?a =bc.
2

或③?

?a+c=2b, ? ? ?c =ab.
2

由①得 a

=b=c,这与“a,b,c 是递减的等差数列”矛盾;由②消去 c 整理得(a-b)(a+2b)=0, 又 a>b,因此 a=-2b,c=4b, 因此有 c=-2b,a=4b,

a2+c2 =20;由③消去 a 整理得(c-b)(c+2b)=0,又 b>c, b2

a2+c2 =20. b2
*

8.(文)(2011·天津文,11)已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,n∈N ,若 a3=16,

S20=20,则 S10 的值为________.
[答案] 110 [解析] 由题意,设公差为 d,则

?a1+2d=16, ? ? 20×? 20-1? d=20, ?20a1+ 2 ?
10? ∴S10=10a1+ 10-1? d=110. 2

解得?

? ?a1=20, ?d=-2. ?

(理)设等差数列{an}的公差为正数,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=105,则 a11+a12+a13= ________. [答案] 75 [解析] ∵?
?a2=5, ? ? ?a1a3=21, ? ?a1+a2+a3=15, ? ?a1a2a3=105,

∴?

∴?

?a1+d=5, ? ? ?a1?

a1+2d? =21,

∵d>0,∴?

? ?d=2, ?a1=3, ?

∴a11+a12+a13=3a1+33d=75. 9.(文)将正偶数按下表排成 5 列:

第1列 第1行 第2行 第3行 ??

第2列

第3列 2

第4列 4 12 20 28

第5列 6 10 22 26 24 8

16

14 18 ??

那么 2014 应该在第________行第________列. [答案] 252 2

[解析] 通项 an=2n,故 2014 为第 1007 项,∵1007=4×251+3, 又 251 为奇数,因此 2014 应排在第 252 行,且第 252 行从右向左排第 3 个数,即 252 行第 2 列. (理)已知 an=n 的各项排列成如图的三角形状: 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(31,12)=________.

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [答案] 912 [解析] 由题意知第 1 行有 1 个数,第 2 行有 3 个数,??第 n 行有 2n-1 个数,故前

n[1+? 2n-1? ] 2 n 行有 Sn= =n 个数,因此前 30 行共有 S30=900 个数,故第 31 行的第一
2 个数为 901,第 12 个数为 912, 即 A(31,12)=912. 10. (文)(2011·济南模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, n, n)(n∈N+)在函数 f(x) 点( S =3x -2x 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 3 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an·an+1
2 2 2

[解析] (1)由已知点(n,Sn)(n∈N+)在函数 f(x)=3x -2x 的图象上,可得 Sn=3n - 2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n -2n-3(n-1) +2(n-1)=6n-5, 当 n=1 时,a1=S1=1 也适合上式,∴an=6n-5. (2)bn= 3
2 2

anan+1



3 ? 6n-5? ? 6n+1?

1 1 1 = ( - ), 2 6n-5 6n+1

1 1 1 1 1 1 1 ∴Tn= ( - + - +?+ - ) 2 1 7 7 13 6n-5 6n+1 1 1 1 1 = (1- )= - . 2 6n+1 2 12n+2 (理)(2011·重庆文,16)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,由 a1=2,a3=a2+4 得 2q =2q+4,即 q -q -2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍),∴q=2, ∴an=a1·q
n-1
2 2

=2·2

n-1

=2 .

n

(2)数列 bn=1+2(n-1)=2n-1, 2×? ∴Sn= =2
n+1
2

1-2 ? n? +[n×1+ 1-2

n

n-1?
2

×2]

+n -2. 能力拓展提升

11.(文)已知在等差数列{an}中,对任意 n∈N ,都有 an>an+1,且 a2,a8 是方程 x -12x +m=0 的两根,且前 15 项的和 S15=m,则数列{an}的公差是( A.-2 或-3 C.-2 [答案] A [解析] 由 2a5=a2+a8=12,得 a5=6, 由 S15=m 得 a8= . 15 又因为 a8 是方程 x -12x+m=0 的根, 解之得 m=0,或 m=-45, 则 a8=0,或 a8=-3. 由 3d=a8-a5 得 d=-2,或 d=-3. (理)如表定义函数 f(x):
2

*

2

)

B.2 或 3 D.3

m

x f(x)

1 5

2 4

3 3

4 1

5 2 )

对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,?,则 a2014 的值是( A.1 C.3 [答案] A B.2 D.4

[解析] 本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律.由特殊到一般易知 a1=4,a2=

f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,?,据
此可归纳数列{an}为以 4 为周期的数列,从而 a2014=a2=1. 12.(2011·烟台诊断)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 S15>0,S16<0,则 , ,?,

S1 S2 a1 a2

S15 中最大的是( a15
A. C.

) B. D.

S15 a15 S8 a8

S9 a9 S1 a1

[答案] C
?S15>0, ? ? ? ?S16<0,

[解析]

?a1+7d>0, ? ?? 15 ?a1+ 2 d<0, ?

??

?a8>0, ? ? ?a9<0.

∴0<S1<S2<?<S8>S9>S10>?>S15>0>S16,a1>a2>?>a8>0>a9, ∴ 最大.故选 C. 13.(文)(2011·湖北文,9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自 上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3L,下面 3 节的容积共 4L,则第 5 节的 容积为( A.1L C. 47 L 44 ) B. D. 67 L 66 37 L 33

S8 a8

[答案] B [解析] 设该数列为{an}公差为 d,则

?a1+a2+a3+a4=3, ? ? ? ?a7+a8+a9=4,

?4a1+6d=3, ? 即? ? ?3a1+21d=4,

?a =13, ? 22 解之得? 7 ?d=66, ?
1

13 7 67 所以第 5 节的容积为 a5=a1+4d= + ×4= . 22 66 66 (理)(2011·哈师大附中、 东北师大附中、 辽宁实验中学联合模拟)已知{an}是等差数列, → →

Sn 为其前 n 项和,若 S21=S4000,O 为坐标原点,点 P(1,an),点 Q(2011,a2011),则OP·OQ等
于( )

A.2011 C.0 [答案] A

B.-2011 D.1

[解析] S21=S4000? a22+a23+?+a4000=0? a2011=0, → → → ∴OP·OQ=(1,an)·(2011,a2011)=2011+ana2011=2011,故选 A. 14.(文)(2011·哈尔滨六中模拟)若数列{xn}满足 xn-xn-1=d,(n∈N ,n≥2),其中 d 为常数,x1+x2+?+x20=80,则 x5+x16=________. [答案] 8 [解析] 由 xn-xn-1=d 知{xn}为公差为 d 的等差数列, ∴x1+x2+?+x20=80? 10(x1+x20)=80? x1+x20=8, ∴x5+x16=x1+x20=8. (理)(2011·莱阳模拟)数列{an},{bn}都是等差数列,a1=0,b1=-4,用 Sk、Sk′分别 表示等差数列{an}和{bn}的前 k 项和(k 是正整数),若 Sk+Sk′=0,则 ak+bk=________. [答案] 4 [解析] 由条件知, k+Sk′= S -4k=0, ∵k 是正整数,∴(k-1)(d+d′)=8, ∴ak+bk=(k-1)d-4+(k-1)d′ =(k-1)(d+d′)-4=4. 15.(文)(2011·杭州质量检测)已知正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的正整数
*



又 P(1,an),Q(2011,a2011),则OP=(1,an),OQ=(2011,a2011),

k? k-1?
2

k? k-1? k? k-1? ? d+d′? d+ d′-4k=
2 2

n 满足 2 Sn=an+1.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 1

an·an+1

,求数列{bn}的前 n 项和 Bn.

[解析] (1)由 2 Sn=an+1,n=1 代入得 a1=1, 两边平方得 4Sn=(an+1) ① ①式中 n 用 n-1 代替得 4Sn-1=(an-1+1)
2 2, 2 2

(n≥2)②
2 2

①-②,得 4an=(an+1) -(an-1+1) 0=(an-1) -(an-1+1) , [(an-1)+(an-1+1)]· [(an-1)-(an-1+1)]=0, ∵{an}是正数数列,∴an-an-1=2, 所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,

∴an=2n-1. (2)bn= 1 = an·an+1 ? 1 2n-1? ? 2n+1?

1 ? 1? 1 - = ? , 2n-1 2n+1? 2? ? 1 1 1 1 1 1 n 裂项相消得 Bn=b1+b2+?+bn= [(1- )+( - )+?+( - )]= . 2 3 3 5 2n-1 2n+1 2n+1 (理)(2011·河南郑州质量检测)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2-an,数列{bn}满足 b1 =1,b3+b7=18,且 bn-1+bn+1=2bn(n≥2). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)由题意 Sn=2-an,① 当 n≥2 时,S n-1=2-an-1,② ①-②得 an=Sn-Sn-1=an-1-an, 1 即 an= an-1,又 a1=S1=2-a1, 2 1 1 ∴a1=1,故数列{an}是以 1 为首项, 为公比的等比数列,所以 an= n-1; 2 2 由 bn-1+bn+1=2bn(n≥2)知,数列{bn}是等差数列, 1 设其公差为 d,则 b5= (b3+b7)=9, 2 所以 d=

bn an

b5-b1
4

=2,bn=b1+(n-1)d=2n-1.

综上,数列{an}和{bn}的通项公式为

an=

1

2

n-1

,bn=2n-1.
n-1

(2)cn= =(2n-1)·2

bn an



Tn=c1+c2+c3+?+cn
=1×2 +3×2 +5×2 +?+(2n-1)×2 2Tn=1×2 +3×2 +?+(2n-3)×2
1 2 3 1 2 0 1 2

n-1

,③
n

n-1

+(2n-1)×2 ,④
n-1

③-④得:-Tn=1+2(2 +2 +2 +?+2
n

)-(2n-1)·2

n

2-2 n n =1+2× -(2n-1)·2 =-(2n-3)·2 -3. 1-2 ∴Tn=(2n-3)·2 +3. 16.(2012·湖北文,20)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8.
n

(1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. [分析] (1)利用等差数列的通项公式,及相关关系求出首项和公差. (2)先确定数列的通项公式,由于首项 a1<0 需判断从哪一项开始 an>0,将{|an|}前 n 项 和写为分段函数的形式. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 a2=a1+d,a3=a1+2d,
?3a1+3d=-3, ? 由题意得? ? ?a1? a1+d? ? a1+2d? =8.

解得?

? ?a1=2, ?d=-3, ?

或?

? ?a1=-4, ?d=3. ?

所以由等差数列通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5,或 an=-4+3(n-1)=3n- 7. 故 an=-3n+5,或 an=3n-7. (2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
? ?-3n+7, n=1,2. 故|an|=|3n-7|=? ?3n-7, n≥3. ?

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1=|a1|=4; 当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5; 当 n≥3 时,

Sn=S2+|a3|+|a4|+?+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+?+(3n-7)
? n-2? =5+ [2+? 3n-7? 2 ] 3 2 11 = n - n+10. 2 2

当 n=2 时,满足此式.

n=1, ?4, ? 综上,Sn=?3 2 11 ?2n - 2 n+10, n>1. ?

S4 1 S8 1.(2011·郑州一测)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 = ,则 =( S8 3 S16
A. C. 1 8 1 9 B. D. 1 3 3 10

)

[答案] D [解析] 设 a1+a2+a3+a4=A1,a5+a6+a7+a8=A2,a9+a10+a11+a12=A3,a13+a14+a15 +a16=A4,∵数列{an}为等差数列,∴A1、A2、A3、A4 也成等差数列, =

S4 A1 1 = ,不妨设 S8 A1+A2 3

S8 A1+A2 1+2 3 A1=1,则 A2=2,A3=3,A4=4, = = = ,故选 D. S16 A1+A2+A3+A4 1+2+3+4 10
2. (2011·济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6?}从小到大按第 n 组有 2n 个偶数进行分组, 第一组{2,4},第二组{6,8,10,12},第三组{14,16,18,20,22,24},则 2010 位于第( 组. A.30 C.32 [答案] C [解析] 因为第 n 组有 2n 个正偶数,故前 n 组共有 2+4+6+?+2n=n +n 个正偶 数.2010 是第 1005 个正偶数.若 n=31,则 n +n=992,而第 32 组中有偶数 64 个,992+ 64=1056,故 2010 在第 32 组. 3.(2011·黄冈 3 月质检)设数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列,bn 是以 1 为 首项,2 为公比的等比数列,则 ab +a b +?+a b =(
1 2 10 2 2

)

B.31 D.33

)

A.1033 C.1034 [答案] A

B.2057 D.2058

[解析] 依题意得 an=2+(n-1)×1=n+1,bn=1×2
0 1 9

n-1

=2 1×?

n-1

,ab =bn+1=2
n
10

n-1

+1,

因此 ab +a b +?+a b =(2 +1)+(2 +1)+?+(2 +1)=
1 2 10

2 -1? 2-1

+10=2 +9=

10

1033,故选 A. 5 4.一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为 ,则判断框中应填入的条 6 件是( )

A.i<4? C.i≥5? [答案] D 1 1 [解析] 由题意知 S= + +?+ 1×2 2×3 i? =

B.i<5? D.i<6?

1

i+1?

1 ? ? 1? ?1 1? ?1 =?1- ?+? - ?+?+? - ? ? 2? ?2 3? ?i i+1?

i 5 ,故要输出 S= ,i=5 时再循环一次,故条件为 i≤5 或 i<6,故选 D. i+1 6
1 2 2 5.已知方程(x -2x+m)(x -2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m 4

-n|=( A.1 C. 1 2

) B. D. 3 4 3 8

[答案] C [解析] 设 x -2x+m=0 的根为 x1、x2 且 x1<x2,
2

x2-2x+n=0 的根为 x3、x4 且 x3<x4,且 x1= ,
7 又 x1+x2=2,∴x2= , 4 又 x3+x4=2,且 x1、x3、x4、x2 成等差数列, 1 7 1 1 3 5 ∴公差 d= ( - )= ,∴x3= ,x4= . 3 4 4 2 4 4 1 7 3 5 1 ∴|m-n|=| × - × |= ,故选 C. 4 4 4 4 2 6.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以 Sn 表示{an}的前 n 项和,

1 4

则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 C.19 [答案] B

) B.20 D.18

[解析] ∵3d=(a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=99-105=-6,∴d=-2,由 a1+a3+a5 =105 得 3a1+6d=105,∴a1=39,∴an=39-2(n-1)=41-2n, 由 an≥0,n∈N 得,n≤20,∴a20>0,a21<0,故选 B.

? π π? 7.已知函数 f(x)=sinx+tanx,项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈?- , ?,且公 ? 2 2?
差 d≠0.若 f(a1)+f(a2)+?+f(a27)=0,则当 k=________时,f(ak)=0. [答案] 14 [解析] ∵f(x)=sinx+tanx 为奇函数,且在 x=0 处有定义,∴f(0)=0. ∵{an}为等差数列且 d≠0, ∴an(1≤n≤27,n∈N )对称分布在原点及原点两侧, ∵f(a1)+f(a2)+?+f(a27)=0,∴f(a14)=0. ∴k=14. 8.(2011·南京一模)已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2·a4=4,a1+a2+a3=14, 1 则满足 an·an+1·an+2> 的最大正整数 n 的值为________. 9 [答案] 4 [解析] 设等比数列{an}的公比为 q,其中 q>0,依题意得 a3=a2·a4=4,又 a3>0,因 1 1 n-1 4-n 2 此 a3=a1q =2, 1+a2=a1+a1q=12, a 由此解得 q= , 1=8, n=8×( ) =2 , n·an+1·an a a a 2 2
+2 2 *

=2

9-3n

1 1 -3 9-3n 1 .由于 2 = > , 因此要使 2 > , 只要 9-3n≥-3, n≤4, 即 于是满足 an·an+1·an 8 9 9

+2

1 > 的最大正整数 n 的值为 4. 9 9.(2012·东北三校二模)公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,且 a2,a4,a9 成等比

数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 an=bn+1-bn,b1=1,求数列{bn}的通项公式. [解析] (1)由条件知,?
?a1+2d=7, ? ? ?? ? ?a3=7, ? ?a4=a2·a9,
2

∴?

a1+3d?

2

=? a1+d? ·?

a1+8d? ,

解之得?

? ?a1=1, ? ?d=3.

∴an=3n-2. (2)由条件知,b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)=1+a1+a2+?+an-1 ? n-1? =1+
2

? 1+3n-5? 3n -7n+6 = , 2 2

2

3n -7n+6 ∴bn= . 2 10.已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2·a3=45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=

Sn * (n∈N ),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn}也为等差数列?若存在, n+c

求出 c 的值;若不存在,请说明理由. [分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式,需要知道首项 a1 和公差 d 的值,由条件

a2·a3=45,a1+a5=18 建立方程组不难求得;第(2)问是构造一个等差数列{bn},可考虑利
用等差数列的定义,研究使 bn+1-bn(n∈N )为一个常数时需要满足的条件. [解析] (1)由题设知{an}是等差数列,且公差 d>0, 则由?
?a2a3=45, ? ? ?a1+a5=18, ?a1=1, ? ?d=4. ?
* *

?? a1+d? ? a1+2d? =45, ? 得? ? ?a1+? a1+4d? =18,

解得?

所以 an=4n-3(n∈N ).

n? 1+4n-3?
(2)由 bn=

Sn = n+c

2

2n? =

n- ? n+c


1 2

n+c

1 因为 c≠0,所以可令 c=- ,得到 bn=2n. 2 因为 bn+1-b n=2(n+1)-2n=2(n∈N ), 所以数列{bn}是公差为 2 的等差数列. 1 即存在一个非零常数 c=- ,使数列{bn}也为等差数列. 2 11.(2012·东北三省四市第二次联考)已知等差数列{an}满足 a4=6,a6=10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}各项均为正数,其前 n 项和 Tn,若 a3=b2+2,T3=7,求 Tn. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,首项为 a1,
*

∵a4=6,a6=10,∴?

? ?a1+3d=6, ? ?a1+5d=10.

解得?

? ?a1=0, ? ?d=2.

∴数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为 q(q>0). ∵an=2n-2,∴a3=2×3-2=4. ∵a3=b2+2,∴b2=2. ∴?
? ?b1q=2, ? ?b1?

1+q+q ? =7.

2

?b1=1, ? 解得? ? ?q=2,

?b1=4, ? 或? 1 ?q=2. ?

n b1? 1-qn? 1×? 1-2 ? n ∴Tn= = =2 -1, 1-q 1-2

1 4[1-? ? 2 或 Tn= 1 1- 2

n

] 1 n-3 =8-( ) . 2


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