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广东省汕头中学2011届高三教学质量测评(数学理)


广东汕头中学 2011 年普通高中高三教学质量测评

数学理试题
本试卷共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后

,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时.请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错 涂、多涂的.答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.复数

1 的虚部是 ?2 ? i 1 A. ? 5

( B. ? i



1 5

C.

1 5

D. i ( )

1 5

2. 设集合 M ? x 0 ? x ? 3 , N ? x 0 ? x ? 1 ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件

?

?

?

?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 S S 3.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 3 ? 2 ? 1 ,则数列 {an } 的公差是( 3 2 1 A. B. 1 C. 2 D. 3 2



4.根据表格中的数据,可以判定函数

f ( x) ? e x ? x ? 2 的 一 个 零 点 所 在 的 区 间 为


?k , k ?1??k ? Z ? ,则 k 的一个值为(
A.0 C.2 B.-1 D.1

x
ex
x?2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

-1-





5.甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如下图所示设 s1 , s2 分别 表示甲、 乙两名运动员测试成绩的标准差,x1 , x2 分别表示 甲、乙两名运动员测试成绩的平均数,则有 A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2 (

3 5 6 60

1 2

4 6 1 4 5



6.若函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |?

?

2 ???? ???? ? 示,M , N 分别是这段图象的最高点和最低点, OM ? ON ? 0( o 且
为坐标原点) ,则 A ? ? ? ( A. )

)在 一个周期内的图象如图 2 所

7 ? 12 7 7 C. D. ? ? 6 3 7.下面为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
B.

? 6

图2 ( )

正视图: 半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形

侧视图: 上半部分是半径 为 1 的

1 圆,下半部分是 4

俯视图: 半径为 1 的圆

高为 1 的矩形 A.

3? 2

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

4? 3
3 2 1

y

8.图 3 中的阴影部分由底为 1 ,高为 1 的等腰三角形及高 为 2 和 3 的两矩形所构成.设函数 S ? S ( a ) ( a ≥ 0 ) 是图 3 中阴影部分介于平行线 y ? 0 及 y ? a 之间的那 一部分的面积,则函数 S ( a ) 的图象大致为( )

y=a
1 2 3

O

x

图3
S(a) S(a)

S(a)

S(a)

-2-

O

1

2

3 a

O

1

2

3 a

二、填空题:本大题共 7 小题.考生作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9.二项式 ( x ?

2 x

) 12 的展开式中常数项是第

项。

10.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n,向量 p =( 与 q 共线的概率为[ m,n) .] . , q =( 3,6) ,则向量 p

11.若平面区域 ?0 ? y ? 2 是一个梯形,则实数 k 的取值范围是[

?0 ? x ? 2 ?

? y ? kx ? 2 ?

y2 x2 2 2 12.若双曲线 2 - 2 =1 的渐近线与圆 ( x ? 2) ? y ? 3 相切,则此双曲线的离心率 a b 为 . 13.按下列程序框图运算:若输入 x ? 5 ,则输出 开始 k= ;若输出 k=3,则输入 x 的取值范围 是 . 输入 x (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图,正 ?ABC 的边长 k=0 为 2,点 M , N 分别是边 AB, AC 的中点,直线

MN 与 ?ABC 的外接圆的交点为 P 、Q,则线 段 PM = .
15. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为

x ? 3x ? 2
k= k+1


x ? 244?
否 输出 x , k

? ? 2sin ? ,过极点的一条直线 l 与圆相交于
O , A 两 点 , 且 ∠ AOX ? 45 ? , 则
. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文 字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 l2 分)

A

结束

OA =

P

M B

Q N C

已知△ ABC 的三个内角 A, C 所对的边分别为 a, b, B,

-3-

c. m ? (1,1),
n?( 3 ? sin B sinC , cos B cos C ), 且 m ? n. 2

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1, b ? 3c. 求 S △ ABC。

17. (本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果如下: 日销 售量 频数 频率 1 10 0.2 1.5 25 2 15 充上表;

(Ⅰ) 填 (Ⅱ)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立. ①5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率;

②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两天销售利润的和(单位: 千元) ,求 ? 的分布列.

18. (本小题满分 14 分) 如图,圆柱的高为 2,底面半径为 3,AE、DF 是圆柱的两条母线,B、C 是下底面圆周上的 两点,已知四边形 ABCD 是正方形。 (Ⅰ)求证: BC ? BE ; (Ⅱ)求正方形 ABCD 的边长; D (Ⅲ)求直线 EF 与平面 ABF 所成角的正弦值。

A
-4-

F

C B

E

19. (本小题满分 14 分) 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0?

,称圆心在坐标原点 O ,半径为 a ? b 的圆
2 2

F 是椭圆 C 的“伴随圆”. 已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1 ? 2 , 0 、 2
一动点 M 1 满足 M 1 F1 ? M 1 F 2 ? 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程 (Ⅱ)试探究 y 轴上是否存在点 P (0,

?

?

?

2 , 0 ,椭圆 C 上

?

????? ?

????? ?

m ) ?m ? 0? ,使得过点 P 作直线 l 与椭圆 C 只

有一个交点,且 l 截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 2 .若存在,请求出 m 的 值;若不存在,请说明理由。

20.(本小题满分 14 分) 设数列 {an } 为等比数列,数列 {bn } 满足 bn ? na1 ? ( n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an , n ? N? ,已知
b1 ? m , b2 ?

3m ,其中 m ? 0 . 2

(Ⅰ)求数列 {an } 的首项和公比; (Ⅱ)当 m ? 1时,求 bn ; (Ⅲ)设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,若对于任意的正整数 n ,都有 Sn ?[1, 3] ,求实数 m 的取值范围.

-5-

21. (本小题满分 14 分)

?( x 2 ? 2ax)e x , x ? 0 f ( x) ? ? , g ( x) ? c ln x ? b, 且x ? 2 是函数 y ? f (x) 的 已知函数 bx, x ? 0, ?
极值点。 (Ⅰ)当 b ? ?2 时,求 a 的值,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 b? R 时,函数 y ? f ( x) ? m 有两个零点,求实数 m 的取值范围. (Ⅲ)是否存在这样的直线 l ,同时满足: ① l 是函数 y ? f (x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线 ② l 与函数 y ? g (x) 的图象相切于点 P( x0 , y 0 ), x0 ? [e , e] , 如果存在,求实数 b 的取值范围;不存在,请说明理由。
?1

参考答案
-6-

一、选择题:ABCD 1.A.解:因为

BCDC

1 ?2?i ?2?i 2 1 ? ? ? ? ? i, ? 2 ? i ( ?2 ? i )( ?2 ? i ) 5 5 5

所以复数

1 1 的虚部是 ? 5 ?2 ? i

2.B.解:因为? N ? M且N ? M ? a ? N ? a ? M ,且 a ? M ? a ? N ,?“ a ? M ” 是“ a ? N ”的必要不充分条件。 3.C;解: S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d , S2 ? a1 ? a2 ? 2a1 ? d ; ∴ 4.D
S3 S2 d? d ? ? ? ? a1 ? d ? ? ? a1 ? ? ? =1,因此 d ? 2 . 3 2 2? 2 ?

由表可知 k ? 1 时 f (1) ? f (2) ? 0 ?零点在 (1,2) 内。 解:计算得 x1 ? x2 =20, s1 ?

5.B

146 ? s2 ? 5

94 ,所以选 B。 5

6.C 解:由图像知 T ? 4 ? (

?
3

?

?
12

) ? ? ,所以 ? ?

2?

?

? 2 ,又

OM ? (

?
12

, A), ON ? (

7? 7? 2 ,? A),? OM ? ON ? ? A2 ? 0 12 144

?A?
7.D

7 7 ? ? A?? ? 12 6

解 : 根 据 题 意 , 该 几 何 体 图 为 圆 柱 和 一 个 1/4 的 球 的 组 合 体 , 所 以 体 积 为

V ? ? ? 12 ? 1 ?
8.C

1 4 4 ? ? ? 12 ? ? 。 4 3 3

解:由图 2 中阴影部分介于平行线 y ? 0 及 y ? a 之间的那一部分的面积的增速知 C 答

案符合。 三、填空题:本大题共 7 小题.考生作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分 (二)必做题(9~13 题) 9. 5 。 解:? Tr ? 1 ? C x
r 6 6? r 6? r 1 r 3 r ( ) ? C 6 x 2 ,? 6 ? r ? 0 即 r ? 4 ,所以常数项是 2 x 3

第 5 项。 10.

1 12

.

解:向量 p 与 q 共线得 6m ? 3n即2m ? n ,符合要求的(

m,n



有: (1,2)(2,4)(3,6) , , ,则向量 p 与 q 共线的概率为

3 1 。 ? 36 12

-7-

11.

? 2 , ? ??

解:平面区域 ?0 ? y ? 2 是一个梯形,

?0 ? x ? 2 ?

? y ? kx ? 2 ?

y y=kx-2 2 y=kx-2

则图形如右图,所以实数 k 的取值范围是 ? 2 , ? ? ? 。

12. 2

解:双曲线

b y2 x2 - 2 =1 的渐近线为 y ? ? x 2 a a b

o 2

x

即 bx ? ay ? 0 ,圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 的圆心(2,0)到

bx ? ay ? 0 的距离为 d ?
-2

2b a 2 ? b2

? 3 ,得

所以双曲线的离心率 e ? 13. 4,

c ? a2

2

a ?b ? 2。 a2
2 2

(3 分) (10, 28] (2 分) ;

解:若输入 x ? 5 ,则 k=4 时, x ? 187? 3 ? 2 ? 244 ,则输出 k=4; 若输出 k=3,则 k=2 时 9 x ? 8 ? 244即x ? 28 ,当 k=3 时 3(9 x ? 8) ? 2 ? 244即x ? 10 所以输入 x 的取值范围是 (10, 28] 。 (三)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.

5 ?1 2

解:设 PM ? x ,则 QN ? x ,由相交弦定理可得 PM ? MQ ? BM ? MA 即 x ? ( x ? 1) ? 1 ? x ?

5 ?1 . 2

15.___ 2 ___. 解:圆 C 的直角坐标系方程为: x ? ( y ? 1) ? 1 ,圆心(0,1)到直线 OA : y ? x 的
2 2

距离为

2 ,则弦长 OA = 2 。 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 l2 分) 解: (1)

? m ? n?
3 2

3 ? sin B sinC ? cos B cos C ? 0 2 3 2
-8-

…………… 2 分

? cos(B ? C ) ? ?

即 ? cos A ?

……………… 4 分

? A为?ABC的内角, 0 ? A ? ? ?

……………… 5 分 ……………… 6 分 …2分

?A?

?
6

2 2 2 2 (2) 若 a ? 1, b ? 3c. 由余弦定理 b ? c ? a ? 2bc ? cos A 得 c ? 1

所以 S ?ABC ?

1 3 2 3 bc ? sin A ? c ? 2 4 4


……………… 6 分

17. (本小题满分 12 分) 解: ( 1 ) b ? 0.3. ( 2) 概率 p ? 0.5 …… 1 分

得 0.5 a? …… 2 分 ①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的

设 5 天中该种商品有 X 天的销售量为 1.5 吨,则 X ~B(5,0.5)
2 P ( X ? 2) ? C 5 ? 0.5 2 ? (1 ? 0.5) 3 ? 0.3125

…… 2 分 …… 4 分

② ? 的可能取值为 4,5,6,7,8,则

P (? ? 4) ? 0.2 2 ? 0.04

P (? ? 5) ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2
P (? ? 6) ? 0.5 2 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37

P (? ? 7) ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3
P (? ? 8) ? 0.3 2 ? 0.09
分 ( 每个 1 分) …… 9

? 的分布列:

?
p

4 0.04

5 0.2

6 0.37

7 0.3

8 0.09

…… 10 分 18. (本小题满分 14 分) 解: (1)? AE 是圆柱的母线? AE ? 底面 BEFC, 又 BC ? 面 BEFC ? AE ? BC ?又?ABCD 是正方形 ? AB ? BC 又 AE ? AB ? A ? BC ? 面 ABE 又 BE ? 面 ABE ? BC ? BE

…… 1 分 …… 2 分 …… 3 分 …… 4 分

-9-

(2)?四边形 AEFD 为矩形,且 ABCD 是正方形 ?EF // BC

? BC ? BE ?四边形 EFBC 为矩形 ?BF 为圆柱下底面的直径 设正方形 ABCD 的边长为 x ,则 AD=EF=AB= x 在直角 ?AEB 中 AE=2,AB= x ,且 BE2+AE2= AB2,得 BE2= x 2-4 在直角 ?BEF 中 BF=6,EF= x ,且 BE2+EF2= BF2,的 BE2=36- x 2
解得 x = 2 5 ,即正方形 ABCD 的边长为 2 5 (3) 解法一: 如图以 F 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(

…… 1 分

…… 2 分 …… 3 分

z
2 5 ,4,0) ,E( 2 5 ,0,0) D 2 5 ,4,0) ,
,

2 5 ,0,2) 2 5 ,0, 2) 2 5
, 0

,B( , FB ? ( , 0 )

FA ? ( FE ? (

A

F B

C

y
z ) ,则

…… 1 分

设面 AEF 的法向量为 n ? (

x, y, x E

? n ? FA ? (x ,y ,z ) ? (2 5 ,0 ,-2) ? 2 5 x - 2z ? 0 ? ? n ? FB ? (x ,y ,z ) ? (2 5 ,4 ,0) ? 2 5 x - 4y ? 0
…3分 令 x ? 1 ,则 y ?

5 5 , z ? 5, 即 n ? ( 1 , , 5) 2 2

…… 4 分

设直线 EF 与平面 ABF 所成角的大小为 ? ,则

sin? ? COS ? n, EF ? ?

n ? EF n ? EF

?

2 5 2 29 ? 29 5 2 5? ?1? 5 4

…… 6 分

所以直线 EF 与平面 ABF 所成角的正弦值为

2 29 。 29

…… 7 分

解法二:如图以 E 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,2) ,B(4,0,0) ,F(0, 2 5 ,0) ,

z A

D y F C B x

- 10 -

E

BF ? (-4, 2 5 ,0), AF ? (0, 2 5 ,-2) EF ? (0, 2 5 ,0)
…… 1 分

,

设面 AEF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则

? n ? AF ? (x ,y ,z ) ? (0 ,2 5 ,-2) ? 2 5 y - 2z ? 0 ? ?n ? BF ? (x ,y ,z ) ? (-4 ,2 5 ,0) ? 2 5 y - 4x ? 0
令 y ? 1 ,则 x ?

…… 3 分

5 , z ? 5, 即 n ? ( 2

5 ,1 , 5 ) 2

…… 4 分

设直线 EF 与平面 ABF 所成角的大小为 ? ,则

sin? ? COS ? n, EF ? ?

n ? EF n ? EF

?

2 5 2 29 ? 29 5 2 5? ?1? 5 4

…… 6 分

所以直线 EF 与平面 ABF 所成角的正弦值为 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意得: 2a ? 2 3 则 b ? 1 椭圆 C 的方程为
2

2 29 。 29

…… 7 分

得a?

3 ,半焦距 c ? 2

…… 2 分

x2 ? y2 ? 1 3
2

.. 分 ..3

“伴随圆”的方程为 x ? y ? 4 (2)假设 y 轴上存在点 P ( 0,

.. 分 ..5

m)

?m ? 0? ,
…… 1 分

则设过点 P 且与椭圆有一个交点的直线 l 为: y

? kx ? m ,



? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? 3 ? y ?1 ?
2

整理得

?1 ? 3k ?x
2

2

? 6kmx ? 3m 2 ? 3 ? 0

?

?

....3 分 ...

所以 ? ? ?6km? ? 4 1 ? 3k 2 3m 2 ? 3 ? 0

?

??

?

,解 3k

2

? 1 ? m2



.. 分 ..5

又因为直线 l 截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 2 ,

? m ? 则有 2 2 ? ? ? ?2 2 ? 2 ? ? k ?1 ?
2

2

化简得 m

2

? 2 k 2 ?1

?

?

② .. 分 ..7

- 11 -

联立① ②解得, k

2

? 1, m 2 ? 4 ,所以 k ? ?1, m ? ?2(? m ? 0)
0,

所以 y 轴上存在点 P (

?2
.. 分 ..9



20.(本小题满分 14 分) ⑴由已知 b1 ? a1 ,所以 a1 ? m ;
3 m b2 ? 2a1 ? a2 ,所以 2a1 ? a2 ? m ,解得 a2 ? ? ; 2 2 1 所以数列 {an } 的公比 q ? ? ; 2
? 1? ⑵当 m ? 1时, an ? ? ? ? ? 2?
n ?1

.. 分 ..1 .. 分 ..2 .. 分 ..3



.. 分 ..1

bn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,………………………①,

1 ? bn ? na2 ? (n ? 1)a3 ? ? ? 2an ? an ?1 ,……………………②, 2 3 ②-①得 ? bn ? ?n ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 , 2
n 1? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? n 2? ? 2? ? 3 ? ? ? ?n ? 1 ?1 ? ? ? 1 ? ? , 所以 ? bn ? ?n ? ? ? ? ? 2 3? ? 2? ? ? 1? ? ? 1? ?? ? ? 2?

.. 分 ..2

.. 分 ..4

2n 2 2 ? 1 ? 6n ? 2 ? (?2)1? n bn ? ? ? ?? ? ? 3 9 9? 2? 9
n

...5 分 ..

? 1? m[1 ? ? ? ? ] n ? 2 ? ? 2m ? ?1 ? ? ? 1 ? ? , ⑶ Sn ? ? ? ? ? 3 ? ? 2? ? ? 1? ? ? 1? ?? ? ? 2?
? 1? 因为 1 ? ? ? ? ? 0 ,所以由 Sn ?[1, 3] 得 ? 2?
n

n

.. 分 ..1

1 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n



2m ≤ 3

3 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

,..2 分 ..

? 1 ? ? 3? 注意到,当 n 为奇数时, 1 ? ? ? ? ? ?1, ? ; ? 2 ? ? 2? ? 1 ? ?3 当 n 为偶数时, 1 ? ? ? ? ? ? , ? 2 ? ?4
n

n

.. 分 ..3

? 1? , ?

.. 分 ..4

- 12 -

3 3 ? 1? 所以 1 ? ? ? ? 最大值为 ,最小值为 . 2? 2 4 ?

n

.. 分 ..5
3 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n

对于任意的正整数 n 都有

1 ? 1? 1? ?? ? ? 2?
n



2m ≤ 3



4 2m 所以 ≤ ≤ 2 ,解得 2 ≤ m ≤ 3 , 3 3 21. (本小题满分 14 分)

.. 分 ..6

解: (1) x ? 0时, f ( x) ? ( x 2 ? 2ax)e x ,
? f ?( x) ? (2 x ? 2a)e x ? ( x2 ? 2ax)e x ? [ x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a]e x .

.. 分 ..1 ……2 分

由已知得, f '( 2) ? 0, ? 2 ? 2 2 ? 2a ? 2 2a ? 0, 解得 a=1.

? f ( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x ,? f ' ( x) ? ( x 2 ? 2)e x .
当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( 2, ??) 时, f ?( x) ? 0 .又 f (0) ? 0 , .. 分 ..3

当 b ? 1 时, f ( x) 在 (??,0) , ( 2, ??) 上单调递增,在 (0, 2) 上单调递减. ………4 分 (2)由(1)知,当 x ? (0, 2) 时, f (x) 单调递减, f ( x) ? ((2 ? 2 2)e 2 ,0) 当 x ? ( 2, ??)时 , f (x) 单调递增, f ( x) ? ((2 ? 2 2)e 2 , ??) . ………………2 分

要使函数 y ? f ( x) ? m 有两个零点,则函数 y ? f (x) 的图象与直线 y ? m 有两个不同的 交点. ①当 b ? 0 时,m=0 或 m ? (2 ? 2)e 2 ; 分 ②当 b=0 时, m ? ((2 ? 2 2)e 2 ,0) ; 分 ③当 b ? 0时, m ? ((2 ? 2 2)e 2 , ??) .
2 x

.. ..3

.. ..4

.. 分 ..5
2 x

(3)假设存在, x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? 2 x)e ,? f ' ( x) ? ( x ? 2)e

? f (2) ? 0, f ' (2) ? 2e 2
函数 f (x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线 l 的方程为: y ? 2e ( x ? 2),
2

.. 分 ..1

?直线 l 与函数 g (x) 的图象相切于点 P( x0 , y 0 ), x0 ? [e ?1 , e] ,

- 13 -

? y 0 ? c ln x0 ? b



g ' ( x) ?

c c ,所以切线 l 的斜率为 g ' ( x0 ) ? , x0 x

所以切线 l 的方程为 : y ? y 0 ?

c ( x ? x0 ) x0
…………2 分

即 l 的方程为: y ?

c x ? c ? b ? c ln x0 x0

c ? ? ? 2e 2 c ? 2e 2 x 0 ? 得? ?? x0 2 ?b ? c ? c ln x0 ? 4e ? ? c ? b ? c ln x0 ? ?4e 2 ?
得 b ? 2e ( x0 ? x0 ln x0 ? 2) 其中 x0 ? [e , e]
2 ?1

.. 分 ..3

记 h( x0 ) ? 2e ( x0 ? x0 ln x0 ? 2) 其中 x0 ? [e , e]
2

?1

? h' ( x0 ) ? 2e 2 (1 ? (ln x0 ? 1)) ? ?2e 2 ln x0
令? h' ( x0 ) ? 0得x0 ? 1 .. 分 ..4

x0
h' ( x 0 ) h( x 0 )
2

(e ?1 ,1)
+

1 0 极大值 ? 2e

(1,e)
-

2

又 h(e) ? ?4e , h(e ) ? 4e ? 4e ? ?4e
2

?1

2

? x0 ? [e ?1 , e],? h( x0 ) ? [?4e 2 ,?2e 2 ]
所以实数 b 的取值范围的集合: {b | ?4e ? b ? ?2e }
2 2

…………5 分

- 14 -


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