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2008--2009高中数学第一轮复习学案---(01)集合


高中数学第一轮复习学案

集 合

第 01 讲

集合的含义与表示 集合的含义与表示

高考《考试大纲》的要求: 高考《考试大纲》的要求: ① 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. ② 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 基础知识回顾: (一)基础知识回顾:

1.集合与元素的描述、标记 集合与元素的描述 集合与元素的描述、标记: 2.集合与元素的关系 集合与元素的关系:① a ∈ A 表示_______________________读作___________; 集合与元素的关系 ② a ? A 表示_______________________读作___________; 3.集合内元素的三个基本特征 集合内元素的三个基本特征:________、_________、_________ 集合内元素的三个基本特征 4. 常用数集的特定记法 常用数集的特定记法:自然数集______、正整数集________、整数集______、 有理数集______、实数集__________、复数集_______。 5. 集合的表示方法 集合的表示方法:__________、______________、______________。 6. 集合的分类 集合的分类:_____________ 、______________。 7.空集 空集:___________________的集合,叫做空集,记作________. 空集 例题分析: (二)例题分析: 例 1.已知集合 P = { y = x2 + 1} , Q = { y | y = x 2 + 1} , E = {x | y = x 2 + 1} , F = {( x, y) | y = x2 +1} ,

G = { x | x ≥ 1} ,则 ( ) ( A) P = F ( B ) Q = E (C ) P=Q

( D) Q = G

辽宁文 理 设 A 若对任意 a,b ∈ A , a ⊕ b ∈ A , 有 例 2.2006 辽宁文、 ) ⊕ 是 R 上的一个运算, 是 R 的非空子集, ( 则称 A 对运算 ⊕ 封闭. 下列数集对加法、 减法、 乘法和除法 (除数不等于零) 四则运算都封闭的是 ( ) A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 例 3.(2005 湖北理、文)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P + Q = {a + b | a ∈ P, b ∈ Q}, 湖北理、 (

若P = {0, 2,5}, Q = {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是(
A.9 B.8 基础训练: (三)基础训练: A.直角三角形 A. ( ?∞, 0 ) C.7 D.6



1.已知集合 M = {a, b, c} 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长,那么此三角形一定不是( ) B.等腰三角形
2

C.锐角三角形 ) D.

D.钝角三角形

2. 2007 湖南文)不等式 x > x 的解集是( 湖南文) ( B.
2

( 0,1)

C. (1, +∞ )

( ?∞, 0 ) ∪ (1, +∞ )

3.已知集合 A={x ∈ R|ax -4x+2=0,a ∈ R}中至多有一个元素,则实数 a 的取值范围是 __________。

4.已知: f ( x ) = x 2 + ax + b , A = { x | f ( x) = 2 x} = {2} ,则 a =_______, b =_________. (四)拓展与探究: 拓展与探究: 1.(2007 福建文 福建文)中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”“平行关系”等等.如果集合 A 中元 、 ( 素之间的一个关系“-”满足以下三个条件: (1) 自反性:对于任意 a∈A,都有 a-a; (2) 对称性:对于 a,b∈A,若 a-b,则有 b-a; (3) 传递性:对于 a,b,c∈A,若 a-b,b-c,则有 a-c. 则称“-”是集合 A 的一个等价关系.例如: “数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系 (自反性不成立).请你再列出两个等价关系: __________________ . 2. 2006 四川理) ( 四川理) 非空集合 G 关于运算 ⊕ 满足: (1) 对任意的 a, b ∈ G , 都有 a ⊕ b ∈ G , (2)存在 e ∈ G , 对任意的 a ∈ G ,都有 a ⊕ e = e ⊕ a = a .则称 G 关于运算 ⊕ 为“融洽集” 。现给出下列集合和运算: ① G={非负整数} ⊕ 为整数的加法。 , ② G={偶数} ⊕ 为整数的乘法。 , ③ G={平面向量} ⊕ 为平面向量的加法。 ④ G={二次三项式} ⊕ 为多项式的加法。 , , (写出所有“融 ⑤ G={虚数} ⊕ 为复数的乘法。其中 G 关于运算 ⊕ 为“融洽集”的是___________。 , 洽集”的序号)

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第 02 讲

集合间 集合间的基本关系

高考《考试大纲》的要求: 高考《考试大纲》的要求: ① 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. ② 在具体情境中,了解全集与空集的含义. 基础知识回顾: (一)基础知识回顾: 1.子集 子集:对于两个集合 A 与 B,如果_______________________________,即若______,则______, 子集 就说集合 A 包含于集合 B,或___________,这时我们说集合 A 是集合 B 的子集,记作_________。 当集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A 时,记作__________________. 2.集合的相等:对于两个集合 A 与 B,如果______________________________________,同时 集合的相等: 集合的相等 _____________________________,这时,我们说集合 A 与集合 B 相等,记作_________. 3.真子集:对于两个集合 A 与 B,如果__________________________________,我们说集合 A 是 真子集: 真子集 集合 B 的真子集,记作___________________________. 4.几个重要结论 ①A ? A: ②φ ? A : .几个重要结论: ③若有限集 A 有 n 个元素,则 A 的子集有_____个,真子集有________个. (二)例题分析: 例题分析: 例 1.在以下 6 个式子中: ①{0}∈{0,1}; ② φ {0}; ③{0,-1,1}?{-1,0,1}; ④0∈ φ ; (A)2 个 ⑤{(0,0)}={0}, (B)3 个 (C)4 个 ⑥{0}= φ (D)5 个 错误的写法的个数是( )

例 2.(2006 上海理)已知集合 A= { -1,3,2 m -1 } ,集合 B= { 3, m } .若 B ? A,则实数 m =_____. 2006 上海理)
2

例 3.若集合 A = x | x 2 + ax + 1 = 0, x ∈ R ,集合 B = {1, 2} ,且 A ? B ,求实数 a 的取值范围. (三)基础训练: 基础训练: 1. 2001 春招北京、内蒙古、安徽卷文理)集合 M = { ,2,3,4,5}的子集个数是( 春招北京、内蒙古、安徽卷文理) 1 ( (A)32 (B)31 (C)16 (D)15 2. 下列命题正确的是( ) (A)任何一个集合都至少有两个子集 (C) 空集是任何集合的真子集
2 2

{

}



(B) 任何一个集合都是它本身的真子集

(D) 集合 A = x ∈ R x ? 2 x + 1 = 0 有且仅有两个子集
2

{

}

3.已知集合 A={0,1},B={y|x +y =1,x∈A}.则 A 与 B 的关系是( (A)A=B (B)A B(C)A ? B(D)A B



4.(2006 上海文)已知 A = {?1, 3, m} ,集合 B = {3, 4} ,若 B ? A ,则实数 m=________. ( 上海文) 5.满足条件 {a ,b} ? M {a ,b ,c ,d ,e}的集合 M 的个数是________个。

6.已知 M = {x | 2 x 2 ? 5 x ? 3 = 0} , N = {x | mx = 1} ,若 N ? M ,则适合条件的实数 m 的集合 P 为 ________________________. 拓展探究: (四)拓展探究: 1.若非空集 S ? {1,2,3,4,5},且若 a∈S,必有(6-a)∈S,则所有满足上述条件的集合 S 共有

个.

? ? x ? 2 y + 5 ≥ 0? ? ? ? 2 2 2. (2007 浙江理)设 m 为实数,若 ?( x,y ) ?3 ? x ≥ 0 浙江理) ? ? ( x,y ) x + y ≤ 25 , ? ?mx + y ≥ 0 ? ? ? ?

{

}

则 m 的取值范围是___________. 3. 2007 北京文 ( 北京文)记关于 x 的不等式 (I)若 a = 3 ,求 P ;

x?a < 0 的解集为 P ,不等式 x ? 1 ≤ 1 的解集为 Q . x +1 (II)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

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第 03 讲

集合的基本运算 集合的基本运算 基本

高考《考试大纲》的要求: 高考《考试大纲》的要求: ① 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. ③ 能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算. 基础知识回顾: (一)基础知识回顾: 1.交集:定义________________________,表示 A ∩ B = _____________,图示 交集的性质: 2.并集: 定义________________________,表示 A ∪ B = _____________,图示 并集的性质: 3.全集: 4.补集: 定义________________________,表示 C U A = _____________,图示 补集的性质: 5.两个重要结论: (1) A ∩ B = A ? A ? B , A ∪ B = A ? A ? B ; (2) C U ( A ∩ B) = (C U A ) ∪ (C U B) , C U ( A ∪ B) = (C U A ) ∩ (C U B) . (二)例题分析: 例题分析: 陕西理) 2, 4, 集合 A = {x | x 2 ? 3 x + 2 = 0} ,B = {x | x = 2a,a ∈ A} , 例 1. (2008 陕西理)已知全集 U = {1, 3, 5} , 则集合 CU ( A ∪ B ) 中元素的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

安徽理) 例 2. 2006 安徽理)设集合 A = x x ? 2 ≤ 2, x ∈ R ,B = {y | y = ? x 2 ,?1 ≤ x ≤ 2} ,则 CR ( A ∩ B ) ( 等于( A. R ) B. x x ∈ R, x ≠ 0


{

}

{

}

C. {0}

D. ?


例 3.已知集合A={a ,a+1,-3} ,B={a-3,a +1,2a-1} ,且A ∩ B={-3}. 则 a=________.

例 4.已知:集合 A = {x | x 2 ? px ? q = 0} , B = {x | x 2 + (q ? 2) x ? p = 0} ,且 A ∩ B = {1} , 求A ∪ B.

1.(2008 安徽文、理)若 A 为全体正实数的集合, B = {?2, ?1,1, 2} 则下列结论正确的是( ( 安徽文、 A. A ∩ B = ?2, ?1}

(三)基础训练: 基础训练:



{

B. (CR A) ∪ B = ( ?∞, 0) D. (CR A) ∩ B = ?2, ?1} )

C. A ∪ B = (0, +∞ )

{

2.(2008 四川文、理)设集合 U = {1, 2,3, 4,5} , A = {1, 2,3} , B = {2,3, 4} ,则 CU ( A ∩ B ) = ( (2008 四川文、 (A) {2,3} (B) {1, 4,5} (C) {4,5} (D) {1,5}

3.(2007 海南、宁夏文 海南、宁夏文)设集合 A = { x | x > ?1},B = { x | ?2 < x < 2} ,则 A ∪ B = ( A. { x | x > ?2} B. x | x > ?1



{

}

C. { x | ?2 < x < ?1}

D. { x | ?1 < x < 2}

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集 合 )

4.(2007 湖北文)如果 U={x|x 是小于 9 的正整数},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},那么 CUA∩CUB=( 湖北文 A.{1,2} B.{3,4} C.{5,6} D.{7,8} 5. 2007 江苏)已知全集 U = Z , A = {?1, 0,1, 2}, B = {x | x 2 = x} ,则 A ∩ CU B 为( ( 江苏) A. {?1, 2} B. {?1, 0} C. {0,1} D. {1, 2}



湖北文 6. 2006 湖北文)集合 P={x」x2-16<0},Q={x」x=2n,n ∈ Z},则 P ∩ Q=( ( A.{-2,2} B.{-2,2,-4,4} C.{2,0,-2} D.{-2,2,0,-4,4} 7.(2006 江苏)若 A、B、C 为三个集合, A ∪ B = B ∩ C ,则一定有( ( 江苏) (A) A ? C (B) C ? A (C) A ≠ C (D) A = φ )



8. 2000 上海文、理)若集合 S = y | y = 3 x .x ∈ R ., T = y | y = x 2 ? 1, x ∈ R ,则 S ∩ T 是( 上海文、 ( (A) S (B) T (C) φ (D)有限集

{

}

{

}



9.如图,U 是全集,M、P、S 是 U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( (A) ∩ P ) ∩ S (M (B) ∩ P ) ∪ S (M (C) ∩ P) ∩ (CUS) (D) ∩ P) ∪ (CUS) (M (M



上海文理) 10、 2004 上海文理)设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b}.若 A∩B={2},则 A∪B= (

.

11.定义集合的一种运算 A ? B = {x | x ∈ A且x ? B} ,若 M = {1,2,3,4,5}, N = {2,3,6} , ____ . 则 M-N = ____ , N-M=

(五)拓展探究: 拓展探究: 1.(2008 江苏)A= { x ( x ? 1) < 3 x ? 7} ,则 A ∩ Z 的元素的个数 (2008 江苏)
2

____



1 ? ? ? 1 ? ? ? 2. 2006 上海春招)若集合 A = ? y y = x 3 , ?1 ≤ x ≤ 1? , B = ? y y = 2 ? ,0 < x ≤ 1? , ( 上海春招) x ? ? ? ? ? ? 则 A∩B 等于( ) (A) ( ? ∞, 1 ] . (B) [ ? 1, 1 ] . (C) ? . (D) {1} .

3. (2005 春考·上海 春考·上海)若集合 A = x 3 cos 2π x = 3 x , x ∈ R , B = y y 2 = 1 , y ∈ R , 则 A∩ B= .

{

}

{

}

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参考答案 第 01 讲 集合的含义与表示
(二)例题分析: 例题分析: 例 1.D; 例 2.C; (三)基础训练: 基础训练: 1. B; 2.D; 例 3. B. 3. {0} ∪ [2,+∞ ) ;

4. a =-2, b =4.

(四)拓展与探究: 拓展与探究: 1. 图形的全等;图形的相似;命题的充要条件;非零向量的共线;

2. ① ,③

第 02 讲

集合间的基本关系

(二)例题分析: 例题分析: 例 2. m=1; 例 1.C; 2 例 3.解:若 A= φ ,则 A ? B ,此时△=a -4<0 ,解得-2<a<2 若 1∈A,则 1+a+1=0,解得 a=-2,此时 A={1} ? B 成立 若 2∈A,则 4+2a+1=0,解得 a = ?

所以,实数 a 的取值范围是 [? 2,2 ) . (三)基础训练: 基础训练: 1. A; 2. D; 3.B; 4. 4 ; 5.7 个;

5 1 ,此时 A={2, }, A ? B 不成立。 2 2

6.{0,

1 ,-2}. 3

(四)拓展探究: 拓展探究: 1.7 个;

? 4? ? ? 3.解: (I)若 a = 3 , P ={x|-1<x<3}; (II)若 Q ? P ,则正数 a 的取值范围是 (2,+∞ ) .
2. ?0, ? ; 3

第 03 讲
(二)例题分析: 例题分析: 例 1. B; 例 2.B;

集合的基本运算
例 4. A ∪ B ={-1,0,1}

例 3.a=___-1_____;

(三)基础训练: 基础训练: 1. D; 2.B; 3.A; 10、A∪B= {1,2,5} ; (五)拓展探究: 拓展探究: 1.0 个; 0

4. D; 5.A; 6.C; 7. A; 8. A; 11. M-N = {1,4,5} , N-M= {6} .

9. C;

2. B;

3. A ∩ B ={1}

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