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1.3.1函数的单调性与导数公开课学案


2011 学年第二学期从化三中数学科组公开课

函数的单调性与导数( 1.3.1 函数的单调性与导数(一)
设计: 设计:从化三中 黄林城 学习目标: 学习目标: 目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。 学习重点难点: 学习重点难点: 重点难点 重点:利用导数工具研究函数的单调性,培养学生研究函数性质的方法。 难点:探索导数的特征与研究函数性质之间的关系。 学习过程: 学习过程: 过程 导学】 【导学】 情境引入: 确定函数 y = x 2 ? 4 x + 3 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数? 一、 情境引入: 问题 1:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的? :

问题 2:我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律?试探讨函 : 数 y = x 2 ? 4 x + 3 的单调性与其导函数正负的关系。

自主探究: 自主探究:这种规律是否具有一般性呢? 我们可否再举一些函数看看?先看函数 y = x 、 探究

y = x 2 、 y = x3 、 y =

1 的图像,验证其是否具有这种规律. x

问题 3:通过以上,你发现了什么现象? 建构新知: 二、建构新知: 用导数判断函数的单调性的法则: 利用导数判断函数的单调性的法则: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内 如果 如果 ,那么函数 y=f(x)在(a,b)上单调递 ,那么函数 y=f(x)在(a,b)上单调递 ; ;

1

2011 学年第二学期从化三中数学科组公开课

思考:如果在某个区间恒有 f ( x) = 0 ,那么函数 f ( x ) 有什么特性?
'

【体验】 体验】 典例剖析: 三、典例剖析: 例 1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. . (1)f ( x ) = x ? 2 x ? 3 ; (2)f ( x ) = 2 x ? 6 x + 7 ; (3)f ( x ) = sin x ? x , x ∈ (0, π )
2

3

2

小结:利用导数求 单调区间的步骤: 小结:利用导数求函数 y = f ( x) 单调区间的步骤

变式训练 1: 判断下列函数的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x ) = x 2 ? 2 x + 4 ; (2) f ( x ) = e x ? x ; (3) f ( x ) = x 3 ? x 2 ? x

例 2.已知导函数 f ′( x ) 的下列信息 . f(x) 当 1<x<4 时, f ′( x ) >0; 当 x<1 或 x>4 时, f ′( x ) <0; 当 x=1 或 x=4 时, f ′( x ) =0. 试画出函数 f(x)的图像的大致形状。
' 变式训练 2: 函数 y = f ( x) 的图象如图所示,试画出导函数 f ( x ) 的大致形状。

0

x

f ' ( x)

0

x

2

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【评价】 评价】 课堂总结: 四、课堂总结: 1.本节课学会了什么知识?

2.什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便?

五、课后作业: 课后作业: 必做:课本 31 页 A 组第 1(2) 、2(1) (4) (4)题; 选做:课本 26 页练习第 3 题。 六.课堂测评: 课堂测评: 3 2 1.函数 f ( x) = x ? 3 x + 1 是减函数的区间为( A. ( 2,+∞) B. (?∞,2) C. (?∞,0)

) D. (0,2) ) D.

2.函数 f ( x) = ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 ( A.

( ?∞, 2 )

B.(0,3)

C. (1,4)

( 2, +∞ )

3.设 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导数, y = f '( x) 的图像如图所示,则 y = f ( x) 的图像最有可 能的是( ) .

y
1 0 A 2 x 0

y
1 2

y
1

y = f '( x)
2

x
B

0

x

y
2 0 1 C

y
2

x

0

1 D

x

4.如果函数 y = f ( x) 的图像如右图,那么导函数 y = f '( x) 的图像可能是(



3

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5.函数 f ( x) = x3 + ax ? 2 在区间 [1, +∞ ) 内是增函数,则实数 a 的取值范围是( A. [3, +∞) B. [ ?3, +∞ ) C. ( ?3, +∞) D. ( ?∞, ?3) . _________

) .

6.函数 f ( x) = 2 x 3 ? 9 x 2 + 12 x + 1 的单调减区间为 7. 函数 f ( x ) = x ln x ( x > 0) 的单调递增区间是 8.已知函数 f ( x ) = ln x ? 2 x . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)求函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程.

. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

9.已知函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + cx + d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) )处 的切线方程为 6 x ? y + 7 = 0 . (Ⅰ)求函数 y = f (x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y = f (x ) 的单调区间.

七、课后探究:已知函数 f ( x ) = x + 课后探究:

a (x ≠ 0) ,其中 a ∈ R ,讨论函数 f (x ) 的单调性。 x

学习反思: 学习反思: 反思

4


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