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课件-18(三个二次的关系与函数零点,二分法)


3.1.2

用二分法求方程的近似解

f(a)· f(b)<0 连续不断且________ 1.二分法的定义:对于区间[a,b]上________ 的函数y=f(x),通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间 一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近_____ ___________ 零点 ,进而得到零 点的近似值的方法,叫做二分法.由函

数的零点与相应方程根

的关系,可以用二分法求方程的近似解.

沂源二中 高一数学

小 ,区间端点 2.二分法的求解过程中所选区间的长度尽量___ 相反 ,最后满足区间长度______ 小于 精确度才终 的函数值的符号______ 止计算. 3.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次计 0.25 算得 f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算 f(x1),则 x1=_____. 4.若在函数零点的附近两侧的函数值异号,称该零点为 变号 零点;若在函数零点的附近两侧的函数值同号,称该零 _______ 不变号 零点.二分法是求函数_____ 变号 零点的方法. 点为________

重难点

二分法

(1)适用条件:函数图象在零点附近连续,且在该零点左右 函数值异号 时,才能应用二分法求函数零点近似值.该条件表 .. 明二分法可求近似值的函数零点都是变号零点 . ....

(2)给定精度 ε,用二分法求 f(x)零点近似值的步骤: ①确定区间[a,b],验证 f(a)· f (b )< 0 ; ②求区间(a,b)的中点 x1; ③计算 f(x1).若 f(x1)=0,则 x1 是函数的零点,若 f(a)· f(x1) <0,则令 b=x1(此时零点 x0∈(a,x1)),若 f(x1)· f(b)<0,则令 a=x1(此时零点 x0∈(x1,b)); ④判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似 值 a(或 b);否则重复②~④步骤.

二分法的适用条件 例 1:如图 1,函数的图象与 x 轴均有交点,其中不能用二 分法求交点横坐标的是( D )

图1 A.① B.①③ C.②③ D.①④

思维突破:二分法的理论依据是零点存在性定理,因此必

须满足零点两侧函数值异号.
①④零点两侧函数值同号,即不满足 f(a)· f(b)<0,则不能 用二分法求解. 对“函数在区间[a,b] 上连续”的理解如

下:不管函数在整个定义域内是否连续,只要找得到包含零点
的区间上函数图象是连续的即可.

1-1.图 2 是函数 f(x)的图象,它与 x 轴有 4 个不同的公共 点.给出下列四个区间,不能用二分法求出函数 f(x)的零点近似

值的是( B )

图2 A.(-2.1,-1) C.(4.1,5) B.(1.9,2.3) D.(5,6.1)

解析:只有 B 中的区间所含零点是不变号零点.

①③ 能用二分法求其近似零点. 1-2.下列函数中,函数_____ ①y=2x+3;②y=x2+2x+1;③y=-3+lgx. 解析:根据函数的图象可知,①③的零点是变号零点, ②的零点是不变号零点. 用二分法求方程的近似解 例 2:先用求根公式求出方程 3x2-4x-1=0 的解,然后再 借助计算器或计算机,用二分法求出这个方程的近似解(精确度

为 0.1).
思维突破:按二分法求近似解的步骤进行求解即可.

2± 7 解:方程 3x -4x-1=0 的根为 x= 3 .
2

下面用二分法求方程的根的近似值. 令 f(x)=3x2-4x-1,作出 x、f(x)的对应值(如表)与图(如图3). x f(x) -1 6 0 -1 1 -2 2 3 3 14

图 3

观察图象及表可知,此方程有两个根,一个在 (-1,0)内, 一个在(1,2)内. 若 x0∈(-1,0),取区间(-1,0)的中点 x1=-0.5, 则 f(-0.5)=1.75. ∵f(-0.5)· f(0)<0,∴x0∈(-0.5,0). 再取区间(-0.5,0)的中点 x2=-0.25, 算得 f(-0.25)=0.187 5, ∵f(-0.25)· f(0)<0, ∴x0∈(-0.25,0).

同理,可得 x0∈(-0.25,-0.125), x0∈(-0.25,-0.187 5), x0∈(-0.218 75,-0.187 5), 由于|0.218 75-0.187 5|=0.031 25<0.1, ∴可以把 x0=-0.218 75 作为方程 3x2-4x-1=0 的一个根 的近似值. 同理,若 x0∈(1,2)时,方程的根的近似值为 1.531 25. 2± 7 综上,方程 3x -4x-1=0 的根的精确值为 x= 3 ,近似
2

值为-0.218 75 或 1.531 25.

用二分法求方程的近似解的关键:①判断
是否可用二分法;②初始区间的选取,符合条件(包含零点),又 要使其长度尽量小;③随时进行精确度的判断,以决定是停止 计算还是继续计算.

2-1.设 f(x)=2x+x-2,用二分法求方程 2x+x-2=0 在(0,1) 内近似解的过程中得 f(0)<0,f(1)>0,f(0.5)<0,则方程的根

落在区间( B )
A.(0,0.5) C.不能确定 B.(0.5,1) D.都不正确

2-2.用二分法求方程 2x3+3x-3=0 的一个近似解 (精确度 0.01).
解:设 f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值异号的区间开 始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间. 经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,所以函数 f(x)=2x3+3x -3 在(0,1)内存在零点, 即方程 2x3+3x-3=0 在(0,1)内有解. 取 (0,1)的中点 0.5,经计算,f(0.5)=-1.25<0,又 f(1)>0,所以 方程 2x3+3x-3=0 在(0.5,1)内有解.

如此下去,得到方程2x3+3x-3=0 实数解所在区间的表如下: 左端点 右端点 1 0

第 1次
第 2次 第 3次

0.5
0.5 0.625

1
0.75 0.75

第 4次
第 5次 第 6次 第 7次 第 8次

0.687 5
0.718 75 0.734 375 0.734 375

0.75
0.75 0.75 0.742 187 5

∵|0.742 187 5-0.734 375|=0.007 812 5<0.01, ∴方程 2x3+3x-3=0 的一个近似解为 0.742 187 5.

二分法的实际应用

例 3:如图 4,有一块边长为 15 cm 的正方形铁皮,将其四
个角各截去一个边长为 x cm 的小正方形,然后折成一个无盖的 盒子. (1)求出盒子的体积 y 以 x 为自变量的 函数解析式,并讨论这个函数的定义域;

(2)如果要做成一个容积是 150 cm3 的无
盖盒子,那么截去的小正方形的边长 x 是 多少厘米(精确到 0.1 cm)? 图4

思维突破:建立函数模型,然后转化为求方程的解,在精 确度要求的范围内选用二分法.
解:(1)y=(15-2x)2x,x∈(0,7.5). (2)如果要做成一个容积是 150 cm3 的无盖盒子,那么小正 方形的边长 x 就是方程(15-2x)2x=150 在 x∈(0,7.5)内的解. 令 f(x)=(15-2x)2x-150, x∈(0,7.5). 由计算器可以确定 f(x) 分别在(0,1)和(4,5)内各有一个零点,即方程(15-2x)2x=150 分 别在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解. 下面用二分法求方程的近似解: 取区间(0,1)的中点 x1=0.5,计算得 f(0.5)=-52,

所以零点 x0∈(0.5,1), 再取(0.5,1)的中点 x2=0.75,可算得 f(0.75)≈-13.31, 所以 x0∈(0.75,1), 同理可得 x0∈(0.75,0.875),x0∈(0.812 5,0.875), x0∈(0.843 75,0.875),x0∈(0.843 75,0.859 375), x0∈(0.843 75,0.851 562 5),x0∈(0.843 75,0.847 656 25). 所以方程在区间(0,1)内精确到 0.1 的近似解为 0.8. 同理可得方程在区间(4,5)内精确到 0.1 的近似值为 4.7. 所以如果做成一个容积为 150 cm3 的无盖盒子, 截去的小正 方形的边长大约是 0.8 cm 或 4.7 cm.

3-1.甲从 A 地以每小时 60 km 的速度向 B 地匀速行驶.

15 分钟后,乙从 A 地出发加速向甲追去,已知乙距 A 地的路程
s(km)与时间 t(h)的关系为 s=20t2,求乙多长时间可追上甲(精确 到 0.1)?
解:设乙经过 t h 可追上甲,则 整理,得 4t2-12t-3=0. 设 f(t)=4t2-12t-3, ∵f(3)=-3<0,f(4)=13>0, ∴函数 f(t)=4t2-12t-3 在(3,4)上必有一零点,
? 1? 60?t+4?=20t2, ? ?

即方程 4t2-12t-3=0 在(3,4)上必有一实根. 设该实根为 t0,则 t0∈(3,4),用二分法可知: t0∈(3,3.5),t0∈(3,3.25),t0∈(3.125,3.25), t0∈(3.187 5,3.25),t0∈(3.218 75,3.25), t0∈(3.218 75,3.234 375). 由于区间(3.218 75,3.234 375)的两个端点值精确到 0.1 时都 是 3.2,∴t0=3.2. 故乙约需 3.2 小时可追上甲.

2 例 4: 借助计算器, 用二分法求函数 f(x)=lnx- x 在区间(2,3) 内的零点(精确到 0.1).

错因剖析:未分清“精确度为ε”与“精确到ε”的区别.按 “精确度为ε”求得的近似值不是唯一的,即若|a-b|<ε,则[a,b] 上任何一个实数均可作为零点 x0 的所求近似值.而按“精确 到ε”求得的近似值是唯一的,即此时(a,b)两端精确到ε的近似 值相同.

正解:可证得函数在区间(2,3)上为增函数. 由题设有 f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0. 由于 f(2)· f(3)<0,故函数 f(x)在区间(2,3)内有一个零点 x0, 即 x0∈(2,3). 2 下面用二分法求函数 f(x)=lnx- x 在区间(2,3)内零点的近似 值: 取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器得 f(2.5)≈0.12>0, 由于 f(2)· f(2.5)<0,所以 x0∈(2,2.5), 再取区间(2,2.5)的中点 x2=2.25,

用计算器算得 f(2.25)≈-0.08<0, 由于 f(2.25)· f(2.5)<0,所以 x0∈(2.25,2.5), 同理可得 x0∈(2.25,2.375),x0∈(2.312 5,2.375), x0∈(2.343 75,2.375),x0∈(2.343 75,2.359 375), x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25). 由于区间(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到 0.1 的近 似值都是 2.3, 所以函数 f(x)在区间(2,3)内精确到 0.1 的零点的近 似值为 2.3.


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