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高中物理教学论文 《几何画板》在高中数学中的应用


《几何画板》在高中数学中的应用
[摘要]《几何画板》是一款适用于几何(平面几何、解析几何、射影几何等)教学的软件 : 平台。它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。本文在对《几何画板》这 一软件进行基本介绍的基础上,列举了《几何画板》在高中代数,立体几何,平面解析几何 和高中数学实验等方面的应用。 [关键词] :几何画板 信息技术辅助教学 高中数学 数学实验 一张嘴、一支粉笔、一本书、一块黑板,这是传统的教学方法,时至今日,还有着极其强大 的生命力。在这样的教学模式下,知识的掌握、重点和难点的突破,总是靠教师机械反复地 讲, 学生则机械反复地练。 从而导致了学生过重的课业负担, 有的老师也百思不得其解, “这 道题,我重复讲了五、六遍,还是不懂”,我想这恐怕是挂在少数老师嘴上的口头禅。学生 在学习的过程中总是在反复的识记、反复的再认和保持,要培养学生的创新思维,培养学生 的实践能力,又谈何容易。那么如何改变数学教学的这种现况呢?那就是数形结合的桥梁 ——《几何画板》 ,自从我学习和使用了《几何画板》后,才切实的感受到了“麻雀虽小, 五脏俱全”的含义,也充分感受到了它在我们高中数学教学中的作用。 《几何画板》是美国软件 The Geometer’s Sketchpad 的汉化版,是一个很适合高中数学 教学和学习的工具软件平台。本文试图就《几何画板》在代数、立体几何与解析几何上的初 步应用对《几何画板》在高中数学教学上的辅助作用做一个简单的阐述。 一、几何画板简介 《几何画板》 (原名:The Geometer’s Sketchpad)是由美国 Key Curriculum Press 公司 研制并出版的几何软件。 它是一个适用于数学教学的软件平台, 为教师和学生提供了一个探 索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素,通过对这些基本元素的变换、构 造、测算、计算、动画和跟踪轨迹等方式,能显示或构造出较为复杂的图形。 《几何画板》操作简单,只要用鼠标点取工具栏和菜单就可以开发课件。它无需编制任何程 序, 一切都要借助于几何关系来表现, 因此它只适用于能够用数学模型来描述的内容——例 如部分物理、天文问题等。因此,它非常适合于数学老师使用,因为用它进行开发最关键的 是“把握几何关系”,这也正是数学老师所擅长的。用《几何画板》进行开发速度非常快, 一般来说,如果有设计思路的话,操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需 5~10 分钟。 在老师的引导下, 《几何画板》可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可 以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证,在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的 感性认识,形成丰厚的几何经验背景,从而更有助于学生理解和证明。因此, 《几何画板》 还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境, 有助于发挥学生的主体性、 积极性和创造性, 充分体现了现代教学的思想。从这个意义上说《几何画板》不仅应成为教师教学的工具,更 应该成为学生的有力的认知工具。 二、 《几何画板》在代数教学中的应用 函数是高中的重要知识体系,而函数又是最基本、最重要的概念,它的概念和思维方法渗透 在高中数学的各个部分;同时,函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻画, 这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。就如华罗庚所说:“数缺形少直观,形缺 数难入微。”而我们教师在进行函数教学时,备感头疼的是函数的图像,为了解决数形结合 的问题,在有关函数的传统教学中大多数老师手工绘图,但手工绘图有不精确、速度慢的弊 端;而运用《几何画板》快速直观的显示及变化功能则恰好可以克服上述弊端,从而大大提 高课堂效率,进而起到事半功倍的效果。 比如,图像的变化是代数教学的一个难点,要说明函数 的图像与
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图像的关系 2 我们可以通过《几何画板》拖动点 T(改变它横坐标 t)反复观察图像移动与 t 的数量关系,当函数式中 t>0 时,图像右移,当 t<0 时,图像左移,形象直观的显示了图 像的移动与参数 t 之间的关系,从而归纳出图像平移变化的规律。 再如,函数 y=Asin(ω x+φ )的图像是三角函数教学中的一个重点和难点,传统教学方法是 将 A、ω 、φ 代入有限个值,观察各种情况时的函数像象之间的关系;而利用《几何画板》 则可以以线段 k、 的长度和 c 点到 x 轴的距离为参数作图, l 当拖动两条线段的某一端点 (即 改变两条线段的长度)时分别改变三角函数的首相和周期,拖动点 A 则改变其振幅,这样在 教学时既快速灵活,又不失一般性。 《几何画板》 在高中代数的其他方面也有很多用途。 例如, 借助于图形对不等式的一些性质、 定理和解法进行直观分析——由“半径不小于半弦”证明不等式“ ”等;再比如,讲解数 列的极限的概念时,作出数列 的图形(即作出一个由离散点组成的函数图像) ,观察曲线的 变化趋势,并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与 0 的绝对值” 列表,帮助学生直观地理解这一较难的概念。 三、 《几何画板》在立体几何教学中的应用 立体几何主要是为了培养学生的空间想象能力而开设的, 初学立体几何时, 大多数学生不具 备丰富的空间想象的能力和较强的平面与空间图形的转化能力, 主要原因在于人们习惯于依 靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的, 而二维平面图形不可能成为三维空 间图形的真实写照, 平面上绘出的立体图形的平面直观图因受其视角的影响, 难于综观全局。 而用《几何画板》则能轻松的达到意想不到的效果。

在锥体体积的教学中,我们通过分割三棱柱的方法,推得锥体体积公式。传统方法是借用几 何模型来实现的,这样分割的方法只是一种,然而,在实际的教学中我们发现,分割三棱柱 的方法并不唯一,这时我们可以用《几何画板》实现多种的分割方法。将小三棱锥一个一个 的移出,并对相关的元素辅以闪烁的画面,也可以同时播放多种分割方法的动画。 对于棱台的教学,我们往往采用模型进行教学,通过“模型”和“图形”的联系,加深对所 授几何体的概念和性质的理解, 但“模型”加“图形”的教学方法仍不能直观明了的向学生 展示棱台的性质,倘若能通过《几何画板》在前面得到的三棱锥的基础上,

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在大的棱锥上截取一个小棱锥,然后对这个小棱锥进行移动来实现对棱锥的拆分得到棱台。 就显得更加直观明了, 使学生能通过动态生成的几何体更加深对棱台的掌握, 在大脑中形成 一个稳定的、清晰的印象:棱台是由棱锥截得的。另外在此基础上可以进一步对棱台的其它 的几何性质进行研究,例如截面的性质等等。充分培养学生的空间想象能力,通过《几何画 板》解决教学中的重点和难点,也使学生对立体几何学习有一种新的认识,并能产生浓厚的 兴趣。 再如在侧面展开图的教学中,若能运用《几何画板》进行教学可以起到形象、直观事半功倍 的效果。 例如在圆柱、 圆锥的侧面展开图教学中, 使学生能够在比较生动形象的动画演示中, 通过自己的发现观察,获取新知,达到良好的教学效果。

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而在旋转体的教学中更能体现用《几何画板》进行辅助教学的优势,这里不加以一一阐述。 四、 《几何画板》在平面解析几何教学中的应用 平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科, 它研究问题的基本思想和基本 方法是:根据已知条件,选择适当的坐标系,借助形和数的对应关系,求出表示平面曲线的 方程,把形的问题转化为数来研究;再通过方程,研究平面曲线的性质,把数的研究转化为 形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化,导致点、线按不同的方式作运动, 曲线和方程的对应关系比较抽象, 学生不易理解。 而展示几何图形变形与运动的整体过程在 解析几何教学中是非常重要的,这样, 《几何画板》就以其极强的运算功能和图形图像功能 在解析几何的教与学中大显身手。它能作出各种形式的方程(普通方程、参数方程、极坐标 方程)的曲线;能对动态的对象进行“追踪”,并显示该对象的“轨迹”;能通过拖动某一 对象(如点、线)观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。 例如在讲解直线的纵截距和斜率时可以利用 《几何画板》 的度量功能直观的将直线的倾斜角 和截距体现出来,从而起到了辅助教学的目的 又如在讲解轨迹方程的时候,学生对于大量的约束条件有时会感到束手无策,这时利用《几 何画板》先按照题目条件将基本图形做出来,同时追踪动点的轨迹。当动点轨迹出现后,就 可以为继续研究题目打开了思路,同时也可以激发学生的解题兴趣。如图 8,点 是椭圆中 过定点 的弦的中点,那么当弦 运动时,点 的轨迹是什么呢?这时利用《几何画板》制作 的课件的作用就凸显出来了,通过追踪动点 就可以非常容易的将 的轨迹做出来。 五、 《几何画板》在高中数学实验中的应用 数学实验(Mathematics Experiment)是一个根据研究目标,创设或改变某种数学情景, 在一定条件下,通过思考和操作活动,研究数学本质、发现数学规律的过程。是一种思维实 验和操作实验相结合的实验。 但由于高中学生本身数学知识和软件技术的局限性, 不可能开 展规模过大的数学实验。 目前国内进行高中数学实验的实验工具主要是图形计算器, 实验的 载体软件是《几何画板》和 Graphmatica。而其中《几何画板》软件又以其操作简便,易学 易懂, 成为高中数学实验的首选软件工具。 在数学数言的教学过程中学生通过自己动手操作、 探究、发现、思考、分析、归纳等活动,最后获得概念、理解直至解决问题。 例如在进行“比较函数 和 的增长速度”的实验时,可以指导学生在《几何画板》中作出这 两个函数的图像,并通过拖动点 达到比较的目的,进而还可以将实验引申:指数函数和幂 函数哪一个增长的速度更快?引导学生利用《几何画板》这一平台进行实验。如果每一名学 生都能够熟练的操作这一软件的话,那么我们的教学也就真正达到了授之以渔的目的了。 《几何画板》引入课堂无论是对于教师的教学还是对学生的学习都是非常有帮助的,但

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在应用的过程当中也应注意几个问题: 首先, 多媒体技术在教学中的应用应该是以教学的需 要为基准,它是为教学服务的,在教学中起着辅助的作用,不应以多媒体的应用为主体而忽 略了知识的传授, 更应注意避免多媒体在教学中所起的负面影响。 作为现代教育技术引入课 堂的《几何画板》也应如此,只有恰当的应用才能收到良好的效果;其次, 《几何画板》确 实为教学提供了很大的方便,但我们在应用的时候,要充分地用它来引导学生的学习,让它 帮助学生思考,而不是代替学生思考,作为教师要给予恰当的提示,通过计算机演示实验帮 助学生完成思考过程,形成对知识的理解,而不是利用计算机直接地给出结论,否则会使学 生养成过分依赖的习惯,挫伤学生的创造意识和实践能力。 总之, 《几何画板》在数学课堂教学中的广泛应用和推广,不仅带来了教学内容、教学 方法、教学模式的深刻变革,而且使学生接受知识的被动地位得以改变,真正实现课堂教学 中学生的主体地位和教师的主导地位,对提高学生数学素质和教师的教学能力有着重要作 用, 同时也对我国的素质教育起着重要的推进作用, 为国家建设培养大量高素质的综合型人 才。

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