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2015届高考数学一轮总复习 9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图


2015 届高考数学一轮总复习 9-1 空间几何体的结构特征及其直观图、三视 图
基础巩固强化 一、选择题 1.(2013· 陕西检测)如图是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图,其中小立主体中数 字表示相应位置的小立方体的个数,则该几何体的左视图为( )

[答案] C [解析] 由俯视图知左视图从左到右能看到的小立方体个数分别为 2,3,1

,选 C. 2. (文)(2013· 北京东城区统一检测)一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为( )

A.75+2 10 C.48+4 10 [答案] B

B.75+4 10 D.48+2 10

4+5 [解析] 由三视图可知该几何体是一个四棱柱.两个底面面积之和为 2× ×3=27,四个侧 2 面的面积之和是(3+4+5+ 10)×4=48+4 10,故表面积是 75+4 10. (理)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

1

A.48 C.48+8 17 [答案] C D.50

B.32+8 17

[解析] 由三视图可知该几何体是底面是等腰梯形的直棱柱,底面等腰梯形的上底为 2,下底为 4,高为 4. 如图,两底面等腰梯形的面积 1 S1=2S 梯形 ABCD=2× ×(2+4)×4=24, 2

作 D1E⊥A1B1,则 D1E=4,A1E=1,∴A1D1= 17, ∴梯形底面周长为 4+2+2 17=6+2 17, ∴侧面积 S2=(6+2 17)×4=24+8 17, ∴表面积 S=S1+S2=48+8 17. 3.(文)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

2

A.32 C.48

B.16+16 2 D.16+32 2

[答案] B [解析]

由三视图知原几何体是一个底面边长为 4,高是 2 的正四棱锥.如图: ∵AO=2,OB=2, ∴AB=2 2. 1 又∵S 侧=4× ×(4×2 2)=16 2, 2 S 底=4×4=16, ∴S 表=S 侧+S 底=16+16 2. (理)(2013· 昆明调研)如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其 直角边长均为 1,则该几何体的表面积为( )

3

A.1+ 2 1 C. 3

B.2+2 2

D.2+ 2

[答案] D

[解析]

依题意得,题中的几何体是底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱锥 P-ABCD(如图),其中底 1 1 1 2 面边长为 1,PD=1,PD⊥平面 ABCD,S△PAD=S△PCD= ×1×1= ,S△PAB=S△PBC= ×1× 2= , 2 2 2 2 S 四边形 ABCD=12=1,因此该几何体的表面积为 2+ 2,选 D. 4.(2012· 广东文,7)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

4

A.72π C.30π [答案] C

B.48π D.24π

[解析] 本题考查三视图及圆锥、球的体积公式,由三视图知,该几何体是由一个半球与一个圆 1 4 1 锥的组合体, 半球半径为 3, 圆锥底面半径为 3, 母线长为 5, 所以其体积 V= × π×33+ ×π×32×4 2 3 3 =30π. [点评] 解决此类问题,应先由三视图确定该几何体形状,(依据是长对正,高平齐,宽相等)再 具体确定各尺寸,角度等. 5.(文)(2013· 新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.16+8π C.16+16π [答案] A

B.8+8π D.8+16π

[解析] 该几何体是一个组合体,其中上面是一个长、宽、高分别为 4,2,2 的长方体,下面是底 1 面半径为 2,高为 4 的半圆柱,故体积 V=V 上+V 下=4×2×2+ ×π×22×4=16+8π. 2 (理)(2013· 山西师大附中期中,长春市调研)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积 为( )

5

?8+π? 3 A. 6 ?6+π? 3 C. 6 [答案] A

?4+π? 3 B. 3 ?9+2π? 3 D. 6

[解析] 该几何体由底半径为 1 的半圆锥与四棱锥组成,且高都为 3,四棱锥底面为正方形, 1 1 1 3π 4 3 ?8+π? 3 边长为 2,因此该几何体体积为 V= · ( ·π·12)· 3+ · (2×2)× 3= + = ,故选 A. 3 2 3 6 3 6 6.

1 (2012· 河北郑口中学模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所示,若该几何体的体积为 ,则该几 3 何体的俯视图可以是( )

[答案] D 1 [解析] 由正视图及俯视图可知该几何体的高为 1,又∵其体积为 ,故为锥体,∴S 底=1,A 中 3
6

1 1 π 为三角形,此时其底面积为 ,舍去;B 为 个圆,底面积为 ,也舍去,C 为圆,其面积为 π 舍去, 2 4 4 故只有 D 成立. 1 [点评] 如果不限定体积为 ,则如图(1)在三棱锥 P-ABC 中,AC⊥BC,PC⊥平面 ABC,AC 3 =BC=PC=1,则此三棱锥满足题设要求,其俯视图为等腰直角三角形 A;如图(2),底半径为 1, 高为 1 的圆锥,被截面 POA 与 POB 截下一角,OA⊥OB,则此时几何体满足题设要求,其俯视图为 B;如图(3),这是一个四棱锥,底面是边长为 1 的正方形,PA⊥平面 ABCD,此几何体满足题设要 求,其俯视图为 D.

二、填空题 7.(2013· 武汉武昌区联考)已知某几何体的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同 心圆,如图所示,则该几何体的全面积为________.

[答案] 26π [解析] 由三视图知该几何体为上底直径为 2,下底直径为 6,高为 2 3的圆台,则几何体的全 面积 S=π×12+π×32+π×(1+3)× ?2 3?2+22=26π. 8 . ( 文 )(2012· 北京东城综合练习 ) 若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ________.

7

[答案] 1 [解析] 由三视图知原几何体是如图所示的三棱柱. 1 则 V=Sh= × 2×1× 2=1. 2

(理)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为__________.

[答案] 3 [解析] 这个空间几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱,梯形两底边长为 1 和 2,高为 2,棱 柱的高为 1, 1 ∴体积 V= ×(1+2)×2×1=3. 2
8

9.(2013· 陕西)某几何体的三视图如图所示,则其表 面积为________. .

[答案] 3π [解析] 此几何体是一个半球,所以表面积为球的表面积的一半加上底面的面积,球半径为 1, 故所求表面积为 S=2π+π=3π. 三、解答题 10.(文)(2012· 沈阳质量监测)已知一个四棱锥 P-ABCD 的三视图(主视图与左视图为直角三角 形,俯视图是带有一条对角线的正方形)如下,E 是侧棱 PC 的中点.

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)求证:平面 APC⊥平面 BDE. [解析] (1)由三视图可知,AB=BC=1,PC⊥平面 ABCD,且 PC=2,

9

又底面 ABCD 是正方形,故 S 正方形 ABCD=1, 1 2 所以 VP-ABCD= ×1×2= . 3 3 (2)证明:因为底面 ABCD 是正方形, 所以对角线 AC⊥BD, 又 PC⊥平面 ABCD,而 BD?平面 ABCD, 故 BD⊥PC, 又 PC∩AC=C,所以,BD⊥平面 APC. 又 BD?平面 BDE, 故平面 APC⊥平面 BDE. (理)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点,且 AD=PD=2MA.

(1)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (2)求三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比. [解析] (1)证明:∵MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,
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∴PD⊥平面 ABCD, 又 BC?平面 ABCD,∴PD⊥BC, ∵四边形 ABCD 为正方形,∴BC⊥DC. ∵PD∩DC=D,∴BC⊥平面 PDC. 在△PBC 中,因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点, ∴GF∥BC,∴GF⊥平面 PDC. 又 GF?平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PDC. (2)不妨设 MA=1,∵四边形 ABCD 为正方形,∴PD=AD=2, 又∵PD⊥平面 ABCD, 1 8 所以 VP-ABCD= S 正方形 ABCD· PD= . 3 3 ∵MA⊥平面 ABCD,∴MA⊥AD, 又 ABCD 为正方形,∴BC⊥AD,∴AD⊥平面 MAB, 又 PD∥MA,所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 1 1 2 ×1×2?×2= . 三棱锥 VP-MAB= ×? ? 3 ?2 3 所以 VP-MAB VP-ABCD= 能力拓展提升 一、选择题 11.(文)(2013· 辽宁鞍山一模)几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )

A.3π 16π C. 3

B.2π D.以上都不对

[答案] C [解析] 该几何体是底面半径为 1,母线长为 2 的圆锥,设外接球半径为 R,则有( 3-R)2+1 2 3 2 3 2 16π =R2,解得 R= .故 S 球=4π×( )= . 3 3 3
11

(理)(2013· 淮北第一次检测)已知某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

A.π+4 2π+4 C. 3 [答案] B

π+4 B. 3 4 D.π+ 3

[解析] 该几何体是由过轴的截面所截得的半个圆锥和一个三棱锥所组成的组合体.如图所示, 圆锥的底面半径为 1,高为 2.

π+4 1 1 1 1 V= ×( ×π×12×2)+ ×( ×2×2)×2= . 2 3 3 2 3 12.若一个螺栓的底面是正六边形,它的正(主)视图和俯视图如图所示,则它的体积是( )

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3 3 32 A. + π 2 25 32 C.9 3+ π 25 [答案] C

32 B.3 3+ π 25 D.9 3+ 128 π 25

[解析] 由三视图知,该螺栓的上部是一个底半径为 0.8,高为 2 的圆柱,下部是底面边长为 2, 高为 1.5 的正六棱柱,故体积 V=π×0.82×2+6× 二、填空题 6 13. (文)一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 π, 半径为 10cm 的扇形, 则圆锥的体积为________. 5 [答案] 96πcm3 6π [解析] 扇形弧长 l=10× =12π,设圆锥底面半径为 R,高为 h,则 2πR=12π,∴R=6,∴h 5 = 102-62=8, 1 ∴体积 V= πR2h=96π. 3 (理)(2013· 长春三校)在三棱柱 ABC-A′B′C′中, 已知 AA′⊥平面 ABC, AA′=2, BC=2 3, π ∠BAC= ,且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上,则球的体积为________. 2 [答案] [解析] 32π 3 3 2 32π ×2 ×1.5=9 3+ ,故选 C. 4 25

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1 1 如图, 依题意可知, 球心 O 到平面 ABC 的距离为 AA′=1, 平面 ABC 所在圆的半径为 BC= 3, 2 2 4 32π 则球的半径为 12+? 3?2=2,则球的体积为 ×π×23= . 3 3 [解法探究] 一般地,在题设条件中有两两垂直的三条线段时,常考虑长方体进行补形. ∵AA′⊥平面 ABC,∠BAC=90° , ∴可将三棱柱 ABC-A′B′C′补成长方体 ABEC-A′B′E′C′,则此长方体内接于球; 设球半径为 R,则 2R= AB2+AC2+AA′2 = BC2+AA′2= ?2 3?2+22=4,∴R=2, 4 32π ∴V 球= πR3= . 3 3 三、解答题 14.(文)多面体 PABCD 的直观图及三视图如图所示,E、F 分别为 PC、BD 的中点.

14

(1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:PA⊥平面 PDC. [解析] 由多面体 PABCD 的三视图知,该几何体是四棱锥,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是 边长为 2 的正方形,侧面 PAD 是等腰直角三角形,PA=PD= 2,且平面 PAD⊥平面 ABCD.

(1)连接 AC,则 F 是 AC 的中点, 又∵E 是 PC 的中点, ∴在△CPA 中,EF∥PA, 又 PA?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又 CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PA. π ∵△PAD 是等腰直角三角形,且∠APD= . 2 即 PA⊥PD.又 CD∩PD=D,∴PA⊥平面 PDC. (理)(2013· 广州调研)已知四棱锥 P-ABCD 的正视图是一个底边长为 4、 腰长为 3 的等腰三角形, 如图分别是四棱锥 P-ABCD 的侧视图和俯视图.

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(1)求证:AD⊥PC; (2)求四棱锥 P-ABCD 的侧面 PAB 的面积. [解析]

(1)由俯视图可知点 P 在平面 ABCD 上的射影是线段 CD 的中点 E,如图,连接 PE,则 PE⊥平 面 ABCD. ∵AD?平面 ABCD, ∴AD⊥PE. ∵AD⊥CD,CD∩PE=E, CD?平面 PCD,PE?平面 PCD, ∴AD⊥平面 PCD. ∵PC?平面 PCD, ∴AD⊥PC. (2)依题意,在等腰三角形 PCD 中,PC=PD=3,DE=EC=2, 在 Rt△PED 中,PE= PD2-DE2= 5. 过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F,连接 PF, ∵PE⊥平面 ABCD,AB?平面 ABCD, ∴AB⊥PE. ∵EF?平面 PEF,PE?平面 PEF,EF∩PE=E, ∴AB⊥平面 PEF. ∵PF?平面 PEF, ∴AB⊥PF.
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依题意得 EF=AD=2. 在 Rt△PEF 中,PF= PE2+EF2=3, 1 ∴△PAB 的面积 S= · AB· PF=6. 2 ∴四棱锥 P-ABCD 的侧面 PAB 的面积为 6.

考纲要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物 体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述 三视图所示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不 同表示形式. 补充说明 1.特殊的四棱柱 四棱柱 底面是平行四边形 侧棱与底面垂直 底面为矩形 ― ― → 平行六面体 ― ― → 直平行六面体 ― ― → 长方体

底面为正方形 棱长都相等 ― ― → 正四棱柱 ― ― → 正方体. 2.正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形,顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱 锥. 正棱锥的性质: ①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形的高叫做棱锥的斜高. ②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面 内的射影也组成一个直角三角形. 3.正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. 正棱台的性质: ①各侧棱相等,侧面是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高,斜高都相等. ②两底面以及平行于底面的截面是相似多边形; ③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形; ④两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形. 4.圆柱的结构特征 平行于底面的截面都是圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.

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①所有的轴截面是以两底面直径和两条母线为边的全等矩形,若该矩形为正方形,则圆柱叫做 等边圆柱. ②用平行于轴的平面去截圆柱,所得的截面是以底面圆的弦和两条母线为边的矩形.也就是说 过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形,在这所有的截面矩形中,以轴截面面积最大. 5.圆锥的结构特征 ①平行于底面的截面都是圆;②过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. 6.圆台的结构特征 ①平行于底面的截面都是圆;②过轴的截面是全等的等腰梯形. 7.(1)平行投影的投影线相互平行. (2)平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影都具有下述性质: ①直线或线段的平行投影仍是直线或线段; ②平行直线的平行投影是平行或重合的直线; ③平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长; ④与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等; A′M′ AM ⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比,如图 = . M′B′ MB 8.侧(表)面展开 多面体及旋转体沿表面或侧面最短路程问题,一般用侧(或表)面展开图解决. 9.三视图的画法要求 (1)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线,尺寸线用细实线标出. (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画 出的轮廓线.画三视图的基本要求是:主俯一样长,俯左一样宽,主左一样高. 由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出判断,还要特别注 意观察的方位. 备选习题 1.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则 该几何体的俯视图为( )

18

[答案] C [解析] 由正视图和侧视图知,该长方体上面去掉的小长方体,从正前方看在观察者左侧,因此 位于俯视图的左侧;从左侧向右看时在观察者右侧,因此在俯视图中应位于靠近观察者的一侧,故 俯视图为 C. 2.(2013· 重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.180 C.220 [答案] D

B.200 D.240

?2+8?×4 [解析] 由三视图可知,此几何体是一个横放的四棱柱,底面梯形的面积为 =20, 2 梯形的腰长为 32+42=5, 侧面面积和为 2×10+2×(5×10)+8×10=200, 故四棱柱的表面积为 2×20+200=240. 3.(2012· 保定市一模)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m),则该棱锥的体积是(单位: m ).(
3

)

19

A.4+2 6 2 C. 3 4 D. 3

B.4+ 6

[答案] D [解析] 由侧视图和俯视图是全等的等腰三角形, 及正视图为等腰直角三角形可知, 该几何体可 看作边长 AB=BC= 5,AC=2 的△ABC 绕 AC 边转动到△PAC 位置(平面 PAC⊥平面 ABC)所形成 1 1 4 的几何体,故其体积 V= ×( ×2×2)×2= . 3 2 3

4.已知球的直径 SC=4,A、B 是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45° ,则棱锥 S -ABC 的体积为( A. 3 3 2 3 B. 3 5 3 D. 3 )

4 3 C. 3

[答案] C [解析]

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如右图所示,连接 OA、OB(O 为球心). ∵AB=2,∴△OAB 为正三角形. 又∵∠BSC=∠ASC=45° , 且 SC 为直径,∴△ASC 与△BSC 均为等腰直角三角形. ∴BO⊥SC,AO⊥SC. 又 AO∩BO=O,∴SC⊥平面 ABO. 1 ∴VS-ABC=VC-OAB+VS-OAB= · S · (SO+OC) 3 △OAB 1 3 4 3 = × ×4×4= ,故选 C. 3 4 3 5.

如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2cm,高为 5cm,则一质点自点 A 出发,沿着 三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为________cm. [答案] 13 [解析] 如图,将三棱柱侧面 A1ABB1 置于桌面上,以 A1A 为界,滚动两周(即将侧面展开两次), 则最短线长为 AA″1 的长度,∴AA1=5,AA″=12,∴AA″1=13.

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