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高考数学中档题强化训练(1)——(3


高考数学中档题精选(1) x 3x 5x cos +cos +cos 2 2 2 3x 1. 已知函数 f(x)= +cos2 . x 2 csc 2 (1) 求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2) 求函数 f(x)的单调递增区间. x x 3x 5x 1+cos3x 解:(1) y=sin (cos +cos +cos )+ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = sinx+ (sin2x-sinx)+ (sin3x-sin2x)+ cos3x+ 2 2 2 2 2 1 1 1 2 π 1 = sin3x+ cos3x+ = sin(3x+ )+ 2 2 2 2 4 2 ∴T= 2π 1- 2 1+ 2 ,值域 y∈[ , ]. 3 2 2 π π π 2kπ π 2kπ π ≤3x+ ≤2kπ + ,k∈Z.得: ≤x≤ + (k∈Z). 2 4 2 3 4 3 12 (2)由 2kπ - 2. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn=nan-2n(n-1)(n∈N) (1)求证数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (2)是否存在非零常数 p、q 使数列{ Sn }是等差数列?若存在,试求出 p、q pn+q 应满足的关系式,若不存在,请说明理由. 解: (1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即 an-an-1=4(n≥2) ∴{an}为等差数列.∵a1=1,公差 d=4,∴an=4n-3. (2)若{ Sn Sn }是等差数列,则对一切 n∈N,都有 =An+B, pn+q pn+q 1 即 Sn=(An+B)(pn+q),又 Sn= (a1+an)n =2n2-n,∴2n2-n=Apn2+(Aq+Bp)n+Bq 2 ? Ap ? 2 p ? 要使上式恒成立,当且仅当 ? Aq ? Bp ? ?1 ,∵q≠0,∴B=0,∴ =-2, q ? Bq ? 0 ? 即:p+2q=0. 3. 已知正三棱锥 A-BCD 的边长为 a,E、F 分别为 AB、BC 的中点,且 AC⊥DE. (Ⅰ)求此正三棱锥的体积; A (Ⅱ)求二面角 E-FD-B 的正弦值. 解: (Ⅰ)作 AO⊥平面 BCD 于 O,由正三棱锥的性质 可知 O 为底面中心,连 CO,则 CO⊥BD,由三垂线定理 E 知 AC⊥BD,又 AC⊥ED,∴AC⊥平面 ABD,∴AC⊥AD, AB⊥AC,AB⊥AD.在 Rt△ACD 中,由 AC2+AD2=2AC2=a2 可得:AC=AD=AB= 2 a . 2 B G F H O C D 1 1 2 ∴V=VB-ACD= · ·AC·AD·AB= a3 . 3 2 24 (Ⅱ)过 E 作 EG⊥平面 BCD 于 G,过 G 作 GH⊥FD 于 H,连 EH,由三垂线定理知 EH⊥FD,即∠EHG 为二面角 E-FD-B 的平面角. ∵EG= 1 VB-ACD 6 6 AO 而 AO= = a ,∴EG= a . 2 1 6 12 ·S△BCD 3 ( 2 2 2 10 a) +( a)2= a ∵EF∥AC,∴EF⊥DE.∴在 Rt△FED 4 2 4 又∵ED= AE2+AD2= 中,EH= EF·ED 15 EG 10 = a ∴在 Rt△EGH 中,sin∠EHG= = DF 12 EH 5 *选做题:定义在区间(-1,1)上的函数 f(x)满足:①对任意 x、y∈(-1,1) x+y 都有 f(x)+f(y)=f( );

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