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2013北京高考数学试题(文科)完整word精校解析版


2013 年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文) (北京卷)
本试卷满分 150 分,考试时 120 分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一

项) 1.已知集合 A ? ??1,0,1? , B ? ?x | ?1 ? x ? 1 ? ,则 A A. ?0? B. ??1,0? ) C. a ? b
2 2

B?(

) D. ??1,0,1?

C. ?0,1?

2.设 a , b , c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B.

1 1 ? a b

D. a ? b
3

3

3.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减的是( A. y ?



1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? lg x

4.在复平面内,复数 i (2 ? i ) 对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限



5.在 ?ABC 中, a ? 3 , b ? 5 , sin A ?

1 ,则 sin B ? ( 3



A.

1 5

B.

5 9

C.

5 3


D. 1

6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 1 7.双曲线 x ?
2

B.

2 3

C.

13 21

D.

610 987

y2 ? 1的离心率大于 2 的充分必要条件是 m
B. m ? 1 D. m ? 2

A. m ?

1 2

C. m ? 1

P 为对角线 BD1 的三等分点,则 P 到 8.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
各顶点的距离的不同取值有( A. 3 个 B. 4 个 ) C. 5 个 D. 6 个

1

第二部分(选择题
二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点坐标为 (1, 0) ,则 p ? 10.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为

共 110 分)

,准线方程为 。



11.若等比数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 20 , a3 ? a5 ? 40 ,则公比 q ?

;前 n 项和 Sn ?



?x ? 0 ? 12.设 D 为不等式组 ? 2 x ? y ? 0 所表示的平面区域,区域 D 上的点与点 (1, 0) 之间的距离的最小值为 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
?log 1 x,???? x ? 1 ? 2 13.函数 f ( x ) ? ? 的值域为 x ? 2 , ?????????? x ? 1 ?





14.向量 A(1, ?1) , B(3, 0) , C (2,1) ,若平面区域 D 由所有满足 AP ? ? AB ? ? AC ( 1 ? ? ? 2 , 0 ? ? ? 1 )的 点 P 组成,则 D 的面积为 。

三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤) 15. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ?
2

1 cos 4 x 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期及最大值。 (2)若 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 f (? ) ?

2 ,求 ? 的值。 2

2

16. (本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数 大于 200 表示空气重度污染。某人随机选择 3 月 1 日至 14 日中的某一天到达该市,并停留 2 天。

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率。 (2)求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。 (3)由图判断,从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

17. (本小题共 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD ,CD ? 2 AB , 平面 PAD ? 底面 ABCD ,PA ? AD ,

E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:
(1) PA ? 底面 ABCD (2) BE / / 平面 PAD (3)平面 BEF ? 平面 PCD

3

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a )) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值。 (2)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。

19. (本小题共 14 分) 直线 y ? kx ? m ( m ? 0 ) W :

x2 ? y 2 ? 1相交于 A , C 两点, O 是坐标原点 4

(1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长。 (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形。

20. (本小题共 13 分) 给定数列 a1 , a2 , , an 。对 i ? 1, 2,3,

, n ?1 ,该数列前 i 项的最大值记为 Ai ,后 n ? i 项 ai ?1 , ai ? 2 ,

, an 的最小值记为 Bi , di ? Ai ? Bi 。 (1)设数列 ?an ? 为 3 , 4 , 7 , 1 ,写出 d1 , d2 , d3 的值。 (2)设 a1 , a2 , 列。 (3)设 d1 , d2 , , d n ?1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1 ? 0 ,证明 a1 , a2 , , an ?1 是等差数列。 , an ( n ? 4 )是公比大于 1 的等比数列,且 a1 ? 0 ,证明 d1 , d2 , , d n ?1 是等比数

4

2013 年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文) (北京卷)参考答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 2 , x ? ?1 10. 3 13. (??, ?2) 11. 2 , 2 14. 3
n ?1

?1

12.

2 5 5

三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤) 15. (本小题共 13 分) 解: (1) f ( x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ?
2

1 cos 4 x 2

1 ? cos 2 x sin 2 x ? cos 4 x 2 1 1 ? sin 4 x ? cos 4 x 2 2

?

2 ? sin(4 x ? ) 2 4
2? ? ? 4 2

所以,最小正周期 T ? 当 4x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

( k ? Z ),即 x ?

k? ? ? ( k ? Z )时 2 16

f ( x)max ?
(2)因为 f (? ) ? 所以 sin(4? ? 因为

2 2

2 ? 2 sin(4? ? ) ? 2 4 2

?
4

) ?1

9? ? 17? ? 4? ? ? 2 4 4 4 ? 5? 9? 所以 4? ? ? ,即 ? ? 4 2 16

?

? ? ? ? ,所以

16. (本小题共 13 分) 解: (1)因为要停留 2 天,所以应该在 3 月 1 日至 13 日中的某天到达,共有 13 种选择,其间重度污染的有两天, 所以概率为 P 1 ?

2 13

(2)此人停留的两天共有 13 种选择,分别是:(1, 2) ,(2,3) ,(3, 4) ,(4,5) ,(5, 6) ,(6, 7) ,(7,8) ,(8,9) ,

5

(9,10) , (10,11) , (11,12) , (12,13) , (13,14)
其中只有一天重度污染的为 (4,5) , (5, 6) , (7,8) , (8,9) ,共 4 种, 所以概率为 P2 ?

4 13

(3)因为第 5,6,7 三天的空气质量指数波动最大,所以方差最大。 17. (本小题共 14 分) 证明:(1)因为 PA ? AD ,平面 PAD ? 底面 ABCD 且平面 PAD 所以 PA ? 底面 ABCD (2)因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,所以 EF / / PD , 而 EF ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD ,所以 BE / / 平面 PAD (3)因为 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD 所以 PA ? CD ,即 CD ? PA 因为 AB ? AD , CD / / AB ,所以 CD / / AD 而 PA ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD ,且 PA 所以 CD ? 平面 PAD 因为 AB / / CD ,所以 CD ? 2 AB ,所以四边形 ABED 是平行四边形, 所以 BE / / AD ,而 BE ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD 所以 BE / / 平面 PAD ,同理 EF / / 平面 PAD , 而 EF ? 平面 BEF , BE ? 平面 BEF 且 EF 底面 ABCD ? AD

AD ? A

BE ? E

所以平面 BEF / / 平面 PAD , 所以 CD ? 平面 BEF / / 又因为 CD ? 平面 PCD 所以平面 BEF ? 平面 PCD 18. (本小题共 13 分) 解: (1) f '( x) ? 2 x ? x cos x ? x(2 ? cos x) 因为曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a )) 处的切线为 y ? b

所以 ?

?2a ? a cos a ? 0 ? f '(a) ? 0 ?a ? 0 ,即 ? 2 ,解得 ? ?a ? a sin a ? cos a ? b ? f (a) ? b ?b ? 1

(2)因为 2 ? cos x ? 0 所以当 x ? 0 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增 当 x ? 0 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 f (0) ? 1 ,

6

所以 b 的取值范围是 (1, ??) 19. (本小题共 14 分) 解: (1)线段 OB 的垂直平分线为 y ? 因为四边形 OABC 为菱形, 所以直线 y ?

1 , 2

1 与椭圆的交点即为 A , C 两点 2

1 x2 ? y 2 ? 1,令 y ? 得 x ? ? 3 对椭圆 2 4
所以 AC ? 2 3 (2)方法一:当点 B 不是 W 的顶点时,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 联立方程 ? x 2 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 A( x1 , y1 ) , C ( x1 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 4 x x ? , , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 ? y2 ? k x 1 ? m? k2x ? m ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m
8k 2 m ?? ? 2m 1 ? 4k 2
? 2m 1 ? 4k 2
2 2

若四边形 OABC 为菱形,则 OA ? OC ,即 OA ? OC 所以 x12 ? y12 ? x22 ? y22 即 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) 因为点 B 不是 W 的顶点,所以 x1 ? x2 ? 0 , 所以

x1 ? x2 y2 ? y1 ? y2 ? y1 x1 ? x2

8km 2 即 ? 1 ? 4k ? ?k ,即 k ? 4k 2m 1 ? 4k 2
7

所以 k ? 0 此时,直线 AC 与 y 轴垂直,所以 B 为椭圆的上顶点或下顶点,与已知矛盾, 所以四边形 OABC 不可能为菱形 方法二: 因为四边形 OABC 为菱形,所以 OA ? OC , 设 OA ? OC ? r ( r ? 1 ) 则 A , C 两点为圆 x2 ? y 2 ? r 2 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1的交点 4

? x2 ? y 2 ? r 2 4(r 2 ? 1) ? 2 2 联立方程 ? x 得x ? 2 3 ? ? y ?1 ?4
所以 A , C 两点的横坐标相等或互为相反数。 因为点 B 在 W 上 若 A , C 两点的横坐标相等,点 B 应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。 若 A , C 两点的横坐标互为相反数,点 B 应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。 所以四边形 OABC 不可能为菱形。 20. (本小题共 13 分) 解:(1) d1 ? A 1?B 1 ? 3 ? 1 ? 2 , d2 ? A 2 ? B2 ? 4 ? 1 ? 3 , d3 ? A 3 ? B3 ? 7 ? 1 ? 6 (2)因为 a1 , a2 , 所以 an ? a1q n?1 所以当 k ? 1, 2,3, 所以当 k ? 2,3, , an ( n ? 4 )是公比大于 1 的等比数列,且 a1 ? 0

, n ? 1时, dk ? Ak ? Bk ? ak ? ak ?1 , n ? 1时,

dk a ? ak ?1 ak ?1q(1 ? q) ? k ? ?q d k ?1 ak ?1 ? ak ak ?1 (1 ? q)

所以 d1 , d2 , (3)若 d1 , d2 ,

, d n ?1 是等比数列。 , d n ?1 是公差大于 0 的等差数列,则 0 ? d1 ? d2 ?

? dn?1

a1 , a2 ,

, an ?1 应是递增数列,证明如下:

设 ak 是第一个使得 ak ? ak ?1 的项,则

Ak ?1 ? Ak , Bk ?1 ? Bk ,所以 dk ?1 ? Ak ?1 ? Bk ?1 ? Ak ? Bk ? dk ,与已知矛盾。
所以, a1 , a2 , , an ?1 是递增数列
8

再证明 an 数列 ?an ? 中最小项,否则 ak ? an ( k ? 2,3,

, n ? 1 ),则

显然 k ? 1 ,否则 d1 ? A1 ? B1 ? a1 ? B1 ? a1 ? a1 ? 0 ,与 d1 ? 0 矛盾
因而 k ? 2 ,此时考虑 dk ?1 ? Ak ?1 ? Bk ?1 ? ak ?1 ? ak ? 0 ,矛盾 因此 an 是数列 ?an ? 中最小项

综上, dk ? Ak ? Bk ? ak ? an ( k ? 2,3, 于是 ak ? dk ? an ,也即 a1 , a2 ,

, n ?1)

, an ?1 是等差数列

9


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