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山东省济南第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


济南一中 2015—2016 学 年度第 2 学期期中考试 高一数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页,满分 150 分.考试限 定用时 120 分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题纸规 定的位置. 第Ⅰ卷(选择题 注意事项: 1. 第Ⅰ卷共 10 题,每小题 5 分,共 50 分. 2.每小题选出答案后,用

2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选择其他答案标号.只能涂在答题纸上, 答在试卷上无效. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的是( ) 共 50 分)

A.终边在 x 轴负半轴上的角是零角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若 β =α +k?360°(k∈Z),则 α 与 β 终边相同 2. 把 -

8 π 化成角度是( 3

) C.-120° ) D.-60°

A.-960°

B.-480°

12 3. α 是第四象限的角,cosα = ,sinα =( 13 A. 5 12 5 B- 13 C. 5 13 5 D.- 12

1 ?7π -α ?等于( 4. 若 sin(3π +α )=- ,则 cos? ? 2 ? 2 ? A. 1 2 B. - 3 2 C. 3 2

) 1 D.- 2 )

5. 设函数 f ( x) ? sin(2x ?

?
2

), x ? R ,则 f ( x) 是(

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2
1

6. 函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的单调递增区间是(



A. [? ? ? 2k? , ? ? 2k? ]( k ? Z )
6 3

B. [ ? ? 2k? , 5? ? 2k? ]( k ? Z ) 6 6 D. [ ? ? k? , 5? ? k? ]( k ? Z ) 6 6

C. [ ? ? ? k? , ? ? k? ]( k ? Z ) 6 3

7. 把函数 y ? cos x( x ? R) 的图象上所有的点向左平移 坐标缩短为原来的 A. y ? cos( 2 x ? C . y ? cos( 2 x ?

? 个单位长度, 再把所得图上各点的横 3


1 (纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( 2
B. y ? cos(

?
3

) x?R ) x?R

x ? ? ) x?R 2 3 2 ?) x?R 3

?
3

D. y ? cos( 2 x ?

8. 函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? 6sin x ? 2 ( x ? R) 的最大值和最小值之和是 A. 8 B.

15 2

C. ?2

D. 12

9. 函数 y ? cos x ? A. [ ?

1 的定义域为( 2

) B. [k? ?

? ?

, ] 3 3

?
3

, k? ?

?
3

] k?z

C. [2k? ?

?
3

,2k? ?

?
3

] k?z

D. R )

10. cos 76° cos 16°+cos 14°cos 74°-2cos 7 5°cos 15°的值等于( A.0 B. 3 2 C.1 1 D.- 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11. sin( ?

31? )= 6

.

12. 已知

sin ? ? 2cos ? ? ?5, 那么tan? = 3sin ? ? 5cos ?

. rad.

13. 一个扇形的弧长与面积都是 5,则这个扇形圆心角的弧度数为

2

14. tan100 tan200 ? 3(tan100 ? tan200 ) =

.

15. 函数 y ? sin(? x ? ?)(? ? 0) 的部分图象如下图所示,设 P 是图象的最高点,A、B 是图象 与 x 轴的交点,则 tan ?APB = .

三、解答题:本大题共 6 小题, 共 75 分,解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知

1 1 ,且 lg cos α 有意义. =sin α sin α

(Ⅰ)试判断角 α 所在的象限; (Ⅱ)若角 α 的终边上一点是 M ( , m ) ,且 OM =1 ( O 为坐标原点),求 m 的值及 sin α 的值. 17.(本小题满分 12 分) 已知扇形 AOB 的圆心角为 120°,半径长为 6,求: (Ⅰ)弧 ? AB 的长; (Ⅱ)扇形所含弓形的面积 (即阴影面积).

3 5

18. (本小题满分 12 分)

已知 f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(

3? ??) 2 . cot( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )

(Ⅰ)化简 f (? ) ; (Ⅱ)若 ? 是第三象限角,且 cos(? ? 19.(本小题 满分 12 分)
3

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值. 2 5

函数 f1 ( x ) =A sin (ωx + φ( ) A > 0, ω > 0, φ < 点 (0,1) ,如图所示. (Ⅰ)求函数 f1 ( x)的表达式; (Ⅱ)将函数 y = f1 (x) 的图象向右平移

π ) 的一段图象过 2

π 个单位,得到函数 y = f 2 ( x) 的图象,求 4

y = f 2 (x) 的最大值,并求出此时自变量 x 的取值.

20. (本小题满分 13 分) 已知在 ?ABC 中, sin A ? cos A ? (Ⅰ)求 sin 2 A ; (Ⅱ)判断 ?ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (Ⅲ)求 tan A .

1 . 5

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的
2

? x(?>0) 的最小正周期为 ? .
1 ,纵坐标不变,得到函数 2

? ? ? y ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 ? 0, ? 上的值域. ? 16 ?

4

2015-2016 学年高一下学期期中考试 高一数学答案 一、选择题 1 D 2 B 3 B 4 D 5 A 6 C 7 C 8 A 9 C 10 A

二、填空题 11、

1 2

12、 -

23 16

13、

5 2

14、 1

15、8

三、解答题 16、 解: (1)由 1 1 =- 可知 sinα <0, ∴α 是第三或第四象限角或终边在 y 轴的负 半 |sinα | sinα

? ? ? ? ? ? ?2 分 轴上的角. 由 lgc osα 有意义可知 cosα >0,∴α 是第一或第四象限角或终边在 x 轴的正半轴上的角 4 分 综上可知,角 α 是第四象限角. ? ? ???? ? 6 分
3 4 (2)∵|OM|=1,∴( )2+m2=1,解得 m=± . ? ? ? ? ? ?? 8 分 5 5 4 又 α 是第四象限角,故 m<0,从而 m=- , ? ? ?? ? ? 10 分 5 4 - 5 y m 4 由正弦函数的定义可知,sinα = = = =- . ? ? ? ? ? ? ? 12 分 r |OM| 1 5

17、解: 120 2 2 (1)∵120°= π = π ,∴l=|α |?r=6? π =4π , 180 3 3 ∴ AB 的长为 4π . ? 5 分 1 1 (2)∵S 扇形 OAB= lr= ?4π ?6=12π , ? 8 分 2 2 1 1 如图所示,过点 O 作 OD⊥AB,交 AB 于 D 点,于是有 S△OAB= ?AB?OD= ?2?6cos30°?3= 2 2 9 3. ? ? ? ? 10 分 ∴弓形的面积为 S 扇形 OAB-S△OAB=12π -9 3.∴弓形的面积 12π -9 3. ? ? ? ? ? 12 分

5

18、解: (1) f (? ) ?

sin ? ? cos ? ? cot ? cos ? ? (? tan ? ) ? ? ? cos ? . ? ? 6 分 1 tan ? ? sin ? tan(?? ? ? )

(2) cos(? ?

1 3? ? ? 1 ) ? cos(? ? ? 2? ) ? cos(? ? ) ? ? sin ? ? ,? sin ? ? ? , ? 9 分 5 2 2 2 5

? ? 是第三象限角,? cos ? ? ?

2 6 2 6 ?? ,? f (? ) ? ? cos ? ? . 12 分 5 5

2π 19、解: (1)由图知,T=π ,于是 ω = =2. ? ? 2 分

T

π π π 将 y=Asin2x 的图象向左平移 ,得 y=Asin(2x+φ ) 的图象,于是 φ =2? = . ? ? 4 12 12 6 分 将(0,1)代入 y=Asin(2x+ π π ),得 A=2.故 f1(x)=2sin(2x+ ). ? ? 6 分 6 6

π π π (2)依题意,f2(x)=2sin[2(x- )+ ]=-2cos(2x+ ), ? ? 8 分 4 6 6 π 5π 5π 当 2x+ =2kπ +π ,即 x=kπ + (k∈Z) 时,ymax=2.此时 x 的取值为{x|x=kπ + ,k 6 12 12 ∈Z}.

? ? 12 分
1 , 25

2 2 2 20、解: (1) (sin A ? cos A) ? sin A ? 2sin A cos A ? cos A ? 1 ? sin 2 A ?

? sin 2 A ? ?

24 . 25

? ?3 分

24 ? 0 ,又 sin A ? 0 ,? cos A ? 0 , 25 ? ?7 分 ? A 是钝 角,则 ?ABC 是钝角三角形.
(2)? sin 2 A ? 2sin A cos A ? ?
2 (3) (sin A ? cos A) ? 1 ? sin 2 A ?

49 ,又知 sin A ? cos A ? 0 , 25

? sin A ? cos A ?

7 ? ? 10 分 , 5 1 4 3 4 联立 sin A ? cos A ? ,解得 sin A ? , cos A ? ? , 则 tan A ? ? ? ? 13 分 5 3 5 5

21、解:
2 (1) f ( x) ? sin ? x cos ? x ? cos ? x ?

2 ? 1 1 1 ? cos 2? x sin 2? x ? ? sin(2? x ? ) ? ? 4 分 2 2 2 4 2
6

?

2? ? ? ,? ? ? 1. 2?

? ?6 分

(2)由(1) f ( x) ?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? , 2 4 2

? g ( x) ?
?0 ? x ?

2 ? 1 2 ? 1 sin(2 ? 2 x ? ) ? ? sin(4 x ? ) ? 2 4 2 2 4 2

? ?9 分
? ? 11 分

?
16

,?

?
4

? 4x ?

?
4

?

?
2



?

? 2+1 ? ? ? 2 ? 14 分 ? sin(4 x ? ) ? 1 ,? g ( x) ? ?1, ?. 2 ? 2 4 ?

7


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