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2016年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷及参考答案


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2016 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷
2016.4 本试卷分选择题和非选择题两部分,全卷共三页,选择题部分 1 至 2 页,非 选择题 2 至 3 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. 已知 M ? ? ??1? 3?,?2 ? 4? ? ? ? R?, N ? ??1? ?,3 ? ? ? ? ? R?,则 M ? N = ( A. ? B. ?2? C. )

??2,2??

D. ?2,2?

2. 在平面直角坐标系 XOY 中,若点 P 的坐标为 ?2 sin 3,?2 cos3? ,则 ?POX = ( A. 3 ) B. ? ? 3 C. ? 3 ?

?
2

D. 3 ? ( D. 2

?
2

3. 在 ?ABC 中,已知 AB ? 1 , AB ? AC ? 2 ,若 S ?ABC =1,则 BC = A.

)

5

B.

3
(

C. 1 )
? 3? C. ?1, ? ? 2?

4. 函数 y ? x ? 3 ? 4 ? x 的值域是 A. ?1,2? B. 1, 3

? ?

D. 1, 2

? ?

? x ? y ? f ?x ? ? f ? y ? 5. 如果一个函数 f ?x ? 在其定义域内对任意的 x , y 都满足 f ? , ?? 2 ? 2 ?

则称这个函数为下凸函数,下列函数是下凸函数的是 ① f ?x? ? ? log2 x ② f ?x? ? x3 ③ f ?x? ? 2 A. ①② B. ②③
?x

(

)

? x, x ? 0 ④ f ?x ? ? ? ?2 x, x ? 0
C. ③④ D. ①④

? 5? ? ? 6. 函数 f ?x ? ? 2a sin ?2 x ? ? ? 的值域为 ?- 2,2? ,在区间 ?? 上单调递减,则常 , ? 12 12? ?

数 a 和 ? 的值可以是
2? 3 4? C. a ? ?1, ? ? 3

(

)
4? 3 2? D. a ? ?1, ? ? 3

A. a ? 1, ? ?

B. a ? 1, ? ?

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7. 已知 k ? N * , k ? 3 ,若一元二次方程 ?k ?1?x 2 ? px ? 2k ? 0 的两根都是正整数, 则 p?k= ( A. 12 8. 化简 A. 4 ) B. 11
cos15? = ( cos55? cos65? sin 85?

C. 10 ) C. 4 3

D. 9

B. 3

D. 3 3

9. 平面直角坐标系中 A?1,?1?, B?4,0?, C ?2,2?, AP ? ? AB ? ? AC ?1 ? ? ? a,1 ? ? ? a ? 若动点 P 组成的区域面积为 32,则 a 等于 ( 7 A. B. 3 C. 2 2 ) D.
3 2

3 3 3 10. 设 a1, a2 ,...,a2016 ? ?? 2,2? ,且 a1 ? a2 ? ... ? a2016 ? 0 ,则 f ? a1 的最 ? a2 ? ...? a2016

大值是 ( A. 2016

) B. 3024 C. 4032 D. 5040

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分. 11. 函数 f ?x? ? log1 3 ? 2 x ? x 2 的单调递减区间是
2

?

?

? x 2 ? 2 x, x ? 0 12. 定义在 R 上的奇函数 f ?x ? ? ? ,则 f ?g ?? 2?? = ? g ?2 x ?, x ? 0
13. 指数函数 y ? a x ?a ? 0, a ? 1? 和对数函数 y ? loga ?a ? 0, a ? 1? 的图像分别为 C1 和 C2 ,点 M 在曲线 C1 上,线段 OM ( O 为坐标原点)交曲线 C1 与另一点 N ,若曲 线 C2 存在点 P ,满足点 P 的横坐标与点 M 的纵坐标相等,点 P 的纵坐标是点 N 的两倍,则点 P 的坐标是 14. 已知 e1 , e2 是两个相互垂直的单位向量,若 a ? xe1 ? ye2 ,且 x ? 2 y ? 3 ,则 a 的最小值是
1 7 ? ?? 4 15. 已知函数 f ?x ? ? m?sin x ? cos x ? ? cos 4 x 在 x ? ?0, ? 有最大值 ,则实数 m 2 2 ? 2?

的值是

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16. 函数 f ?x ? ?

x 1? x 2 ? x 3 ? x 2014 ? x ? ? ? ? ....? 图像的对称中心是 1? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 2015 ? x

17. 设 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,集合 A ? ?y y ? ?x?? ?2x?? ?3x?? ?4x?,0 ? x ? 10? 中的元素个数为 个

三、解答题:本大题共三小题,共 51 分. 18. (本题满分 15 分)已知函数 f ?x ? ? 6 cos 2

?x
2

? 3 sin ?x ? 3?? ? 0? 在一个周期

内的图像如图所示, A 为图像最高点, B, C 为图像与 x 轴的交点且 ?ABC 为正三 角形. Ⅰ、求 ? 的值及函数 f ?x ? 的值域; Ⅱ、若 f ?x0 ? ?
8 3 ? 10 2 ? 且 x0 ? ? ? , ? , 求 f ?x0 ? 1? . 5 ? 3 3?

19. (本题满分 18 分) 已知函数 f ?x ? 是定义在 R 上且 T ? 5 的周期函数,当 x ? ?0,1? 时, f ?x ? ? 3x 4?3n n ? N * , 当 x?1,4? 时, f ?x? ? loga x ? b ,又函数 y ? f ?x ? 在 ?- 1,1? 上 时奇函数且在区间 ?0,1? 上单调递增. Ⅰ、求函数 y ? f ?x ? 在 ?1,4? 上的解析式; Ⅱ、求函数 y ? f ?x ? 在 R 上的解析式.

?

?

20. (本题满分 18 分)已知函数 f ?x? ? x2 ? x ?1 ? a ,其中 a 为常数.
? 1 1? Ⅰ、求函数 f ?x ? 在 ?? , ? 的单调区间; ? 2 2?

Ⅱ、若不等式 f ?x? ? 2 x ? a 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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参考答案
一、选择题

1. C 6. B
二、填空题

2. D 8. A

3. A

4. D

5. D 10. C

7. B

9. C(图解法)

11. ??1,1? 或 ?? 1,1?

12. -15

13. ?4, loga 4?

14.

3 5 5

15. 1

16. ??1008,2015?

17. 61 (提示: 分 k ? x ? 1 ? k ,1 ? k ? x ? 1 ? k ,1 ? k ? x ? 1 ? k ,1 ? k ? x ? 1 ? k ,
4 4 3 3 2 2

x ? 10 , 0 ? k ? 10, k ? N *

五种情况进行讨论)

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三、解答题

18. Ⅰ、 ?? 2

3,2 3

?

Ⅱ、 7

6 5

19. Ⅰ、 f ?x? ? ?3 log2 x ? 3, x ? ?1,4?(临界取值) Ⅱ、 f ? x ? ? ? ?
?? 3 log2 ?x ? 5k ? ? 3, x ? ?5k ? 1,5k ? 4? 3x ? 15k , x ? ?5k ? 1,5k ? 1?

?k ? Z ?

20.
1 1? ? ? Ⅰ、当 1 ? a ? 3 时, f ?x ? 在 ? ?? , a ? 1? 上递减,在 ?a ? 1, ? 上递增;
2 2

? 2

?

?

2?

1 1? 当 a ? 3 时, f ?x ? 在 ? ?? , ? 上递减;
2

? 2 2?

1 1? 当 a ? 1 时, f ?x ? 在 ? ?? , ? 上递增.
2

? 2 2?

Ⅱ、 ? 1 ? a ? 1 ?
4

2

(提示:由 x2 ? x ?1? a ? 2 x ? a 得到
y ? x2与y ? 2 x ? a ? x ?1 ? a 的图像)

x2 ? 2 x ? a ? x ?1 ? a ,比较


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