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陕西省西工大附中2014届高三下学期第九次适应性训练数学(理)试题


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陕西省西工大附中 2014 届高三下学期第九次适应性训练数学(理)试题

第Ⅰ 卷 选择题(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 ? 1 ,则 p 是 q 的( 1.条件 p : ( x ? 2) 2 ? 1 ,条件 q : ) x ?1
A.充要条件 C.必要不充分条件 2.根据右图算法语句,输出 s 的值为( A.19 B.20 C.100 D.210 3.一个棱锥的三视图如右图所示,则它的体积为 ( A. ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ).

1 2

B.

C.1

3 2 1 D. 3


4.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ( x) ? 21? x 在同一坐标系中的图像大致是(

sin2 ? ? 5. 已知向量 a ? (2,1), b ? (sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ) ,且 a ∥ b ,则 cos2 ? ?
A.

7 5

B. ?

7 5

C.

1 5

D. ?

1 5

6.某班级有男生 20 人,女生 30 人,从中抽取 10 人作为样本,其中一次抽样结果是抽到了 4 名男生、6 名女生,则下列命题正确的是( ) A.这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B.这次抽样一定没有 采用系统抽样 .... C.这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D.这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 7. 圆 x ? y ? ax ? 2 ? 0 与直线 l 相切于点 A(3,1) ,则直线 l 的方程为(
2 2



A. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 4 ? 0
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8 .从区间 ? ?5, 5? 内随机取出一个数 x ,从区间 ? ?3, 3 ? 内随机取出一个数 y ,则使得

x ? y ? 4 的概率是(
A. 1

) C. 3 D. 8

3

B. 1

2

5

15

9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若双曲线上 a 2 b2

存在点 P 满足

a c ,则该双曲线的离心率的取值范围为( ? sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1
B. (1, 3) D. ( 2 ? 1, ??)



A. (1, 2 ? 1) C. ( 3, ??) 10 . 定义在 (??, 0)

(0,?? )上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 ?a n ? ,有

? f ?a n ??

仍 是 等 比 数 列 , 则 称 f ( x ) 为 “ 保 等 比 数 列 函 数 ”. 现 有 定 义 在

(??,0) (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ? x2 ; ② f ( x) ? 2x ; ③ f ? x ? ?
④ f ( x) ? ln x ,则其中是“保等比数列函数”的 f ( x ) 的序号为( A. ①② B. ③④ C. ①③ )

x ;

D. ②④

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题: ( 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 x, y 的值如表所示: x 2 3 4 y 5 4 6
如果 y 与 x 呈线性相关且回归直线方程为 y ? bx ?

7 ,则 b ? 2

; ;

12.若 z ? (sin ? ? ) ? i (cos ? ? ) 是纯虚数,则 tan ? 的值为

3 5

4 5

13.如图,在圆中有结论:“ AB 是圆 O 的直径,直线 AC 、 BD 是圆 O 过 A 、 B 的切线, P 是圆 O 上任意一点, CD 是过 P 的切线, 则有 PO ? PC ? PD .”类比到椭圆:“ AB
2

是椭圆的长轴, F 1 , F2 是椭圆的焦点,直 线 AC 、 BD 是椭圆过 A 、 B 的切线, P 是 椭圆上任意一点, CD 是过 P 的切线,则有 ;

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14.若 (1 ? 2x)2014 ? a0 ? a1x ?

? a2014 x2014 ,则

a1 a2 ? ? 2 22

?

a2014 = 22014



15.选做题(请考生在三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) . (A) . (坐标系与参数方程) 在极坐标系中,过圆 ? ? 6cos ? 的圆心,且垂直于极轴的直线的 极坐标方程为 。

(B) . (不等式选讲)不等式 x ? 1 ? 2 ? x ? a2 ? 2a ? 0 对于一切 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 。

(C) . (几何证明选讲) 如图: 若 PA ? PB ,?APB ? 2?ACB ,

AC 与 PB 交 于 点 D , 且 PB ? 4 , PD ? 3 , 则 A D? D C ?


三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? A cos ? x ( A ? 0 , ? ? 0 )的部分图像如图所示, 其中△ PQR 为等腰直角三角形, ?PQR ? (I)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) ?

?
2

, PR ? 1 。

1 在 x ? [0,10] 时的所有零点之和。 4

17. (本题满分 12 分)已知数列 ?log2 (an ?1)? , n ? N * 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 1 ? ? a2 ? a1 a3 ? a2

?

1 ?1。 an?1 ? an

18 . (本题满分 12 分)如图,设四棱锥 S ? ABCD 的底面为菱形,且∠ ABC ? 60 ,

AB ? SC ? 2 , SA ? SB ? 2 。
(Ⅰ)求证:平面 SAB ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求平面 ADS 与平面 ABS 所夹角的余弦值。 19. (本题满分 12 分)甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校 2014 年自主招生,高 考前自主招生的程序为审核材料和文化测试,只有审核过关后才能参加文化测试,文化 测试合格者即可获得自主招生入选资格.因为甲,乙,丙三人各有优势,甲,乙,丙三 人审核材料过关的概率分别为 的概率分别为

1 3 2 , , ,审核过关后,甲,乙,丙三人文化测试合格 2 5 5

3 1 3 , , 。 5 2 4
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(I) 求甲,乙,丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率; (Ⅱ)设甲,乙,丙三人中材料审核过关 的人数为随机变量 X ,求 X 的分布列和期望。 ...... 20. (本题满分 13 分)设椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 2 2 a b

x y 21 ? ? 1 的距离 d ? , O 为坐标原点。 a b 7
(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 以 AB 为直径的圆过原点 O , 求 O 到直线 l 的距离。 21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x2 。 (I)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)在(I)的条件下,且 a ? 1 , h( x) ? e3 x ? 3ae x , x ?[0,ln 2] ,求 h( x) 的极小值; (Ⅲ) 设 F ( x) ? 2 f ( x) ? 3x2 ? k , k ? R ,若函数 F ( x) 存在两个零点 m, n(0 ? m ? n) , 且满足 2 x0 ? m ? n ,问:函数 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能, 求出该切线方程,若不能,请说明理由。 2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第九次适应性训练

数 学(理科)参考答案

一、选择题 CCACB ADBAC
二、填空题:11.

1 3 ?1 。 ;12. ? ;13. PF 1 ? PF 2 ? PC ? PD ;14. 2 4
B. [?3,1] ; C. 7 .

15.A. ? cos ? ? 3 ; 三、解答题: 16. (本题满分 12 分)

1 1 , ? ? ? ,所以 f ( x) ? cos ?x 2 2 1 1 1 5 (Ⅱ)由 f ( x) ? ? 0 ,得 cos ?x ? ,故 x ? 2k ? 或 x ? 2k ? ( k ? Z) , 4 2 3 3 1 5 7 11 25 29 所以当 x ? [0,10] 时的所有零点之和为 S ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 50 。 3 3 3 3 3 3
解: (I)如图,由已知得 A ? 17. (本题满分 12 分) 解: (I)设等差数列 {log2 (an ? 1)}的公差为 d.由 a1 ? 3, a3 ? 9 得 log2 2 ? 2d ? log2 8,

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即 d=1.所以 log 2 ( an ?1) ? 1 ? ( n ?1) ?1 ? n, 即 an ? 2 n ? 1. (II)证明:

1 1 1 1 1 ? n?1 n ? n ,? ? ? an?1 ? an 2 ? 2 2 a2 ? a1 a3 ? a2
1 1 1 ? ? ? 21 22 23

?

1 an ?1 ? an

?

1 1 1 ? n? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? n ? 2 1 2 2n 1? 2

18. (本题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 AC ,取 AB 的中点 E ,连接 SE 、

EC , SA ? SB ? 2 , ? SE ? AB , AB ? 2 , ? SE ? 1 , 又四棱锥 S ? ABCD 的 底面为菱形 , 且∠ ABC ? 60 ,? ABC 是 是 等边三角 形, AB ? 2 ?CE ? 3 , 又 SC ? 2 , ? SC 2 ? CE 2 ? SE 2 , ? SE ? EC ,? SE ? 面 ABCD (Ⅱ)由(Ⅰ)知,分别以 EC , EB, ES 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立建立空间直角坐
标系。则面 ABS 的一个法向量 m ? (1, 0, 0) , A(0, ?1, 0) , S (0, 0,1) , D( 3, ?2,0) ,

? AD ? ( 3, ?1,0), AS ? (0,1,1) , 设 面 A D S的 法 向 量 n ? ( x, y, z ) , 则
AD ? n ? 3x ? y ? 0 , AS ? n ? y ? z ? 0 , 令 y ? 3 , 则 x ? 1,z ? ? 3, 由
ADS 与平面 ABS 所夹角的大小为 ? ,则 ,设平面 n ? (1, 3? , 3 ) m?n 1 7 cos ? ? ? ? 7 m n 1? 7
19. (本题满分 12 分) 解: (I)设甲,乙,丙三人获得自主招生入选资格的概率分别为 P ( A) 、 P ( B ) 、 P (C ) , 则 P( A) ?

1 3 3 1 3 3 2 3 3 ? ? , P( B) ? ? ? , P(C ) ? ? ? , 2 5 10 2 5 10 5 4 10

所以甲,乙,丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率:
1 P ? C3

3 3 (1 ? ) 2 ? 0.441 10 10 2 5 3 , 25

(Ⅱ) X 可能取值为 0,1, 2,3 ,则 P( X ? 0) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ?

1 3 2 5 1 2 3 1 3 3 1 2 2 19 P( X ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 5 5 2 5 5 2 5 5 50 1 3 2 1 2 2 1 3 3 19 P( X ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 5 5 2 5 5 2 5 5 50 1 3 2 3 P( X ? 3) ? ? ? ? 2 5 5 25 0 1 2 X 3 19 19 P 25 50 50
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3

3 25

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EX ? 0 ?
20. (本题满分 13 分)

3 19 19 6 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 25 50 50 50 2

1 c 1 x y 21 e ? ,? ? ,右焦点 (c, 0) 到直线 ? ? 1 的距离 d ? , 2 a 2 a b 7 bc ? ab 21 2 2 则 ,且 b ? c ? 1 ,所以 a2 ? 4, b2 ? 3 , ? 2 2 7 a ?b x2 y 2 ? ?1 所以椭圆 C 的的方程是: 4 3 ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m ,那么: ? , y ? kx ? m ? ?8km 4m2 ? 12 , x ? x ? 则 (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 又因为直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,以 AB 为直径的圆过原点 O ,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
解: (Ⅰ)

? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,?(k 2 ? 1) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0

m (k 2 ? 1)(4m2 ? 12) ?8k 2 m2 m2 12 2 21 2 ? ? m ? 0 ? ,即 ,化简得 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 k ?1 7 7 k 2 ?1 2 21 所以 O 到直线 l 的距离为 7
21. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? f ( x) ? ax ? ln x ? x 2 ? ax, g ?( x) ?

1 ? 2 x ? a. x 1 x

由题意,知 g ?( x) ? 0, x ? (0, ??) 恒成立,即 a ? (2 x ? ) min . 又 x ? 0, 2 x ?

2 1 时等号成立. ? 2 2 ,当且仅当 x ? 2 x

故 (2 x ? ) min ? 2 2 ,所以 a ? 2 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 1 ? a ? 2 2. 令 e x ? t ,则 t ? [1, 2] ,则 h( x) ? H (t ) ? t ? 3at.
3

1 x

H ?(t ) ? 3t 2 ? 3a ? 3(t ? a )(t ? a ).
由 H ?(t ) ? 0 ,得 t ? ①若 1 ? t ?

a 或 t ? ? a (舍去) , a ? (1, 2 2],? a ? [1, 2 4 ] ,

3

a ,则 H ?(t ) ? 0, H (t ) 单调递减; h( x) 在 (0, ln a ] 也单调递减;

②若 a ? t ? 2 ,则 H ?(t ) ? 0, H (t ) 单调递增. h( x) 在 [ln a , ln 2] 也单调递增; 故 h( x) 的极小值为 h(ln a ) ? ?2a a

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(Ⅲ)设 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 的切线平行于 x 轴,其中 F ( x) ? 2 ln x ? x ? kx. 结合题意,
2

2ln m ? m2 ? km ? 0;2ln n ? n2 ? kn ? 0 ,相减得 2 ln
F ( x0 ) ?

m ? (m ? n)(m ? n) ? k (m ? n). n

4 2 2 ? 2(m ? n) ? 2 x0 ? k ? 0,? k ? ? 2 x0 ,又 m ? n ? 2x0 , k ? m?n x0 x0

m 2( ? 1) m 2(m ? n) m 2(u ? 1) 所以 ln ? ? n . 设 u ? ? (0,1) , ln u ? ? 0(u ? (0,1)). m n m?n n u ? 1 ?1 n 2(u ? 1) 设 y ? ln u ? (u ? (0,1)) , u ?1

y? ?

1 2(u ? 1) ? 2(u ? 1) (u ? 1) 2 ? 4u (u ? 1) 2 ? ? ? ? 0, u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2

2(u ? 1) 在 (0,1) 上单调递增, u ?1 2(u ? 1) 因此, y ? y |u ?1 ? 0 ,即 ln u ? ? 0. u ?1 m m 2( ? 1) 2( ? 1) m m 2( m ? n ) n 也就是, ln ? ,所以 ln ? ? n . 无解。 m m n n m ? n ?1 ?1 n n
所以函数 y ? ln u ? 所以 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴。

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