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4.4.3 -1 参数方程的应用(1)-----椭圆的参数方程1


4.4.3

参数方程的应用(1) -----椭圆的参数方程

例1、如下图, 以原点为圆心, 分别以a, b(a>b>0)为 半径作两个圆, 点B是大圆半径OA与小圆的交点, 过 点A作AN⊥ox, 垂足为N, 过点B作BM⊥AN, 垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系. 设∠XOA=φ
y A
B O N M

x

例1、如下图, 以原点为圆心, 分别以a, b(a>b>0)为 半径作两个圆, 点B是大圆半径OA与小圆的交点, 过 点A作AN⊥ox, 垂足为N, 过点B作BM⊥AN, 垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),
y A
B M

? x ? a cos ? 由已知: ? (?为参数) ?y ? b sin?

O

N

x

即为点M的轨迹参数方程.
消去参数得:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1,

即为点M的轨迹普通方程.

1 .参数方程

x ? a cos ? 是椭圆的参数方程. y ? b sin ?

2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭圆的长半 轴长和短半轴长. a>b

另外, ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值范围是 ? ? [0, 2 ? )
? x ? a co s ? , 焦点在X 轴 ? 焦点在Y轴 ? y ? b sin ? .
? x ? b co s ? , ? ? y ? a sin ? .

知识归纳
椭圆的标准方程:
x
2

y
2

?

y

2 2

?1
O

A
B M N

φ
x

a b ? x ? a cos ? 椭圆的参数方程:? (?为参数) ?y ? b sin?

椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? ?y ? r sin?

y

P θ

(?为参数)

O

A x

θ的几何意义是 ∠AOP=θ

【练习1】把下列普通方程化为参数方程. 2 2 2 x y y 2 ? ?1 (2) x ? 1 6 ? 1 (1) 4 9
(1)

?

x ? 2 cos ? y ? 3 s in ?

x ? cos ? (2) y ? 4 s in ?
? x ? 8 cos ? ? ? y ? 1 0 s in ?

?

把下列参数方程化为普通方程

(3)
(3)

? x ? 3 cos ? ? ? y ? 5 s in ?

(4)
(4)

x 9

2

?

y

2

25

?1

x 64

2

?

y

2

100

?1

练习2:已知椭圆的参数方程为

? x ? 2 cos ? ( ? 是 ? ? y ? sin ?

参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ( 2 ),焦点坐标是((? (
3 2

),短轴长为

3 , 0)),离心率是

)。

例2、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线

l:x-y+4=0的距离最小.

y

分析1: P ( ? 设
则d ?

8 ? 8 y , y ),
2
2

| ? 8 ? 8y

?y ?4|
O x

2

分析2:设 P ( 2
则d ?

2 cos ? , sin ? ),

P

| 2 2 cos ? ? sin ? ? 4 | 2

分析3:平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求. 小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一
点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

例3、已知椭圆

x

2

?

y

2

100

64

? 1 有一内接矩形ABCD,
Y y D

求矩形ABCD的最大面积。
解 : 设 A ?10 cos ? , 8 sin ?
S ? 2 0 ? 1 6 sin ? co s ? ? 1 6 0 sin 2 ?
所 以 , 矩 形 A B C D 最 大 面 积 为160

?
A1

B2

A

A D ? 2 0 co s ? , A B ? 1 6 sin ?

F1
C

O B1
B

F2

X A2 X

? 4 ?1 练习3: 已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆 弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
x 9 y

2

2

解 :椭圆参数方程 设 点 P(3cos? ,2sin? ) S ? ABC 面 积 一 定 , 需 求 S ? ABP 最 大 即 可
即 求 点 P 到 线 A B的 距 离 最 大 值 线 AB的 方 程 为 d ?
x 3

?

y 2

? 1 ? 2x ? 3y ? 6 ? 0 ?
6 13

| 6 c o s ? ? 6 s in ? ? 6 | 2
2

2 s in (

?
4

??)

?3

2

所以当?=

?
4

时,d有 最 大 值,面 积 最 大
3 2 2

这 时 点 P的 坐 标 为 (

, 2)

练习4
1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
最大值6 2 , 最小值 ? 6 2 .
x
2

y

2

2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .

A. 圆

B. 椭圆

设中点M (x, y)
x
2

C. 直线 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ

D. 线段

?

y

2

??? 2

4

9


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