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2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第32讲等比数列的概念及基本运算


新课标高中一轮 总复习

理数
1

第五单元

数列、推理与证明

2

第32讲
等比数列的概念及基本运算

3

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n项 和公式. 3

.能在具体的问题情境中识别数列的 等比关系,并能用有关知识解决相应的 问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
4

1.已知数列{an}的前n项和Sn=an-3(a为不等 于零的实数),那么数列{an}( D )

A.是等比数列
B.当a≠1时是等比数列

C.从第2项起是等比数列
D.从第2项起是等比数列或等差数列
5

由Sn=an-3,可得 an=a-3

(n=1)

(a-1)an-1 (n≥2). 当a=1时,数列-3,0,0,…0,为从2项起的 等差数列; 当a≠1时,为从第2项起的等比数列.

6

2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6, 则a2011=( A) A.22010 C.32010 B.22011 D.32011

令{an}的公比为q, 则a1(1+q)=3,a1q(1+q)=6, 则a1=1,q=2,所以a2011=a1·2010=22010. q
7

3.若数列{an}成等比数列,则“a2010·2012=16” a B 是“a2011=4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 件 由a2010·2012=16,则a2011=±4,充分性 a 不满足;

由a2011=4,则a2010·2012=a20112=16. a
8

4.(2010· 江苏溧水模拟)等比数列{an}中, Sn是数列{an}的前n项和,S3=3a3,则公 1 式q= - . 或1
2

当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意. 当q≠1时,
1 所以q=- 或1. 2
a1 (1 ? q3 ) 2,解得q=- 1或1(舍去). =3a1q 1? q 2

9

5.2009年,某内河可供船只航行的河段长 为1000 km,但由于水资源的过度使用, 促使河水断流,从2010年起,该内河每 年船只可行驶的河段长度仅为上一年 2 的 ,则到2018年,该内河可行驶的河 3 2 9 1000×( )km. 段长度为
3

10

设an表示第n年船只可行驶 河段长度(2009为第一年),
2 则an= an-1,a1=1000, 3 2 n-1 所以an=1000×( ) , 3 2 9 a10=1000×( ) . 3

11

等比数列

(1)


等 比 数 列 定 义 an ?1 =q(非零常数) .(n∈N*),这是证明一
an

个数列是等比数列的依据,也可由
an·n+2=an+12来判断. a an=a1·n-1 . q (2)等比数列的通项公式为② (3) 对 于 G 是 a 、 b 的 等 比 中 项 , 则 G2 = ab,G=③ ± ab .

12

(4)特别要注意等比数列前n项和公式应 分为q=1与q≠1两类.当q=1时,Sn=④ na1; 当q≠1时,Sn=⑤
a1 ? (1 ? q n ) 或 S ? a1 ? an ? q n 1? q 1? q

.

13

典例精讲
题型一 等比数列的基本运算
例1 在 等 比 数 列 {an} 中 , 已 知
a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.

分析 利用等比数列的性质,将a2an-1
转换成a1an,从而求出a1和an,再根据等 比数列的通项公式与前n项和公式列方 程组求解.
14

因为a2an-1=a1an,所以a1an=128. 解方程组 解得

a1an=128
a1+an=66, ①或

a1=64
an=2

a1=2
an=64

②,

a1 ? an ? q 1 将①代入Sn= 1 ? q ,得q= 2 由an=a1·n-1,得n=6. q a1 ? an ? q 将②代入Sn= 1 ? q ,得q=2, 由an=a1·n-1,得n=6. q

,

15

点评 (1)对于“知三求二”问题,通常是
利用通项公式与前n项公式列方程组求解, 但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数 列的性质解题,就可化繁为简. (2)当已知a1 、q(q≠1)、n时,用公式 Sn=
a1 ? (1 ? q n ) 1? q

求和较为方便;当已知a1、q
a1 ? an ? q 1? q

(q≠1)、an时,则用公式Sn= 和较为方便.



16

变式 一个等比数列有三项,如果把
第二项加上4,那么所得的三项就成等 差数列,如果再把这个等差数列的第 三项加上32,那么所得的三项又成等 比数列,求原来的等比数列.

17

设所求的等比数列为a,aq,aq2, 则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32),
2 解得a=2,q=3或a= ,q=-5. 9 2 10 50 故所求的等比数列为2,6,18或 ,- , . 9 9 9

点评 这 种 解 法 利 用 等 比 数 列 的 基 本 量
a1,q,先求公比,后求其他量,这是解等差 数列、等比数列的常用方法,其优点是思 路简单、实用,缺点是有时计算较繁杂.
18

题型二 等比数列的判定及证明

例2 (2010· 都昌模拟)已知数列{an}满
足:a1=1, an+1 =
1 2

an+n (n为奇数)
(n为偶数).

an-2n

(1)求a2,a3,a4,a5;
(2)设bn=a2n-2,求证:数列{bn}是等比数列; (3)在(2)的条件下,求数列{an}的前100项中 所有偶数项的和.
19

1 (1)因为a1=1,当n=1∈{奇数},a2= 2

a1+1= ;

3 2

当n=2∈{偶数},a3=a2-2×2=- 5 ; 同理,a4= ,a5=7 4
2

25 . 4

20

(2)证明:因为bn=a2n-2,
bn?1 a2 n ? 2 ? 2 所以 = = a2 n ? 2 bn
1 1 a2 n ?1 ? 2n ? 1 ? 2 (a2 n ? 4n) ? 2n ? 1 2 =2 a2 n ? 2 a2 n ? 2

=

1 a2 n ? 1 1 2 = 2 a2 n ? 2

.

1 又b1=a2-2=- , 2

所以数列 比数列.

1 1 {bn}是以b1=- 2 为首项,公比为 的等 2

21

1 1 n-1 1 n (3)由(2)得bn=(- )( ) =-( ) =a2n-2, 2 2 2 1 n 所以a2n=2-( ) , 2

所以S=a2+a4+…+a100

1 1 2 1 50 =(2- )+[2-( ) ]+…+[2-( ) ] 2 2 2 1 1 ? (1 ? 50 ) 2 2 =99+ 1 . =2×501 2 50 1? 2
22

点评本题是以分段形式给出的数列通
项,特别要根据n的奇偶选递推式,而 不是an+1 的下标的奇偶.同时判定等比数 列的常用方法有两种:第一种定义法,
an ?1 即证 a =q(q是非零常数);另一种是等 n

比中项法,即证an2=an-1·n+1.当已知通项 a 公式或把递推公式看作一整体时,常用 定义法.
23

题型三 等比数列的最值
例3等比数列{an}的首项为a1=2010,
公比q=- . (1)设bn表示数列{an}的前n项的积,求 bn的表达式; (2)在(1)的条件下,当n为何值时, 数列{bn}有最大项?
24

1 2

bn=a1·2· an 得表达式.(2)先判断bn 的符号, a …· 再由|bn|的单调性,进一步探求. (1)因为an=2010×(所以bn=a1·2·…·an a
n×(- 1 =2010

分析 (1) 求 出 {an} 的 通 项 公 式 , 再 由

1 n-1 ) , 2

2

)0+1+2+…+(n-1)

1 n ( n?1) n×( ? ) 2 . =2010 2
25

| bn?1 | (2)因为 | b | n

=

2010 2n

,
| bn?1 | = | bn |
2010 n >1, 2

所以,当n≤10时,

所以|b11|>|b10|>…>|b1|;

| bn?1 | 2010 当n≥11时, | b |= n <1,所以|b11|>|b12|>…, 2 n

又因为b11<0,b10<0,b9>0,b12>0, 所以bn的最大值是b9和b12中的最大者.
1 201012 ? ( ? )66 b12 2 因为 b = 20109 ? (? 1 )36 9 1 30 2 3×( ) =[2010×( 1 =2010

)10]3>1. 2 2 1 12×(- )66. 所以当n=12时,{bn}有最大项为b12=2010 2 26

点评 等比数列的通项公式类同于指数
函数,根据公比q与首项a1的正负、大小 有不同的单调性: 当 a1>0

q>1
a1<0

或 或

a1<0

0<q<1时为单调增数列;
a1>0



q>1 0<q<1为单调减数列;当 q<0时为摆动数列,应分类讨论其项的 符号与绝对值.
27

备选题
(2010· 安徽师大附中)设数列{bn}的 前n项和为Sn,bn=2-2Sn;数列{an}为等差 数列,且a5=14,a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若cn=an·n(n=1,2,3,…),Tn为数列{cn}的 b
7 前n项和,求证:Tn< . 2

28

(1)由bn=2-2Sn,令n=1,则b1=2-2S1,
2 又S1=b1,所b1= , 3

当n≥2时,由bn-1=2-2Sn-1,
可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,
bn 1 即 = . bn?1 3
1 2 所以{bn}是以b1= 为首项, 为公比的等比 3 3

数列,

1 于是bn=2·n . 3
29

(2)数列{an}为等差数列, 从而cn=an·n=2(3n-1)·n . b
3

1 公差d= (a7-a5)=3,可得an=3n-1. 2 1 1 1 1 1 所以Tn=2[2· +5· 2 +8· 3 +…+(3n-1)· n ], 3 3 3 3 1 1 1 1 1 所以 Tn=2[2· 2 +5· 3 +…+(3n-4)· n +(3n-1)· n?1 ], 3 3 3 3 3 1 1 2 1 所以 Tn=2[3· +3· 2 +3· 3 +… 3 3 3 3 当出现由等差数列与等比数列的 1 1 1点评 +3·n - -(3n-1)· n?1 ], 积构成的新数列时,乘公比,错项相消法 3 3 3 7 7 1 1 7 是首选,此时一定要注意公比是否为1. 从而Tn= - · n - n?1 < . 30 2 2 3 3 2

方法提炼
1.方程思想的应用.在等比数列的五个 基本量a1,an,q,n,Sn中,“知三求二”,一 般是运用通项公式和前n项和公式列方程, 通过解方程求解.
2.等比数列的判定常用定义法和等比 中项法;而证明不是等比数列时,只需 举反例(常从前几项入手).
31

走进高考
江苏卷)设{an}是公比为q的等 学例1(2009· 比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…).若数 列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82} 中,则6q= -9 .

32

因为数列{bn}有连续四项在集合
{-53,-23,19,37,82}中,

又an=bn-1,所以数列{an}有连续四项在集合 {-54,-24,18,36,81}中,且必有正项、负项;
又|q|>1,所以q<-1, 因此ak,ak+1,ak+2,ak+3(k∈N*)正负相间, 且|ak|,|ak+1|,|ak+2|,|ak+3|单调递增, 故等比数列四项只能为-24,36,-54,81.
3 此时,公比为q=- ,6q=-9. 2
33

山东卷)等比数列{an}的前n项 学例2 (2009·
和为Sn.已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均 在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的 图象上. (1)求r的值;

(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*).证 明:对任意的n∈N*, 不等式 b1 ? 1 ·b2 ? 1 · > n ? 1 成立. …· b b
1 2

34

(1)因为对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在 函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象 上,所以Sn=bn+r.

当n=1时,a1=S1=b+r;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)

=bn-bn-1=(b-1)bn-1.
因为b>0,且b≠1,所以,当n≥2时,数列 {an}是以b为公比的等比数列. 又a1=b+r,a2=b(b-1),
a2 b(b ? 1) 所以 a =b,即 =b,得r=-1. b?r 1
35

(2)由(1)知,当b=2时,an=(b-1)bn-1=2n-1, bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n.
bn ? 1 2n ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 则 = ,所以 · bn b1 b2 2n 3 5 7 2n ? 1 = × × ·…· . 2 4 6 2n

·…·

bn ? 1 bn

下面用数学归纳法证明不等式
bn ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2n ? 1 · ·…· b = × × ·…· > n ? 1 成立. 2 4 6 b2 2n b1 n 3 当n=1时,左边= ,右边= 2 . 2 3 因为 > 2,所以不等式成立. 2
36

bk ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·…· b b1 b2 k

假设当n=k时不等式成立,即
3 5 7 = ×× 2 4 6 2k ? 1 ·…· > k ? 1 成立. 2k 7 × 6

则当n=k+1时,
左边=

5 3 b1 ? 1 b2 ? 1 bk ? 1 bk ?1 ? 1 · ·…· · = 2 ×4 b1 bk ?1 b2 bk

·

…·
=

2k ? 1 2 k ? 3 · 2k 2k ? 2

>

2k ? 3 (2k ? 3) 2 k ? 1 · 2k ? 2 = 4( k ? 1)
1 (k ? 1) ? 1 ? 4(k ? 1)

4(k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) ? 1 = 4(k ? 1)

> (k ?1) ?1 .

所以当n=k+1时,不等式也成立.

综上,可得不等式恒成立.

37

本节完,谢谢聆听
立足教育,开创未来
38


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