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13.1.1椭圆的标准方程(二)


学习目标:
1、会根据椭圆标准方程求椭圆的焦点和焦距;

2、会根据条件和用待定系数法求椭圆的标准方程。

复习回顾: 1、椭圆的定义:
我们把平面内与两个定点F1,F2 的距离之 和等于常数 (大于︱ F1,F2︱)的点的轨迹叫做椭圆. 即

| MF1 | ? | MF2 |? 2a(a > c)

这两个定点F1,F2叫做椭圆的 焦点.

两焦点间的距离|F1F2|叫 做 焦距。

2、椭圆的图形与标准方程: 焦点在x轴上 焦点在y轴上



y M





F1

O

F2

x


标 准 方 程 焦 点 坐 标
2 2 y x x y + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b
2 2



F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

2 2 2 相 a、b、c 的关系 c ? a ?b 同 标准方程中,分母哪个大,焦点就 点 焦点位置的判断 在哪个轴上!

x2 y2 例1. 分别求椭圆 ? ? 1 与椭圆 4 3

x2 y2 ? ? 1 的焦点与焦距. 3 4

解: ∵ 4>3, ∴椭圆A的焦点在x轴上,椭圆B的焦点在y轴上. ∵ a2=4, b2=3,

? c ? a 2 ? b 2 ? 4 ? 3 ? 1,

? 2c ? 2,

∴椭圆A的两个焦点分别为(-1,0)和(1,0),焦距是2. 椭圆B的两个焦点分别为( 0 , -1)和( 0, 1 )焦距是2.
练习: 分别求下列椭圆的焦点坐标与焦距。

x2 y 2 ( 1 ) ? ?1 5 3

(2) 9 y 2 ? 16 x 2 ? 144

例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a=5,焦点为F1(-4,0), F2(4,0); 解:(1)由题意可知这个椭圆 焦点在x轴上, 且a=5,c=4,
∴ b2=a2-c2=52-42=9,

(2)b=3,焦点为F1(0,-4),F2(0,4). 解:(2)由题意可知这个椭圆 焦点在y轴上, 且a=5,c=4,
∴ b2=a2-c2=52-42=9,

∴这个椭圆的标准方程是

∴这个椭圆的标准方程是

x y ? ? 1. 25 9

2

2

y2 x2 ? ? 1. 25 9

3 例3. 已知椭圆的焦点在x轴上,a=5,而且椭圆经过点 A(4, ? 5 ) ,

求椭圆的标准方程。
解:根据题意设椭圆的标准方程 为 3 ∵椭圆经过点 A( 4,? ), 5

x2 y2 ? 2 ? 1, 2 5 b

3 2 ( ? ) 42 5 ?1 ? 2 ? , 2 5 b
解得 b2=1,

∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 25

a ? 2 2 ,而且椭圆经过点 A( 3, 练习: 已知椭圆的焦点在y轴上,

2) ,

求椭圆的标准方程。

小结:

检测:
写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a=5,b=4,焦点在x轴上的椭圆标准方程是 _________
x2 y2 ? ? 1, 25 16

x2 y2 y2 x2 ? ?1 或 ? ? 1, (2) a=5,c=4的椭圆标准方程是__________________ 25 9 25 9

(3) b=3,焦点为F1(0,-4),F2(0,4)的椭圆标准方程
y2 x2 ? ?1 是___________ 25 9

(4) a=5,焦点 为F1(-4,0),F2(4,0) 的椭圆标准方程是
x2 y2 ? ?1 ________________ 25 9

(5) 已知椭圆的焦点在y轴上,a=3,而且椭圆经过点
x2 y2 ? ?1 A( 2, 0 ) , 椭圆的标准方程________________ 。 4 9

作业

P37 第3(2)(4),4。

?焦点在x轴上的标准方程:

x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b
?焦点在y轴上的标准方程:

2

2

?b

2

? a ?c
2

2

?

y x ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

2

2

2 2 2 b ? a ? c ? ?

思考:如果已知椭圆的标准方程,如何确定焦点在哪条坐标轴上? (1)焦点在x轴的椭圆,x2项分母较大. (2)焦点在y轴的椭圆,y2 项分母较大.

2.求椭圆的方程:
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y M M F1
O

y F2 x
O

F2

x F1

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”


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