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幂函数、零点与函数的应用.板块三.函数的应用.学生版


板块三.函数的零点

典例分析
题型一:正比例、反比例和一次函数型
【例1】 某商人将彩电先按原价提高 40%,然后“八折优惠”,结果是每台彩电比原价多

赚 144 元,那么每台彩电原价是

元. 【题型】解答

【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】2 星 【关键词】无

【解析】 【答案】 1200

【例2】 某商品降价 10%后,欲恢复原价,则应提价的百分数是

.

【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】2 星 【关键词】无 【解析】 100 【答案】 % 9

【题型】解答

【例3】 某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,

进行了连续 5 年的观测,并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给 的信息进行预测: (1)如果不采取任何措施,那么到 2010 年底,该地区的沙 漠面积将大约变为多少万公顷; (2)如果从 2000 年底后采取植树造林等措施, 每年改造 0.6 万公顷沙漠,那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到 90 万公 顷?
观测时间 1996 底 该地区沙漠比原有面积增 加数(万公顷) 0.2000 年 1997 底 0.4000 年 1998 底 0.6001 年 1999 底 0.7999 1.0001 年 2000 年底

【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 (1)由表观察知,沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一 次函数 y ? kx ? b 的图象。
将 x=1,y=0.2 与 x=2,y=0.4,代入 y=kx+b,
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求得 k=0.2,b=0, 所以 y=0.2x(x∈N) 。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷,则到 2010 年底沙漠面积大约为 95+0.5× 15=98(万公顷) 。 (2)设从 1996 年算起,第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷,由题意 得 95+0.2x-0.6(x-5)=90, 解得 x=20(年) 。 故到 2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。 点评:初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质,我们 要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。 【答案】 (1)98(万公顷) (2)2015 年年底,该地区沙漠面积减少到 90 万公顷 【例4】 已 知 函 数 f ? x ? 在 R 上 有 定 义 , 对 任 何 实 数 a ? 0 和 任 何 实 数 x , 都 有

f ? a x? ? a f? ? x
(Ⅰ)证明 f ? 0 ? ? 0 ; (Ⅱ)证明 f ? x ? ? ?

? kx, x ? 0 其中 k 和 h 均为常数; ?hx, x ? 0
【题型】解答

【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3 星 【关键词】2006 年,安徽理,高考

【解析】 (Ⅰ)令 x ? 0 ,则 f ? 0 ? ? af ? 0 ? ,∵ a ? 0 ,∴ f ? 0 ? ? 0 。

(Ⅱ)①令 x ? a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 ,则 f x 2 ? xf ? x ? 。
2 假设 x ? 0 时, f ( x) ? kx (k ? R) ,则 f x 2 ? kx 2 ,而 xf ? x ? ? x ? kx ? kx ,

? ?

? ?
?

∴ f x 2 ? xf ? x ? ,即 f ( x) ? kx 成立。 ②令 x ? ?a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 , f ? x 2 ? ? xf ? x ? 假设 x ? 0 时, f ( x) ? hx (h ? R) ,则 f ? x 2 ? ? hx 2 ,而

? ?

?

?

?

? xf ? x ? ? ? x ? hx ? ?hx 2 ,∴ f ? ? x 2 ? ? ? xf ? x ? ,即 f ( x) ? hx 成立。
∴ f ? x? ? ?

? kx, x ? 0 成立。 ?hx, x ? 0

点评:该题应用了正比例函数的数字特征,从而使问题得到简化。而不是一味 的向函数求值方面靠拢。
【答案】 (Ⅰ)令 x ? 0 ,则 f ? 0 ? ? af ? 0 ? ,∵ a ? 0 ,∴ f ? 0 ? ? 0 。

(Ⅱ)①令 x ? a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 ,则 f x 2 ? xf ? x ? 。
2 假设 x ? 0 时, f ( x) ? kx (k ? R) ,则 f x 2 ? kx 2 ,而 xf ? x ? ? x ? kx ? kx ,

? ?

? ?

∴ f x 2 ? xf ? x ? ,即 f ( x) ? kx 成立。

? ?

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2

②令 x ? ?a ,∵ a ? 0 ,∴ x ? 0 , f ? x 2 ? ? xf ? x ? 假设 x ? 0 时, f ( x) ? hx (h ? R) ,则 f ? x 2 ? ? hx 2 , 而 ? xf ? x ? ? ? x ? hx ? ?hx 2 ,∴ f ? x 2 ? ? xf ? x ? ,即 f ( x) ? hx 成立。 ∴ f ? x? ? ?

?

?

?

?

?

?

? kx, x ? 0 成立。 ?hx, x ? 0

【例5】 某市的一家报刊摊点,从报社买进《晚报》的价格是每份 0.20 元,卖出价是每

份 0.30 元,卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元价格退回报社.在一个月(以 30 天计)里,有 20 天每天可卖出 400 份,其余 10 天每天只能卖出 250 份,但每 天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月 所获的利润最大?并计算他一个月最多可赚得多少元? 【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 设摊主每天从报社买进 x 份,显然当 x∈[250,400]时,每月所获利润才能最 大.于是每月所获利润 y 为 y ? 20 ? 0.3x ? 10 ? 0.3 ? 250 ? 10 ? 0.05 ? ? x ? 250 ? ? 30 ? 0.2 x ? 0.5x ? 625 ,x∈[250, 400]. 因函数 y 在[250,400]上为增函数,故当 x = 400 时,y 有最大值 825 元. 【答案】当 x = 400 时,y 有最大值 825 元
【例6】 某地区上年度电价为 0.8 元/kW· h,年用电荷量为 a kW· h,本年度计划将电价降

到 0.55 元/ kW· 至 0.75 元/ kW· 之间, h h 而用户期望电价为 0.4 元/ kW· h.经测算, 下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数 为 k).该地区电力的成本价为 0.3 元/ kW· h. (1)写出本年度电价下调后,电力部门的受益 y 与实际电价 x 的函数关系式; (2)设 k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增 长 20% (注:受益=实际用电量× (实际电价-成本价))? 【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】 3 星 【关键词】无 【解析】 (1)∵ 0.55 ≤ x ≤ 0.75 , k ∴下调电价后新增的用电荷量为 x ? 0.4 k ∴本年度用电荷量为 a ? x ? 0.4 【题型】解答

∵受益=实际用电量× (实际电价-成本价),∴ y ? (a ? (2)? k ? 0.2a ,∴ y ? (a ?

k )( x ? 0.3) x ? 0.4

k 0.2a )( x ? 0.3) ? (a ? )( x ? 0.3) x ? 0.4 x ? 0.4
3

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上年受益= (0.8 ? 0.3)a ,∴ y ? (a ? 解得 x ? 0.6 ?[0.55,0.75]

0.2a )( x ? 0.3) ? (0.8 ? 0.3)a(1 ? 20%) x ? 0.4

即最低电价应定为 0.6 元/ kW ?h . k 答:关系式为 y ? (a ? )( x ? 0.3) ,最低电价为 0.6 元/ kW ?h . x ? 0.4 k 【答案】 (1) y ? (a ? (2)最低电价为 0.6 元/ kW ?h . )( x ? 0.3) , x ? 0.4
【例7】 我国从 1990 年至 2000 年间,国内生产总值(GDP) (单位:亿元)如下表所

示: 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 生产总值 18598.4 21662.5 26651.9 34560.5 46670 57494.9 66850.5 73142.7 76967.1 80422.8 89404
100000 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 1990 生产总值

1992

1994

1996

1998

2000

根据表中数据,建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型,并利 用所建立的函数模型,预测 2010 年我国的国内生产总值. 【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 由表中数据作出散点图,如右图所示. 根据散点图,可以看出大致分布在一条直线附近. 选择 1990 年、2000 年的数 据代入 y ? ax ? b ,得
1990 ? 7080.56 ?18598.4? ?2000aa??bb ,解得 ?ba ? -14071716 . 89404

所以,近似的函数模型为 y ? 7080.56x ? 14071716 . 当 x=2010 时,y=160209.6, 即预测 2010 年我国的国内生产总值为 160209.6 亿元. 点评:根据收集到的数据,作散点图,通过观察图象的特征,选用适合的函数 模型,也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能,作出具体的函数解析式, 再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线,如果由 以后的线性回归知识求解,所得模型则更接近实际情况.
【答案】预测 2010 年我国的国内生产总值为 160209.6 亿元

题型二:二次函数型
【例8】 一辆中型客车的营运总利润 y(单位:万元)与营运年数 x(x∈N)的变化关

系如表所示,则客车的运输年数为()时该客车的年平均利润最大。

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4

(A)4

(B)5

(C)6 x年

(D)7 4 6 11 8 7 … …

y ? ax 2 ? bx ? c(万元) 7
【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【关键词】无 【解析】 表中已给出了二次函数模型

【题型】解答

y ? ax 2 ? bx ? c ,
由表中数据知,二次函数的图象上存在三点(4,7)(6,11)(8,7) , , ,则

?7 ? a ? 4 2 ? b ? 4 ? c, ? 2 ?11 ? a ? 6 ? b ? 6 ? c, ? 2 ?7 ? a ? 8 ? b ? 8 ? c.
2



解得 a=-1,b=12,c=-25, 即 y ? ? x ? 12 x ? 25 。 又
y 25 ? ? x ? 12 ? x x

25 ? ? ? ? ? x ? ? ? 12 x ? ?

≤ ?10 ? 12 ? 2
而取“=”的条件为 x ? 即 x=5,故选(B) 。 点评: 一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型, 解决此类问题要充分利 用二次函数的结论和性质,解决好实际问题。 【答案】B 【例9】 行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,要继续向前滑行一段距离后才会停
25 , x

下,这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能,对这种型号的汽 车在国道公路上进行测试,测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发 生的交通事故中,测得刹车距离为 15.13m,问汽车在刹车时的速度是多少?

刹车时车速 v/km/h 刹车距离 s/m

15 1.23

30 7.30

40 12.2

50 18.40

60 25.80

80 44.40

【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 所求问题就变为根据上表数据,建立描述 v 与 s 之间关系的数学模型的问题。 此模型不能由表格中的数据直接看出,因此,以刹车时车速 v 为横轴,以刹车 距离 s 为纵轴建立直角坐标系。根据表中的数据作散点图,可看出应选择二次
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函数作拟合函数。假设变量 v 与 s 之间有如下关系式: s ? av ? bv ? c ,因为 车速为 0 时,刹车距离也为 0,所以二次曲线的图象应通过原点(0,0) 。再在 散点图中任意选取两点 A(30,7.30) ,B(80,44.40)代入,解出 a、b、c 于 是
2

s ? 0.0062 v 2 ? 0.0563 v 。 (代入其他数据有偏差是许可的)
将 s=15.13 代入得

15.13 ? 0.0062 v 2 ? 0.0563 v ,
解得 v≈45.07。 所以,汽车在刹车时的速度是 45.07km/h。 【答案】汽车在刹车时的速度是 45.07km/h

【例10】 某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每

辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需 要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元.
(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多 少?

【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【关键词】2003 年,北京,高考春

【题型】解答

【解析】 (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为:

3600 ? 3000 50 x ? 3000 ) 50

=12,所以这时租出了 88 辆车.
(2) 设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公司的月收益为: = 100- (x) f (

(x-150) -
2

1 x2 x ? 3000 × 整理得: x) 50, ( =- f +162x-21000=- (x-4050) 50 50 50

+307050.所以,当 x=4050 时,f(x)最大,其最大值为 f(4050)=307050.即当每

辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307050 元. 点评:本题贴近生活。要求考生读懂题目,迅速准确建立数学模型,把实际问题转 化为数学问题并加以解决。 【答案】 (1)租出了 88 辆, (2)当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最 大,最大收益为 307050 元

【例11】 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,为

了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数据为依据,用一个函数模拟产 品的月产量 y 与月份 数 x 的关系,模拟函 数可以选用二次函数 或 函数
y ? ab x ? c (其中 a,b,c 为常数),已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请

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问用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由. 【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 (1)利用二次函数模型,设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)
?a ? b ? c ? 1 ? 由已知条件可得方程组: ?4a ? 2b ? c ? 1.2 , ?9a ? 3b ? c ? 1.3 ?

解得 a ? ?0.05, b ? 0.35, c ? 0.7 ∴ f ( x) ? ?0.05x2 ? 0.35x ? 0.7 把 4 月份代入可得 f (4) ? 1.3 (2)用模型 2,即指数模型 y ? ab x ? c = u( x)
?ab ? c ? 1 ? 把 1,2,3 月分别代入可得方程组如下: ?ab 2 ? c ? 1.2 ? 3 ?ab ? 1.3

解方程组可得: a ? ?0.8, b ? 0.5, c ? 1.4 , u( x) ? ?0.8 ×(0.5) x + 1.4 ∴ u(4) ? 1.35 ,综上可知用模型 u( x) ? ?0.8 ×(0.5) x + 1.4 好. 答:用模型 u( x) ? ?0.8 ×(0.5) x + 1.4 作为模拟函数较好.
【答案】用模型 u( x) ? ?0.8 ×(0.5) x + 1.4 作为模拟函数较好 【例12】 一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比,已知当航速为每小时 a 海里

时,每小时所耗燃料费为 b 元;此外,该海轮航行中每小时的其它费用为 c 元 (与航速无关),若该海轮匀速航行 d 海里,问航速应为每小时多少海里才能使 航行的总费用最省?此时的总费用为多少? 【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省,那么就要找到总费用和 航速的关系, 总费用等于燃料费和其它费用的总和, 燃料费与时间和航速有关, 而其它费用只和时间有关,而时间又是由航速确定的,所以本题的一切变量都 可以用航速表达出来,从而可以列出函数关系求最值. b 由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为 k,则: b ? ka2 , k ? 2 a b d d 设航速为每小时 x 海里使最省,则:航行的总费用为 S ? 2 x2 ? ? c? a x x bd cd a 当 2 x ? ,即 x ? bc 时取最小值. a x b a 2d 答:当航速满足 bc 时,费用最小,其最小值为 bc . b a
【答案】当航速满足
a 2d bc 时,费用最小,其最小值为 bc b a

【例13】 有甲、乙两种商品,经销这两种商品所能获得的利润依次是 p 万元和 q 万元,
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它们与投入的资金 x 万元的关系有经验公式:p=

1 2 x,q= x . 现有资金 9 万 10 5

元投入经销甲、乙两种商品,为了获取最大利润,问:对甲、乙两种商品的资 金分别投入多少万元能获取最大利润? 【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 设对乙商品投入 x 万元,则对甲商品投入 9-x 万元. 设利润为 y 万元, x ? ? 0,9? . ∴y=
1 2 1 1 (9 ? x) ? x = (? x ? 4 x ? 9) = (?( x ? 2)2 ? 13) , 10 5 10 10

∴ 当 x =2,即 x=4 时,ymax=1.3. 所以,投入甲商品 5 万元,乙商品 4 万元时,能获得最大利润 1.3 万元.
【例14】 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为 40 元/个, 出厂价为 60 元/个, 日销售量为 1000

个.为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本,若每个蛋糕成本增加 的百分率为 x(0<x<1),则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为 0.5x,同时预 计日销售量增加的百分率为 0.8x,已知日利润=(出厂价—成本)× 日销售量, 且设增加成本后的日利为 y. 最大,问 x 应取何值? 【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 (1)由题意 y ? [60 ? (1 ? 0.5x) ? 40 ? (1 ? x)] ?1000 ? (1 ? 0.8x)
? 2000(?4 x2 ? 3x ? 10) ? ?8000 x2 ? 6000 x ? 10000 (0 ? x ? 1)

(1)写出 y 与 x 的关系式;

(2)为使日利润

(2)要保证日利润最大,则当且仅当 x ? ?

3 3 ? ? 0.375 时. 2 ? (?4) 8

【答案】 (1) y ? ?8000 x2 ? 6000 x ? 10000 (0 ? x ? 1) (2) 0.375 时 【例15】 某商店按每件 80 元的价格, 购进时令商品 (卖不出去的商品将成为废品) 1000

件;市场调研推知:当每件售价为 100 元时,恰好全部售完;当售价每提高 1 元时,销售量就减少 5 件;为获得最大利润,商店决定提高售价 x 元,请将获 得总利润 y 元表示为 x 的函数,并确定合理售价,求出最大利润. 【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【关键词】无 【解析】 设比 100 元的售价高 x 元,总利润为 y 元;则 【题型】解答

y ? (100 ? x)(1000 ? 5x) ? 80 ? 1000 ? ?5x2 ? 500 x ? 20000 ? ?5( x ? 50)2 ? 32500 .

显然,当 x ? 50 即售价定为 150 元时,利润最大;其最大利润为 32500 元.
【答案】 y ? ?5x2 ? 500 x ? 20000 售价定为 150 元时,利润最大;其最大利润为 32500 元 【例16】 某商场经销一批进货单价为 40 元的商品,销售单价与日均销售量的关系如下

表:

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8

销售单价/元 日均销售量/个

50 48

51 46

52 44

53 42

54 40

55 38

56 36

为了获取最大利润,售价定为多少时较为合理? 【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 由题可知,销售单价增加 1 元,日均销售量就减少 2 个. 设销售单价定为 x 元, 则每个利润为 (x-40) 元, 日均销量为 [48 ? 2( x ? 50)] 个. 由于 x ? 40 ? 0 ,且 48 ? 2( x ? 50) ? 0 ,得 40 ? x ? 74 . 则日均销售利润为 y ? ( x ? 40)[48 ? 2( x ? 50)] ? ?2x2 ? 228x ? 5920 , 40 ? x ? 74 . 易知,当 x ? ?
228 ? 57 ,y 有最大值. 2 ? (?2)

所以,为了获取最大利润,售价定为 57 元时较为合理. 点评:从表格中发现存在的变化规律,是课标教材中对提价后销量减少一类应 用问题相比大纲教材的改进. 这种表格背景更符合实际,规律都是从样本数据 中发现,而不是直接生硬地得到,同时也提高了读表分析这一数学阅读理解能 力.
【答案】定为 57 元时较为合理

题型三:分段函数型
【例17】 某集团公司在 2000 年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂,如下表:

一期 2000 年投入 1 亿元 二期 2002 年投入 4 亿元 三期 2004 年投入 2 亿元

兴建垃圾堆肥厂

年处理有机肥十多万吨

年综合收益 2 千万元

兴建垃圾焚烧发电一 厂 兴建垃圾焚烧发电二 厂

年发电量 1.3 亿 kw/h

年综合收益 4 千万元

年发电量 1.3 亿 kw/h

年综合收益 4 千万元

如果每期的投次从第二年开始见效,且不考虑存贷款利息,设 2000 年以后的 x 年 的总收益为 f(x)(单位:千万元) ,试求 f(x)的表达式,并预测到哪一年能收回 全部投资款。

【考点】分段函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 由表中的数据知,本题需用分段函数进行处理。由表中的数据易得,
?2 x ? f ? x ? ? ?2 x ? 4 ? x ? 2 ? ? ?2 x ? 4 ? x ? 2 ? ? 4 ? x ? 4 ?
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显然,当 n≤4 时,不能收回投资款。 当 n≥5 时,由 f(n)=10n-24>70, 得 n>9.4,取 n=10。 所以到 2010 年可以收回全部投资款。 点评:分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式,从而寻求在不同情况 下实际问题的处理结果。
【答案】到 2010 年可以收回全部投资款 【例18】 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西

红柿市场售价与上市时间的关系用图 2—10 中(1)的一条折线表示;西红柿 的种植成本与上市时间的关系用图 2—10 中(2)的抛物线表示.

图 2—10 (1)写出图中(1)表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t) ; 写出图中(2)表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/102 ,kg,时间单位:天)

【考点】分段函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】2000 年,全国,高考 【解析】 (1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= ?

?300 ? t ,0 ? t ? 200, ?2t ? 300,200 ? t ? 300;

由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=

1 (t-150)2+100,0≤t≤300. 200

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t) ,则由题意得 h(t)=f(t)-g(t) ,

? 1 2 1 175 ?? 200 t ? 2 t ? 2 ,0 ? t ? 200, ? 即 h(t)= ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 ,200 ? t ? 300. ? 200 2 2 ?
当 0≤t≤200 时,配方整理得 h(t)=-

1 (t-50)2+100, 200

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10

所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得 h(t)=-

1 (t-350)2+100, 200

所以,当 t=300 时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值 87.5. 综上,由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100, 此时 t=50,即从二月一日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大. 点评: 本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运 用所学知识解决实际问题的能力.
【答案】 (1)f(t)= ?

?300 ? t ,0 ? t ? 200, ?2t ? 300,200 ? t ? 300;

g(t)=

1 (t-150)2+100,0≤t≤300. 200

(2)从二月一日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大

【例19】 某商店将进货价每个 10 元的商品按每个 18 元出售时,每天可卖出 60 个,商

店经理到市场上做了一番调查后发现,若将这种商品的售价(在每个 18 元的基 础上)每提高一元,则日销量就减少 5 个;若将这种商品的售价(在每个 18 元的 基础上)每降低 1 元,则日销量就增加 10 个.为了每日获得最大利润,此商品的 售价应定为每个多少元? 【考点】分段函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 设此商品每个售价为 x 元,日利润为 y 元,则: 当 x≥18 时: y ? [60 ? 5( x ? 18)]( x ? 10) ? ?5( x ? 20)2 ? 500 即商品按 20 元每个售出时最大日利润为 500 元; 当 0 ? x ≤18 时: y ? [60 ? 10(18 ? x)]( x ? 10) ? ?10( x ? 17)2 ? 490 此时商品按每个 17 元售出时获得最大日利润为 490 元. 答:定价为 20 元可获日最大利润.
【答案】定价为 20 元可获日最大利润 【例20】 中国青年报 2001 年 3 月 19 日报道:中国移动通信将于 3 月 21 日开始在所属

18 个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”,这个:“套 餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法. 具体方案如下: 方案代号 1 基本月租(元) 免费时间(分钟) 超过免费时间的话费(元/分钟) 30 48
11

0.60

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2 3 4 5 6 7

98 168 268 388 568 788

170 330 600 1000 1700 2588

0.60 0.50 0.45 0.40 0.35

0.30 原计费方案的基本月租为 50 元,每通话一分钟付 0.4 元,请问: (1)“套餐”中第 4 种收费方式的月话费 y 与月通话量 t(月通话量是指一个月内 每次通话用时之和,每次通话用时以分为单位取整计算,如某次通话时间为 3 分 20 秒,按 4 分钟计通话用时)的函数关系式; (2)取第 4 种收费方式,通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱; (3)据中国移动 2000 年公布的中期业绩,每户通话平均为每月 320 分钟,若一 个用户的通话量恰好是这个平均值,那么选择哪种收费方式更合算,并说明理由. 【题型】解答

【考点】分段函数型 【难度】 3 星 【关键词】2002 年,北京,高中数学知识应用竞赛
?268 【解析】 (1) y ? ? ?268 ? 0.45 ? (t ? 600) 0 ? t ? 600 t ? 600

(2)当 0≤t≤600 时,解不等式 50+0.4t≥268,得 545≤t≤600(t∈N) , 当 t>600 时,解不等式 50+0.4t≥268+0.45(t-600),得 600<t≤1040(t∈N), 综上,545≤t≤1040 时(t∈N) ,第 4 种收费方式比原收费方式的月通话费省钱. (3)因为按照原来的收费方式,320 分钟收费 178 元(即 50+0.4× 320) ,所以, 不会选择月 租费多于 178 元的收费方式,从而只考虑“套餐”中的前三种 方式. 第一种方式的话费为:30+0.6× (320-48)=193.2(元) ; 第二种方式的话费为:98+0.6× (320-170)=188(元) ; 第三种方式的话费为:168 元. 故选择第三种方式. 事实上, 相对于原收费方式, 当通话时间大于 244 分钟时, 第一种方式不合算, 当通话时间只有在 120 分钟至 270 分钟时,第二种方式较合算. 【答案】(1) y ? ?
?268 ?268 ? 0.45 ? (t ? 600) 0 ? t ? 600 t ? 600

(2)第 4 种收费方式比原收费方式的月通话费省钱. (3)第三种方式

【例21】 某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后

每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲 线. (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y ? f ? t ? ;

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(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗疾病有效. 求服药一次治疗疾病有效的时间?

【考点】分段函数型 【关键词】无

【难度】 3 星

【题型】解答

1 【解析】 (1)当 0 ≤ t ≤1 时, y ? 4t ;当 t ≥1 时, y ? ( )t ? a ,此时 M (1,4) 在曲线上, 2
(0 ? t ? 1) ?4t 1 1 ? ∴ 4 ? ( )1?a , a ? 3 ,这时 y ? ( )t ?3 . 所以 y ? f ( x) ? ?( 1 )t ?3 (t ? 1) . 2 2 ? 2 ?

? 4t ≥ 0.25 ? (2)∵ f ? t ? ≥ 0.25 ,即 ?? 1 ?t ?3 , ?? ? ≥ 0.25 ?? 2 ?

1 ? 1 ?t ≥ 解得 ? 16 ,∴ ?t ?5. 16 ?t ≤ 5 ?

1 15 ? 4 个小时. 16 16 生活中有许多实际问题, 常作为函数模型的应用背景. 我们需依据四步曲“读题

∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为 5 ?

理解→建模转化→求解问题→检验作答”求解,从冗长的文字语言中精炼出数 学语言,选择合适的数学模型来研究.
?4t ? 【答案】 (1) y ? f ? x ? ? ?? 1 ?t ?3 ?? ? ?? 2 ?

? 0 ≤ t ≤ 1? ? t ≥ 1?
(2) 4

15 小时 16

【例22】 “依法纳税是每个公民应尽的义务”. 国家征收个人所得税是分段计算,总收入

不超过 800 元,免征个人所得税,超过 800 元部分需征税. 设全月纳税所得额为 x,x=全月总收入-800 元,税率见下表: 级 数 全月纳税所得额 税 率 1 2 3 … 9 不超过 500 元部分 超过 500 元至 2000 元部分 超过 2000 元至 5000 元部分 … 超过 10000 元部分 5% 10% 15% … 45%

(1)若应纳税额为 f(x) ,试用分段函数表示 1~3 级纳税额 f(x)的计算公式; (2)某人 2005 年 10 月总收入 3000 元,试求该人此月份应缴纳个人所得税多 少元; (3)某人一月份应缴纳此项税款 26.78 元,则他当月工资总收入介于 A.800~900 元 B.900~1200 元 C.1200~1500 元 D.1500~2800 元 【考点】分段函数型 【难度】 3 星
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【题型】解答

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【关键词】无 【解析】 (1)依税率表,有:第一段:x· 5%,0<x≤500;

第二段: (x-500)× 10%+500× 5%,500<x≤2000; 第三段: (x-2000)× 15%+1500× 10%+500× 5%,2000<x≤5000,
( 0? x ? 5 0 0 ) ?0.05x ? ( 5 0 ? x ? 2 0 0.0 ) 0 即 f(x)= ?0.1? ( x ? 500) ? 25 ( 2 0 0? x ? 0 5000) ?0.15( x ? 2000) ? 175 ? (2)这个人 10 月份应纳税所得额 x=3000-800=2200, f(2200)=0.15× (2200-2000)+175=205. 所以,这个人 10 月份应缴纳个人所得税 205 元. (3)解法一: (估算法)由 500× 5%=25 元,100× 10%=10 元,故某人当月工资 应在 1300~1400 元之间,故选 C. 解法二: (逆推验证法)设某人当月工资为 1200 元或 1500 元,则其应纳税款 分别为 400× 5%=20(元) ,500× 5%+200× 10%=45(元).可排除 A、B、D,故 选 C. 点评:关系国民经济发展的纳税问题,与分段函数密切相关,我们需注意各级 税率的正确理解,超过部分按此税率,并非一个税率来计算纳税.

?0.05x ? 【答案】 (1)f(x)= ?0.1? ( x ? 500) ? 25 ?0.15( x ? 2000) ? 175 ?

( 0? x ? 5 0 0 ) ( 5 0? x? 2 0 0 0 ) 0 ( 2 0 0? x ? 0 5000)

(2)10 月份应缴纳个人所得税 205 元 (3)C
【例23】 某公司是一家专做产品 A 的国内外销售的企业,每一批产品 A 上市销售 40 天

内全部售完. 该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪 调查,调查结果如图所示,其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与 上市时间的关系;图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关 系;图三中的折线表示的是每件产品 A 的销售利润与上市时间的关系(国内外 市场相同). (1) 分别写出国内市场的日销售量 f (t ) 、 国外市场的日销售量 g (t ) 与第一批产 品 A 的上市时间 t 的关系式; (2)第一批产品 A 上市后,求日销售利润 Q(t ) 的解析式.

【考点】分段函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 (1)当 0 ? t ? 30 时,设 f (t ) ? kt ,由 60 ? 30k 解得 k=2,则 f (t ) ? 2t . 当 30 ? t ? 40 时,设 f (t ) ? at ? b ,

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由 60 ? 30a ? b 解得 a ? ?6 ,则 f (t ) ? ?6t ? 240 . 0 ? 40a ? b b ? 240
(0 ? t ? 30) 所以,国内市场的日销售量 f (t ) ? 2t . ?6t ? 240 (30 ? t ? 40)

?

?

?

设 g (t ) ? at (t ? 40) ,由 60 ? 20a(20 ? 40) 解得 a ? ? 所以,国外市场的日销售量 g (t ) ? ?

3 . 20

3 2 t ? 6t ( 0 ? t ? 40 ). 20

(2)设每件产品 A 的销售利润为 q(t ) ,由图易得 q(t ) ? 3t 60 而这家公司的日销售利润 Q(t ) 的解析式为
? 9 3 2 ?? 20 t ? 24t ? Q(t ) ? q (t )? f (t ) ? g (t )] ? ??9t 2 ? 480t [ ??9t 2 ? 14400 ? ? (0 ? t ? 20) (20 ? t ? 30) . (30 ? t ? 40)

?

(0 ? t ? 20) ,从 (20 ? t ? 40)

点评:销售量由图象分段给出,设立各段图象的解析式,由待定系数法易求解. 单件利润也是分段函数. 解题的关键在于合理分段,正确得到日销售利润的分 段函数式. 3 【答案】 (1) g (t ) ? ? t 2 ? 6t ( 0 ? t ? 40 ) 20
? 9 3 2 ?? 20 t ? 24t ? 0 ? t ? 20 ? ? ? (2) Q ? t ? ? q ? t ? ? ? f ? t ? ? g ? t ? ? ? ??9t 2 ? 480t ? 20 ? t ? 30 ? ? ? ? 2 ??9t ? 14400 ? 30 ? t ? 40 ? ? ?

【例24】 有一批影碟机(VCD) ,原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家家电商场均有

销售. 甲商场用如下的方法促销:买一台单价为 780 元,买两台每台单价都为 760 元,依次类推,每多买一台,则所买各台单价均再减少 20 元,但每台最低 不能低于 440 元;乙商场一律都按原价的 75%销售. 某单位需购买一批此类影 碟机,问去哪家商场购买花费较少? 【考点】分段函数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 设某单位需要购买 x 台影碟机,甲、乙两商场的购货款的差价为 y , ∵去甲商场购买共花费 (800 ? 20 x) x ,由题意, 有 800 ? 20x ? 440 ,∴ 1 ? x ? 18 . ∴y?
? ?(800x??20x)xx,? 600x , 1 ?x x? 1818 , 440 600

2 即 y= 200 x ? 20 x , 1 ? x ? 18 ( x ? N * ). ?160 x, x ? 18

?

当 1 ? x ? 10 时, y ? 0 ; 当 x ? 10 时, y ? 0 ;当 x ? 10 时, y ? 0 .

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所以,若买少于 10 台,去乙商场花费较少;若买 10 台,去甲、乙商场花费一 样;若买超过 10 台,去甲商场花费较少. 【答案】若买少于 10 台,去乙商场花费较少;若买 10 台,去甲、乙商场花费一样;若 买超过 10 台,去甲商场花费较少.

题型四:指数、对数型
【例25】 某工厂生产总值月平均增长率为 p,则年平均增长率为( A. p B. 12p C. (1+p)12 D. (1+p)12-1

).

【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 【答案】A

【难度】 2 星

【题型】解答

【例26】 某种放射性元素,100 年后只剩原来质量的一半,现有这种元素 1 克,3 年后

剩下( A.

). B. (1-0.5%)3 克 C. 0.925 克 D.
100

3 ? 0.5 克 100

0.125 克

【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 【答案】D

【难度】 2 星

【题型】解答

【例27】 1980 年我国工农业总产值为 a 亿元,到 2000 年工农业总产值实现翻两番的战

略目标,年平均增长率至少达到( A. 4 -1 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 【答案】A
1 20

).
1 21 1

B. 2 -1

1 20

C. 4 -1 【难度】 2 星

D. 2 21 -1 【题型】解答

【例28】 某商品 2002 年零售价比 2001 年上涨 25%,欲控制 2003 年比 2001 年只上涨

10%,则 2003 年应比 2002 年降价( ). A. 15% B. 12% C. 10% D. 8% 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【难度】2 星 【题型】解答

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1 【例29】 计算机成本不断降低,若每隔三年计算机价格降低 ,则现在价格为 8100 元的 3

计算机 9 年后价格可降为 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 【答案】2400

元. 【难度】 2 星 【题型】解答

【例30】 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? 2 x , h( x) ? log 2 x ,当 x ? (4, ??) 时,三个函数增长速度比较,下列选

项中正确的是( ). A. f ( x) > g ( x) > h( x) C. g ( x) > h( x) > f ( x) 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 【答案】B

B. g ( x) > f ( x) > h( x) D. f ( x) > h( x) > g ( x) 【难度】 2 星 【题型】解答

【例31】 如图,能使不等式 log 2 x ? x 2 ? 2 x 成立的自变量 x 的取值范围是(

).

A.

x?0

B.

x?2

C.

x?2

D. 0 ? x ? 2 【题型】解答

【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 【答案】D

【难度】2 星

【例32】 某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20%,则第四年造

林(

). B. 172800 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩 【难度】 2 星 【题型】解答

A. 14400 亩 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 【答案】C

【例33】 某山区加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长 10.4%,那么,经

过 x 年,绿色植被面积可增长为原来的 y 倍,则函数 y ? f ( x) 的大致图象为 ( )

【考点】指数、对数型

【难度】 2 星
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【题型】解答

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【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例34】 某人 2003 年 1 月 1 日到银行存入一年期存款 a 元,若按年利率为 x,并按复利

计算,到 2008 年 1 月 1 日可取回款( ). 5 6 A. a(1+x) 元 B. a(1+x) 元 C. a(1+x5)元 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 【答案】A 【难度】 2 星

D. a(1+x6)元 【题型】解答

【例35】 老师今年用 7200 元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展,计算机成本不断降

低,每隔一年计算机的价格降低三分之一 . 三年后老师这台笔记本还 值 . 【难度】 2 星 【题型】解答 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 6400 【答案】 3

【例36】 有一个湖泊受污染,其湖水的容量为 V 立方米,每天流入湖的水量等于流出湖

的水量。现假设下雨和蒸发平衡,且污染物和湖水均匀混合。

p p ? t 用 g (t ) ? ? [ g (0) ? ]e v ( p ? 0) ,表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物 r r
的克数(我们称其湖水污染质量分数) g (0) 表示湖水污染初始质量分数。 , (1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染初始质量分数; (2)分析 g (0) ?

r

p 时,湖水的污染程度如何。 r
【难度】 3 星 【题型】解答

【考点】指数、对数型 【关键词】无 【解析】 (1)设 0 ? t1 ? t 2 ,

因为 g (t ) 为常数, g (t1 ) ? g (t 2 ) ,即 [ g (0) ? 则 g (0) ?

? t2 p ? v t1 ][e ?e v ]? 0, r

r

r

p ; r

(2)设 0 ? t1 ? t 2 ,
? t2 p ? t1 g (t1 ) ? g (t 2 ) ? [ g (0) ? ][e v ? e v ] r r r

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r

p ev ? ev = [ g (0) ? ] ? r t1 ? t 2 r v e
因为 g (0) ?

t2

r

t1

p ? 0 , 0 ? t1 ? t 2 , g (t1 ) ? g (t 2 ) 。污染越来越严重。 r

点评:通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数 0 ? a ? 1, a ? 1 两 种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别,它能帮我们解释具体问题。 譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻” 【答案】 (1) g (0) ?

p , (2)污染越来越严重 r 1 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞 2

【例37】 现有某种细胞 100 个,其中有占总数

分裂成 2 个细胞, 按这种规律发展下去, 经过多少小时, 细胞总数可以超过 1010 个?(参考数据: lg 3 ? 0.477,lg 2 ? 0.301 ). 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【难度】 3 星 【题型】解答

【解析】 现有细胞 100 个,先考虑经过 1、2、3、4 个小时后的细胞总数,

1 1 3 ?100 ? 2 ? ?100 ; 2 2 2 1 3 1 3 9 2 小时后,细胞总数为 ? ?100 ? ? ?100 ? 2 ? ?100 ; 2 2 2 2 4 1 9 1 9 27 3 小时后,细胞总数为 ? ?100 ? ? ?100 ? 2 ? ?100 ; 2 4 2 4 8 1 27 1 27 81 4 小时后,细胞总数为 ? ?100 ? ? ?100 ? 2 ? ?100 ; 2 8 2 8 16
1 小时后,细胞总数为 ?100 ? 可见,细胞总数 y 与时间 x (小时)之间的函数关系为:

?3? y ? 100 ? ? ? , ?2?

x

x ? N?

3 ?3? ?3? 由 100 ? ? ? ? 1010 ,得 ? ? ? 108 ,两边取以 10 为底的对数,得 x lg ? 8 , 2 ?2? ?2? 8 ∴x? , lg 3 ? lg 2 8 8 ? ? 45.45 , ∵ lg 3 ? lg 2 0.477 ? 0.301 ∴ x ? 45.45 .
答:经过 46 小时,细胞总数超过 1010 个。

x

x

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点评:对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识,来对事件进行合 理的解析。 【答案】46 小时

【例38】 本市某区大力开展民心工程,近几年来对全区 a m 2 的老房子进行平改坡(“平

改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅平屋面改建成坡屋顶,并对外 墙面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行 为) ,且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时,所用时间需 10 年. 已知到今年为止,平改坡剩余面积为原来的
2 . 2

(1)求每年平改坡的百分比; (2)问到今年为止,该平改坡工程已进行了多少年? a (3)若通过技术创新,至少保留 m 2 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多 4 还需平改坡多少年? 【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 (1)设每年平改坡的百分比为 x (0 ? x ? 1) ,则
1 1 1 1 1 a (1 ? x)10 ? a ,即 1 ? x ? ( )10 ,解得 x ? 1 ? ( )10 ? 0.0670 ? 6.70? . 2 2 2

(2) 设到今年为止, 该工程已经进行了 n 年, a (1 ? x)n ? 则 解得 n=5. 所以,到今年为止,该工程已经进行了 5 年.

2 1 n 1 1 即 a , ( )10 ? ( ) 2 , 2 2 2

1 m?5 1 1 (3)设今后最多还需平改坡 m 年,则 a (1 ? x)m?5 ? a ,即 ( ) 10 ? ( )2 ,解 2 2 4 得 m=15. 所以,今后最多还需平改坡 15 年. 点评:以房屋改造为背景,从中抽象出函数模型,结合两组改造数据及要求, 通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数 学方法的运用. 【答案】 (1)6.70%, (2)5 年, (3)15 年

【例39】 1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的平均增长率为 x%,2008 年底世界人

口数为 y(亿). (1)写出 1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界人口数; (2) 2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式. 如果要使 2008 年的人口 求 数不超过 66.8 亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内? 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【难度】 3 星 【题型】解答

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【解析】 (1)1993 年底的世界人口数为

5 4 .? 8

( 1 ?;) ?x

1994 年底的世界人口数为 2000 年底的世界人口数为

5 4 .? 8 5 4 .? 8

( 1 ?2 ; ?x ) ( 1 ?8 . ) ?x

(2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式为 y ? 54.8 ? (1 ? x?)18 . 由 y ? 54.8 ? (1 ? x?)18 ? 66.8, 解得 x ? 100 ? (18
66.8 ? 1) ? 1.1. 54.8

所以,人口的年平均增长率应控制在 1.1%以内 【答案】 (1)1993 年底的世界人口数为 5 4 . ? ( 1 ?;) 8 ?x 1994 年底的世界人口数为 2000 年底的世界人口数为
5 4 .? 8 5 4 .? 8 ( 1 ?2 ; ?x ) ( 1 ?8 ) ?x

(2)人口的年平均增长率应控制在 1.1%以内

【例40】 光线通过一块玻璃,其强度要损失 10% ,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来

的强度为 a ,通过 x 块玻璃后强度为 y . (1)写出 y 关于 x 的函数关系式;
1 (2)通过多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的 以下? ( lg3 ? 0.4771) 3 【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 (1) y ? a(1 ? 10%) x ( x ? N ? ).
1 1 1 (2)? y ? a, ? a(1 ? 10%) x ? a, ? 0.9x ? , 3 3 3 1 ? lg3 x ? log0.9 ? ? 10.4, 3 2lg3 ? 1

∴ x ? 11 . 【答案】 (1) y ? a(1 ? 10%) x ( x ? N ? ). (2)11
【例41】 1995 年我国人口总数是 12 亿,如果人口的年自然增长率控制在 1.25℅,问哪

一年我国人口总数将超过 14 亿? 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【难度】 3 星 【题型】解答
7 . 6

【解析】 设 x 年后人口总数超过 14 亿. 由题意得 12 ? (1 ? 0.0125) x ? 14 ,即 1.0125x ?

两边取常用对数,得 x lg1.0125 ? lg7 ? lg6 . ∴ x?
lg 7 ? lg 6 ? 12.4 . lg1.0125

所以,13 年后,即 2008 年我们人口总数超过 14 亿. 【答案】2008 年我们人口总数超过 14 亿.

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【例42】 某公司拟投资 100 万元,有两种获利的可能提供选择:一种是年利率 10?,按

单利计算,5 年后收回本金和利息;另一种是年利率 9?,按每年复利计算,5 年后收回本金和利息,哪一种投资更有利?5 年后,这种有利的投资比另一种 投资可多得利息多少元? 【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 100 万元, 按单利计算, 年利率 10?, 年后的本利和为 100 ? (1 ? 10?? 5) ? 150 5 (万元). 100 万元,按复利计算,年利率 9?,5 年后的本利和为 100 ? (1 ? 9??5 ? 153.86 (万元). 由此可见,按年利率 9?的复利计算投资,要比年利率 10?的单利计算投资更 有利,5 年后可多的利息 3.86 万元. 点评:利率问题考察的函数模型是一次函数和幂函数,要理解“单利”和“复利” 的实际意义. 【答案】按年利率 9?的复利计算投资,要比年利率 10?的单利计算投资更有利,5 年后 可多的利息 3.86 万元
【例43】 某人有资金 2000 元,拟投入在复利方式下年报酬为 8%的投资项目,大约经过

多少年后能使现有资金翻一番?(下列数据供参考:lg2=0.3010,lg5.4=0.7324, lg5.5=0.7404,lg5.6=0.7482). 【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 设经过 x 年后能使现有资金翻一番,则 2000 ? (1 ? 8?) x ? 4000 ,即 1.08x ? 2 .
lg 2 lg 2 lg 2 0.3010 ? ? ? ? 9.01 . lg1.08 lg 5.4 lg5.4 ? (1 ? lg 2) 0.7324 ? 1 ? 0.3010 5 所以,经过 10 年后才能使现有资金翻一番.

两边取对数,有 x ?

【答案】经过 10 年后才能使现有资金翻一番 【例44】 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量 Q 呈指数函数

型变化,满足关系式 Q ? Q0 e 【考点】指数、对数型 【关键词】无
【解析】 (1)∵ Q0 ? 0 , ?

?

t 400

,其中 Q0 是臭氧的初始量.

(1)随时间的增

加,臭氧的含量是增加还是减少? (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失? 【难度】 3 星 【题型】解答
t

? t ? 0 , e ? 1 , ∴ Q ? Q0 e 400 为减函数. 400 ∴ 随时间的增加,臭氧的含量是减少.

(2)设 x 年以后将会有一半的臭氧消失,则 Q0 e 两边去自然对数, ?

?

x 400

x ? 1 1 ? Q0 ,即 e 400 ? , 2 2

x 1 ? ln ,解得 x ? 400ln 2 ? 278 . 400 2
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∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失. 【答案】 (1)随时间的增加,臭氧的含量是减少, (2)287 年后有一半的臭氧消失

【例45】 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同

时蓄水池又向居民小区不间断供水, 小时内供水总量为 120 6t 吨, 0 ? t ? 24 ) ( . t 从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【难度】3 星 【题型】解答

【解析】 设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨,则 y ? 400 ? 60t ? 120 6t .

令 6t = x ,则 x2 ? 6t ,即 y ? 400 ? 10 x2 ? 120 x ? 10( x ? 6)2 ? 40, x ? [0,12] . ∴ 当 x ? 6 ,即 t ? 6 时, ymin ? 40 , 所以,从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨. 点评:运用二次函数的模型,常解决一些最大(小)值的问题,对生产生活等 问题进行优化.
【答案】第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨 【例46】 近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002 年全球太阳电池的年生产量达

到 670 兆瓦,年生产量的增长率为 34%.以后四年中,年生产量的增长率逐年 递增 2%(如,2003 年的年生产量的增长率为 36%) (1)求 2006 年全球 . 太阳电池的年生产量(结果精确到 0.1 兆瓦) (2)目前太阳电池产业存在 ; 的主要问题是市场安装量远小于生产量, 2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦. 假 设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%,到 2010 年,要使 年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的 95%) ,这四年 中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到 0.1%)? 【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】2007 年,上海,高考 【解析】 (1)由已知得 2003,2004,2005,2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次 为 36% , 38% , 40% , 42% . 则 2006 年 全 球 太 阳 电 池 的 年 生 产 量 为 670 ?1.36 ?1.38 ?1.40 ?1.42 ? 2499.8 (兆瓦). (2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x ,则
1420( ? x 4 1 ) ≥ 95% ,解 2499.8(1 ? 42%)4

得 x≥ 0.615 . 因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.5% . 【答案】 (1)2499.8(兆瓦), (2) 61.5%

【例47】 1650 年世界人口为 5 亿,当时的年增长率为 3‰,用指数增长模型计算什么时

候世界人口达到 10 亿(实际上 1850 年前已超过 10 亿). 1970 年世界人口为 36 亿,年增长率为 2.1‰,用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番?
智康高中数学.板块三.函数的应用.题库.教师版 23

【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 由 1650 年世界人口数据,把 y0 ? 5 , r ? 0.003 代入马尔萨斯人口模型,得
y ? 5e0.003t .

ln 2 ? 231 0.003 所以,由马尔萨斯人口模型估算,经过 231 年后,即 1881 年世界人口达到 10

解不等式 y ? 5e0.003t ? 10 ,得 t ?

亿. 由 1970 年世界人口数据,把 y0 ? 36 , r ? 0.0021 代入马尔萨斯人口模型,得
y ? 36e0.0021t .

ln 2 ? 330 . 0.0021 所以,由马尔萨斯人口模型估算,经过 330 年后,即 2300 年世界人口达到 72

解不等式 y ? 36e0.0021t ? 72 ,得 t ?

亿. 【答案】经过 330 年后,即 2300 年世界人口达到 72 亿.
【例48】 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件,

为了以后估计每个月的产量,以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟 产品的月产量 y 与月份数 x 的关系,模拟函数可选用二次函数
f ( x) ? px 2 ? qx ? r (其中 p, q, r 为常数,且 p ? 0 )或指数型函数 g ( x) ? a ? b x ? c

(其中 a, b, c 为常数) ,已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用上述哪个 函数作为模拟函数较好?并说明理由. 【考点】指数、对数型 【关键词】无 【难度】 3 星 【题型】解答

?p ? q ? r ?1 ? p ? ?0.05 ? ? 【解析】 当选用 f ( x) ? px 2 ? qx ? r 的模型时, ?4 p ? 2q ? r ? 1.2 , 解得 ?q ? 0.35 , ?9 p ? 3q ? r ? 1.3 ?r ? 0.7 ? ?

∴ f ? 4 ? ? 1.3 .
?a ? b ? c ? 1 ?a ? ?0.8 ? ? 当选用 g ( x) ? a ? b x ? c 的模型时, ?a ? b 2 ? c ? 1.2 ,解得 ?b ? 0.5 , ?a ? b3 ? c ? 1.3 ?c ? 1.4 ? ? ∴ g ? 4? ? 1.35 .

根据 4 月份的实际产量可知,选用 y ? ?0.8 ? ? 0.5? ? 1.4 作模拟函数较好.
x

点评:根据所给出的几种函数模型,用待定系数法确定系数后,再根据所求得 的函数解析式检验其余的一些数据,通过比较误差的大小而优选适合的函数模 型.
【答案】选用 y ? ?0.8 ? ?0.5 ? ? 1.4 作模拟函数较好
x

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题型五:其他类型
【例49】 向高为 H 的水瓶中注水, 注满为止, 如果注水量 V 与深 h 的函数关系的图象如

右图所示,那么水瓶的形状是(

).

【考点】其他类型 【关键词】无 【解析】 【答案】B

【难度】2 星

【题型】解答

【例50】 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出

发,沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸 边上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线提速返回. 设 t 为出发后的某一时刻,S 为汽艇与码头在时刻 t 的距离, 下列图象中能大致表示 S ? f (t ) 的函数关系的为 ( C ).
S S S S

o A.

t o B.

t

o C.

t

o D.

t

【考点】其他类型 【难度】 2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时, S ? vt ,图象为一条线段; 当环岛两周时,S 两次增至最大,并减少到与环岛前的距离 S 0 ; 上岛考察时, S ? S0 ; 返回时, S ? S0 ? vt ' ,图象为一条线段. 所以选 C. 点评:根据实践问题中变量的实际意义,寻找它们之间的大概函数关系,由函 数关系式确定所要选择的图象.此题的关键是分析各段行程, 找出汽艇到岛的距 离 S 与时间 t 的简明关系. 【答案】C

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【例51】 对 1 个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义

为: 1 ?

污物质量 ) 0.8 , 要求清洗完后的清洁度为 0.99 . 有两 为 物体质量(含污物)
方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗

种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗;

后受残留水等因素影响, 其质量变为 a(1 ? a ? 3) . 设用 x 单位质量的水初次清 洗后的清洁度是 度是

x ? 0 .8 ( x ? a ? 1) , 用 y 单位质量的水第二次清洗后的清洁 x ?1

y ? ac , y?a

其中 c (0.8 ? c ? 0.99) 是该物体初次清洗后的清洁度.。 (Ⅰ)分别求出方案甲以及 c ? 0.95 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较 少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当 a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使 总用水量最小? 并讨论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

【考点】其他类型 【难度】 3 星 【关键词】2006 年,湖南理,高考

【题型】解答

【解析】 (Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为 x 与 z,由题设有

x ? 0.8 =0.99,解得 x ?1

x=19.
由 c ? 0.95 得 方 案 乙 初 次 用 水 量 为 3, 第 二 次 用 水 量 y 满 足 方 程 :

y ? 0.95a ? 0.99, 解得 y=4 a ,故 z=4 a +3. y?a
即两种方案的用水量分别为 19 与 4 a +3. 因为当 1 ? a ? 3时, x ? z ? 4(4 ? a) ? 0, 即x ? z ,故方案乙的用水量较少. (II)设初次与第二次清洗的用水量分别为 x 与 y ,类似(I)得

5c ? 4 , y ? a(99 ? 100c) (*) 5(1 ? c) 5c ? 4 1 于是 x ? y ? + a(99 ? 100c) ? ? 100a(1 ? c) ? a ? 1 5(1 ? c) 5(1 ? c) x?
当 a 为定值时, x ? y ? 2

1 ?100a(1 ? c) ? a ? 1 ? ?a ? 4 5a ? 1 , 5(1 ? c)

当且仅当

1 ? 100a(1 ? c) 时等号成立.此时 5(1 ? c)
1

c ?1?

10 5a

(不合题意,舍去)或 c ? 1 ?

1 10 5a

? ? 0.8 , 0.99 ?

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26

将 c ? 1?

1 代入(*)式得 x ? 2 5a ? 1 ? a ? 1, y ? 2 5a ? a. 10 5a 1 时总用水量最少, 10 5a

故 c ? 1?

此时第一次与第二次用水量分别为 2 5a ? 1 与 2 5a ? a , 最少总用水量是 T (a) ? ?a ? 4 5a ? 1 . 当 1 ? a ? 3时, T ( a) ?
'

2 5 ? 1 ? 0 ,故 T( a )是增函数,这说明,随着 a 的值的最少 a

总用水量, 最少总用水量最少总用水量. 点评: 该题建立了函数解析式后, 通过基本不等式“ x ?

1 ”解释了函数的最值情况, x

而解决了实际问题。该问题也可以用二次函数的单调性判断。

【答案】(Ⅰ)甲: 19,乙:4 a +3. (II)第一次与第二次用水量分别为 2 5a ? 1 与 2 5a ? a ,
最少总用水量是 T (a) ? ?a ? 4 5a ? 1 . 当 1 ? a ? 3时, T ( a) ?
'

2 5 ? 1 ? 0 ,故 T( a )是增函数,这说明,随着 a 的值的最少 a

总用水量, 最少总用水量最少总用水量

【例52】 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假 ....

定:用 1 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的

1 ,用水越多洗掉的农药量 2

也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用 x 单位量的水清洗一次以后,蔬菜 .... 上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数 f(x). (1)试规定 f(0)的值,并解释其实际意义; (2)试根据假定写出函数 f(x)应该满足的条件和具有的性质; (3)设 f(x)=

1 ,现有 a(a>0)单位量的水,可以清洗一次,也 1 ? x2

可以把水平均分成 2 份后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药 量比较少?说明理由 【考点】其他类型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】2001 年,上海,高考 【解析】 (1)f(0)=1 表示没有用水洗时,蔬菜上的农药量将保持原样.
智康高中数学.板块三.函数的应用.题库.教师版 27

(2)函数 f(x)应该满足的条件和具有的性质是:f(0)=1,f(1)= 在[0,+∞)上 f(x)单调递减,且 0<f(x)≤1. (3)设仅清洗一次,残留的农药量为 f1= 量为

1 , 2

1 ,清洗两次后,残留的农药 1? a2

? ? ? 1 ? 16 f 2= ? , ? ? a 2 (4 ? a 2 ) 2 ?1 ? ( ) ? ? 2 ?
则 f1-f2=

2

1 16 a 2 (a 2 ? 8) ? ? . 1 ? a 2 (4 ? a 2 ) 2 (1 ? a 2 )(4 ? a 2 ) 2

于是,当 a>2 2 时,f1>f2;当 a=2 2 时,f1=f2;当 0<a<2 2 时,f1<f2. 因此,当 a>2 2 时,清洗两次后残留的农药量较少; 当 a=2 2 时,两种清洗方法具有相同的效果; 当 0<a<2 2 时,一次清洗残留的农药量较少. 点评:本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。以及函数 概念、性质和不等式证明的基本方法。
【答案】当 a>2

2 时,清洗两次后残留的农药量较少;

当 a=2 2 时,两种清洗方法具有相同的效果; 当 0<a<2 2 时,一次清洗残留的农药量较少
【例53】 某农场新开垦 50 亩土地,计划用 20 个劳动力耕种这片土地,所能种植的作物

及产值如下表:问怎样安排作物的种植数量,才能使总产值最高? 作物 每亩所需劳动力(人) 每亩产值(元) 蔬菜 棉花 水稻

1 2
1100

1 3
750

1 4
600

【考点】其他类型 【难度】 3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 设蔬菜、棉花、水稻分别种植 x, y, z 亩,总产值为 W 元,则由题意可得:

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28

① ? x ? y ? z ? 50 ? 1 1 ?1 ② ? x ? y ? z ? 20 3 4 ?2 ?W ? 1100 x ? 750 y ? 600 z ③ ?

由①和②可得 y, z 用 x 表示的形式, ?

? y ? 90 ? 3x ? z ? 2 x ? 40

代入③,可得:W=50x+43500 ④ ∵ y ? 0, z ? 0 ,∴ 20 ? x ? 30 ,即当 x ? 30 时, Wmax ? 45000 .
y ? 90 ? 3x ? 0 ; z ? 2x ? 40 ? 20

答:种植蔬菜 30 亩、水稻 20 亩,总产值最高,且可达到 45000 元. 【答案】种植蔬菜 30 亩、水稻 20 亩,总产值最高,且可达到 45000 元
【例54】 某镇自来水厂, 蓄水池原有水 650 t , 一天中在向水池中注水的同时蓄水池又向

居民供水, xh(0 ? x ? 24) 内向居民总供水 100 24xt . (1)当每小时向水池注水 120 t 时,一天中合适蓄水池中水量最少. (2)若蓄水池中水量少于 170t ,就会出现供水紧张现象,问每小时向水池中注水 多少吨,一天中才不会出现供水紧张现象? 【考点】其他类型 【关键词】无 【难度】 3 星 【题型】解答

【解析】 由题意可得水量: y ? 650 ? 120 x ? 100 24 x ? 650 ? 120 x ? 200 6 x ,配方后求得

当 u ? 5 ( 6x ? u ), x ? 即

25 时, 水量最少, 150 t ; 为 设每小时向水池中注水 bt , 6

则由题意可得: 650 ? bx ? 100 24 x ? 170 ,求解该不等式即可. (1)由题意可得水量: y ? 650 ? 120 x ? 100 24 x ? 650 ? 120 x ? 200 6 x 令 6x ? u ,则原式等于 y ? 650 ? 20u 2 ? 200u ? 20(u 2 ? 10u ) ? 650 ? 20(u ? 5)2 ? 150
? 0 ? x ? 24 ,∴ 0 ? 6 x ? u ? 12 25 ∴当 u ? 5 ,即 x ? 时,水量最少,为 150 t . 6 (2)设每小时向水池中注水 bt ,

则由题意可得: 650 ? bx ? 100 24 x ? 170 ,即 650 ? bx ? 200 6x ? 170 , b 设 6x ? u ,则原式可化为: u 2 ? 200u ? 650 ? 170 6 b 即 u 2 ? 200u ? 480 ? 0 对一切 u ?[0,12] 都成立. 6 600 ? ? 600 ?0 ? b ? 12 ? 12 ? ? 即? 或? b ? f (12) ? 0 ?? ? (200)2 ? 4?b ?480 ? 0 ? ? 6 ? 综合上不等式组可解得 b ? 125 答:在每天 4 时 10 分水量最少,每小时向水池中注水 125 吨可保证一天中不 会出现供水紧张.
智康高中数学.板块三.函数的应用.题库.教师版 29

【答案】在每天 4 时 10 分水量最少,每小时向水池中注水 125 吨可保证一天中不会出

现供水紧张
【例55】 一批发兼零售的文具商店规定: 凡购买铅笔 51 支以上(含 51 支)按批发价结算,

而少于 51 支则按零售价计算,批发价每购 60 支比零售价 60 支少付 1 元.现有 班长小王来购铅笔,若给全班每人买一支,则必须按零售价结算,需支付 m 元 ( m 为整数),但若多买 10 支,则可按批发价结算,恰好也是支付 m 元,问该班 有多少学生? 【考点】其他类型 【关键词】无 【难度】 3 星 【题型】解答
m ,而第二种购买方 x

【解析】 设出班级人数为 x,那么第一种购买方式可得出零售价为

m ,通过批发价每购 60 支比零售价 60 支少付 1 元可得到 x ? 10 m m 1 二者的差价等式 ? ,从而可解出单价 x. ? x x ? 10 60 m 设全班有学生 x 人,由题意可得 40<x≤50.则铅笔的零售价为 元,批发价为 x m , x ? 10 m m 1 则 ? ,整理可得 x2 ? 10x ? 600m ? 0 ? x x ? 10 60

式可知批发价为

解得: x ? ?5 ? 25 ? 600m ,∴ 40 ? ?5 ? 25 ? 600m ? 50 又∵25+600m 为完全平方数. 综合可解得 m=5,∴x=50. 经检验,m=5,x=50 是方程的解. 答:该班共有学生 50 人.
【答案】该班共有学生 50 人.

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