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河南省南阳一中2015届高考数学三模试卷(理科)


河南省南阳一中 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是() A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1} D.R 2. (5 分)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,

若(1﹣i) =2,则 z 为() A.1+i B.1﹣i C.2+i D.2﹣i 3. (5 分)在如图所示的程序框图中,如果任意输入的 t∈[﹣2,3],那么输出的 s 取值范围是 ()

A.[﹣8,﹣1]

B.[﹣10,0]

C.[﹣10,6]

D.(﹣6,6]

4. (5 分)如图是一个有底的容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度随时间 变化的可能图象是()

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面 的点数为奇数时甲得 1 分,否则乙得 1 分,先积得 3 分者获胜得所有 12 张游戏牌,并结束游 戏.比赛开始后,甲积 2 分,乙积 1 分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这 场游戏,下面对这 12 张游戏牌的分配合理的是() A.甲得 9 张,乙得 3 张 B. 甲得 6 张,乙得 6 张 C. 甲得 8 张,乙得 4 张 D.甲得 10 张,乙得 2 张

6. (5 分)已知{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 前 10 项和为() A.58

,则数列{|log2an|}

B.56
2

C.50

D.45

7. (5 分) A 和 B 是抛物线 y =8x 上除去原点以外的两个动点, O 是坐标原点且满足 =0,则支动点 M 的轨迹方程为()
2 2 2 2 2

=0,

A.x +y ﹣8x=0

B.y=6x

C.x +4y =1

D.

=1

8. (5 分)设 F1、F2 是双曲线 使 A.2 B.

的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P,

(O 为坐标原点)且|PF1|=λ|PF2|,则 λ 的值为() C. 3 D.

9. (5 分)设 z= A.﹣4 B . ﹣2
2

若﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2,则 z 的最小值为() C . ﹣1 D.0

10. (5 分)已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数,则 的最小正周期是() A.6π B.5π C . 4π D.2π ?f

11. (5 分) 函数 y=f (x) , (x∈R) 为奇函数, 当 x∈ (﹣∞, 0) 时, xf′ (x) <f (﹣x) , 若 a= ( ) ,b=(lg3)?f(lg3) ,c=(log2 )?f(log2 ) ,则 a,b,c 的大小顺序为() B.c>b>a C.c<a<b D.c>a>b
2

A.a<b<c

12. (5 分)设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,?x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x ,在(0,+∞) 上 f′(x)<x,若 f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数 m 的取值范围为() A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,2]∪[2,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分. 13. (5 分)设 A=3 +C
7

3 +C

5

3 +C

3

3,B=C

3 +C

6

3 +C

4

3 +1,则 A﹣B 的值为.

2

14. (5 分)已知矩形 A BCD 的周长为 18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱 柱的体积最大时,它的外接球的表面积为.

15. (5 分)已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,且满足 an =S2n﹣1 (n∈N ) .若不等式 值范围是. 16. (5 分)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,E 在 CD 延长线上,且 DE=CD.动点 P 从 点 A 出发,沿正方形 ABCD 的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 列命题正确的是. (填上所有正确命题的序号) ①λ≥0,μ≥0; ②当点 P 为 AD 中点时,λ+μ=1; ③若 λ+μ=2,则点 P 有且只有一个; ④λ+μ 的最大值为 3; ⑤ ? 的最大值为 1. =λ +μ ,则下
*

2

对任意的 n∈N 恒成立,则实数 λ 的取

*

三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 c=1,且 cosBsinC+(a ﹣sinB)cos(A+B)=0. (1)求角 C 的大小; 2 2 (2)求 a +b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值. 18. (12 分)某工厂生产甲,乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为 合格品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100] 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 (I)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率;

(Ⅱ)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件芯片乙, 若是合格品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(I)的前提下, (i) 记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润, 求随机变量 X 的分布列和数学期望; (ii)求生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率. 19. (12 分)如图,在组合体中,ABCD﹣A1B1C1D1 是一个长方体,P﹣ABCD 是一个四棱 锥.AB=2,BC=3,点 P∈平面 CC1D1D 且 . (Ⅰ)证明:PD⊥平面 PBC; (Ⅱ)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 AA1=a,当 a 为何值时,PC∥平面 AB1D.

20. (12 分)在平面直角坐标系中,已知椭圆 C:
2 2

=1,设 R(x0,y0)是椭圆 C 上任

一点,从原点 O 向圆 R: (x﹣x0) +(y﹣y0) =8 作两条切线,切点分别为 P,Q. (1)若直线 OP,OQ 互相垂直,且 R 在第一象限,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP,OQ 的斜率都存在,并记为 k1,k2,求证:2k1k2+1=0. 21. (12 分)函数 f(x)=x +mln(x+1) . (1)若函数 f(x)是定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=﹣1,试比较当 x∈(0,+∞)时,f(x)与 x 的大小; (3)证明:对任意的正整数 n,不等式 e +e
0
﹣1×4

2

3

+e

﹣2×9

+…+e



成立.

三.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题纸上把所选题目的题号涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)已知 AB 是⊙O 的直径,F 为圆上一点,∠BAF 的角平分线与圆交于点 C,过点 C 作圆的切线与直线 AF 相交于点 D,若 AB=6,∠DAB= (1)证明:AD⊥CD; (2)求 DF?DA 的值及四边形 ABCD 的面积.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知⊙C 的极坐标方程为:ρ ﹣4 (Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的圆心坐标,并选择合适的参数,写出圆 C 的参数方程; (Ⅱ)点 P(x,y)在圆 C 上,试求 u=xy 的值域.
2

[选修 4-5:不等式选讲] 2 2 2 24. (1)设 x,y,z∈R,且满足:x +y +z =1,x+2y+3z=
*

,求 x+y+z 的值;

(2)设不等式|x﹣2|<a(a∈N )的解集为 A,且 ∈A, ?A.求函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2|的 最小值.

河南省南阳一中 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是() A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{﹣1,0,1} D.R 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 由集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,得 B?A,由此能求出结果. 解答: 解:∵集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B, ∴B?A, 观察备选答案中的 4 个选项, 只有{1,2}?A. 故选:A. 点评: 本题考查交集性质的应用,是基础题,解题时要认真审题.

2. (5 分)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若(1﹣i) =2,则 z 为() A.1+i B.1﹣i C.2+i D.2﹣i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:∵(1﹣i) =2,∴(1+i) (1﹣i) =2(1+i) ,∴ =1+i, ∴z=1﹣i, 故选:B. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 3. (5 分)在如图所示的程序框图中,如果任意输入的 t∈[﹣2,3],那么输出的 s 取值范围是 ()

A.[﹣8,﹣1]

B.[﹣10,0]

C.[﹣10,6]

D.(﹣6,6]

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 s= 讨论即可得解. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 s= 故:当 t∈[﹣2,0) ,s=5t∈[﹣10,0) , 2 当 t∈[0,3],s=2t ﹣4t∈[﹣2,6], 综上可得输出的 s 取值范围是:[﹣10,6]. 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和二次函数的性质,属于基本知识的考查. 4. (5 分)如图是一个有底的容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度随时间 变化的可能图象是() , ,分类

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 判断几何体的形状,根据几何体容器下面粗可得水面高度开始增加的慢,后来增加 的快,上面细,然后上面先快后慢得出答案. 解答: 解:由三视图,可知几何体是下部是已改圆台,上部是与下部相同倒放的圆台, 因为圆台下面粗,上面细,水面高度开始增加的慢,后来增加的快, 然后上面先快后慢.函数的图象是 B. 故选:B. 点评: 本题考查了三视图与几何体的关系,函数的图象,要能根据函数图象的性质和图象 上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件,结合实际意义得到正确的结论. 5. (5 分)甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面 的点数为奇数时甲得 1 分,否则乙得 1 分,先积得 3 分者获胜得所有 12 张游戏牌,并结束游 戏.比赛开始后,甲积 2 分,乙积 1 分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这 场游戏,下面对这 12 张游戏牌的分配合理的是() A.甲得 9 张,乙得 3 张 B. 甲得 6 张,乙得 6 张 C. 甲得 8 张,乙得 4 张 D.甲得 10 张,乙得 2 张 考点: 概率的意义. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子,为了决出胜负,最多再赛 两局,用“甲”表示甲胜,用“乙”表示乙胜,于是这两局有四种可能: (甲,甲) , (甲,乙) , (乙, 甲) , (乙,乙) .其中甲获胜有 3 种,而乙只有 1 种,从而得到甲乙获胜的概率. 解答: 解:由题意,为了决出胜负,最多再赛两局,用“甲”表示甲胜,用“乙”表示乙胜,于 是这两局有四种可能: (甲,甲) , (甲,乙) , (乙,甲) , (乙,乙) . 其中甲获胜有 3 种,而乙只有 1 种, 所以甲获胜的概率是 ,乙获胜的概率是 . 所以甲得到的游戏牌为 12× =9,乙得到圆心牌为 12× =3; 故选 A 点评: 本题以实际问题为载体,考查概率的运用,解题的关键是分析再赛两局,甲、乙各 自获胜的概率.

6. (5 分)已知{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 前 10 项和为() A.58

,则数列{|log2an|}

B.56

C.50

D.45

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 an= =2
7﹣2n

,求出 q,可得

,再求数列{|log2an|}前 10 项和.

解答: 解:∵{an}是首项为 32 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且





=



∴1+q = ∴q= ∴an=

3



=2

7﹣2n



∴|log2an|=|7﹣2n|, ∴数列{|log2an|}前 10 项和为 5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58, 故选:A. 点评: 本题考查等比数列的通项与求和,考查学生的计算能力,考查学生分析解决问题的 能力,比较基础.
2

7. (5 分) A 和 B 是抛物线 y =8x 上除去原点以外的两个动点, O 是坐标原点且满足 =0,则支动点 M 的轨迹方程为()
2 2 2 2 2

=0,

A.x +y ﹣8x=0

B.y=6x

C.x +4y =1

D.

=1

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 综合题;直线与圆.

分析: 设出 P,Q,M 的坐标,由已知得到三点坐标的关系,然后分 l 的斜率存在和不存在 分析,当斜率存在时,设出直线 l 的方程,和抛物线联立后结合根与系数的关系求得 M 的轨 迹. 解答: 解:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,M(x,y) , 则 x1?x2+y1?y2=0 ①, =﹣1②,

当 l 垂直于 x 轴时,M(8,0) , 当 l 斜率存在时,由题意可知斜率 k 不会为 0, 2 2 2 设 lAB:y=kx+b,代入抛物线方程可得 k x +(2kb﹣8)x+b =0, ∴x1+x2= ,x1?x2= ,y1?y2= ,

∵x1?x2+y1?y2=0, ∴ + =0

即 k=﹣ ③, ∵ ④,
2 2

又∵点 M 满足 y=kx+b ⑤, 由③④⑤得: (x﹣4) +y =16, 而 M(4,0)满足上式, ∴点 M 的轨迹方程为: (x﹣4) +y =16. 2 2 即 x +y ﹣8x=0, 故选:A. 点评: 本题考查了轨迹方程的求法,重点体现了舍而不求的解题思想方法,涉及直线与圆 锥曲线关系问题,常采用联立直线方程和圆锥曲线方程,利用根与系数关系求解,是中档题.
2 2

8. (5 分)设 F1、F2 是双曲线 使 A.2 B.

的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P,

(O 为坐标原点)且|PF1|=λ|PF2|,则 λ 的值为() C. 3 D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 设点 P(

,m) ,由

=0 解出 m,根据双曲线的第二定

义得 e=

=

,求出|PF2|的值,再利用第一定义求出|PF1|的值,即得 λ 值.

解答: 解:由题意得 设点 P(
2

a=1,b=2,∴c=

,F1(﹣ =(

,0) ,F2 ( +

,0) ,e= ﹣

. ,m)

,m) ,∵
2

,m)?(

=1+

﹣5+m =0,m =

,m=±



由双曲线的第二定义得 e=

=

,∴|PF2|=2,

∴|PF1|=2a+|PF2|=4,∴λ=

= =2,

故选 A. 点评: 本题考查两个向量坐标形式的运算,双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲 线的简单性质的应用.

9. (5 分)设 z= A.﹣4 B . ﹣2

若﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2,则 z 的最小值为() C . ﹣1 D.0

考点: 不等关系与不等式. 专题: 数形结合. 分析: 先画出满足条件的可行域,再由题意分两种情况进行求解,根据目标函数对应的直 线的斜率求出 z 的最小值,最后取 z 的最小值. 解答: 解:由题意画出﹣2≤x≤2,﹣2≤y≤2 的平面区域,

当 z=x﹣y 时,y=x﹣z,又因为 x≥2y,所以可行域为上图中正方形且在直线 x﹣2y=0 的下方部 分,且包括边界,故当直线经过点 A 时,z 取到最小值,由于 A(﹣2,﹣1) ,故 z 的最小值 为﹣1; 当 z=y 时,又因为 x<2y,所以可行域为上图中正方形且在直线 x﹣2y=0 的上方部分,但不包 括边界,本来当直线经过点 A 时,但是取不到 A,故 z>﹣1; 综上得,z 的最小值为﹣1. 故选 C. 点评: 本题考查了简单的线性规划问题,根据不等式正确画出可行域,再由目标函数的斜 率大小求出最值. 10. (5 分)已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数,则 的最小正周期是() A.6π B.5π C . 4π D.2π
2

考点: 函数奇偶性的性质. 分析: 由偶函数的定义域关于原点对称求出 a 的值,由偶函数的定义 f(x)=f(﹣x) ,求出 b 的值,将 a,b 代入函数
2

,求出 ω,从而求出最小正周期.

解答: 解:∵函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是定义在[a﹣1,2a]的偶函数, ∴a﹣1+2a=0,解得 a= , 由 f(x)=f(﹣x)得,b=0, ∴ ∴T= =6π, =2cos( x﹣ ) ,

故选:A. 点评: 本题考查了偶函数定义的应用,考察三角函数问题,利用奇(偶)函数的定义域一 定关于原点对称,这是容易忽视的地方.

11. (5 分) 函数 y=f (x) , (x∈R) 为奇函数, 当 x∈ (﹣∞, 0) 时, xf′ (x) <f (﹣x) , 若 a= ( ) ,b=(lg3)?f(lg3) ,c=(log2 )?f(log2 ) ,则 a,b,c 的大小顺序为() B.c>b>a C.c<a<b D.c>a>b

?f

A.a<b<c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 令 g(x)=xf(x) ,根据当 x∈(0,+∞)时,xf′(x)<f(﹣x) ,函数 y=f(x)是定 义在 R 上的奇函数,可得 g′(x)=xf′(x)+f(x)<0,即函数 g(x)在 x∈(0, +∞)时单 调递减. 解答: 解:令 g(x)=xf(x) , ∵当 x∈(0,+∞)时,xf′(x)<f(﹣x) ,函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴可以化为 xf′(x)+f(x)<0, ∴g′(x)=xf′(x)+f(x)<0, ∴函数 g(x)在 x∈(0,+∞)时单调递减. ∵ >lg3>log2 ,

∴c>b>a. 故选:B. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题 12. (5 分)设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x) ,?x∈R,有 f(﹣x)+f(x)=x ,在(0,+∞) 上 f′(x)<x,若 f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数 m 的取值范围为() A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,2]∪[2,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 令 g(x)=f(x)﹣ x ,由 g(﹣x)+g(x)=0,可得函数 g(x)为奇函数.利用 导数可得函数 g(x)在 R 上是减函数,f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m,即 g(4﹣m)≥g(m) , 可得 4﹣m≤m,由此解得 a 的范围. 解答: 解:令 g(x)=f(x)﹣ x , ∵g(﹣x)+g(x)=f(﹣x)﹣ x +f(x)﹣ x =0, ∴函数 g(x)为奇函数. ∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x<0, 故函数 g(x)在(0,+∞)上是减函数,故函数 g(x)在(﹣∞,0)上也是减函数, 由 f(0)=0,可得 g(x)在 R 上是减函数, ∴f(4﹣m)﹣f(m)=g(4﹣m)+ (4﹣m) ﹣g(m)﹣ m =g(4﹣m)﹣g(m)+8﹣4m≥8 ﹣4m, ∴g(4﹣m)≥g(m) ,∴4﹣m≤m,解得:m≥2,
2 2 2 2 2 2 2

故选:B. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用,体现了转化的数学思想,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分. 13. (5 分) 设 A=3 +C
7

3 +C

5

3 +C

3

3, B=C

3 +C

6

3 +C

4

3 +1, 则 A﹣B 的值为 128.

2

考点: 组合及组合数公式. 专题: 排列组合;二项式定理. 分析: 构造二项式 等式,分别作和作差求得 A,B 的值,则答案可求. 解答: 解:∵ 取 x=1,得 4 =3 +C
7 7 7 7

,分别取 x=1 和 x=﹣1 得两

, 3 +C
6 6

3 +C
5

5

3 +C
4

4

3 +C
3

3

3 +C
2

2

3+1, 3 +C 3﹣1,

取 x=﹣1,得 2 =3 ﹣C 两式作和得 3 +C 两式作差得 C
6 7

3 +C 3 +C
4 3

3 ﹣C

3 +C

3 ﹣C

3 +C

5

3=8256,
2

3 +C

3 +C

3 +1=8128,

∴A﹣B=8256﹣8128=128. 故答案为:128. 点评: 本题考查了组合及组合数公式,考查了二项式系数的性质,是中档题. 14. (5 分)已知矩形 A BCD 的周长为 18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱 柱的体积最大时,它的外接球的表面积为 13π.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 正六棱柱的底面边长为 x,高为 y,则 6x+y=9,0<x<1.5,表示正六棱柱的体积, 利用基本不等式求最值,求出正六棱柱的外接球的半径,即可求出外接球的表面积. 解答: 解:设正六棱柱的底面边长为 x,高为 y,则 6x+y=9,0<x<1.5, 正六棱柱的体积 V= = ≤ = ,

当且仅当 x=1 时,等号成立,此时 y=3,

可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点,则半径为 ∴外接球的表面积为 =13π.

=



故答案为:13π. 点评: 本题考查外接球的表面积,考查基本不等式的运用,确定正六棱柱的外接球的半径 是关键. 15. (5 分)已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,且满足 an =S2n﹣1 (n∈N ) .若不等式 值范围是 .
* 2

对任意的 n∈N 恒成立,则实数 λ 的取

*

考点: 数列递推式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 由等差数列的性质结合已知递推式可得数列通项公式,把 an+1 代入不等式 ,分 n 为偶数和奇数分离 λ,然后由数列的单调性求得最 值得 λ 的范围,最后取交集得答案. 解答: 解:∵数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,且 an =S2n﹣1, ∴ ,则 an=2n﹣1,
2

当 n 为偶数时,由不等式

得:

,即 函数

, 是增函数,当 n=2 时取得最小值﹣15,∴λ≤﹣15;

当 n 为奇数时,由不等式

得:

,函数 当 n=3 时取得最小值为 综上,λ 的取值范围是 故答案为: . ,即 . ,∴

, .

点评: 本题考查数列的递推式,考查等差关系的确定,考查了数列的函数特性,是中档题.

16. (5 分)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,E 在 CD 延长线上,且 DE=CD.动点 P 从 点 A 出发,沿正方形 ABCD 的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 列命题正确的是①②④⑤. (填上所有正确命题的序号) ①λ≥0,μ≥0; ②当点 P 为 AD 中点时,λ+μ=1; ③若 λ+μ=2,则点 P 有且只有一个; ④λ+μ 的最大值为 3; ⑤ ? 的最大值为 1. =λ +μ ,则下

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 建立如图所示的直角坐标系,设正方形的边长为 1,可以得到 μ) ,然后根据相对应的条件加以判断即可. 解答: 解:由题意,设正方形的边长为 1,建立坐标系如图, 则 B(1,0) ,E(﹣1,1) , ∴ ∵ =(1,0) , =λ +μ , (﹣1,1) , =λ +μ =(λ﹣μ,

∴λ≥0,μ≥0;故①正确 ∴ =λ +μ =(λ﹣μ,μ) ,

当点 P 为 AD 中点时, ∴ =(0, ) , ,

∴λ﹣μ=0,

故 λ+μ=1;故②正确, 当 λ=μ=1 时, =(0,1) ,此时点 P 与 D 重合,满足 λ+μ=2, =(1, ) ,此时 P 是 BC 的中点,满足 λ+μ=2,

当 λ= ,μ= 时,

故③错误 当 P∈AB 时,有 0≤λ﹣μ≤1,μ=0,∴0≤λ≤1,0≤λ+μ≤1, 当 P∈BC 时,有 λ﹣μ=1,0≤μ≤1,∴λ=μ+1,∴1≤λ≤2,∴1≤λ+μ≤3,

当 P∈CD 时,有 0≤λ﹣μ≤1,μ=1,∴μ≤λ≤μ+1,即 1≤λ≤2,∴2≤λ+μ≤3, 当 P∈AD 时,有 λ﹣μ=0,0≤μ≤1,∴0≤λ≤1,∴0≤λ+μ≤2, 综上,0≤λ+μ≤3, 故④正确; ? =(λ﹣μ,μ)?(﹣1,1)=﹣λ+2μ,有推理④的过程可知﹣λ+2μ 的最大值为 1,

综上,正确的命题是①②④⑤. 故答案:①②④⑤

点评: 本题考查向量加减的几何意义,涉及分类讨论以及反例的方法,是易错题. 三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 c=1,且 cosBsinC+(a ﹣sinB)cos(A+B)=0. (1)求角 C 的大小; (2)求 a +b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值. 考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)由三角函数恒等变换化简已知等式可得 sinA=acosC,结合正弦定理,可得 sinC=cosC,从而可求 C. (2)由余弦定理整理可得 a +b =1+
2 2 2 2

ab,①,利用基本不等式 aab≤

②,由代入法,

即可得到当且仅当 a=b 时取到等号,从而可求取得最大值时∠A,∠B 的值. 解答: 解: (1)由 cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0. 可得 cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0, 即为 sin(B+C)=acosC, 即有 sinA=acosC, ∵ = =sinC,

∴sinC=cosC,即 tanC=1, ∴C= ;
2 2 2

(2)∵a +b ﹣c =2abcosC,

∴a +b =c +2abcos ∵ab≤ ②,

2

2

2

=1+

ab,①,

∴②代入①可得:a +b ≤1+ ∴a +b ≤2+ , 当且仅当 a=b 时取到等号, 即取到最大值 2+ 时,A=B=
2 2

2

2

(a +b ) ,

2

2



点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式的应用,综合性较强,属于基本 知识的考查. 18. (12 分)某工厂生产甲,乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为 合格品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100] 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 (I)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率; (Ⅱ)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件芯片乙, 若是合格品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(I)的前提下, (i) 记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润, 求随机变量 X 的分布列和数学期望; (ii)求生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元的概率. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 专题: 应用题. 分析: (Ⅰ)分布求出甲乙芯片合格品的频数,然后代入等可能事件的概率即可求解 (Ⅱ) (ⅰ)先判断随机变量 X 的所有取值情况有 90,45,30,﹣15. ,然后分布求解出每种 情况下的概率,即可求解分布列及期望值 (ⅱ)设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件,则次品有 5﹣n 件.由题意,得 50n﹣10(5﹣n) ≥140,解不等式可求 n ,然后利用独立事件恰好发生 k 次的概率公式即可求解 解答: 解: (Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为 芯片乙为合格品的概率约为 . , …(3 分) ; .

(Ⅱ) (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90,45,30,﹣15. ; 所以,随机变量 X 的分布列为: X 90 45 30 ﹣15 P ;

. …(8 分) (ⅱ)设生产的 5 件芯片乙中合格品 n 件,则次品有 5﹣n 件. 依题意,得 50n﹣10(5﹣n)≥140,解得 .

所以 n=4,或 n=5. 设“生产 5 件芯片乙所获得的利润不少于 140 元”为事件 A, 则 . …(12 分)

点评: 本题主要考查了等可能事件的概率求解及离散型随机变量的分布列及数学期望值的 求解,属于概率知识的简单综合 19. (12 分)如图,在组合体中,ABCD﹣A1B1C1D1 是一个长方体,P﹣ABCD 是一个四棱 锥.AB=2,BC=3,点 P∈平面 CC1D1D 且 . (Ⅰ)证明:PD⊥平面 PBC; (Ⅱ)求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 AA1=a,当 a 为何值时,PC∥平面 AB1D.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定; 直线与平面所成的角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: 方法一: (Ⅰ)证明 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC,由线面垂直的 判定定理,可得 PD⊥平面 PBC; (Ⅱ)过 P 点在平面 CC1D1D 作 PE⊥CD 于 E,连接 AE,可得∠PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的角,从而可求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)当 a=2 时,PC∥平面 AB1D,利用线面平行的判定可得结论; 方法二: (Ⅰ)建立空间直角坐标系,证明 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC, 由线面垂直的判定定理,可得 PD⊥平面 PBC; (Ⅱ)求得 ,平面 ABCD 的一个法向量为 ,利用

向量的夹角公式,可求 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (Ⅲ)求得平面 AB1D 的一个法向量为 ,从而可得结论. 解答: 方法一: (Ⅰ)证明:因为 ,CD=AB=2, 所以△ PCD 为等腰直角三角形,所以 PD⊥PC. ,要使得 PC∥平面 AB1D,则要

…(1 分)

因为 ABCD﹣A1B1C1D1 是一个长方体,所以 BC⊥面 CC1D1D, 而 P∈平面 CC1D1D,所以 PD?面 CC1D1D,所以 BC⊥PD. (3 分) 因为 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC, 所以由线面垂直的判定定理,可得 PD⊥平面 PBC.…(4 分) (Ⅱ)解:过 P 点在平面 CC1D1D 作 PE⊥CD 于 E,连接 AE.…(5 分) 因为面 ABCD⊥面 PCD,所以 PE⊥面 ABCD, 所以∠PAE 就是 PA 与平面 ABCD 所成的角.…(6 分) 因为 PE=1, ,所以 . .…(8 分)

所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为

(Ⅲ)解:当 a=2 时,PC∥平面 AB1D.…(9 分) 当 a=2 时,四边形 CC1D1D 是一个正方形,所以∠C1DC=45°, 而∠PDC=45°,所以∠PDC1=90°,所以 C1D⊥PD.…(10 分) 而 PC⊥PD,C1D 与 PC 在同一个平面内,所以 PC∥C1D.…(11 分) 而 C1D?面 AB1C1D,所以 PC∥面 AB1C1D,所以 PC∥平面 AB1D. …(12 分) 方法二: (Ⅰ)证明:如图建立空间直角坐标系,设棱长 AA1=a,则有 D(0,0,a) ,P(0, 1,a+1) ,B(3,2,a) ,C(0,2,a) . …(2 分) 于是 .…(3 分) 所以 PD 垂直于平面 PBC 内的两条相交直线 PC 和 BC,由线面垂直的判定定理,可得 PD⊥ 平面 PBC. …(4 分) (Ⅱ)解:A(3,0,a) ,所以 .…(5 分) 所以 .…(6 分) . …(7 分) .…(8 分) , . ,而平面 ABCD 的一个法向量为 , , , 所以 ,

所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正弦值为 所以 PA 与平面 ABCD 所成的角的正切值为 (Ⅲ)解:B1=(3,2,0) ,所以

设平面 AB1D 的法向量为 令 z=2,可得平面 AB1D 的一个法向量为 若要使得 PC∥平面 AB1D,则要

,则有

, . …(10 分)

,即

,解得 a=2.…(11 分)

所以当 a=2 时,PC∥平面 AB1D. …(12 分)

点评: 本题考查线面垂直,考查线面平行,线面角,考查空间向量知识的运用,属于中档 题.

20. (12 分)在平面直角坐标系中,已知椭圆 C:
2 2

=1,设 R(x0,y0)是椭圆 C 上任

一点,从原点 O 向圆 R: (x﹣x0) +(y﹣y0) =8 作两条切线,切点分别为 P,Q. (1)若直线 OP,OQ 互相垂直,且 R 在第一象限,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP,OQ 的斜率都存在,并记为 k1,k2,求证:2k1k2+1=0. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由直线 OP,OQ 互相垂直,且与圆 R 相切,可得 OR=4,再由 R 在椭圆上,满 足椭圆方程,求得点 R 的坐标,即可得到圆 R 的方程; (2)运用直线和圆相切的条件:d=r,结合二次方程的韦达定理和点 R 满足椭圆方程,化简 整理,即可得证. 解答: 解: (1)由题圆 R 的半径为 ,因为直线 OP,OQ 互相垂直,且与圆 R 相切, 所以 ,即 ,①

又 R(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 由①②及 R 在第一象限,解得 所以圆 R 的方程为: ,

,②



(2)证明:因为直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x 均与圆 R 相切, 所以 ,化简得 ,

同理有 所以 k1,k2 是方程

, 的两个不相等的实数根,

所以

.又因为 R(x0,y0)在椭圆 C 上,所以





,所以



即 2k1k2+1=0. 点评: 本题考查椭圆的方程和运用,同时考查直线和圆相切的条件,以及韦达定理的运用, 考查运算化简能力,属于中档题. 21. (12 分)函数 f(x)=x +mln(x+1) . (1)若函数 f(x)是定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; 3 (2)若 m=﹣1,试比较当 x∈(0,+∞)时,f(x)与 x 的大小; (3)证明:对任意的正整数 n,不等式 e +e
0
﹣1×4

2

+e

﹣2×9

+…+e



成立.

考点: 利用导数研究函数的单调性;不等式的证明. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: (1)分 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(﹣1,+∞)上恒成立两种情况; 3 (2)令 m=﹣1,通过求导,得 g(x)=f(x)﹣x 在(0,+∞)上单调递减,从而得证; (3)由(2)可知 x ﹣x <ln(x+1) (x∈(0,+∞) ) ,变形为 +∞) ) ,相加计算即可. 解答: 解: (1)根据题意,由 = ,
2 3

(x∈(0,

可知 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(﹣1,+∞)上恒成立. 下面分两种情况讨论: ①当 f′(x)= 有 m≥ ②当 f′(x)= 有 m≤ ≥0 在(﹣1,+∞)上恒成立时, 在(﹣1,+∞)上恒成立,故 m≥ ; ≤0 在(﹣1,+∞)上恒成立时, 在(﹣1,+∞)上恒成立.



在(﹣1,+∞)上没有最小值,

∴不存在实数 m 使 f′(x)<0 在(﹣1,+∞)上恒成立. 综上所述,实数 m 的取值范围是[
2

) ;

(2)当 m=﹣1 时,即函数 f(x)=x ﹣ln(x+1) . 3 3 2 令 g(x)=f(x)﹣x =﹣x +x ﹣ln(x+1) , 则 = ,

显然,当 x∈(0,+∞)时,g′(x)<0,即函数 g(x)在(0,+∞)上单调递减, 又因为 g(0)=0,所以当 x∈(0,+∞)时,恒有 g(x)<g(0)=0, 即 f(x)﹣x <0 恒成立,故当 x∈(0,+∞)时,有 f(x)<x . 2 3 (3)由(2)可知 x ﹣x <ln(x+1) (x∈(0,+∞) ) , 所以 当 x 取自然数时,有 所以 e +e
0
﹣1×4

3

3

,即 (n∈N ) ,
*

(x∈(0,+∞) ) ,

+e

﹣2×9

+…+e

<(1+1)+(2+1)+(3+1)+…+(n+1) =1×n+1+2+3+4+…+n = = .

点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,以及函数单调区间等有关基础知识,应用导 数研究函数单调性的方法及推理和运算能力. 三.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 用 2B 铅笔在答题纸上把所选题目的题号涂黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)已知 AB 是⊙O 的直径,F 为圆上一点,∠BAF 的角平分线与圆交于点 C,过点 C 作圆的切线与直线 AF 相交于点 D,若 AB=6,∠DAB= (1)证明:AD⊥CD; (2)求 DF?DA 的值及四边形 ABCD 的面积.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: (1)由 AB 是圆 O 的直径,可得∠ACB= 用角平分线的性质可得∠CAB=∠CAD= ∠ACD=∠ABC= .可得∠ADC= .由于∠DAB= ,AC 平分∠DAB.利

,可得∠ABC=

.利用切线的性质可得

即可. ,可得 AC=ABsin
2

(2)在 Rt△ ABC 中,利用 AB=6,∠ABC=

=3

.在 Rt△ ACD 中,

DC=AC?cos∠ACD.再利用切割线定理可得:DF?DA=DC 即可,再求四边形 ABCD 的面积. 解答: (1)证明:如图所示. ∵AB 是圆 O 的直径,∴∠ACB= ∵∠DAB= ,AC 平分∠DAB. ,∴∠ABC= . . .

∴∠CAB=∠CAD=

∵DC 与⊙O 相切于点 C,∴∠ACD=∠ABC= ∴∠CAD+∠ACD= ∴∠ADC= ∴AD⊥DC. (2)解:在 Rt△ ABC 中,∵AB=6,∠ABC= ∴AC=ABsin =3 . × = . .



在 Rt△ ACD 中,DC=AC?cos∠ACD=3 由切割线定理可得:DF?DA=DC = AF=cos30°?AC= , ∴S 四边形 ABCD= =
2





=



点评: 本题 2015 届中考查了圆的性质、切线的性质、直角三角形的边角关系、角平分线的 性质、切割线定理等基础知识与基本技能,属于中档题. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知⊙C 的极坐标方程为:ρ ﹣4 (Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的圆心坐标,并选择合适的参数,写出圆 C 的参数方程; (Ⅱ)点 P(x,y)在圆 C 上,试求 u=xy 的值域. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 取极点为直角坐标系中的原点,极轴为直角坐标系中的 x 轴, :ρ ﹣ 4 展开化为 ρ ﹣4ρsinθ﹣4ρcosθ+6=0,利用
2 2 2

即可化为

直角坐标方程.再利用圆的参数方程与三角函数的单调性即可得出. 2 解答: 解:取极点为直角坐标系中的原点,极轴为直角坐标系中的 x 轴, :ρ ﹣ 4
2 2

展开化为 ρ ﹣4ρsinθ﹣4ρcosθ+6=0,可得:x +y ﹣4x﹣4y+6=0, , , , ,

2

2

2

∴(x﹣2) +(y﹣2) =2,圆 C 的圆心坐标为(2,2) ,半径为 (2)取旋转角 α 为参数,则圆 C 的参数方程为 C: ∵ 设

∴u=f(t)=

﹣1+4=

+1



∴1≤u≤9. ∴u 的值域为[1,9]. 点评: 本题考查了参数方程的应用、极坐标化为直角坐标方程、三角函数的单调性,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 2 2 2 24. (1)设 x,y,z∈R,且满足:x +y +z =1,x+2y+3z=
*

,求 x+y+z 的值;

(2)设不等式|x﹣2|<a(a∈N )的解集为 A,且 ∈A, ?A.求函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2|的 最小值. 考点: 柯西不等式在函数极值中的应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 2 2 2 2 分析: (1)14=(x +y +z ) (1+4+9)=(x+2y+3z) ,结合柯西不等式,即可求 x+y+z 的 值;

(2)由不等式|x﹣2|<a 的解集为 A,求出 a=1,把 a=1 代入函数表达式,即可求出函数 f(x) =|x+a|+|x﹣2|的最小值. 解答: 解: (1)由题 14=(x +y +z ) (1+4+9)=(x+2y+3z) , 2 2 2 2 但由柯西不等式, (x +y +z ) (1+4+9)≥(x+2y+3z) ,
2 2 2 2

当且仅当



,即

时取等,

故取等条件必须成立,此时 x+y+z= (2)因为 解得
*

,且 ,

,所以

,且

又因为 a∈N ,所以 a=1 因为|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3 当且仅当(x+1) (x﹣2)≤0,即﹣1≤x≤2 时取得等号, 所以 f(x)的最小值为 3 点评: 本题考查柯西不等式,考查求函数的值域问题,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题.


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