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高中数学基本初等函数导学案


第二章 基本初等函数(1) 2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 一、知识点回顾 在初中,我们研究了正整数指数幂:一个数 a 的 n 次幂等于 n 个 a 的连乘积,即

an=a· · · a·· a ·
n个 正整数指数幂的运算法则有五条:

1.a m ? a n ? a m ? n 2.a m ? a n ?

a m ? n 3. a

另外,我们规定:

? ?

m n n

? a mn

a 0 ? 1( a ? 0);

4.?ab ? ? a n b n an ?a? 5.? ? ? n ?b ? 0 ? b ?b?
n

a ?n ?

1 . an

二、根式 一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根(n th root),其中 n>1,且 n∈N*.

xn ? a

x ?

n

a;

(当 n 是奇数)

x ? ? n a . (当 n 是偶数,且 a>0)
让我们认识一下这个式子:

探究:
n

a n 表示 a 的 n 次方根,等式

n

n

a n ? a 一定成立吗?如果不一定成立,那么

n

an

等于什么?

n

?a, (当n为奇数) ? an ? ? ?a, a ? 0, | a |? ? (当n为偶数) ? ?? a, a ? 0. ?

例 1 求下列各式的值 1、
3

( ?8) 3 ;

2、

(?10) 2 ;

三、分数指数幂 探究:
5 10 5

0 的正分数指数 幂等于 0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
2

a a
3

10

? (a ) ? a ? a ( a ? 0),
5 2 5

4

12

? (a ) ? a ? a ( a ? 0).
4 4 3 3

12 4

a ? a ( a ? 0),
2

2 3

我们规定正数的正指数分数幂 的意义是 :
m

b ? b (b ? 0),
4

1 2

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , 且n ? 1).

c ? c (c ? 0).
5

5 4

整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对于任意有理数 r,s,均 有下面的运算性质:

(1)a r a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) (2)( a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q) (3)( ab) r ? a r b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中 a>0).

a 3 ? a , a 2 ? 3 a 2 , a3 a .

强化练习

练习 :比较 5 , 3 11, 6 123的大小. 1

4

1

练习2 : 化简

a 3 ? 8a 3 b 4b ? 23 ab ? a
2 3 2 3

? (1 ? 23

b ) ? 3 a. a

四、指数函数 1.定义:一般地,函数

y ? a x 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域

是R 2.指数函数的图像与性质。

例 1、 a, b, c, d 设

x x x x 都是不等于1的正数,y ? a , y ? b , y ? c , y ? d 在同一坐

标系中的图像如图所示,则 a, b, c, d 的大小顺序是(
A.a ? b ? c ? d C.b ? a ? d ? c B.a ? b ? d ? c D.b ? a ? c ? d


y ? bx y ? ax

y

y ? cx y ? dx

x o

例 2、设 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4

x?

1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值。

跟踪练习
1、若指数函数 y ? (2a ? 1) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围
x x



2 、 如 果 指 数 函 数 f ( x) ? (a ? 1) 是 R 上 的 单 调 减 函 数 , 那 么 a 取 值 范 围 是 ( ) A、 a ? 2 B、 a ? 2 (
0.1

C、 1 ? a ? 2 )

D、 0 ? a ? 1

3、下列关系中,正确的是

1 1 A、 ( ) 3 ? ( ) 5 2 2

1

1

B、 2

?2

0.2

C、 2

?0.1

?2

?0.2

1 ??1 1 ??1 5 D、 ( ) ? ( ) 3 2 2

4、比较下列各组数大小: (1)3.10.5

3.12.3
x

(2)?

?2? ? ?3?

?0.3

?2? ? ? ?3?

?0.24

(3)2.3?2.5

0.2?0.1
。 。

5、函数 f ( x) ? 10 在区间[ ?1 ,2]上的最大值为 函数 f ( x) ? 0.1 在区间[ ?1 ,2]上的最大值为
x

,最小值为 ,最小值为

五、对数与对数函数 (一)对数 1、一般地,如果 a x ? N ?a ? 0, 且a ? 1? ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作
x ? log a N (其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数)

2、两大常见对数:自然对数(logeN?n)和常用对数( log10 N ? lg N ) 3、对数的运算性质 若 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, 那么:

?1? log a MN ? log a M ? log a N ?2? log a M
? log a M ? log a N N ?3? log a M n ? n log a M ?n ? R ?

4、特殊对数

?1? log a 1 ? 0.

?2? log a a ? 1(其中a ? 0且a ? 1)

5、对数的换底公式及对数的恒等式

?1?a log N ? N ?2? log a a n ? n
a

?3? log a N ? log b N
log b a

?4? log a b ?

?5? log a N ? log a
注意:

1 log b a
n

Nn

1、在使用运算性质 log a M n ? n log a M 时,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 log a M n ? n log a M 2、比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数,若底数 不相同时,可运用换底公式化为同底数的对数,还要注意与 0 比较或 与 1 比较。
(二)对数函数 1.定义:函数 y= logax(a>0,a≠1,定义域是(0,+ ? ) ,叫对数函数。 判断:以下函数是对数函数的是 ( A y=log2(3x-2) C y=log1/3x2 ) B D y=log(x-1)x y=lnx

2.对数函数的性质

例 1.

解不等式

log 1 (2 x ? 1) ? log 1 2
2 2

例 2. 将

log 0.7 0.8 , log1.10.9 ,1.10.9

由小到大排列。

跟踪练习 1、比较 a、b、c、d、1 的大小。

y

y=log a x y=log b x

0

1

y=log c x y=log d x

x

3.对数函数的其他性质 (1)随着底数 a 的增大,图象在同一象限内的位置按顺时针转。 (2)y=logax 与 y=log1/ax 的图象关于 x 轴对称。 (3)对数函数是非奇非偶函数。


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